From f847907101cc9c52bea4c2c2f2e5ac3c123d2892 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefano Pigozzi Date: Tue, 20 Jul 2021 02:58:32 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E2=AC=86=20Update=20to=20Bluelib=203.0.0?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .idea/runConfigurations/run.xml | 9 + package-lock.json | 466 ++++++++------- package.json | 2 +- src/components/Box.js | 24 - src/components/Box.module.css | 3 - src/components/SelectSkin.js | 4 +- src/components/Todo.js | 26 - src/components/Todo.module.css | 12 - src/routes/Algebra/Cheatsheet.js | 4 +- src/routes/Apprendimento/index.js | 4 +- src/routes/Fisica/index.js | 4 +- src/routes/Gestinfo/index.js | 4 +- src/routes/Home.js | 3 +- src/routes/Oli/index.js | 6 +- src/routes/Sistemioperativi/Arzigogoli.js | 4 +- src/routes/Statistica/index.js | 662 +++++++++++----------- 16 files changed, 581 insertions(+), 656 deletions(-) create mode 100644 .idea/runConfigurations/run.xml delete mode 100644 src/components/Box.js delete mode 100644 src/components/Box.module.css delete mode 100644 src/components/Todo.js delete mode 100644 src/components/Todo.module.css diff --git a/.idea/runConfigurations/run.xml b/.idea/runConfigurations/run.xml new file mode 100644 index 0000000..d75f26b --- /dev/null +++ b/.idea/runConfigurations/run.xml @@ -0,0 +1,9 @@ + + + + + + + + + \ No newline at end of file diff --git a/package-lock.json b/package-lock.json index 47bc1ac..4f55c16 100644 --- a/package-lock.json +++ b/package-lock.json @@ -10,7 +10,7 @@ "@testing-library/jest-dom": "^5.11.9", "@testing-library/react": "^11.2.3", "@testing-library/user-event": "^12.6.2", - 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- ) - } - else { - return ( - 🚧 {children} - ) - } -} - -Todo.propTypes = { - children: PropTypes.node, - block: PropTypes.bool, -} diff --git a/src/components/Todo.module.css b/src/components/Todo.module.css deleted file mode 100644 index 6d2b0b5..0000000 --- a/src/components/Todo.module.css +++ /dev/null @@ -1,12 +0,0 @@ -.todo { - background-color: #292F33; - color: #FFCC4D; - padding: 1px; - border-radius: 2px; -} - -.todoblock { - background-color: #292F33; - border: 2px dashed #FFCC4D; - color: #FFCC4D; -} \ No newline at end of file diff --git a/src/routes/Algebra/Cheatsheet.js b/src/routes/Algebra/Cheatsheet.js index a32c2d8..76310b1 100644 --- a/src/routes/Algebra/Cheatsheet.js +++ b/src/routes/Algebra/Cheatsheet.js @@ -9,12 +9,12 @@ import { Title, Code as BluelibCode, Separator, + Box, + Todo, } from "bluelib/lib/components" import LatexMath from "bluelib/lib/components/LatexMath" -import Todo from "../../components/Todo" import Split from "../../components/Split" -import Box from "../../components/Box" const r = String.raw diff --git a/src/routes/Apprendimento/index.js b/src/routes/Apprendimento/index.js index 609d7b0..408895d 100644 --- a/src/routes/Apprendimento/index.js +++ b/src/routes/Apprendimento/index.js @@ -7,12 +7,12 @@ import { Italic as I, Title, Anchor, ListItem as LI, BaseLink, + Box, + Todo, } from "bluelib/lib/components" import LatexMath from "bluelib/lib/components/LatexMath" -import Box from "../../components/Box" import Split from "../../components/Split" -import Todo from "../../components/Todo" const r = String.raw diff --git a/src/routes/Fisica/index.js b/src/routes/Fisica/index.js index 8f35e5d..9f874c4 100644 --- a/src/routes/Fisica/index.js +++ b/src/routes/Fisica/index.js @@ -1,9 +1,7 @@ -import { Anchor, BaseLink, Bold as B, Color, ListItem as LI, Paragraph as P } from "bluelib/lib/components" +import { Anchor, BaseLink, Bold as B, Color, ListItem as LI, Paragraph as P, Box, Todo} from "bluelib/lib/components" import LatexMath from "bluelib/lib/components/LatexMath" -import Todo from "../../components/Todo" import Split from "../../components/Split" -import Box from "../../components/Box" const r = String.raw diff --git a/src/routes/Gestinfo/index.js b/src/routes/Gestinfo/index.js index 0a337d5..23814c3 100644 --- a/src/routes/Gestinfo/index.js +++ b/src/routes/Gestinfo/index.js @@ -11,10 +11,11 @@ import { Paragraph as P, Underline as U, Blockquote, + Box, + Todo, } from "bluelib/lib/components" import LatexMath from "bluelib/lib/components/LatexMath" import Split from "../../components/Split" -import Box from "../../components/Box" import IR from "./abbr/IR" import API from "./abbr/API" import Token from "./components/Token" @@ -24,7 +25,6 @@ import UIN from "./abbr/UIN" import Regex from "./abbr/Regex" import Glob from "./abbr/Glob" import Predicato from "./abbr/Predicato" -import Todo from "../../components/Todo" import IDF from "./abbr/IDF" import TF from "./abbr/TF" import TFIDF from "./abbr/TFIDF" diff --git a/src/routes/Home.js b/src/routes/Home.js index 53bfbfb..647e90f 100644 --- a/src/routes/Home.js +++ b/src/routes/Home.js @@ -1,7 +1,6 @@ import React from "react" -import { Anchor, BaseLink, Bold as B, ListItem as LI, Paragraph as P, Size } from "bluelib/lib/components" +import { Anchor, BaseLink, Bold as B, ListItem as LI, Paragraph as P, Size, Box } from "bluelib/lib/components" import Split from "../components/Split" -import Box from "../components/Box" import SelectSkin from "../components/SelectSkin" diff --git a/src/routes/Oli/index.js b/src/routes/Oli/index.js index 9b36cb9..f89e2fe 100644 --- a/src/routes/Oli/index.js +++ b/src/routes/Oli/index.js @@ -1,8 +1,6 @@ -import { Anchor, BaseLink, Color, ListItem as LI, Paragraph as P, Size, Help } from "bluelib/lib/components" +import { Anchor, BaseLink, Color, ListItem as LI, Paragraph as P, Size, Help, Box, Todo } from "bluelib/lib/components" import LatexMath from "bluelib/lib/components/LatexMath" import Split from "../../components/Split" -import Box, { default as Panel } from "../../components/Box" -import Todo from "../../components/Todo" const r = String.raw; @@ -14,7 +12,7 @@ const Latex = ({ children, ...props }) => {children} {children} const Plus = ({ children, ...props }) => {children} const Minus = ({ children, ...props }) => {children} -const Example = ({ children, ...props }) => {children} +const Example = ({ children, ...props }) => {children} const Min = ({ children, ...props }) => ( {props.children ? props.children : "min"} diff --git a/src/routes/Sistemioperativi/Arzigogoli.js b/src/routes/Sistemioperativi/Arzigogoli.js index d8d69c8..7c319c6 100644 --- a/src/routes/Sistemioperativi/Arzigogoli.js +++ b/src/routes/Sistemioperativi/Arzigogoli.js @@ -9,11 +9,11 @@ import { Title, Code as BluelibCode, Separator, + Box, + Todo, } from "bluelib/lib/components" -import Todo from "../../components/Todo" import Split from "../../components/Split" -import Box from "../../components/Box" const r = String.raw diff --git a/src/routes/Statistica/index.js b/src/routes/Statistica/index.js index 3f508e8..1d88e57 100644 --- a/src/routes/Statistica/index.js +++ b/src/routes/Statistica/index.js @@ -4,16 +4,16 @@ import { Bold as B, Italic as I, Anchor, ListItem as LI, BaseLink, + Box, + Todo, } from "bluelib/lib/components" import { default as Latex } from "bluelib/lib/components/LatexMath" -import Box, { default as Panel } from "../../components/Box" import Split, { default as Section } from "../../components/Split" -import Todo from "../../components/Todo" const r = String.raw -const Example = ({ children, ...props }) => {children} +const Example = ({ children, ...props }) => {children} const Plus = ({ children }) => {children} const Minus = ({ children }) => {children} @@ -47,25 +47,25 @@ export default function Statistica() {
- +

{r`P(E) = \frac{casi\ favorevoli}{casi\ possibili}`}

- - + +

{r`P(E) = \frac{successi}{prove\ totali}`}

- - + +

Il prezzo che un individuo coerente riterrebbe equo per ricevere 1 nel caso l'evento si verificasse e 0 nel caso l'evento non si verificasse.

- +
- +
"omegone"
@@ -75,8 +75,8 @@ export default function Statistica() {

{r`\Omega = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \}`}

- - + +
"omeghino"
@@ -86,8 +86,8 @@ export default function Statistica() {

{r`\omega = 1`}

- - + +
"e"
@@ -100,8 +100,8 @@ export default function Statistica() {

Lo spazio campionario stesso è un evento certo.

- - + +
"not e"
@@ -111,8 +111,8 @@ export default function Statistica() {

{r`\bar{E} = \left \{ 3, 4, 5, 6 \right \}`}

- - + +
"e intersecato effe"
@@ -122,8 +122,8 @@ export default function Statistica() {

{r`E \cap F = \left \{ 1 \right \}`}

- - + +
"e unito a effe"
@@ -133,16 +133,16 @@ export default function Statistica() {

{r`E \cup F = \left \{ 1, 2, 3, 4 \right \}`}

- - + +
"e meno effe"

{r`E \setminus F = E \cap \bar{F}`}

- - + +
"e contenuto in effe"
@@ -155,8 +155,8 @@ export default function Statistica() {

Se si verifica E, allora si verifica anche F.

- - + +
"e è impossibile"
@@ -166,8 +166,8 @@ export default function Statistica() {

{r`E = \emptyset`}

- - + +
"e ed effe si escludono mutualmente"
@@ -177,10 +177,10 @@ export default function Statistica() {

{r`E \cap F = \emptyset`}

- +
- +
"famiglia effe"
@@ -195,8 +195,8 @@ export default function Statistica() { Qualsiasi sottoinsieme appartenente a {r`\mathcal{F}`} è considerato un evento.

- - {r`\sigma`}-algebra}> + + {r`\sigma`}-algebra}>
"sigma algebra"
@@ -221,10 +221,10 @@ export default function Statistica() { Un esempio: {r`E \in \mathcal{F} \implies \mathcal{F} = \{ \emptyset, E, \bar{E}, \Omega \}`}

- +
- +
"la partizione e composta da e uno, e due, e tre..."
@@ -246,26 +246,26 @@ export default function Statistica() { Se lo spazio campionario fosse una torta, una sua partizione sarebbe l'insieme delle fette di uno dei modi in cui si potrebbe tagliare. - +
- +

La probabilità di un evento è un numero tra 0 e 1.

{r`\forall E \in \mathcal{F}, 0 \leq P(E) \leq 1`}

- - + +

La probabilità dello spazio campionario è sempre 1.

{r`P(\Omega) = 1`}

- - + +

La probabilità dell'unione di eventi indipendenti è uguale alla somma delle loro probabilità. @@ -273,10 +273,10 @@ export default function Statistica() {

{r`P \left ( \bigcup_i E_i \right ) = \sum_i P ( E_i )`}

- +
- +

La probabilità di un evento negato è uguale a 1 meno la probabilità dell'evento non negato. @@ -284,8 +284,8 @@ export default function Statistica() {

{r`P(\bar{E}) = 1 - P({E})`}

- - + +

La probabilità di un evento incluso in un altro è sempre minore o uguale alla probabilità dell'evento in cui è incluso. @@ -293,8 +293,8 @@ export default function Statistica() {

{r`F \subseteq E \implies P(F) \leq P(E)`}

- - + +

La probabilità di un evento unito a un altro è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi meno la probabilità della loro intersezione. @@ -306,10 +306,10 @@ export default function Statistica() { Sommando le probabilità dei due eventi, l'intersezione viene contata due volte, e va quindi rimossa! - +

- +

Spazi campionari in cui ci sono un numero finito di esiti e ogni esito ha la stessa probabilità di verificarsi. @@ -317,16 +317,16 @@ export default function Statistica() {

{r`P(E) = \frac{len(E)}{len(\Omega)}`}

- - + +

Gli spazi campionari possono avere un numero infinito di esiti: sono equiprobabili geometrici se nessun esito è privilegiato rispetto agli altri.

- +
- +

Estraggo un numero, da un sacchetto con n numeri, mi segno che numero ho estratto e lo tengo fuori dal sacchetto. Ripeto per k volte. @@ -337,8 +337,8 @@ export default function Statistica() {

{r`\boldsymbol{D}_{n, k} = \frac{n!}{(n - k)!}`}

- - + +

Estraggo un numero, da un sacchetto con n numeri, mi segno che numero ho estratto e lo rimetto nel sacchetto. Ripeto per k volte. @@ -349,8 +349,8 @@ export default function Statistica() {

{r`\boldsymbol{D}^{r}_{n, k} = n^k`}

- - + +

Estraggo un numero, da un sacchetto con n numeri, mi segno che numero ho estratto e lo tengo fuori dal sacchetto. Ripeto per k volte. @@ -361,8 +361,8 @@ export default function Statistica() {

{r`\boldsymbol{C}_{n, k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(k)! \cdot (n - k)!}`}

- - + +

Estraggo un numero, da un sacchetto con n numeri, mi segno che numero ho estratto e lo rimetto nel sacchetto. Ripeto per k volte. @@ -373,18 +373,18 @@ export default function Statistica() {

{r`\boldsymbol{C}^{r}_{n, k} = \binom{n + k - 1}{k} = \frac{(n + k - 1)!}{(k)! \cdot (n - 1)!}`}

- - + +

Estraggo n numeri e guardo in quanti ordini diversi li posso mettere.

{r`\boldsymbol{P}_n = n!`}

- +
- +
"E dato F"
@@ -398,8 +398,8 @@ export default function Statistica() { Ricorda vagamente le pipe di bash, però al contrario... - - + +

Se due eventi sono mutualmente esclusivi, entrambe le loro probabilità condizionate saranno uguali a 0. @@ -407,10 +407,10 @@ export default function Statistica() {

{r`E \cap F = \emptyset \Longleftrightarrow P(E|F) = P(F|E) = 0`}

- +
- +

Si può sfruttare la formula inversa della probabilità condizionata per calcolare catene di intersezioni: @@ -418,10 +418,10 @@ export default function Statistica() {

{r`P(E_1 \cap \times \cap E_n) = P(E_1) \times P(E_2 | E_1) \times \dots \times P(E_n | E_1 \cap E_2 \cap \dots \cap E_{n-1})`}

- +
- +

La probabilità che si verifichi un evento è pari alla somma delle probabilità dell'evento stesso dati tutti gli eventi di una partizione. @@ -429,8 +429,8 @@ export default function Statistica() {

{r`P(F) = \sum_{i} P(F|E_i) \cdot P(E_i)`}

- - + +

La legge delle alternative funziona anche quando ad essere partizionato è un evento: @@ -438,8 +438,8 @@ export default function Statistica() {

{r`P(F|G) = \sum_i P(F|E_i \cap G) \cdot P(E_i | G)`}

- - + +

Tramite la formula di Bayes possiamo risalire alla probabilità di un evento condizionato a un altro partendo dalla probabilità di quest'ultimo condizionato al @@ -451,10 +451,10 @@ export default function Statistica() { In pratica, invertiamo gli eventi. - +

- +
"eventi indipendenti a due a due"
@@ -465,8 +465,8 @@ export default function Statistica() {

{r`P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \Longleftrightarrow P(E|F) = P(E) \Longleftrightarrow P(F|E) = P(F)`}

- - + +
"eventi indipendenti a tre a tre, a quattro a quattro, a cinque a cinque..."
@@ -480,8 +480,8 @@ export default function Statistica() { Eventi indipendenti a due a due non sono per forza indipendenti a tre a tre, e viceversa.

- - + +

Un insieme di n eventi è una famiglia di eventi indipendenti se, preso un qualsiasi numero di eventi da essa, essi risulteranno indipendenti. @@ -490,16 +490,16 @@ export default function Statistica() { Tutti gli eventi provenienti da essa saranno indipendenti sia a due a due, sia a tre a tre, sia a quattro a quattro, e così via! - +

- +

Una funzione che fa corrispondere un numero reale a ogni possibile esito dello spazio campionario. {r`X(\omega) : \Omega \to \mathbb{R}`}.

- - Insieme di ripartizione}> + + Insieme di ripartizione}>

Ad ogni variabile aleatoria sono associati gli eventi {r`A_t = \{ \omega | X(\omega) \leq t \}`}, che contengono tutti @@ -515,8 +515,8 @@ export default function Statistica() { All'aumentare di t, l'insieme conterrà sempre più elementi. - - + +

"supporto di X"
@@ -527,10 +527,10 @@ export default function Statistica() { Per indicare che un valore x_0 appartiene al supporto di X, si usa la notazione X \mapsto x_0.

- +
- +

La funzione probabilità {r`p_X : X \to [0, 1]`} di una variabile aleatoria discreta X è la funzione che associa ad ogni esito la @@ -544,8 +544,8 @@ export default function Statistica() { \end{cases} `}

- - + +

La funzione densità {r`f_X : X \to [0, 1]`} di una variabile aleatoria continua X è l'equivalente continuo della funzione @@ -561,10 +561,10 @@ export default function Statistica() { Rappresenta "quanta" probabilità c'è in un'unità di x! - +

- +

Ogni variabile aleatoria ha una funzione di ripartizione {r`F_X : \mathbb{R} \to [0, 1]`} associata, che rappresenta la @@ -583,8 +583,8 @@ export default function Statistica() { \end{cases} `}

- - + +
  • È sempre monotona crescente (non strettamente).

    • @@ -594,8 +594,8 @@ export default function Statistica() { destra: {r`\forall x_0 \in \mathbb{R}, F_X (x_0) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t)`}
- - + +

Possiamo usare la funzione di ripartizione per calcolare la probabilità di un certo valore reale: @@ -603,33 +603,33 @@ export default function Statistica() {

{r`P([X = x_0]) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t) - \lim_{t \to x^-_0} F_X (t)`}

- +
- +

Nel discreto basta abbinare un nuovo valore a ogni valore della variabile originale.

- - + +

Nel continuo applichiamo la formula dell'integrazione per sostituzione:

{r`f_Y (y) = \int_{g(a)}^{g(b)} f_X ( g^{-1} (x) ) g^{-2} (x)`}

- - + +

Trasformare variabili aleatorie è molto utile nell'informatica per creare distribuzioni partendo da una funzione random() che restituisce numeri da 0 a 1 con una distribuzione lineare.

- +
- +

Ogni variabile aleatoria che ha una funzione di ripartizione e un supporto finito ha anche una media (o valore medio o atteso): @@ -649,15 +649,15 @@ export default function Statistica() {

{r`E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (x) \cdot x \cdot dx`}

- +
- +

Valore per cui la funzione probabilità o funzione densità è massima.

- - + +

Il quantile {r`x_{\alpha}`} di ordine {r`0 \leq \alpha \leq 1`} della variabile @@ -680,8 +680,8 @@ export default function Statistica() { I quantili di ordine {r`\frac{n}{100}`} sono detti n-esima percentile.

- - + +

È un valore che indica quanto la variabile aleatoria si discosta generalmente dalla media: @@ -689,10 +689,10 @@ export default function Statistica() {

{r`Var(X) = E( (X - E(X) )^2 ) = E ( X^2 ) - (E(X))^2`}

- +
- +

Data una variabile aleatoria non-negativa:

@@ -706,8 +706,8 @@ export default function Statistica() {

{r`E(X) = \overline{k} \cdot P(X < k) + k \cdot P(X \geq k)`}

- - + +
"disuguaglianza di cebicev"
@@ -729,10 +729,10 @@ export default function Statistica() { Serve per semplificare i calcoli quando la funzione di ripartizione è difficile da calcolare! - +
- +

Il momento k-esimo di una variabile aleatoria è:

@@ -748,8 +748,8 @@ export default function Statistica() { La media di una variabile aleatoria è anche il suo primo momento. - - + +

La funzione generatrice dei momenti è:

@@ -763,8 +763,8 @@ export default function Statistica() {

E' la trasformata di Laplace della variabile aleatoria di X.

- - + +

La funzione caratteristica è:

@@ -778,32 +778,32 @@ export default function Statistica() {

E' la trasformata di Fourier della variabile aleatoria di X.

- +
- +

Per dire che una variabile ha una certa distribuzione, si usa la notazione:

{r`X \sim Distribuzione()`}

- - + +

Una prova con solo due possibili esiti: successo e insuccesso.

- - + +

Una sequenza di prove di Bernoulli per le quali le probabilità di successo e fallimento rimangono invariate.

- +
- +

Una variabile aleatoria che rappresenta una prova di Bernoulli:

@@ -814,8 +814,8 @@ export default function Statistica() {

Il suo simbolo è {r`Ber(p)`}

- - + +

La distribuzione bernoulliana ha come densità:

@@ -828,10 +828,10 @@ export default function Statistica() { \end{cases} = p^x \cdot q^{1 - k}` }

- +
- +

Una variabile aleatoria che conta il numero di successi di n prove di uno schema di Bernoulli. @@ -839,16 +839,16 @@ export default function Statistica() {

Il suo simbolo è {r`Bin(n, p)`}.

- - + +

La binomiale ha come densità:

{r`f_X (k) : \{0..n\} = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n - k}`}

- - + +

La funzione generatrice dei momenti della binomiale è:

@@ -867,10 +867,10 @@ export default function Statistica() {

{r`Var(X) = n \cdot p \cdot q`}

- +
- +

Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli fino alla comparsa del primo successo. @@ -878,16 +878,16 @@ export default function Statistica() {

Il suo simbolo è Geo(p).

- - + +

La geometrica ha come densità:

{r`f_X (k) : \mathbb{N} = q^{k - 1} p`}

- - + +

La funzione generatrice dei momenti della geometrica è:

@@ -906,8 +906,8 @@ export default function Statistica() {

{r`Var(X) = \frac{q}{p^2}`}

- - + +

La geometrica non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria: @@ -919,10 +919,10 @@ export default function Statistica() { Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X. - +

- +

Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli necessarie perchè si verifichi l'n-esimo successo. @@ -930,16 +930,16 @@ export default function Statistica() {

Il suo simbolo è {r`\overline{Bin}(n, p)`}.

- - + +

La binomiale negativa ha come densità:

{r`f_X (k) : \{ n .. +\infty \} \in \mathbb{N} = \binom{k - 1}{n - 1} \cdot p^n \cdot q^{k - n} `}

- - + +

La funzione generatrice dei momenti della binomiale negativa è: @@ -960,10 +960,10 @@ export default function Statistica() { {r`Var(X) = \frac{n \cdot q}{p^2}`}

- +
- +

Una variabile aleatoria che conta il numero k di insuccessi consecutivi in uno schema di Bernoulli: @@ -971,16 +971,16 @@ export default function Statistica() {

Il suo simbolo rimane {r`Geo(p)`}.

- - + +

La geometrica traslata ha come densità:

{r`f_X (k) : \mathbb{N} = p \cdot q^k `}

- - + +

La funzione generatrice dei momenti della geometrica traslata è:

@@ -999,8 +999,8 @@ export default function Statistica() {

{r`Var(X) = \frac{q}{p^2}`}

- - + +

La geometrica traslata non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria: @@ -1012,10 +1012,10 @@ export default function Statistica() { Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X. - +

- +

Una variabile aleatoria che conta il numero di insuccessi in uno schema di Bernoulli prima che si verifichi l'n-esimo successo. @@ -1023,16 +1023,16 @@ export default function Statistica() {

Il suo simbolo rimane {r`\overline{Bin}(n, p)`}.

- - + +

La binomiale negativa traslata ha come densità:

{r`f_X (k) : \mathbb{N} = \binom{k + n - 1}{n - 1} \cdot p^n \cdot q^k `}

- - + +

La funzione generatrice dei momenti della binomiale negativa traslata è: @@ -1053,10 +1053,10 @@ export default function Statistica() { {r`Var(X) = \frac{n \cdot q}{p^2}`}

- +
- +

Una variabile aleatoria che, sapendo il numero di successi K e di insuccessi N-K, conta quanti successi si otterrebbero se se ne @@ -1065,16 +1065,16 @@ export default function Statistica() {

Il suo simbolo è Ipe(N, K, n).

- - + +

La ipergeometrica ha come densità:

{r`f_X (k) : \{0..n\} \in \mathbb{N} = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}`}

- - + +

La funzione generatrice dei momenti della ipergeometrica è trascurabile. @@ -1092,10 +1092,10 @@ export default function Statistica() { {r`Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N - K}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1}`}

- +
- +

Una variabile aleatoria che soddisfa tutte le seguenti caratteristiche:

@@ -1108,16 +1108,16 @@ export default function Statistica() {

Il suo simbolo è {r`Poi(\mu)`}

- - + +

La poissoniana ha come densità:

{r`f_X (k) : \mathbb{N} = \frac{e^{-\mu} \cdot \mu^k}{k!}`}

- - + +

La funzione generatrice dei momenti della poissoniana è: @@ -1144,10 +1144,10 @@ export default function Statistica() {

  • {r`E(X^2) = \mu^2 + \mu`}

    • -     +
    - +

    Una successione di arrivi avvenuti in un certo arco temporale che:

    @@ -1156,8 +1156,8 @@ export default function Statistica() {
  • hanno intensità {r`\lambda`} costante.
  • avvengono indipendentemente gli uni dagli altri.
    • -     - + +

    Una variabile aleatoria N_t che conta il numero di arrivi di uno schema di Poisson di intensità {r`\lambda`} in un intervallo di tempo di @@ -1171,10 +1171,10 @@ export default function Statistica() { E' paragonabile a una bernoulliana: ogni successo corrisponde a un arrivo, mentre il tempo è il numero di prove effettuate (ma nel continuo). - +

    - +

    Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima del primo arrivo di un processo di Poisson di intensità {r`\lambda`}. @@ -1182,8 +1182,8 @@ export default function Statistica() {

    Il suo simbolo è {r`Esp(\lambda)`}.

    -     - + +

    L'esponenziale ha come densità:

    @@ -1206,8 +1206,8 @@ export default function Statistica() { \end{cases}` }

    -     - + +

    La funzione generatrice dei momenti dell'esponenziale è:

    @@ -1226,8 +1226,8 @@ export default function Statistica() {

    {r`Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}`}

    -     - + +

    L'esponenziale non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria: @@ -1239,10 +1239,10 @@ export default function Statistica() { Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X. - +

    - +

    Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima dell'n-esimo arrivo di un processo di Poisson di intensità {r`\lambda`}. @@ -1250,8 +1250,8 @@ export default function Statistica() {

    Il suo simbolo è {r`\Gamma(n, \lambda)`}.

    -     - + +

    La legge gamma ha come densità:

    @@ -1263,8 +1263,8 @@ export default function Statistica() { \end{cases}` }

    -     - + +

    La funzione generatrice dei momenti della legge gamma è: @@ -1285,10 +1285,10 @@ export default function Statistica() { {r`Var(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}`}

    -     +
    - +

    Una variabile aleatoria che può assumere qualsiasi valore in un intervallo {r`[a, b]`} in modo equiprobabile. @@ -1302,8 +1302,8 @@ export default function Statistica() {

    {r`P(X \in (c, d)) = \frac{d - c}{b - a}`}

    -     - + +

    La distribuzione uniforme ha come densità:

    @@ -1327,8 +1327,8 @@ export default function Statistica() { \end{cases}` }

    -     - + +

    La funzione generatrice dei momenti della distribuzione uniforme è: @@ -1349,10 +1349,10 @@ export default function Statistica() { {r`Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}`}

    -     +
    - +

    Una variabile aleatoria con una specifica distribuzione.

    @@ -1363,16 +1363,16 @@ export default function Statistica() { \mu e \sigma^2 sono rispettivamente la media e la varianza della distribuzione! -     - + +

    La distribuzione normale ha come densità:

    {r`f_X (x) = \frac{e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}}{\sqrt{2 \pi \cdot \sigma^2}}`}

    -     - + +

    La funzione generatrice dei momenti della distribuzione normale è: @@ -1393,18 +1393,18 @@ export default function Statistica() { {r`Var(X) = \sigma^2`}

    -     +
    - +

    Qualsiasi normale può essere trasformata in qualsiasi altra normale:

    {r`X \sim Nor(m, v^2) \implies \alpha X + \beta \sim Nor(\alpha m + \beta, (\alpha v)^2)`}

    -     - + +

    La distribuzione normale standard Z è:

    @@ -1417,8 +1417,8 @@ export default function Statistica() {

    {r`F_Z(z) = \phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac{x^2}{2}} dx`}

    -     - + +

    Da un quantile {r`z_\alpha`} della normale standard è possibile risalire allo stesso quantile di qualsiasi altra normale: @@ -1426,18 +1426,18 @@ export default function Statistica() {

    {r`x_\alpha = \mu + z_\alpha \cdot \sqrt{\sigma^2}`}

    -     +
    - +

    La distribuzione normale ha una particolare relazione con la distribuzione Gamma:

    {r`Z^2 \sim \chi^2 (v = 1)`}

    -     - + +
    "chi-quadro a un grado di libertà"
    @@ -1453,18 +1453,18 @@ export default function Statistica() {

    {r`\chi^2 (n) + \chi^2 (m) = \chi^2 (n + m)`}

    -     - + +

    Un'altra funzione particolare è la funzione T di Student:

    {r`T(v) = \frac{Nor(0, 1)}{\sqrt{\frac{\chi^2(v)}{v}}}`}

    -     +
    - +

    La binomiale è come una ipergeometrica ma con ripetizioni, quindi per valori molto grandi di N rispetto a n, si può dire che: @@ -1472,8 +1472,8 @@ export default function Statistica() {

    {r`Ipe(N, K, n) \approx Bin(n, \frac{K}{N})`}

    -     - + +

    La binomiale non è altro che una poissoniana a tempo discreto, quindi, se n è grande e n \cdot p è nell'ordine di grandezza delle @@ -1482,8 +1482,8 @@ export default function Statistica() {

    {r`Bin(n, p) \approx Poi(n \cdot p)`}

    -     - + +

    Per il Teorema di De Moivre-Laplace, se una binomiale ha una n grande e p non vicina a 0 o 1, si può approssimare con: @@ -1491,8 +1491,8 @@ export default function Statistica() {

    {r`Bin(n, p) \approx Nor(n \cdot p, n \cdot p \cdot q)`}

    -     - + +

    Passando da una variabile discreta X a una continua Y, per ogni valore discreto k la probabilità viene "spalmata" su tutto @@ -1504,10 +1504,10 @@ export default function Statistica() {

  • {r`P(X \geq k) \simeq P(Y \geq k - \frac{1}{2})`}
  • {r`P(X > k) \simeq P(Y \geq k + \frac{1}{2})`}
    • -     +
    - +

    Un vettore composto da variabili aleatorie.

    @@ -1515,8 +1515,8 @@ export default function Statistica() { Il suo simbolo generalmente è {r`\boldsymbol{X}`} oppure {r`X, Y`}.

    -     - + +

    I vettori aleatori hanno più funzioni di ripartizione che si differenziano in base al numero di parametri. @@ -1535,8 +1535,8 @@ export default function Statistica() {

    {r`F_X (x) = P(X \leq x) = \lim_{y \to +\infty} F_{X, Y} (x, y)`}

    -     - + +

    I vettori aleatori discreti hanno più densità che si differenziano in base al numero di parametri. @@ -1555,10 +1555,10 @@ export default function Statistica() {

    {r`p_X (x) = \sum_j p_{X, Y} (x_i, y_j)`}

    -     +
    - +

    Più variabili aleatorie sono indipendenti se, per qualsiasi scelta di intervalli A_i: @@ -1566,8 +1566,8 @@ export default function Statistica() {

    {r`P(X_1 \in A_1, \dots, X_n \in A_n) = P(X_1 \in A_1) \times \dots \times P(X_n \in A_n)`}

    -     - + +

    E' possibile calcolare la media di qualsiasi funzione g(X, Y) avente elementi del vettore come variabili: @@ -1584,10 +1584,10 @@ export default function Statistica() {

    {r`E(X + Y) = E(X) + E(Y)`}

    -     +
    - +

    Un operatore che misura la correlazione di due variabili aleatorie.

    @@ -1609,8 +1609,8 @@ export default function Statistica() {
  • E' distributiva: {r`Cov(X + Y, V + W) = Cov(X, Y) + Cov(X, W) + Cov(Y, V) + Cov(Y, W)`}
    • -     - + +

    Due variabili sono variabili incorrelate se:

    @@ -1620,8 +1620,8 @@ export default function Statistica() {

    Variabili indipendenti sono sempre incorrelate.

    -     - + +

    Una matrice {r`\boldsymbol{C_X}`} che contiene la covarianza tra tutte le variabili di un vettore aleatorio {r`\boldsymbol{X}`}: @@ -1640,8 +1640,8 @@ export default function Statistica() { E' sempre simmetrica e semidefinita positiva (tutti gli autovalori sono \geq 0.

    -     - + +

    Un valore che misura come due variabili aleatorie sono correlate:

    @@ -1660,8 +1660,8 @@ export default function Statistica() {

    {r`Y = a X + b \Longleftrightarrow | \rho_{X, Y} | = 1`}

    -     - + +

    La varianza di due variabili aleatorie sommate è:

    @@ -1679,10 +1679,10 @@ export default function Statistica() {

    {r`Var \left( \sum_i X_i \right) = \sum_i Var(X_i)`}

    -     +
    - +

    Una n-pla di variabili aleatorie con la stessa distribuzione della variabile aleatoria X ("popolazione") ma indipendenti tra loro. @@ -1691,8 +1691,8 @@ export default function Statistica() { Le variabili aleatorie sono come un lazy-load in programmazione; quando ci sarà bisogno del loro valore numerico, esse si realizzeranno nel loro valore. - - + +

    Il valore dato dalla media aritmetica degli n elementi del campione elevati alla potenza k: @@ -1704,8 +1704,8 @@ export default function Statistica() { Il momento campionario di primo ordine è la media campionaria {r`\overline{X}_n`}.

    -     - + +

    La media aritmetica dello scarto quadratico medio degli elementi del campione.

    @@ -1721,10 +1721,10 @@ export default function Statistica() {

    {r`S_n^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot ( n \cdot M_2^{(2)} - n \cdot \overline{X}_n^2)`}

    -     +
    - +

    Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che:

    @@ -1734,8 +1734,8 @@ export default function Statistica() { Quindi, è possibile usare i campioni per trovare la media di una variabile aleatoria! -     - + +

    Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che:

    @@ -1745,8 +1745,8 @@ export default function Statistica() { Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni! -     - + +

    Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che:

    @@ -1756,24 +1756,24 @@ export default function Statistica() { Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni! -     +
    - +

    Se la popolazione X ha una distribuzione normale ({r`X \sim Nor(\mu, \sigma^2)`})...

    -     - + +

    ...allora sappiamo anche la distribuzione della media campionaria!

    {r`\overline{X}_n \sim Nor \left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)`}

    -     - + +

    ...e anche della varianza campionaria!

    @@ -1783,15 +1783,15 @@ export default function Statistica() {

    {r`S_n^2 \sim \frac{\sigma^2}{n - 1} \cdot \chi^2 (n-1)`}

    -     - + +

    ...e che media campionaria e varianza campionaria sono indipendenti tra loro!

    -     +
    - +

    Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la stessa funzione di ripartizione della popolazione X, allora essa converge @@ -1800,8 +1800,8 @@ export default function Statistica() {

    {`\\lim_{n \\to +\\infty} F_{X_n} (x) = F_X (x) \\implies X_n \\xrightarrow{d} X`}

    -     - + +

    Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la stessa probabilità della popolazione X, allora essa converge in @@ -1810,8 +1810,8 @@ export default function Statistica() {

    {`\\forall \\epsilon > 0, \\lim_{n \\to +\\infty} P( | X_n - X | < \\epsilon) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{p} X`}

    -     - + +

    Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la stessa probabilità a della popolazione X, allora essa converge quasi @@ -1820,8 +1820,8 @@ export default function Statistica() {

    {`\\forall \\epsilon > 0, P \left( \\lim_{n \\to +\\infty} | X_n - X | < \\epsilon) \right) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{qc} X`}

    -     - + +

    Se la successione di variabili aleatorie X_n all'infinito ha la media del quadrato della distanza tra la successione e la popolazione X uguale @@ -1830,8 +1830,8 @@ export default function Statistica() {

    {`\\lim_{n \\to +\\infty} E( | X_n - X |^2 = 0 \\implies X_n \\xrightarrow{mq} X`}

    -     - + +

    {` \\begin{matrix} @@ -1846,10 +1846,10 @@ export default function Statistica() {

    {`X_n \\xrightarrow{p} x \\Longleftrightarrow X_n \\xrightarrow{d} x`}

    -     +
    - +

    La successione delle medie campionarie {r`\overline{X}_n`} converge in probabilità alla media della popolazione {r`E(X)`}, se essa esiste. @@ -1866,8 +1866,8 @@ export default function Statistica() {

    {r`P( | \overline{X}_n - E(X) | < \epsilon) \to 1`}

    -     - + +

    La successione delle medie campionarie {r`\overline{X}_n`} converge quasi certamente alla media della popolazione {r`E(X)`}, se essa @@ -1885,10 +1885,10 @@ export default function Statistica() { Dimostra che l'interpretazione frequentista della probabilità è valida! - +

    - +

    La successione delle medie campionarie {r`\overline{X}_n`} converge in distribuzione a {r`Nor(0, 1) = \Phi()`}. @@ -1902,57 +1902,57 @@ export default function Statistica() {

    {r`\forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n \to +\infty} P \left( \frac{\overline{X}_n - E(X)}{\sqrt{\frac{Var(X)}{n}}} \leq x \right) = \Phi(x)`}

    -     +
    - +

    E' una somma di bernoulliane, e quindi si approssima a una normale:

    {r`Bin(n, p) \approx Nor(n \cdot p, n \cdot p \cdot q)`}

    -     - + +

    E' una somma di geometriche, e quindi si approssima a una normale:

    {r`\overline{Bin} (n, p) \approx Nor \left( \frac{n}{p}, \frac{n \cdot (1 - p)}{p^2} \right)`}

    -     - + +

    E' una somma di altre poissoniane, e quindi si approssima a una normale:

    {r`Poi(\lambda) \approx Nor(\lambda, \lambda)`}

    -     - + +

    E' una somma di esponenziali, e quindi si approssima a una normale:

    {r`\Gamma (\alpha, \lambda) \approx Nor \left( \frac{\alpha}{\lambda}, \frac{\alpha}{\lambda^2} \right)`}

    -     - + +

    Se n è grande, allora:

    {r`Y = \sum_{i=1}^{n} X_i`}

    -     +
    - +

    Per indicare parametri sconosciuti di una legge si usa \theta.

    -     - + +

    Una variabile aleatoria funzione di un campione:

    @@ -1963,16 +1963,16 @@ export default function Statistica() { Ad esempio, sono statistiche media e varianza campionaria, così come il campione stesso {r`T(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X}`}. -     +
    - +

    Una statistica T_n ottenuta da n osservazioni, che stimi i parametri di una legge e sia indipendente da essi.

    -     - + +

    Uno stimatore è corretto se il suo valore atteso coincide con quello dei parametri che stima: @@ -1980,8 +1980,8 @@ export default function Statistica() {

    {r`E(T_n) = \theta`}

    -     - + +

    Uno stimatore è asintoticamente corretto se, per infinite osservazioni, il suo valore atteso coincide con quello dei parametri che stima: @@ -1989,34 +1989,34 @@ export default function Statistica() {

    {r`\lim_{n \to +\infty} E(T_n) = \theta`}

    -     - + +

    Uno stimatore è consistente in media quadratica se:

    {r`\lim_{n \to +\infty} E((T_n - \theta)^2) = 0`}

    -     - + +

    Uno stimatore è consistente in probabilità se:

    {r`\forall \epsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P( |T_n - \theta| < \epsilon) = 1`}

    -     - + +

    Uno stimatore è asintoticamente normale se:

    {r`\lim_{n \to +\infty} \frac{T_n - E(T_n)}{\sqrt{Var(T_n)}} \sim Nor(0, 1)`}

    -     +
    - +

    Si può usare il metodo dei momenti per ottenere uno stimatore di una popolazione X. @@ -2044,10 +2044,10 @@ export default function Statistica() { si possono usare i momenti successivi {r`M_n^2`}, {r`M_n^3`}, {r`M_n^3`}...

    -     +
    - +

    Si può usare il metodo della massima verosomiglianza per ottenere uno stimatore di una popolazione X. @@ -2068,8 +2068,8 @@ export default function Statistica() { Gli stimatori di massima verosomiglianza sono asintoticamente corretti, consistenti in probabilità e asintoticamente normali.

    -     - + +

    Gli stimatori di massima verosomiglianza godono delle seguenti proprietà:

    @@ -2080,34 +2080,34 @@ export default function Statistica() {
  • Sono invarianti: {r`\widehat{g(\theta)}_L = g(\widehat{\theta}_L)`}
    • -     +
    - +

    Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:

    {r`\widehat{p}_M = \widehat{p}_L = \overline{X}_n`}

    -     - + +

    Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:

    {r`\widehat{\mu}_M = \widehat{\mu}_L = \overline{X}_n`}

    -     - + +

    Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:

    {r`\widehat{\lambda}_M = \widehat{\lambda}_L = \frac{1}{\overline{X}_n}`}

    -     - + +

    Per il metodo della massima verosomiglianza:

    @@ -2117,10 +2117,10 @@ export default function Statistica() {
  • {r`\widehat{\sigma^2}_L = \frac{\sum (X_i - \overline{X}_n)^2 }{n}`}
    • -     +
    - +
    "intervallo di confidenza al 95%"
    @@ -2139,10 +2139,10 @@ export default function Statistica() { Può anche essere unilatero nel caso limiti la stima in una sola direzione, positiva o negativa.

    -     +
    - +

    Se conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli intervalli di confidenza all'\alpha% con queste formule: @@ -2158,8 +2158,8 @@ export default function Statistica() { destra: {r`\mu \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}, +\infty \right)`} - - + +

    Se non conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli intervalli di confidenza all'\alpha% con queste formule: @@ -2179,10 +2179,10 @@ export default function Statistica() { {r`t_{\alpha, v}`} è un quantile della distribuzione di Student di parametro v.

    -     +
    - +

    L'intervallo di confidenza per la proprorzione di una bernoulliana qualsiasi si ottiene da questa formula: @@ -2190,10 +2190,10 @@ export default function Statistica() {

    {r`p \in \left[ \overline{p} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{p} \cdot (1 - \overline{p})}{n+4}}, \overline{p} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{p} \cdot (1 - \overline{p})}{n+4}} \right]`}

    -     +
    - +

    L'intervallo di confidenza per la media di una qualsiasi popolazione si ottiene da questa formula: @@ -2201,7 +2201,7 @@ export default function Statistica() {

    {r`m \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^2_n}{n}}, \overline{x}_n + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^2_n}{n}} \right]`}

    -     +
    )