Il prezzo che un individuo coerente riterrebbe equo per ricevere 1 nel caso l'evento si verificasse e 0 nel caso l'evento non si verificasse.
-"omegone"@@ -75,8 +75,8 @@ export default function Statistica() {
"omeghino"@@ -86,8 +86,8 @@ export default function Statistica() {
"e"@@ -100,8 +100,8 @@ export default function Statistica() {
Lo spazio campionario stesso è un evento certo.
-"not e"@@ -111,8 +111,8 @@ export default function Statistica() {
"e intersecato effe"@@ -122,8 +122,8 @@ export default function Statistica() {
"e unito a effe"@@ -133,16 +133,16 @@ export default function Statistica() {
"e meno effe"
"e contenuto in effe"@@ -155,8 +155,8 @@ export default function Statistica() {
Se si verifica
"e è impossibile"@@ -166,8 +166,8 @@ export default function Statistica() {
"e ed effe si escludono mutualmente"@@ -177,10 +177,10 @@ export default function Statistica() {
"famiglia effe"@@ -195,8 +195,8 @@ export default function Statistica() { Qualsiasi sottoinsieme appartenente a
"sigma algebra"@@ -221,10 +221,10 @@ export default function Statistica() { Un esempio:
"la partizione e composta da e uno, e due, e tre..."@@ -246,26 +246,26 @@ export default function Statistica() { Se lo spazio campionario fosse una torta, una sua partizione sarebbe l'insieme delle fette di uno dei modi in cui si potrebbe tagliare. -
La probabilità di un evento è un numero tra 0 e 1.
La probabilità dello spazio campionario è sempre 1.
La probabilità dell'unione di eventi indipendenti è uguale alla somma delle loro probabilità. @@ -273,10 +273,10 @@ export default function Statistica() {
La probabilità di un evento negato è uguale a 1 meno la probabilità dell'evento non negato. @@ -284,8 +284,8 @@ export default function Statistica() {
La probabilità di un evento incluso in un altro è sempre minore o uguale alla probabilità dell'evento in cui è incluso. @@ -293,8 +293,8 @@ export default function Statistica() {
La probabilità di un evento unito a un altro è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi meno la probabilità della loro intersezione. @@ -306,10 +306,10 @@ export default function Statistica() { Sommando le probabilità dei due eventi, l'intersezione viene contata due volte, e va quindi rimossa! -
Spazi campionari in cui ci sono un numero finito di esiti e ogni esito ha la stessa probabilità di verificarsi. @@ -317,16 +317,16 @@ export default function Statistica() {
Gli spazi campionari possono avere un numero infinito di esiti: sono equiprobabili geometrici se nessun esito è privilegiato rispetto agli altri.
-
Estraggo un numero, da un sacchetto con
Estraggo un numero, da un sacchetto con
Estraggo un numero, da un sacchetto con
Estraggo un numero, da un sacchetto con
Estraggo
"E dato F"@@ -398,8 +398,8 @@ export default function Statistica() {
bash, però al contrario...
Se due eventi sono mutualmente esclusivi, entrambe le loro probabilità condizionate saranno uguali a 0. @@ -407,10 +407,10 @@ export default function Statistica() {
Si può sfruttare la formula inversa della probabilità condizionata per calcolare catene di intersezioni: @@ -418,10 +418,10 @@ export default function Statistica() {
La probabilità che si verifichi un evento è pari alla somma delle probabilità dell'evento stesso dati tutti gli eventi di una partizione. @@ -429,8 +429,8 @@ export default function Statistica() {
La legge delle alternative funziona anche quando ad essere partizionato è un evento: @@ -438,8 +438,8 @@ export default function Statistica() {
Tramite la formula di Bayes possiamo risalire alla probabilità di un evento
condizionato a un altro partendo dalla probabilità di quest'ultimo condizionato al
@@ -451,10 +451,10 @@ export default function Statistica() {
"eventi indipendenti a due a due"@@ -465,8 +465,8 @@ export default function Statistica() {
"eventi indipendenti a tre a tre, a quattro a quattro, a cinque a cinque..."@@ -480,8 +480,8 @@ export default function Statistica() { Eventi indipendenti a due a due non sono per forza indipendenti a tre a tre, e viceversa. -
Un insieme di
Una funzione che fa corrispondere un numero reale a ogni possibile esito dello spazio
campionario.
Ad ogni variabile aleatoria sono associati gli
eventi
"supporto di X"@@ -527,10 +527,10 @@ export default function Statistica() { Per indicare che un valore
La funzione probabilità
La funzione densità
Ogni variabile aleatoria ha una funzione di ripartizione
Possiamo usare la funzione di ripartizione per calcolare la probabilità di un certo valore reale: @@ -603,33 +603,33 @@ export default function Statistica() {
Nel discreto basta abbinare un nuovo valore a ogni valore della variabile originale.
-Nel continuo applichiamo la formula dell'integrazione per sostituzione:
Trasformare variabili aleatorie è molto utile nell'informatica per creare distribuzioni
partendo da una funzione random() che
restituisce numeri da 0 a 1 con una distribuzione lineare.
Ogni variabile aleatoria che ha una funzione di ripartizione e un supporto finito ha anche una media (o valore medio o atteso): @@ -649,15 +649,15 @@ export default function Statistica() {
Valore per cui la funzione probabilità o funzione densità è massima.
-
Il quantile
È un valore che indica quanto la variabile aleatoria si discosta generalmente dalla media: @@ -689,10 +689,10 @@ export default function Statistica() {
Data una variabile aleatoria non-negativa:
@@ -706,8 +706,8 @@ export default function Statistica() {
"disuguaglianza di cebicev"@@ -729,10 +729,10 @@ export default function Statistica() { Serve per semplificare i calcoli quando la funzione di ripartizione è difficile da calcolare! -
Il momento
La funzione generatrice dei momenti è:
@@ -763,8 +763,8 @@ export default function Statistica() {E' la trasformata di Laplace della variabile aleatoria di X.
-La funzione caratteristica è:
@@ -778,32 +778,32 @@ export default function Statistica() {E' la trasformata di Fourier della variabile aleatoria di X.
-Per dire che una variabile ha una certa distribuzione, si usa la notazione:
Una prova con solo due possibili
esiti:
Una sequenza di prove di Bernoulli per le quali le probabilità di successo e fallimento rimangono invariate.
-Una variabile aleatoria che rappresenta una prova di Bernoulli:
@@ -814,8 +814,8 @@ export default function Statistica() {
Il suo simbolo è
La distribuzione bernoulliana ha come densità:
@@ -828,10 +828,10 @@ export default function Statistica() { \end{cases} = p^x \cdot q^{1 - k}` } -
Una variabile aleatoria che conta il numero di successi di
Il suo simbolo è
La binomiale ha come densità:
La funzione generatrice dei momenti della binomiale è:
@@ -867,10 +867,10 @@ export default function Statistica() {
Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli fino alla comparsa del primo successo. @@ -878,16 +878,16 @@ export default function Statistica() {
Il suo simbolo è
La geometrica ha come densità:
La funzione generatrice dei momenti della geometrica è:
@@ -906,8 +906,8 @@ export default function Statistica() {
La geometrica non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria: @@ -919,10 +919,10 @@ export default function Statistica() { Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X. -
Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli
necessarie perchè si verifichi l'
Il suo simbolo è
La binomiale negativa ha come densità:
La funzione generatrice dei momenti della binomiale negativa è:
@@ -960,10 +960,10 @@ export default function Statistica() {
Una variabile aleatoria che conta il numero
Il suo simbolo rimane
La geometrica traslata ha come densità:
La funzione generatrice dei momenti della geometrica traslata è:
@@ -999,8 +999,8 @@ export default function Statistica() {
La geometrica traslata non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria: @@ -1012,10 +1012,10 @@ export default function Statistica() { Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X. -
Una variabile aleatoria che conta il numero di insuccessi in uno schema di Bernoulli
prima che si verifichi l'
Il suo simbolo rimane
La binomiale negativa traslata ha come densità:
La funzione generatrice dei momenti della binomiale negativa traslata è:
@@ -1053,10 +1053,10 @@ export default function Statistica() {
Una variabile aleatoria che, sapendo il numero di successi
Il suo simbolo è
La ipergeometrica ha come densità:
La funzione generatrice dei momenti della ipergeometrica è trascurabile.
@@ -1092,10 +1092,10 @@ export default function Statistica() {
Una variabile aleatoria che soddisfa tutte le seguenti caratteristiche:
@@ -1108,16 +1108,16 @@ export default function Statistica() {
Il suo simbolo è
La poissoniana ha come densità:
La funzione generatrice dei momenti della poissoniana è: @@ -1144,10 +1144,10 @@ export default function Statistica() {
Una successione di arrivi avvenuti in un certo arco temporale che:
@@ -1156,8 +1156,8 @@ export default function Statistica() {
Una variabile aleatoria
Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima del primo arrivo di un
processo di Poisson di intensità
Il suo simbolo è
L'esponenziale ha come densità:
@@ -1206,8 +1206,8 @@ export default function Statistica() { \end{cases}` } -La funzione generatrice dei momenti dell'esponenziale è:
@@ -1226,8 +1226,8 @@ export default function Statistica() {
L'esponenziale non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria: @@ -1239,10 +1239,10 @@ export default function Statistica() { Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X. -
Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima dell'
Il suo simbolo è
La legge gamma ha come densità:
@@ -1263,8 +1263,8 @@ export default function Statistica() { \end{cases}` } -
La funzione generatrice dei momenti della legge gamma è:
@@ -1285,10 +1285,10 @@ export default function Statistica() {
Una variabile aleatoria che può assumere qualsiasi valore in un
intervallo
La distribuzione uniforme ha come densità:
@@ -1327,8 +1327,8 @@ export default function Statistica() { \end{cases}` } -
La funzione generatrice dei momenti della distribuzione uniforme è:
@@ -1349,10 +1349,10 @@ export default function Statistica() {
Una variabile aleatoria con una specifica distribuzione.
@@ -1363,16 +1363,16 @@ export default function Statistica() {La distribuzione normale ha come densità:
La funzione generatrice dei momenti della distribuzione normale è:
@@ -1393,18 +1393,18 @@ export default function Statistica() {
Qualsiasi normale può essere trasformata in qualsiasi altra normale:
La distribuzione normale standard
Da un quantile
La distribuzione normale ha una particolare relazione con la distribuzione Gamma:
"chi-quadro a un grado di libertà"@@ -1453,18 +1453,18 @@ export default function Statistica() {
Un'altra funzione particolare è la funzione T di Student:
La binomiale è come una ipergeometrica ma con ripetizioni, quindi per valori molto
grandi di
La binomiale non è altro che una poissoniana a tempo discreto, quindi,
se
Per il Teorema di De Moivre-Laplace, se una binomiale ha una
Passando da una variabile discreta
Un vettore composto da variabili aleatorie.
@@ -1515,8 +1515,8 @@ export default function Statistica() { Il suo simbolo generalmente èI vettori aleatori hanno più funzioni di ripartizione che si differenziano in base al numero di parametri. @@ -1535,8 +1535,8 @@ export default function Statistica() {
I vettori aleatori discreti hanno più densità che si differenziano in base al numero di parametri. @@ -1555,10 +1555,10 @@ export default function Statistica() {
Più variabili aleatorie sono indipendenti se, per qualsiasi scelta di
intervalli
E' possibile calcolare la media di qualsiasi funzione
Un operatore che misura la correlazione di due variabili aleatorie.
@@ -1609,8 +1609,8 @@ export default function Statistica() {Due variabili sono variabili incorrelate se:
@@ -1620,8 +1620,8 @@ export default function Statistica() {Variabili indipendenti sono sempre incorrelate.
-
Una matrice
Un valore che misura come due variabili aleatorie sono correlate:
@@ -1660,8 +1660,8 @@ export default function Statistica() {
La varianza di due variabili aleatorie sommate è:
@@ -1679,10 +1679,10 @@ export default function Statistica() {
Una n-pla di variabili aleatorie con la stessa distribuzione della variabile
aleatoria
Il valore dato dalla media aritmetica degli
La media aritmetica dello scarto quadratico medio degli elementi del campione.
@@ -1721,10 +1721,10 @@ export default function Statistica() {
Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che:
@@ -1734,8 +1734,8 @@ export default function Statistica() {Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che:
@@ -1745,8 +1745,8 @@ export default function Statistica() {Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che:
@@ -1756,24 +1756,24 @@ export default function Statistica() {
Se la popolazione
...allora sappiamo anche la distribuzione della media campionaria!
...e anche della varianza campionaria!
@@ -1783,15 +1783,15 @@ export default function Statistica() {
...e che media campionaria e varianza campionaria sono indipendenti tra loro!
-
Se la successione di variabili aleatorie
Se la successione di variabili aleatorie
Se la successione di variabili aleatorie
Se la successione di variabili aleatorie
La successione delle medie campionarie
La successione delle medie campionarie
La successione delle medie campionarie
E' una somma di bernoulliane, e quindi si approssima a una normale:
E' una somma di geometriche, e quindi si approssima a una normale:
E' una somma di altre poissoniane, e quindi si approssima a una normale:
E' una somma di esponenziali, e quindi si approssima a una normale:
Se
Per indicare parametri sconosciuti di una legge si usa
Una variabile aleatoria funzione di un campione:
@@ -1963,16 +1963,16 @@ export default function Statistica() { Ad esempio, sono statistiche media e varianza campionaria, così come il campione stesso
Una statistica
Uno stimatore è corretto se il suo valore atteso coincide con quello dei parametri che stima: @@ -1980,8 +1980,8 @@ export default function Statistica() {
Uno stimatore è asintoticamente corretto se, per infinite osservazioni, il suo valore atteso coincide con quello dei parametri che stima: @@ -1989,34 +1989,34 @@ export default function Statistica() {
Uno stimatore è consistente in media quadratica se:
Uno stimatore è consistente in probabilità se:
Uno stimatore è asintoticamente normale se:
Si può usare il metodo dei momenti per ottenere uno stimatore di una
popolazione
Si può usare il metodo della massima verosomiglianza per ottenere uno stimatore
di una popolazione
Gli stimatori di massima verosomiglianza godono delle seguenti proprietà:
@@ -2080,34 +2080,34 @@ export default function Statistica() {Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:
Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:
Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:
Per il metodo della massima verosomiglianza:
@@ -2117,10 +2117,10 @@ export default function Statistica() {"intervallo di confidenza al 95%"@@ -2139,10 +2139,10 @@ export default function Statistica() { Può anche essere unilatero nel caso limiti la stima in una sola direzione, positiva o negativa. -
Se conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli
intervalli di confidenza all'
Se non conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli
intervalli di confidenza all'
L'intervallo di confidenza per la proprorzione di una bernoulliana qualsiasi si ottiene da questa formula: @@ -2190,10 +2190,10 @@ export default function Statistica() {
L'intervallo di confidenza per la media di una qualsiasi popolazione si ottiene da questa formula: @@ -2201,7 +2201,7 @@ export default function Statistica() {