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\\cdot \\vec{A} = E_\\perp \\cdot A \\cdot \\cos(\\alpha)"]),On=V(["Phi_E = 4 pi cdot k cdot q = \frac{q}{epsilon_0}"],["\\Phi_E = 4 \\pi \\cdot k \\cdot q = \\frac{q}{\\epsilon_0}"]),_n=V(["U_e"],["U_e"]),gn=V(["V = \frac{U_e}{q}"],["V = \\frac{U_e}{q}"]),vn=V(["V"],["V"]),wn=V(["I = \frac{Delta q}{Delta t}"],["I = \\frac{\\Delta q}{\\Delta t}"]),zn=V(["A"],["A"]),yn=V(["P = \frac{Delta U_e}{Delta t} = I cdot Delta V = I^2 cdot R = \frac{(Delta V)^2}{R}"],["P = \\frac{\\Delta U_e}{\\Delta t} = I \\cdot \\Delta V = I^2 \\cdot R = \\frac{(\\Delta V)^2}{R}"]),kn=V(["V = R cdot I"],["V = R \\cdot I"]),Pn=V(["R"],["R"]),En=V(["Omega"],["\\Omega"]),Xn=V(["R = \rho \frac{L_{unghezza}}{A_{rea}}"],["R = \\rho \\frac{L_{unghezza}}{A_{rea}}"]),xn=V(["\rho"],["\\rho"]),qn=V(["\rho = \rho_0 (1 + alpha(T - T_0))"],["\\rho = \\rho_0 (1 + \\alpha(T - T_0))"]),Cn=V(["C = \frac{q_{massima}}{Delta V}"],["C = \\frac{q_{massima}}{\\Delta V}"]),Sn=V(["C_{nuova} = kappa cdot \frac{epsilon_0 cdot 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\\cdot \\cos(\\alpha)"]),aa=V(["Delta V_{indotta} = - \frac{Delta Phi_B}{Delta t}"],["\\Delta V_{indotta} = - \\frac{\\Delta \\Phi_B}{\\Delta t}"]),ia=V(["Delta V_{indotta} = - \frac{N cdot Delta Phi_{B_{spira}}}{Delta t} = - \frac{N cdot B cdot A cdot cos(alpha)}{Delta t}"],["\\Delta V_{indotta} = - \\frac{N \\cdot \\Delta \\Phi_{B_{spira}}}{\\Delta t} = - \\frac{N \\cdot B \\cdot A \\cdot cos(\\alpha)}{\\Delta t}"]),la=V(["N"],["N"]),oa=V(["E"],["E"]),ra=V(["E = c cdot B"],["E = c \\cdot B"]),ca=V(["c"],["c"]),sa=V(["c = \frac{1}{sqrt{epsilon_0 cdot mu_0}} = 3.00 cdot 10^8 \frac{m}{s}"],["c = \\frac{1}{\\sqrt{\\epsilon_0 \\cdot \\mu_0}} = 3.00 \\cdot 10^8 \\frac{m}{s}"]),ua=V(["A(t) = A_{max} cdot sin left ( \frac{2 pi}{lambda} - omega t + phi \right )"],["A(t) = A_{max} \\cdot \\sin \\left ( \\frac{2 \\pi}{\\lambda} - \\omega t + \\phi \\right )"]),ha=V(["A_{max}"],["A_{max}"]),pa=V(["\frac{2 pi}{lambda} = left | \vec{k} \right |"],["\\frac{2 \\pi}{\\lambda} = \\left | \\vec{k} \\right |"]),ba=V(["omega"],["\\omega"]),da=V(["\frac{1}{lambda} = R left ( \frac{1}{4} - \frac{1}{n^2} \right )"],["\\frac{1}{\\lambda} = R \\left ( \\frac{1}{4} - \\frac{1}{n^2} \\right )"]),ma=V(["R = 1.097 cdot 10^7 \frac{1}{m}"],["R = 1.097 \\cdot 10^7 \\frac{1}{m}"]),fa=V(["n"],["n"]),ja=V(["h"],["h"]),Oa=V(["hbar = left ( \frac{h}{2 pi} \right )"],["\\hbar = \\left ( \\frac{h}{2 \\pi} \\right )"]),_a=V(["m cdot v_n cdot 2 pi cdot r = n cdot h"],["m \\cdot v_n \\cdot 2 \\pi \\cdot r = n \\cdot h"]),ga=V(["r_n = n^2 cdot a_0 = n^2 cdot \frac{hbar}{m_{elettrone} cdot k cdot e^2} "],["r_n = n^2 \\cdot a_0 = n^2 \\cdot \\frac{\\hbar}{m_{elettrone} \\cdot k \\cdot e^2} "]),va=V(["a_0 = left ( \frac{h}{2 pi} \right )^2 cdot \frac{1}{m_{elettrone} cdot k cdot e^2} = 5.29 cdot 10^{-11} m"],["a_0 = \\left ( \\frac{h}{2 \\pi} \\right )^2 \\cdot \\frac{1}{m_{elettrone} \\cdot k \\cdot e^2} = 5.29 \\cdot 10^{-11} m"]),wa=V(["E_n = \frac{1}{n^2} cdot E_1 = - \frac{1}{n^2} cdot \frac{a_0^2}{2 cdot m cdot hbar^4} = - \frac{1}{n^2} cdot \frac{m_{elettrone} cdot k^2 cdot e^4}{2 cdot hbar^2}"],["E_n = \\frac{1}{n^2} \\cdot E_1 = - \\frac{1}{n^2} \\cdot \\frac{a_0^2}{2 \\cdot m \\cdot \\hbar^4} = - \\frac{1}{n^2} \\cdot \\frac{m_{elettrone} \\cdot k^2 \\cdot e^4}{2 \\cdot \\hbar^2}"]),za=V(["10^1 eV"],["10^1 eV"]),ya=V(["1 eV"],["1 eV"]),ka=V(["lambda"],["\\lambda"]),Pa=V(["lambda_{max} cdot T"],["\\lambda_{max} \\cdot T"]),Ea=V(["E_{fotone} = h cdot f"],["E_{fotone} = h \\cdot f"]),Xa=String.raw,xa=Object(Pe.h)("h1",null,"Fisica"),qa=Object(Pe.h)("p",null,"Usa le regole base della trigonometria:"),Ca=Object(Pe.h)("p",null,"Scomponi in componenti, poi sommali:"),Sa=Object(Pe.h)("p",null,"Produce il vettore risultante dall'applicazione della regola del parallelogramma."),La=Object(Pe.h)("p",null,"Alla fine è sempre una somma:"),Aa=Object(Pe.h)("p",null,"Produce il vettore che parte da ",Object(Pe.h)(nt,null,"w")," e arriva a ",Object(Pe.h)(nt,null,"v"),"."),Ma=Object(Pe.h)("p",null,"Si chiama scalare perchè il risultato è uno scalare, non un vettore."),Fa=Object(Pe.h)("p",null,"Si chiama vettoriale perchè il risultato è un altro vettore."),Ta=Object(Pe.h)("li",null,Object(Pe.h)("a",{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Regola_della_mano_destra"},"Regola della mano destra")),Ia=Object(Pe.h)("p",null,"Non è commutativo!"),Da=Object(Pe.h)("p",null,"Se un corpo puntiforme ha forza risultante nulla, allora la sua velocità non cambia."),Na=Object(Pe.h)("p",null,"La forza risultante di un corpo è direttamente proporzionale alla sua accelerazione, e la costante di proporzionalità è la ",Object(Pe.h)("i",null,"massa"),"."),Ba=Object(Pe.h)("p",null,"Due corpi esercitano forze uguali e opposte uno sull'altro."),Va=Object(Pe.h)("p",null,"Due corpi puntiformi si attirano uno verso l'altro con forza:"),Ra=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"G")," è la ",Object(Pe.h)("i",null,"costante di gravitazione universale")," e vale:"),Ua=Object(Pe.h)("p",null,"Se nel sistema di riferimento consideriamo la Terra ferma, allora un corpo è attratto verso la Terra con forza ",Object(Pe.h)("i",null,"peso")," uguale a:"),Ya=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"g")," è la ",Object(Pe.h)("i",null,"costante di gravità")," della Terra, e vale:"),Ha=Object(Pe.h)("p",null,"Per pianeti diversi dalla Terra vale la stessa regola:"),Ga=Object(Pe.h)("p",null,"L'unica differenza è che cambia la ",Object(Pe.h)("i",null,"costante di gravità"),":"),Wa=Object(Pe.h)(Be,{title:"Normale"},Object(Pe.h)("p",null,"Si oppone alle forze applicate alla superficie di contatto."),Object(Pe.h)("p",null,"Un libro appoggiato su un tavolo ha la ",Object(Pe.h)("b",null,"forza di gravità")," che lo attira verso il terreno e la ",Object(Pe.h)("b",null,"forza normale")," che lo trattiene dal cadere.")),$a=Object(Pe.h)("p",null,"Impedisce a un corpo di muoversi se non viene spinto da una forza che supera una certa soglia:"),Ka=Object(Pe.h)("p",null,"Rallenta i corpi che si stanno muovendo finchè essi non si fermano:"),Za=Object(Pe.h)(Be,{title:"Tensione"},Object(Pe.h)("p",null,"E' forza trasmessa tra due estremi di una fune."),Object(Pe.h)("p",null,"Può essere redirezionata per mezzo di carrucole.")),Qa=Object(Pe.h)("p",null,"Una molla cerca sempre di tornare alla sua posizione indeformata con forza:"),Ja=Object(Pe.h)("p",null,"(E' negativa perchè la forza è opposta a quella applicata per deformarla.)"),ei=Object(Pe.h)("p",null,"È un vettore che indica la posizione di un corpo rispetto a un'origine."),ti=Object(Pe.h)("p",null,"È un vettore che misura la variazione di posizione nel tempo."),ni=Object(Pe.h)("p",null,"Se si considera un intervallo di tempo infinitesimale si dice ",Object(Pe.h)("i",null,"velocità istantanea"),":"),ai=Object(Pe.h)("p",null,"È un vettore che misura la variazione di velocità nel tempo."),ii=Object(Pe.h)("p",null,"Se si considera un intervallo di tempo infinitesimale si dice ",Object(Pe.h)("i",null,"accelerazione istantanea"),":"),li=Object(Pe.h)("span",null,"Quantità di moto ",Object(Pe.h)("small",null,"(momento lineare)")),oi=Object(Pe.h)("p",null,"La quantità di moto è una proprietà vettoriale dei corpi:"),ri=Object(Pe.h)("p",null,"Se la forza risultante è nulla, la quantità di moto non cambia."),ci=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("i",null,"legge oraria")," è:"),si=Object(Pe.h)("p",null,"È costante:"),ui=Object(Pe.h)("p",null,"La velocità non varia:"),hi=Object(Pe.h)(Be,{title:"Forze"},Object(Pe.h)("p",null,"Si applica la prima legge di Newton:"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"f(t) = 0"))),pi=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("i",null,"legge oraria")," è:"),bi=Object(Pe.h)("p",null,"È una retta:"),di=Object(Pe.h)("p",null,"È costante:"),mi=Object(Pe.h)(Be,{title:"Forze"},Object(Pe.h)("p",null,"Si applica la prima legge di Newton:"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"f(t) = m a"))),fi=Object(Pe.h)(Be,{title:"Ampiezza"},Object(Pe.h)("p",null,"E' la distanza dal centro massima che raggiunge il corpo."),Object(Pe.h)("p",null,"(L'ampiezza di una sinusoide.)")),ji=Object(Pe.h)("p",null,"Indica quanto in fretta cambia la posizione del corpo."),Oi=Object(Pe.h)("p",null,"Dipende dal periodo:"),_i=Object(Pe.h)("p",null,"E' una sinusoide:"),gi=Object(Pe.h)(Be,{title:"Forze"},Object(Pe.h)("p",null,"Si applica la prima legge di Newton:"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"f(t) = m a"))),vi=Object(Pe.h)(Be,{title:"Moto parabolico"},Object(Pe.h)("p",null,"Il moto parabolico è dato sommando un moto rettilineo uniforme sull'asse orizzontale e un moto rettilineo uniformemente accelerato sull'asse verticale.")),wi=Object(Pe.h)("h3",null,"Velocità angolare"),zi=Object(Pe.h)("p",null,"Quanto cambia la fase nel tempo."),yi=Object(Pe.h)("p",null,"E' l'angolo percorso dal corpo rispetto alla posizione iniziale."),ki=Object(Pe.h)("p",null,"Si applicano le formule per la circonferenza:"),Pi=Object(Pe.h)("p",null,"Il corpo ha sempre un accelerazione verso il centro che gli impedisce di abbandonare il moto:"),Ei=Object(Pe.h)("p",null,"È verso il centro e si calcola con:"),Xi=Object(Pe.h)("p",null,"E' compiuto da una forza che sposta un corpo."),xi=Object(Pe.h)("p",null,"(Se la forza non è parallela allo spostamento, il prodotto scalare ci fa considerare solo la componente parallela.)"),qi=Object(Pe.h)("p",null,"Un corpo ha energia cinetica in ogni momento uguale a:"),Ci=Object(Pe.h)("p",null,"Se una forza effettua lavoro su un corpo, cambia la sua energia cinetica pari al lavoro effettuato:"),Si=Object(Pe.h)("p",null,"Un corpo ha energia potenziale in ogni momento pari a:"),Li=Object(Pe.h)("p",null,"(Con ",Object(Pe.h)(nt,null,"h")," uguale a un altezza scelta come punto di riferimento.)"),Ai=Object(Pe.h)("p",null,"Una molla ha sempre energia potenziale elastica pari a:"),Mi=Object(Pe.h)("p",null,"Sono conservative le forze per le quali il lavoro compiuto non dipende dal percorso seguito per andare dalla partenza all'arrivo."),Fi=Object(Pe.h)("p",null,"Ad esempio, è conservativa la ",Object(Pe.h)("i",null,"forza di gravità"),", ma ",Object(Pe.h)("b",null,"non")," è conservativa la forza di attrito."),Ti=Object(Pe.h)("p",null,"Se in un sistema ci sono solo forze conservative, allora l'energia meccanica totale si conserva:"),Ii=Object(Pe.h)("p",null,"È la velocità di trasferimento di energia:"),Di=Object(Pe.h)("p",null,"È una proprietà dei corpi che può essere ",Object(Pe.h)(lt,null,"positiva")," o ",Object(Pe.h)(ct,null,"negativa"),"."),Ni=Object(Pe.h)("p",null,"Si conserva: in un sistema chiuso la carica totale è costante."),Bi=Object(Pe.h)("p",null,"Cariche ",Object(Pe.h)(lt,null,"opp"),Object(Pe.h)(ct,null,"oste")," si attraggono; cariche ",Object(Pe.h)(lt,null,"uguali")," si respingono."),Vi=Object(Pe.h)(Be,{title:"Conduttori e isolanti"},Object(Pe.h)("p",null,"Più ",Object(Pe.h)("a",{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Ione"},"ioni")," ha un corpo, meglio la carica si muove attraverso di esso."),Object(Pe.h)("p",null,"I corpi in cui la carica si muove bene sono ",Object(Pe.h)("i",null,"conduttori"),", mentre quelli in cui si muove difficilmente sono ",Object(Pe.h)("i",null,"isolanti"),"."),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)("i",null,"Il corpo umano è un buon conduttore."))),Ri=Object(Pe.h)(Ue,{title:"Polarizzazione"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Polarizzazione"},Object(Pe.h)("p",null,"E' possibile polarizzare un corpo per accumulare la carica di un segno in una certa zona."))),Ui=Object(Pe.h)(Ue,null,Object(Pe.h)(Be,{title:"Messa a terra"},Object(Pe.h)("p",null,"Se un corpo conduttore è in contatto con la Terra, le cariche su di esso saranno ",Object(Pe.h)("i",null,"equilibrate")," e il corpo diventerà elettricamente neutro (con stesso numero di ",Object(Pe.h)(lt,null,"cariche positive")," e ",Object(Pe.h)(ct,null,"negative")," all'interno)."))),Yi=Object(Pe.h)(Ue,null,Object(Pe.h)(Be,{title:"Polarizzazione per strofinio"},Object(Pe.h)("p",null,"Strofinando tra loro due corpi isolanti, essi si ",Object(Pe.h)("i",null,"polarizzeranno per strofinio"),".")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Polarizzazione per contatto"},Object(Pe.h)("p",null,"Toccando un conduttore con un corpo carico, il conduttore potrà ",Object(Pe.h)("i",null,"polarizzarsi per contatto"),".")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Polarizzazione per induzione"},Object(Pe.h)("p",null,'Se un corpo conduttore ha cariche "esterne" di un ',Object(Pe.h)(lt,null,"certo segno")," vicino, esso avrà tutte le cariche del ",Object(Pe.h)(ct,null,"segno opposto")," in equilibrio vicino alle cariche esterne, e tutte le cariche dello ",Object(Pe.h)(lt,null,"stesso segno")," più lontano possibile da esse."),Object(Pe.h)("p",null,"Mettendo a terra il conduttore, nuove cariche del ",Object(Pe.h)(ct,null,"segno opposto")," saranno attratte all'interno del corpo per equilibrare le cariche che si sono allontanate."),Object(Pe.h)("p",null,"Staccando il conduttore da terra e rimuovendo le cariche esterne, esso si ritroverà ",Object(Pe.h)(ct,null,"caricato del segno opposto")," rispetto alle cariche esterne."))),Hi=Object(Pe.h)("p",null,"Due corpi carichi si attraggono tra loro con forza:"),Gi=Object(Pe.h)("i",null,"costante di Coulomb"),Wi=Object(Pe.h)("i",null,"permeabilità del vuoto"),$i=Object(Pe.h)("p",null,"Misura che forza viene applicata in ogni punto su una carica unitaria:"),Ki=Object(Pe.h)("p",null,'È la differenza tra "quanto" campo elettrico ',Object(Pe.h)(lt,null,"entra")," e quanto campo elettrico ",Object(Pe.h)(ct,null,"esce")," da una certa area."),Zi=Object(Pe.h)("p",null,"In qualsiasi superficie chiusa, il flusso elettrico è uguale alla componente perpendicolare del campo elettrico moltiplicato per l'area."),Qi=Object(Pe.h)("p",null,"Se il campo elettrico è uniforme, se ne può calcolare facilmente il valore:"),Ji=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(Ge,null,"Circa. E' una specie di integrale...")),el=Object(Pe.h)("p",null,"Il flusso elettrico è direttamente proporzionale alla carica presente all'interno della superficie."),tl=Object(Pe.h)("p",null,"Ovvero, i campi elettrostatici sono generati dalle cariche elettriche."),nl=Object(Pe.h)("i",null,"energia potenziale elettrica"),al=Object(Pe.h)("span",null,"Potenziale elettrico ",Object(Pe.h)("small",null,"(tensione)")),il=Object(Pe.h)("p",null,"È il valore dell'energia potenziale elettrica per una carica unitaria."),ll=Object(Pe.h)("p",null,"In una batteria è detto ",Object(Pe.h)("i",null,"forza elettromotrice"),", e corrisponde al lavoro compiuto da una batteria ideale per spostare una carica unitaria tra i due poli."),ol=Object(Pe.h)("span",null,"Corrente elettrica ",Object(Pe.h)("small",null,"(intensità)")),rl=Object(Pe.h)("p",null,"Quanta carica passa attraverso un'area (perpendicolare al flusso) nel tempo."),cl=Object(Pe.h)("p",null,"Fintanto che c'è differenza di potenziale, ci sarà anche intensità non nulla."),sl=Object(Pe.h)(Be,{title:Object(Pe.h)("span",null,"Corrente continua ",Object(Pe.h)("small",null,"(",Object(Pe.h)("abbr",{title:"Direct Current"},"DC"),")"))},Object(Pe.h)("p",null,"Quando in un circuito la direzione della corrente è costante.")),ul=Object(Pe.h)(Be,{title:Object(Pe.h)("span",null,"Corrente alternata ",Object(Pe.h)("small",null,"(",Object(Pe.h)("abbr",{title:"Alternate Current"},"AC"),")"))},Object(Pe.h)("p",null,"Quando in un circuito la direzione della corrente si alterna periodicamente.")),hl=Object(Pe.h)("p",null,"Possiamo calcolare la potenza di un circuito:"),pl=Object(Pe.h)("p",null,"Riduce l'intensità di corrente, e converte parte del potenziale in calore."),bl=Object(Pe.h)("p",null,"Il potenziale utilizzato è pari a:"),dl=Object(Pe.h)("i",null,"resistenza"),ml=Object(Pe.h)("p",null,"La resistenza di un conduttore vale:"),fl=Object(Pe.h)("i",null,"resistività"),jl=Object(Pe.h)("p",null,"Immagazzina potenziale elettrico, permettendo di riutilizzarla in seguito."),Ol=Object(Pe.h)("p",null,"Per farlo, cattura cariche ",Object(Pe.h)(lt,null,"positive")," e ",Object(Pe.h)(ct,null,"negative")," sulle sue due armature; perchè questo avvenga, deve essere compiuto lavoro."),_l=Object(Pe.h)("p",null,"Ha una ",Object(Pe.h)("b",null,"capacità")," caratteristica, che in un condensatore a facce piane parallele è:"),gl=Object(Pe.h)("p",null,"Condensatori di capacità maggiore immagazzinano più potenziale con meno carica."),vl=Object(Pe.h)("p",null,"La capacità aumenta se viene messo qualcosa tra le armature:"),wl=Object(Pe.h)("i",null,"costante dielettrica relativa"),zl=Object(Pe.h)("p",null,"Se il campo elettrico creatosi tra le due armature supera la ",Object(Pe.h)("i",null,"rigidità dielettrica")," del condensatore, la carica immagazzinata viene persa e ha luogo un ",Object(Pe.h)("i",null,"breakdown"),"."),yl=Object(Pe.h)(Be,{title:"Amperometro"},Object(Pe.h)("p",null,"Misura la corrente elettrica se messo in serie."),Object(Pe.h)("p",null,"(Funzionamento: ha una resistenza interna bassisima in modo da non influire significativamente sulla corrente.)")),kl=Object(Pe.h)(Be,{title:"Voltmetro"},Object(Pe.h)("p",null,"Misura la differenza di potenziale se messo in parallelo."),Object(Pe.h)("p",null,"(Funzionamento: ha una resistenza altissima in modo da non influire significativamente sulla tensione.)")),Pl=Object(Pe.h)(Ue,{title:"Principi di Kirchhoff"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Legge dei nodi"},Object(Pe.h)("p",null,"Per nodo si intende un qualsiasi punto del circuito."),Object(Pe.h)("p",null,"Da un nodo entra ed esce la stessa corrente.")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Legge delle maglie"},Object(Pe.h)("p",null,"Per maglia si intende un qualsiasi percorso chiuso all'interno del circuito."),Object(Pe.h)("p",null,"In una maglia chiusa, la somma delle differenze di potenziale è 0."))),El=Object(Pe.h)(Ue,{title:"Serie e Parallelo"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Circuito in serie"},Object(Pe.h)("p",null,"Più parti di circuito sono ",Object(Pe.h)("i",null,"in serie")," se sono consecutive e senza biforcazioni."),Object(Pe.h)("p",null,"Parti di circuito in serie sono attraversate dalla stessa corrente.")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Circuito in parallelo"},Object(Pe.h)("p",null,"Più parti di circuito sono ",Object(Pe.h)("i",null,"in parallelo")," tra loro se hanno lo stesso punto di partenza e lo stesso punto di arrivo."),Object(Pe.h)("p",null,"Parti di circuito in parallelo hanno la stessa differenza di potenziale."))),Xl=Object(Pe.h)("p",null,"Nei circuiti in serie, tutte le resistenze possono essere sostituite con una equivalente dalla resistenza della somma di tutte le quelle sostituite:"),xl=Object(Pe.h)("p",null,"Nei circuiti in parallelo, tutte le resistenze possono essere sostituite con una equivalente dalla resistenza di:"),ql=Object(Pe.h)("p",null,"Nei circuiti in serie, tutti i condensatori possono essere sostituiti con uno equivalente dalla capacità di:"),Cl=Object(Pe.h)("p",null,"Nei circuiti in parallelo, tutte i condensatori possono essere sostituite con uno equivalente dalla capacità della somma di tutti quelli sostituiti:"),Sl=Object(Pe.h)("p",null,"E' una costante fisica fondamentale che rappresenta quanto un materiale si magnetizza facilmente."),Ll=Object(Pe.h)("p",null,"Come un campo elettrico, ma per i magneti."),Al=Object(Pe.h)(nt,null,"T"),Ml=Object(Pe.h)("p",null,'È "quanto" campo magnetico ',Object(Pe.h)("b",null,"attraversa")," un percorso chiuso."),Fl=Object(Pe.h)("p",null,'Per qualsiasi percorso chiuso, il flusso magnetico è uguale alla somma di tutti i "sottoflussi" magnetici calcolati sui suoi lati.'),Tl=Object(Pe.h)(Be,{title:"Legge di Gauss per i campi magnetici"},Object(Pe.h)("p",null,"Il flusso magnetico attraverso qualsiasi superficie chiusa è sempre nullo."),Object(Pe.h)("p",null,"Ovvero, non esistono monopoli magnetici.")),Il=Object(Pe.h)("p",null,"L'intensità di corrente che attraversa un percorso chiuso è direttamente proporzionale al flusso magnetico dello stesso percorso."),Dl=Object(Pe.h)("span",null,"Forza magnetica su carica puntiforme ",Object(Pe.h)("small",null,"(Forza di Lorentz)")),Nl=Object(Pe.h)("p",null,"I campi magnetici applicano una forza sulle cariche vicine:"),Bl=Object(Pe.h)("p",null,"Si ha una forza massima se la velocità è perpendicolare al campo magnetico."),Vl=Object(Pe.h)("p",null,"In un campo magnetico uniforme, una velocità perpendicolare al campo porta alla creazione di un moto circolare uniforme."),Rl=Object(Pe.h)("p",null,"I campi magnetici influenzano ovviamente anche le cariche presenti in un conduttore:"),Ul=Object(Pe.h)("a",{href:"https://it.openprof.com/wb/forza_di_lorentz_su_un_filo_percorso_da_corrente?ch=360"},"[1]"),Yl=Object(Pe.h)(Be,{title:"Campo magnetico in una spira"},Object(Pe.h)("p",null,"Una spira in cui passa corrente produce un campo magnetico perpendicolare al piano creato dalla spira.")),Hl=Object(Pe.h)("p",null,"Un solenoide sono tante spire avvolte in modo da formare una specie di cilindro."),Gl=Object(Pe.h)("p",null,"All'interno del solenoide si crea un campo (quasi) uniforme:"),Wl=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)("i",null,"Caso particolare della ",Object(Pe.h)("a",{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_Amp%C3%A8re"},"Legge di Ampère"),".")),$l=Object(Pe.h)("p",null,"Il modulo del campo magnetico ",Object(Pe.h)(nt,null,"B")," prodotto da un filo in cui passa una corrente continua ",Object(Pe.h)(nt,null,"I")," alla distanza ",Object(Pe.h)(nt,null,"s")," è:"),Kl=Object(Pe.h)("p",null,"Il campo magnetico così creato gira attorno al filo in senso antiorario."),Zl=Object(Pe.h)("p",null,"Due fili attraversati dalla ",Object(Pe.h)(lt,null,"stessa corrente")," si attraggono, due fili attraversati da ",Object(Pe.h)(lt,null,"corr"),Object(Pe.h)(ct,null,"enti")," ",Object(Pe.h)(lt,null,"opp"),Object(Pe.h)(ct,null,"oste")," si respingono."),Ql=Object(Pe.h)("p",null,"Un conduttore perpendicolare ad un campo magnetico può ottenere una differenza di potenziale se messo in movimento in un direzione perpendicolare alla direzione del conduttore e del campo."),Jl=Object(Pe.h)("p",null,"La differenza di potenziale si crea a causa della forza magnetica, che fa spostare tutti gli elettroni verso un capo del conduttore."),eo=Object(Pe.h)("p",null,"Essa vale:"),to=Object(Pe.h)("p",null,"Dove ",Object(Pe.h)(nt,null,"v")," è la velocità del conduttore, ",Object(Pe.h)(nt,null,"B")," è l'intensità del campo magnetico ed ",Object(Pe.h)(nt,null,"L")," è la lunghezza del conduttore."),no=Object(Pe.h)("i",null,"Legge di Faraday-Neumann-Lenz"),ao=Object(Pe.h)("p",null,"Dice che la forza elettromotrice media indotta in un percorso dipende dalla variazione nel tempo del flusso magnetico nello stesso percorso."),io=Object(Pe.h)("p",null,"Il meno è dovuto alla ",Object(Pe.h)("a",{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_Lenz"},"Legge di Lenz"),", che specifica qualitativamente il verso della forza elettromotrice indotta."),lo=Object(Pe.h)("p",null,"In un solenoide, la forza elettromotrice indotta è uguale a:"),oo=Object(Pe.h)(Be,{title:"Legge di Ampère-Maxwell"},Object(Pe.h)("p",null,"Correnti o campi elettrici variabili creano un campo magnetico.")),ro=Object(Pe.h)("p",null,"Si dice quindi che sono ",Object(Pe.h)("i",null,"onde elettromagnetiche"),"."),co=Object(Pe.h)("p",null,"Esse sono legate dalla relazione:"),so=Object(Pe.h)("p",null,"I solidi, se portati ad alta temperatura, emettono luce con uno ",Object(Pe.h)("a",{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Spettro_continuo"},"spettro continuo"),"."),uo=Object(Pe.h)("p",null,"I gas, invece, ad alta temperatura emettono luce solo con particolari lunghezze d'onda."),ho=Object(Pe.h)("p",null,"In un gas di idrogeno, le lunghezze d'onda emesse sono ricavabili con:"),po=Object(Pe.h)("p",null,"Una grandezza si dice quantizzata (o discreta) se può assumere solo determinati valori."),bo=Object(Pe.h)("p",null,"Una grandezza si dice continua se può assumere qualsiasi valore e quindi se non è quantizzata."),mo=Object(Pe.h)("p",null,"Energia, momento angolare e raggio sono quantizzati."),fo=Object(Pe.h)("p",null,"L'energia degli elettroni è quantizzata."),jo=Object(Pe.h)("p",null,"Inoltre, per essi è valido che:"),Oo=Object(Pe.h)("p",null,"Ancora, il raggio delle orbite è uguale a:"),_o=Object(Pe.h)("p",null,"Infine, in ogni stato, l'energia è pari a:"),go=Object(Pe.h)("p",null,"Due elettroni non possono occupare lo stesso stato."),vo=Object(Pe.h)("p",null,"Questo modello funziona solo per atomi con numero atomico basso. Atomi con molti elettroni hanno comportamenti diversi, descritti dal modello di"),wo=Object(Pe.h)(Ue,null,Object(Pe.h)(Be,{title:"Nei solidi"},Object(Pe.h)("p",null,"Nei solidi, le lunghezze d'onda sono talmente tanto vicine da poter essere considerate una banda."),Object(Pe.h)("p",null,"Possono però comunque avere dei gap dovuti agli intervalli di energia non ammessi."))),zo=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(Ge,null,"Refactor this")),yo=Object(Pe.h)("p",null,"Se invece la banda di emissione si sovrappone a un altra, allora il corpo è un conduttore."),ko=Object(Pe.h)(Be,{title:"Lacune"},Object(Pe.h)("p",null,"Legami in cui ",Object(Pe.h)(lt,null,"mancano elettroni"),"."),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(ct,null,"Elettroni")," di altri legami possono spostarsi per colmare le ",Object(Pe.h)(lt,null,"lacune"),", creandone altre, e spostandole in direzione opposta a quella della corrente.")),Po=Object(Pe.h)(Be,{title:"Accettori e donori"},Object(Pe.h)("p",null,"Se si inserisce in un cristallo semiconduttore si inserisce un atomo con numero atomico diverso, si otterrà:"),Object(Pe.h)("ul",null,Object(Pe.h)("li",null,"Con numero atomico maggiore, un semiconduttore di ",Object(Pe.h)(ct,null,"tipo N")," con ",Object(Pe.h)(ct,null,"elettroni in eccesso")," liberi di scorrere."),Object(Pe.h)("li",null,"Con numero atomico minore, un semiconduttore di ",Object(Pe.h)(lt,null,"tipo P")," con ",Object(Pe.h)(lt,null,"lacune in eccesso")," libere di catturare elettroni da altri legami.")),Object(Pe.h)("p",null,"Maggiore impurezza porta a maggiore conduttività.")),Eo=Object(Pe.h)(Be,{title:"Temperatura"},Object(Pe.h)("p",null,"Aumentando la temperatura di un semiconduttore si aumenta la conduttività, perchè eccita le particelle e favorisce il movimento di ",Object(Pe.h)(ct,null,"elettroni")," e ",Object(Pe.h)(lt,null,"lacune"),".")),Xo=Object(Pe.h)("span",null,"Ottica ",Object(Pe.h)("small",null,"(non l'abbiamo fatta)")),xo=Object(Pe.h)(Be,{title:"Assorbimento e riflessione"},Object(Pe.h)("p",null,"I corpi possono assorbire o riflettere le onde elettromagnetiche che li colpiscono.")),qo=Object(Pe.h)("p",null,"Un corpo nero è un corpo che assorbe tutte le onde elettromagnetiche che riceve senza rifletterne nessuna."),Co=Object(Pe.h)(Be,{title:"Teoria di Planck per il corpo nero"},Object(Pe.h)("p",null,"L'energia assorbita e emessa dai corpi neri è quantizzata.")),So=Object(Pe.h)("p",null,"Un onda magnetica con un quanto di energia è detta ",Object(Pe.h)("i",null,"fotone"),":"),Lo=Object(Pe.h)(Be,{title:"Effetto fotoelettrico"},Object(Pe.h)("p",null,"A volte, i fotoni che colpiscono un metallo possono estrarvi degli elettroni e creare una differenza di potenziale."),Object(Pe.h)("p",null,"Perchè avvenga, la frequenza deve essere maggiore di una certa soglia."),Object(Pe.h)("p",null,"Il numero di elettroni estratti dipende dall'intensità dell'onda, mentre l'energia cinetica degli elettroni dipende dalla frequenza."),Object(Pe.h)("p",null,"Non c'è nessun ritardo tra l'assorbimento del fotone e l'estrazione di elettroni.")),Ao=function(e){function t(){return R(this,t),U(this,e.apply(this,arguments))}return Y(t,e),t.prototype.render=function(){return Object(Pe.h)("div",{style:Je.a.fisica},xa,Object(Pe.h)(Ue,{title:"Vettori"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Componenti cartesiane"},qa,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(st))),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(ut))),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(ht)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Somma"},Ca,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(pt))),Sa),Object(Pe.h)(Be,{title:"Differenza"},La,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(bt))),Aa),Object(Pe.h)(Be,{title:"Prodotto scalare"},Ma,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(dt))),Object(Pe.h)("p",null,"Produce il modulo della proiezione di ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(mt))," su ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(ft)),".")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Prodotto vettoriale"},Fa,Object(Pe.h)("ul",null,Object(Pe.h)("li",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(jt))),Object(Pe.h)("li",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Ot))),Ta),Ia)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Leggi di Newton"},Object(Pe.h)(Be,{title:"1ᵃ: Inerzia"},Da,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(_t)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"2ᵃ: Proporzionalità"},Na,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(gt)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"3ᵃ: Azione e reazione"},Ba,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(vt))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Forza di gravità"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Tra due corpi"},Va,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(wt))),Ra,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(zt)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Verso la Terra"},Ua,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(yt))),Ya,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(kt)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Su pianeti diversi"},Ha,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(yt))),Ga,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Pt))),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Et))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Forze di contatto"},Wa,Object(Pe.h)(Be,{title:"Attrito statico"},$a,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Xt)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Attrito dinamico"},Ka,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(xt)))),Za,Object(Pe.h)(Be,{title:"Elastica"},Qa,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(qt))),Ja)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Cinematica"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Spostamento"},ei,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Ct)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Velocità"},ti,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(St))),ni,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Lt)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Accelerazione"},ai,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(At))),ii,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Mt)))),Object(Pe.h)(Be,{title:li},oi,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Ft))),ri,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Tt))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Moto rettilineo uniforme"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Spostamento"},ci,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(It)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Velocità"},si,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Dt)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Accelerazione"},ui,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Nt)))),hi),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Moto rettilineo uniformemente accelerato"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Spostamento"},pi,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Bt)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Velocità"},bi,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Vt)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Accelerazione"},di,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Rt)))),mi),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Moto armonico semplice"},fi,Object(Pe.h)(Be,{title:"Velocità angolare"},ji,Oi,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Ut)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Spostamento"},_i,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Yt)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Velocità"},Object(Pe.h)("p",null,"E' la sinusoide dello spostamento, sfasata di ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Ht)),":"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Gt)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Accelerazione"},Object(Pe.h)("p",null,"E' la sinusoide della velocità, sfasata di ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Wt)),":"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa($t)))),gi),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Moti composti"},vi,Object(Pe.h)(Be,{title:"Moto circolare uniforme"},Object(Pe.h)("p",null,"Il moto parabolico è dato sommando due moti armonici semplici: uno sull'asse X, e l'altro, sfasato di ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Ht)),", sull'asse Y."))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Moto circolare uniforme"},Object(Pe.h)(Be,null,wi,zi,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Ut)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Fase"},yi,Object(Pe.h)("p",null,"Si indica con ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Kt)),", e generalmente si usa in radianti.")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Velocità"},ki,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Zt)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Accelerazione"},Pi,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Qt)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Forza centripeta"},Ei,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Jt))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Lavoro ed energia"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Lavoro"},Xi,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(en))),xi),Object(Pe.h)(Be,{title:"Energia cinetica"},qi,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(tn))),Ci,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(nn)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Energia potenziale gravitazionale"},Si,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(an))),Li),Object(Pe.h)(Be,{title:"Energia potenziale elastica"},Ai,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(ln)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Forze conservative"},Mi,Fi,Ti,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(on)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Potenza"},Ii,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(rn))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Elettrostatica"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Carica elettrica"},Di,Ni,Object(Pe.h)("p",null,"Esiste un'unità elementare: ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(cn)),"."),Bi),Vi),Ri,Ui,Yi,Object(Pe.h)(Ue,{title:"Forza elettrica"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Legge di Coulomb"},Hi,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(sn))),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(un))," è la ",Gi,", e vale ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(hn)),".")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Permeabilità dello spazio vuoto"},Object(Pe.h)("p",null,"La costante ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(un))," è in realtà dipendente da un altra costante, ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(pn)),", la ",Wi,"."),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(bn))),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(dn)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Campo elettrico"},$i,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(mn)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Flusso elettrico"},Ki,Zi,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(fn))),Qi,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(jn))),Ji),Object(Pe.h)(Be,{title:"Legge di Gauss per i campi elettrostatici"},el,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(On))),tl)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Energia elettrica"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Energia potenziale elettrica"},Object(Pe.h)("p",null,"Un corpo carico vicino ad altre cariche possiede un'",nl," ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(_n)),"."))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Circuiti elettrici"},Object(Pe.h)(Be,{title:al},il,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(gn))),Object(Pe.h)("p",null,"La sua unità di misura è il Volt (",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(vn)),")."),ll),Object(Pe.h)(Be,{title:ol},rl,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(wn))),cl,Object(Pe.h)("p",null,"La sua unità di misura è l'Ampere (",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(zn)),").")),sl,ul,Object(Pe.h)(Be,{title:"Potenza elettrica"},hl,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(yn))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Elementi di un circuito"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Resistore"},pl,bl,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(kn))),Object(Pe.h)("p",null,"Dove ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Pn))," è una costante detta ",dl," con unità di misura Ohm (",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(En)),")."),ml,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Xn))),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(xn))," è la ",fl," del materiale, e varia in base alla temperatura:"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(qn)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Condensatore"},jl,Ol,_l,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Cn))),gl,vl,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Sn))),Object(Pe.h)("p",null,"Dove ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Ln))," è la ",wl," del materiale inserito, ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(zn))," l'area di una armatura e ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(An))," la distanza tra le due armature."),zl,Object(Pe.h)("p",null,"La sua unità di misura è il Farad (",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Mn)),")")),yl,kl),Pl,El,Object(Pe.h)(Ue,{title:"Resistenze equivalenti"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Circuiti in serie"},Xl,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Fn)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Circuiti in parallelo"},xl,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Tn))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Condensatori equivalenti"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Circuiti in serie"},ql,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(In)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Circuiti in parallelo"},Cl,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Dn))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Magnetismo"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Permeabilità magnetica dello spazio vuoto"},Sl,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Nn))," (",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Bn)),")")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Campo magnetico"},Ll,Object(Pe.h)("p",null,"Il suo simbolo è ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Vn)),", e la sua unità di misura è il Tesla (",Al,").")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Flusso magnetico"},Ml,Fl,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Rn))),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Un))),Object(Pe.h)("p",null,"La sua unità di misura è il Weber (",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Yn)),").")),Tl,Object(Pe.h)(Be,{title:"Legge di Ampère"},Il,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Hn))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Forze magnetiche"},Object(Pe.h)(Be,{title:Dl},Nl,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Gn))),Object(Pe.h)("p",null,"Dove ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Wn))," è l'intensità del campo magnetico e ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa($n))," la velocità della carica considerata."),Bl,Vl),Object(Pe.h)(Be,{title:"Forza magnetica in un filo"},Rl,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Kn))," ",Ul),Object(Pe.h)("p",null,"Dove ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Zn))," è la corrente elettrica, ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Qn))," è un vettore che punta nella direzione di scorrimento della corrente e ha come modulo la lunghezza del conduttore."))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Campi magnetici"},Yl,Object(Pe.h)(Be,{title:"Campo magnetico di un solenoide"},Hl,Gl,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Jn)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Legge di Oersted"},Wl,$l,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(ea))),Kl,Zl)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Induzione elettromagnetica"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Forza elettromotrice indotta"},Ql,Jl,eo,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(ta))),to),Object(Pe.h)(Be,{title:"Flusso magnetico in una spira"},Object(Pe.h)("p",null,"In un campo magnetico ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Vn))," uniforme e perpendicolare al piano di una spira di area ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(zn)),", il flusso magnetico si può determinare con la ",no,":"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(na))))),Object(Pe.h)(Ue,null,Object(Pe.h)(Be,{title:"Legge di 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",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(ha))," è l'ampiezza massima che può avere l'onda, ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(pa))," è il vettore d'onda, ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(ba))," la frequenza angolare e ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Kt))," la fase."))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Spettroscopia"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Emissione"},so,uo,ho,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(da))),Object(Pe.h)("p",null,"Con ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(ma)),", detta costante di Rydberg, e ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(fa))," un numero intero.")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Grandezza quantizzata"},po,bo,mo,Object(Pe.h)("p",null,"Nota costante quantica è ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(ja)),", la costante di Planck, ovvero il valore minimo possibile per la carica (talvolta espressa come ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Oa)),"."))),Object(Pe.h)(Ue,null,Object(Pe.h)(Be,{title:"Modello di Bohr"},fo,jo,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(_a))),Oo,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(ga))),Object(Pe.h)("p",null,"Con ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(va)),"."),_o,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(wa))),go,vo)),wo,Object(Pe.h)(Ue,{title:"Semiconduttori"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Semiconduttori"},zo,Object(Pe.h)("p",null,"Se la banda di emissione con energia più alta di un corpo è assente o è separata da un gap dell'ordine di grandezza maggiore di ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(za)),", allora il corpo è un isolante."),yo,Object(Pe.h)("p",null,"Se il gap è invece dell'ordine di grandezza di ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(ya)),", allora il corpo è un semiconduttore.")),ko,Po,Eo),Object(Pe.h)(Ue,{title:Xo},xo,Object(Pe.h)(Be,{title:"Corpo nero"},qo,Object(Pe.h)("p",null,"Le onde assorbite vengono poi riemesse sotto forma di un onda di ",Object(Pe.h)(nt,null,Xa(ka))," variabile in base alla temperatura."),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Xa(Pa))," è 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[Definizione di Spazio Vettoriale](https://www.youtube.com/watch?v=7eHEzf4403c) (1:17:29)\n2. [Sottospazi vettoriali I](https://www.youtube.com/watch?v=FPqrULk5HBU) (37:15)\n3. [Sottospazi vettoriali II](https://www.youtube.com/watch?v=ubDWUw9hk0k) (43:26)\n4. [Sottospazi vettoriali III](https://www.youtube.com/watch?v=381n4NPb6Oc) (40:29)\n5. [Lineare dipendenza e indipendenza](https://www.youtube.com/watch?v=9YVQ5olYrh0) (56:12)\n6. [Basi di uno spazio vettoriale I](https://www.youtube.com/watch?v=mEF_lcTzEoE) (25:52)\n7. [Basi di uno spazio vettoriale II](https://www.youtube.com/watch?v=k1r9JfXY53k) (48:24)\n8. [Teorema di Grassmann](https://www.youtube.com/watch?v=3sqB-MMyCWM) (32:36)\n9. [Basi e Matrici](https://www.youtube.com/watch?v=Rd6AB_jE7YI) (27:06)\n10. [Definizione di Applicazioni Lineari](https://www.youtube.com/watch?v=rmd7ffZeVYk) (16:23)\n11. [Proprietà delle Applicazioni Lineari](https://www.youtube.com/watch?v=MH7ztQGkqmw) (31:58)\n12. [Definizione di determinante](https://www.youtube.com/watch?v=EwubcLwBdzk) (36:43)\n13. [Proprietà e metodo di triangolazione](https://www.youtube.com/watch?v=SFusGarV6HI) (22:36)\n14. [Teorema di Laplace](https://www.youtube.com/watch?v=BqZDWnKl2nQ) (29:03)\n15. [4 applicazioni del Teorema di Laplace](https://www.youtube.com/watch?v=2tr3y725GY0) (47:53)\n16. [Spazi vettoriali euclidei reali - Parte 1](https://www.youtube.com/watch?v=W7Z1hm-jwMM) (28:46)\n17. [Spazi vettoriali euclidei reali - Parte 2](https://www.youtube.com/watch?v=zjmKE9TMGm8) (27:17)\n18. [Autovalori e autovettori](https://www.youtube.com/watch?v=XlrlcnvcTtQ) (33:00)\n19. [Polinomio caratteristico](https://www.youtube.com/watch?v=61icRbgWTdI) (31:31)\n20. [Teorema diagonalizzabilità](https://www.youtube.com/watch?v=wm5V6en9OFo) (18:49)\n21. [Spazi affini](https://player.vimeo.com/video/291457587) (20:46)\n22. [Sottospazi affini](https://player.vimeo.com/video/291458991) (21:32)\n23. [Parallelismo e Riferimenti Affini](https://player.vimeo.com/video/291510181) (16:57)\n24. [Rappresentazione di Sottospazi Affini](https://player.vimeo.com/video/291510296) (31:17)\n25. [Spazi Euclidei](https://player.vimeo.com/video/291510612) (35:57)\n26. [Teoria dei ranghi](https://player.vimeo.com/video/291510964) (9:44)\n27. [Teoria dei ranghi 2](https://player.vimeo.com/video/291510862) (14:44)\n\nNell'anno accademico 2018/2019 non sono stati trattati gli argomenti nei video 21, 22 e 23.\n "],["\nTutte le videolezioni sono state pubblicate sotto licenza [CC BY-NC-SA 4.0](https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/) dalla Prof.ssa Beatrice Ruini nell'anno accademico 2018/2019 sul [portale Dolly 2018](https://dolly.fim.unimore.it/2018/course/view.php?id=14#section-0) (Moodle).\n\nPer comodità, ho estratto l'url sorgente del video dall'embed presente nella rispettiva pagina.\n\n1. [Definizione di Spazio Vettoriale](https://www.youtube.com/watch?v=7eHEzf4403c) (1:17:29)\n2. [Sottospazi vettoriali I](https://www.youtube.com/watch?v=FPqrULk5HBU) (37:15)\n3. [Sottospazi vettoriali II](https://www.youtube.com/watch?v=ubDWUw9hk0k) (43:26)\n4. [Sottospazi vettoriali III](https://www.youtube.com/watch?v=381n4NPb6Oc) (40:29)\n5. [Lineare dipendenza e indipendenza](https://www.youtube.com/watch?v=9YVQ5olYrh0) (56:12)\n6. [Basi di uno spazio vettoriale I](https://www.youtube.com/watch?v=mEF_lcTzEoE) (25:52)\n7. [Basi di uno spazio vettoriale II](https://www.youtube.com/watch?v=k1r9JfXY53k) (48:24)\n8. [Teorema di Grassmann](https://www.youtube.com/watch?v=3sqB-MMyCWM) (32:36)\n9. [Basi e Matrici](https://www.youtube.com/watch?v=Rd6AB_jE7YI) (27:06)\n10. [Definizione di Applicazioni Lineari](https://www.youtube.com/watch?v=rmd7ffZeVYk) (16:23)\n11. [Proprietà delle Applicazioni Lineari](https://www.youtube.com/watch?v=MH7ztQGkqmw) (31:58)\n12. [Definizione di determinante](https://www.youtube.com/watch?v=EwubcLwBdzk) (36:43)\n13. [Proprietà e metodo di triangolazione](https://www.youtube.com/watch?v=SFusGarV6HI) (22:36)\n14. [Teorema di Laplace](https://www.youtube.com/watch?v=BqZDWnKl2nQ) (29:03)\n15. [4 applicazioni del Teorema di Laplace](https://www.youtube.com/watch?v=2tr3y725GY0) (47:53)\n16. [Spazi vettoriali euclidei reali - Parte 1](https://www.youtube.com/watch?v=W7Z1hm-jwMM) (28:46)\n17. [Spazi vettoriali euclidei reali - Parte 2](https://www.youtube.com/watch?v=zjmKE9TMGm8) (27:17)\n18. [Autovalori e autovettori](https://www.youtube.com/watch?v=XlrlcnvcTtQ) (33:00)\n19. [Polinomio caratteristico](https://www.youtube.com/watch?v=61icRbgWTdI) (31:31)\n20. [Teorema diagonalizzabilità](https://www.youtube.com/watch?v=wm5V6en9OFo) (18:49)\n21. [Spazi affini](https://player.vimeo.com/video/291457587) (20:46)\n22. [Sottospazi affini](https://player.vimeo.com/video/291458991) (21:32)\n23. [Parallelismo e Riferimenti Affini](https://player.vimeo.com/video/291510181) (16:57)\n24. 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[Teoria dei ranghi 2](https://player.vimeo.com/video/291510862) (14:44)\n\nNell'anno accademico 2018/2019 non sono stati trattati gli argomenti nei video 21, 22 e 23.\n "]),Ro=String.raw,Uo=Object(Pe.h)("h1",null,"Videolezioni di Geometria"),Yo=function(e){function t(){return $(this,t),K(this,e.apply(this,arguments))}return Z(t,e),t.prototype.render=function(){return Object(Pe.h)("div",{style:Fo.a.vldigeometria},Uo,Object(Pe.h)(Be,null,Object(Pe.h)(Bo,null,Ro(Vo))))},t}(Pe.Component),Ho=n("5m9J"),Go=n.n(Ho),Wo=Object(Pe.h)("h1",null,"Come installare MinGW"),$o=Object(Pe.h)(Be,null,Object(Pe.h)("p",null," Scaricate ",Object(Pe.h)("a",{href:"https://osdn.net/projects/mingw/downloads/68260/mingw-get-setup.exe/"},"l'installer ufficiale"),", ed eseguitelo."),Object(Pe.h)("img",{src:"https://i.imgur.com/mDZSqjV.png",alt:""}),Object(Pe.h)("p",null," Dovrebbe comparire questa schermata. Cliccate su ",Object(Pe.h)("code",null,"Install"),", poi scegliete una cartella di installazione (ricordatevela!) e poi ",Object(Pe.h)("code",null,"Continue"),". Lasciate stare le altre opzioni, dovrebbero essere tutte spuntate, tranne ",Object(Pe.h)("code",null,"For all users"),", che dovrebbe essere disattivato."),Object(Pe.h)("img",{src:"https://i.imgur.com/brdw8Xy.png",alt:""}),Object(Pe.h)("p",null," Aspettate che finisca il download. Pochi secondi dopo, dovrebbe finire e dovrebbe apparire un tasto",Object(Pe.h)("code",null,"Continue"),". Premetelo."),Object(Pe.h)("img",{src:"https://i.imgur.com/aPTwrxz.png",alt:""}),Object(Pe.h)("p",null," Dovrebbe apparirvi questa finestra. L'installer di MinGW è una specie di gestore pacchetti (tipo ",Object(Pe.h)("code",null,"apt")," su Ubuntu); potete scegliere quali pacchetti installare, e quindi quali funzionalità."),Object(Pe.h)("img",{src:"https://i.imgur.com/5QLSkFN.png",alt:""}),Object(Pe.h)("p",null," Nel nostro caso, dovrebbero servirci ",Object(Pe.h)("code",null,"mingw32-base-bin")," (per il C e alcune librerie C++) e",Object(Pe.h)("code",null,"mingw32-gcc-g++-bin")," (per il C++). Cliccate, quindi, sui due quadratini corrispondenti, e premete",Object(Pe.h)("code",null,"Mark for Installation"),". Dovrebbe comparire una freccia gialla sul quadratino."),Object(Pe.h)("img",{src:"https://i.imgur.com/zP74nks.png",alt:""}),Object(Pe.h)("p",null," Ora, è il momento di installare i pacchetti. Aprite il menù ",Object(Pe.h)("code",null,"Installation"),", poi premete",Object(Pe.h)("code",null,"Apply Changes"),", e di nuovo ",Object(Pe.h)("code",null,"Apply"),"."),Object(Pe.h)("img",{src:"https://i.imgur.com/jp4uz5B.png",alt:""}),Object(Pe.h)("p",null," Lasciate che scarichi, ci vorrà un po'. Guardatevi un video nel frattempo, fatevi una partitina a qualcosa, tornate dopo circa 10 minuti."),Object(Pe.h)("img",{src:"https://i.imgur.com/Lq9IepY.png",alt:""}),Object(Pe.h)("p",null," Una volta installato, dobbiamo aggiungere ",Object(Pe.h)("code",null,"g++")," ai programmi eseguibili da Prompt dei Comandi: premete il tasto ",Object(Pe.h)("kbd",null,"Windows"),", e scrivete ",Object(Pe.h)("code",null,"PATH"),". Windows dovrebbe trovarvi automaticamente quell'opzione."),Object(Pe.h)("img",{src:"https://i.imgur.com/dy3b5Ub.png",alt:""}),Object(Pe.h)("p",null," Dentro la finestra di ",Object(Pe.h)("i",null,"Proprietà del Sistema"),", premete ",Object(Pe.h)("code",null,"Variabili d'ambiente"),"."),Object(Pe.h)("img",{src:"https://i.imgur.com/FjYpT1n.png",alt:""}),Object(Pe.h)("p",null," Trovate la variabile d'ambiente globale ",Object(Pe.h)("code",null,"Path"),", e fateci doppio click per modificarla."),Object(Pe.h)("img",{src:"https://i.imgur.com/klZQ9So.png",alt:""}),Object(Pe.h)("p",null," Ora dovreste vedere l'elenco di tutte le cartelle contenenti programmi eseguibili da terminale: dobbiamo aggiungere quella di MinGW! Premete ",Object(Pe.h)("code",null,"Sfoglia"),"."),Object(Pe.h)("img",{src:"https://i.imgur.com/F6lBCqS.png",alt:""}),Object(Pe.h)("p",null," Trovate la cartella in cui avete installato MinGW (vi avevo detto di ricordarvela!); entrateci, poi selezionate la sottocartella ",Object(Pe.h)("code",null,"bin")," e premete ",Object(Pe.h)("code",null,"OK")," su tutte le finestre che avete aperto fino ad ora, chiudendole."),Object(Pe.h)("p",null," Complimenti! Avete installato MinGW e potete compilare programmi C e C++ da Windows! Avete a disposizione",Object(Pe.h)("code",null,"gcc")," e ",Object(Pe.h)("code",null,"g++")," sul Prompt dei Comandi, e potete finalmente creare dei file .exe! 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(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = chi^2 (v = 1)"],["\\Gamma (\\frac{1}{2}, \\frac{1}{2}) = \\chi^2 (v = 1)"]),iu=_e(["chi^2 (n) + chi^2 (m) = chi^2 (n + m)"],["\\chi^2 (n) + \\chi^2 (m) = \\chi^2 (n + m)"]),lu=_e(["Z^2 sim chi^2 (v = 1)"],["Z^2 \\sim \\chi^2 (v = 1)"]),ou=_e(["Ipe(N, K, n) approx Bin(n, \frac{K}{N})"],["Ipe(N, K, n) \\approx Bin(n, \\frac{K}{N})"]),ru=_e(["Bin(n, p) approx Poi(n cdot p)"],["Bin(n, p) \\approx Poi(n \\cdot p)"]),cu=_e(["Bin(n, p) approx Nor(n cdot p, n cdot p cdot q)"],["Bin(n, p) \\approx Nor(n \\cdot p, n \\cdot p \\cdot q)"]),su=_e(["(k - \frac{1}{2}, k + \frac{1}{2})"],["(k - \\frac{1}{2}, k + \\frac{1}{2})"]),uu=_e(["P(X < k) simeq P(Y leq k - \frac{1}{2})"],["P(X < k) \\simeq P(Y \\leq k - \\frac{1}{2})"]),hu=_e(["P(X leq k) simeq P(Y leq k + \frac{1}{2})"],["P(X \\leq k) \\simeq P(Y \\leq k + \\frac{1}{2})"]),pu=_e(["P(X geq k) simeq P(Y geq k - \frac{1}{2})"],["P(X \\geq k) \\simeq P(Y \\geq k - \\frac{1}{2})"]),bu=_e(["P(X > k) simeq P(Y geq k + 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cdot E(Y)"],["Cov(X, Y) = E((X - E(X) \\cdot (Y - E(Y)) = E(XY) - E(X) \\cdot E(Y)"]),yu=_e(["Cov(X, alpha) = 0"],["Cov(X, \\alpha) = 0"]),ku=_e(["Cov(X, Y) = Cov(Y, X)"],["Cov(X, Y) = Cov(Y, X)"]),Pu=_e(["Cov(X, X) = Var(X)"],["Cov(X, X) = Var(X)"]),Eu=_e(["Cov(alpha X, \beta Y) = alpha cdot \beta cdot Cov(X, Y)"],["Cov(\\alpha X, \\beta Y) = \\alpha \\cdot \\beta \\cdot Cov(X, Y)"]),Xu=_e(["Cov(X + Y, V + W) = Cov(X, Y) + Cov(X, W) + Cov(Y, V) + Cov(Y, W)"],["Cov(X + Y, V + W) = Cov(X, Y) + Cov(X, W) + Cov(Y, V) + Cov(Y, W)"]),xu=_e(["Cov(X, Y) = 0"],["Cov(X, Y) = 0"]),qu=_e(["\boldsymbol{C_X}"],["\\boldsymbol{C_X}"]),Cu=_e(["\n \boldsymbol{C_X} = \n \begin{bmatrix}\n Var(X_1) & Cov(X_1, X_2) & Cov(X_1, X_3)\\\n Cov(X_2, X_1) & Var(X_2) & Cov(X_2, X_3)\\\n Cov(X_3, X_1) & Cov(X_3, X_2) & Var(X_3)\n end{bmatrix}\n "],["\n \\boldsymbol{C_X} = \n \\begin{bmatrix}\n Var(X_1) & Cov(X_1, X_2) & Cov(X_1, X_3)\\\\\n Cov(X_2, X_1) & Var(X_2) & Cov(X_2, X_3)\\\\\n Cov(X_3, X_1) & Cov(X_3, X_2) 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\\overline{X}_n + m^2"]),Bu=_e(["S_n^2 = \frac{1}{n - 1} cdot sum_{i = 1}^n (X_i - overline{X}_n)^2 = \frac{1}{n - 1} cdot ( n cdot M_2^{(2)} - n cdot overline{X}_n^2)"],["S_n^2 = \\frac{1}{n - 1} \\cdot \\sum_{i = 1}^n (X_i - \\overline{X}_n)^2 = \\frac{1}{n - 1} \\cdot ( n \\cdot M_2^{(2)} - n \\cdot \\overline{X}_n^2)"]),Vu=_e(["E(overline{X}_n) = E(X)"],["E(\\overline{X}_n) = E(X)"]),Ru=_e(["Var(overline{X}_n) = \frac{Var(X)}{n}"],["Var(\\overline{X}_n) = \\frac{Var(X)}{n}"]),Uu=_e(["E(S_0^2) = E(S_n^2) = Var(X)"],["E(S_0^2) = E(S_n^2) = Var(X)"]),Yu=_e(["X sim Nor(mu, sigma^2)"],["X \\sim Nor(\\mu, \\sigma^2)"]),Hu=_e(["overline{X}_n sim Nor left( mu, \frac{sigma^2}{n} \right)"],["\\overline{X}_n \\sim Nor \\left( \\mu, \\frac{\\sigma^2}{n} \\right)"]),Gu=_e(["S_0^2 sim \frac{sigma^2}{n} cdot chi^2 (n)"],["S_0^2 \\sim \\frac{\\sigma^2}{n} \\cdot \\chi^2 (n)"]),Wu=_e(["S_n^2 sim \frac{sigma^2}{n - 1} cdot chi^2 (n-1)"],["S_n^2 \\sim \\frac{\\sigma^2}{n - 1} \\cdot \\chi^2 (n-1)"]),$u=_e(["E(X)"],["E(X)"]),Ku=_e(["\forall epsilon > 0, lim_{n \to +infty} P( | overline{X}_n - E(X) | < epsilon) = 1"],["\\forall \\epsilon > 0, \\lim_{n \\to +\\infty} P( | \\overline{X}_n - E(X) | < \\epsilon) = 1"]),Zu=_e(["P( | overline{X}_n - E(X) | < epsilon) \to 1"],["P( | \\overline{X}_n - E(X) | < \\epsilon) \\to 1"]),Qu=_e(["\forall epsilon > 0, P left( lim_{n \to +infty} | overline{X}_n - E(X) | < epsilon \right) = 1"],["\\forall \\epsilon > 0, P \\left( \\lim_{n \\to +\\infty} | \\overline{X}_n - E(X) | < \\epsilon \\right) = 1"]),Ju=_e(["Nor(0, 1) = Phi()"],["Nor(0, 1) = \\Phi()"]),eh=_e(["overline{X}_n approx Nor left(E(X), \frac{Var(X)}{n} \right)"],["\\overline{X}_n \\approx Nor \\left(E(X), \\frac{Var(X)}{n} \\right)"]),th=_e(["\forall x in mathbb{R}, lim_{n \to +infty} P left( \frac{overline{X}_n - E(X)}{sqrt{\frac{Var(X)}{n}}} leq x \right) = Phi(x)"],["\\forall x \\in \\mathbb{R}, \\lim_{n \\to +\\infty} P \\left( \\frac{\\overline{X}_n - E(X)}{\\sqrt{\\frac{Var(X)}{n}}} \\leq x \\right) = \\Phi(x)"]),nh=_e(["overline{Bin} (n, p) approx Nor left( \frac{n}{p}, \frac{n cdot (1 - p)}{p^2} \right)"],["\\overline{Bin} (n, p) \\approx Nor \\left( \\frac{n}{p}, \\frac{n \\cdot (1 - p)}{p^2} \\right)"]),ah=_e(["Poi(lambda) approx Nor(lambda, lambda)"],["Poi(\\lambda) \\approx Nor(\\lambda, \\lambda)"]),ih=_e(["Gamma (alpha, lambda) approx Nor left( \frac{alpha}{lambda}, \frac{alpha}{lambda^2} \right)"],["\\Gamma (\\alpha, \\lambda) \\approx Nor \\left( \\frac{\\alpha}{\\lambda}, \\frac{\\alpha}{\\lambda^2} \\right)"]),lh=_e(["Y = sum_{i=1}^{n} X_i"],["Y = \\sum_{i=1}^{n} X_i"]),oh=_e(["T(\boldsymbol{X})"],["T(\\boldsymbol{X})"]),rh=_e(["T(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X}"],["T(\\boldsymbol{X}) = \\boldsymbol{X}"]),ch=_e(["E(T_n) = \theta"],["E(T_n) = \\theta"]),sh=_e(["lim_{n \to +infty} E(T_n) = \theta"],["\\lim_{n \\to +\\infty} E(T_n) = \\theta"]),uh=_e(["lim_{n \to +infty} E((T_n - \theta)^2) = 0"],["\\lim_{n \\to +\\infty} E((T_n - \\theta)^2) = 0"]),hh=_e(["\forall epsilon > 0, lim_{n \to +infty} P( |T_n - \theta| < epsilon) = 1"],["\\forall \\epsilon > 0, \\lim_{n \\to +\\infty} P( |T_n - \\theta| < \\epsilon) = 1"]),ph=_e(["lim_{n \to +infty} \frac{T_n - E(T_n)}{sqrt{Var(T_n)}} sim Nor(0, 1)"],["\\lim_{n \\to +\\infty} \\frac{T_n - E(T_n)}{\\sqrt{Var(T_n)}} \\sim Nor(0, 1)"]),bh=_e(["\theta"],["\\theta"]),dh=_e(["widehat{\theta}_M"],["\\widehat{\\theta}_M"]),mh=_e(["\theta = g(E(X))"],["\\theta = g(E(X))"]),fh=_e(["widehat{E(X)} = overline{X}_n"],["\\widehat{E(X)} = \\overline{X}_n"]),jh=_e(["widehat{\theta}_M = g( overline{X}_n )"],["\\widehat{\\theta}_M = g( \\overline{X}_n )"]),Oh=_e(["M_n^2"],["M_n^2"]),_h=_e(["M_n^3"],["M_n^3"]),gh=_e(["widehat{\theta}_L"],["\\widehat{\\theta}_L"]),vh=_e(["L"],["L"]),wh=_e(["L(x_1, ..., x_n; \theta) = prod_{i=1}^n f_X(x_i; \theta)"],["L(x_1, ..., x_n; \\theta) = \\prod_{i=1}^n f_X(x_i; \\theta)"]),zh=_e(["widehat{g(\theta)}_L = 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esperimento."),Bh=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"omeghino"'),Vh=Object(Pe.h)("p",null,"Un ",Object(Pe.h)("b",null,"elemento")," dello spazio campionario."),Rh=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"e"'),Uh=Object(Pe.h)("p",null,"Un ",Object(Pe.h)("b",null,"sottoinsieme")," dello spazio campionario."),Yh=Object(Pe.h)("p",null,"Lo spazio campionario stesso è un ",Object(Pe.h)("b",null,"evento certo"),"."),Hh=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"not e"'),Gh=Object(Pe.h)("p",null,"Il ",Object(Pe.h)("b",null,"complementare")," di un sottoinsieme."),Wh=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"e intersecato effe"'),$h=Object(Pe.h)("p",null,"L'",Object(Pe.h)("b",null,"intersezione")," di più sottoinsiemi."),Kh=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"e unito a effe"'),Zh=Object(Pe.h)("p",null,"L'",Object(Pe.h)("b",null,"unione")," di più sottoinsiemi."),Qh=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"e meno effe"'),Jh=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"e contenuto in effe"'),ep=Object(Pe.h)("p",null,"L'",Object(Pe.h)("b",null,"inclusione")," del primo insieme in un altro."),tp=Object(Pe.h)("p",null,"Se si verifica ",Object(Pe.h)(nt,null,"E"),", allora si verifica anche ",Object(Pe.h)(nt,null,"F"),"."),np=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"e è impossibile"'),ap=Object(Pe.h)("p",null,"Un sottoinsieme ",Object(Pe.h)("b",null,"vuoto"),"."),ip=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"e ed effe si escludono mutualmente"'),lp=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"disgiunzione")," di due insiemi."),op=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"famiglia effe"'),rp=Object(Pe.h)("p",null,"I sottoinsiemi dello spazio campionario formano una ",Object(Pe.h)("b",null,"famiglia")," di sottoinsiemi detta ",Object(Pe.h)("i",null,"famiglia degli eventi"),"."),cp=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"sigma algebra"'),sp=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"la partizione e composta da e uno, e due, e tre..."'),up=Object(Pe.h)("p",null,"Un insieme di esiti e eventi:"),hp=Object(Pe.h)("ul",null,Object(Pe.h)("li",null,Object(Pe.h)("b",null,"Finito"),"."),Object(Pe.h)("li",null,"In cui tutti gli eventi hanno ",Object(Pe.h)("b",null,"probabilità diversa da 0"),"."),Object(Pe.h)("li",null,"In cui tutti gli eventi sono ",Object(Pe.h)("b",null,"mutualmente esclusivi"),"."),Object(Pe.h)("li",null,"In cui l'unione di tutti i suoi elementi ",Object(Pe.h)("b",null,"copre lo spazio campionario"),".")),pp=Object(Pe.h)(jr,null,"Se lo spazio campionario fosse una torta, una sua partizione sarebbe l'insieme delle fette di uno dei modi in cui si potrebbe tagliare."),bp=Object(Pe.h)("p",null,"La probabilità di un evento è un numero tra 0 e 1."),dp=Object(Pe.h)("p",null,"La probabilità dello spazio campionario è sempre 1."),mp=Object(Pe.h)("p",null,"La probabilità dell'unione di eventi indipendenti è uguale alla somma delle loro probabilità."),fp=Object(Pe.h)("p",null,"La probabilità di un evento negato è uguale a 1 meno la probabilità dell'evento non negato."),jp=Object(Pe.h)("p",null,"La probabilità di un evento incluso in un altro è sempre minore o uguale alla probabilità dell'evento in cui è incluso."),Op=Object(Pe.h)("p",null,"La probabilità di un evento unito a un altro è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi meno la probabilità della loro intersezione."),_p=Object(Pe.h)(jr,null,"Sommando le probabilità dei due eventi, l'intersezione viene contata due volte, e va quindi rimossa!"),gp=Object(Pe.h)("p",null,"Spazi campionari in cui ci sono un numero finito di esiti e ogni esito ha la stessa probabilità di verificarsi."),vp=Object(Pe.h)(Be,{title:"Spazi equiprobabili geometrici"},Object(Pe.h)("p",null,"Gli spazi campionari possono avere un numero infinito di esiti: sono ",Object(Pe.h)("i",null,"equiprobabili geometrici")," se nessun esito è privilegiato rispetto agli altri.")),wp=Object(Pe.h)("p",null,"Estraggo un numero, da un sacchetto con ",Object(Pe.h)(nt,null,"n")," numeri, mi segno che numero ho estratto e lo ",Object(Pe.h)("b",null,"tengo fuori dal sacchetto"),". Ripeto per ",Object(Pe.h)(nt,null,"k")," volte."),zp=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)("b",null,"Tengo conto")," dell'ordine in cui ho estratto i numeri."),yp=Object(Pe.h)("p",null,"Estraggo un numero, da un sacchetto con ",Object(Pe.h)(nt,null,"n")," numeri, mi segno che numero ho estratto e lo ",Object(Pe.h)("b",null,"rimetto nel sacchetto"),". Ripeto per ",Object(Pe.h)(nt,null,"k")," volte."),kp=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)("b",null,"Tengo conto")," dell'ordine in cui ho estratto i numeri."),Pp=Object(Pe.h)("p",null,"Estraggo un numero, da un sacchetto con ",Object(Pe.h)(nt,null,"n")," numeri, mi segno che numero ho estratto e lo ",Object(Pe.h)("b",null,"tengo fuori dal sacchetto"),". Ripeto per ",Object(Pe.h)(nt,null,"k")," volte."),Ep=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)("b",null,"Non mi interessa")," l'ordine in cui ho estratto i numeri."),Xp=Object(Pe.h)("p",null,"Estraggo un numero, da un sacchetto con ",Object(Pe.h)(nt,null,"n")," numeri, mi segno che numero ho estratto e lo ",Object(Pe.h)("b",null,"rimetto nel sacchetto"),". Ripeto per ",Object(Pe.h)(nt,null,"k")," volte."),xp=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)("b",null,"Non mi interessa")," l'ordine in cui ho estratto i numeri."),qp=Object(Pe.h)("p",null,"Estraggo ",Object(Pe.h)(nt,null,"n")," numeri e guardo in quanti ordini diversi li posso mettere."),Cp=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"E dato F"'),Sp=Object(Pe.h)("p",null,"La probabilità che si verifichi ",Object(Pe.h)(nt,null,"E")," sapendo che ",Object(Pe.h)("b",null,"si è già verificato")," ",Object(Pe.h)(nt,null,"F"),"."),Lp=Object(Pe.h)(jr,null,"Ricorda vagamente le pipe di ",Object(Pe.h)("code",null,"bash"),", però al contrario..."),Ap=Object(Pe.h)("p",null,"Se due eventi sono mutualmente esclusivi, entrambe le loro probabilità condizionate saranno uguali a 0."),Mp=Object(Pe.h)("p",null,"Si può sfruttare la formula inversa della probabilità condizionata per calcolare catene di intersezioni:"),Fp=Object(Pe.h)("p",null,"La probabilità che si verifichi un evento è pari alla somma delle probabilità dell'evento stesso dati tutti gli eventi di una partizione."),Tp=Object(Pe.h)("p",null,"La legge delle alternative funziona anche quando ad essere partizionato è un ",Object(Pe.h)("b",null,"evento"),":"),Ip=Object(Pe.h)("p",null,"Tramite la ",Object(Pe.h)("i",null,"formula di Bayes")," possiamo risalire alla probabilità di un evento condizionato a un altro partendo dalla probabilità di quest'ultimo condizionato al primo:"),Dp=Object(Pe.h)(jr,null,"In pratica, invertiamo gli eventi."),Np=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"eventi indipendenti a due a due"'),Bp=Object(Pe.h)("p",null,"Se due eventi sono indipendenti, sapere che uno dei due si è verificato non influisce sulle probabilità che si sia verificato l'altro."),Vp=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"eventi indipendenti a tre a tre, a quattro a quattro, a cinque a cinque..."'),Rp=Object(Pe.h)("p",null,"Si può verificare l'indipendenza di più eventi alla volta:"),Up=Object(Pe.h)("p",null,"Eventi indipendenti a due a due non sono per forza indipendenti a tre a tre, e viceversa."),Yp=Object(Pe.h)(Be,{title:"Famiglia di eventi indipendenti"},Object(Pe.h)("p",null,"Un insieme di ",Object(Pe.h)(nt,null,"n")," eventi è una ",Object(Pe.h)("i",null,"famiglia di eventi indipendenti")," se, preso un qualsiasi numero di eventi da essa, essi risulteranno indipendenti."),Object(Pe.h)(jr,null,"Tutti gli eventi provenienti da essa saranno indipendenti sia a due a due, sia a tre a tre, sia a quattro a quattro, e così via!")),Hp=Object(Pe.h)("abbr",{title:"Nome artigianale dato da Steffo."},"Insieme di ripartizione"),Gp=Object(Pe.h)(nt,null,"t"),Wp=Object(Pe.h)("p",null,"Per definizione, tutte le variabili aleatorie devono rispettare questa condizione:"),$p=Object(Pe.h)(jr,null,"All'aumentare di t, l'insieme conterrà sempre più elementi."),Kp=Object(Pe.h)(Be,{title:"Supporto"},Object(Pe.h)("blockquote",null,'"supporto di X"'),Object(Pe.h)("p",null,"Il ",Object(Pe.h)("b",null,"codominio")," della variabile aleatoria è il suo ",Object(Pe.h)("i",null,"supporto"),"."),Object(Pe.h)("p",null,"Per indicare che un valore ",Object(Pe.h)(nt,null,"x_0")," appartiene al supporto di ",Object(Pe.h)(nt,null,"X"),", si usa la notazione ",Object(Pe.h)(nt,null,"X \\mapsto x_0"),".")),Zp=Object(Pe.h)("i",null,"funzione probabilità"),Qp=Object(Pe.h)("b",null,"discreta"),Jp=Object(Pe.h)(nt,null,"X"),eb=Object(Pe.h)("i",null,"funzione densità"),tb=Object(Pe.h)("b",null,"continua"),nb=Object(Pe.h)(nt,null,"X"),ab=Object(Pe.h)("p",null,"A differenza della funzione probabilità, è possibile che la funzione densità ",Object(Pe.h)("b",null,"non esista")," per una certa variabile aleatoria."),ib=Object(Pe.h)(jr,null,"Rappresenta \"quanta\" probabilità c'è in un'unità di x!"),lb=Object(Pe.h)("i",null,"funzione di ripartizione"),ob=Object(Pe.h)(nt,null,"t"),rb=Object(Pe.h)("li",null,"È sempre ",Object(Pe.h)("b",null,"monotona crescente")," (non strettamente)."),cb=Object(Pe.h)("br",null),sb=Object(Pe.h)("li",null,"Vale ",Object(Pe.h)("b",null,"0")," a ",Object(Pe.h)(nt,null,"-\\infty")," e ",Object(Pe.h)("b",null,"1")," a ",Object(Pe.h)(nt,null,"+\\infty"),"."),ub=Object(Pe.h)("br",null),hb=Object(Pe.h)("b",null,"continua da destra"),pb=Object(Pe.h)("p",null,"Possiamo usare la funzione di ripartizione per calcolare la probabilità di un certo valore reale:"),bb=Object(Pe.h)(Be,{title:"Nel discreto"},Object(Pe.h)("p",null,"Nel discreto basta abbinare un nuovo valore a ogni valore della variabile originale.")),db=Object(Pe.h)("p",null,"Nel continuo applichiamo la formula dell'integrazione per sostituzione:"),mb=Object(Pe.h)(Be,{title:"Nel... digitale"},Object(Pe.h)("p",null,"Trasformare variabili aleatorie è molto utile nell'informatica per creare distribuzioni partendo da una funzione ",Object(Pe.h)("a",{href:"https://docs.python.org/3/library/random.html#random.random"},Object(Pe.h)("code",null,"random()"))," che restituisce numeri da 0 a 1 con una distribuzione lineare.")),fb=Object(Pe.h)("p",null,"Ogni variabile aleatoria che ha una ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione di ripartizione")," e un ",Object(Pe.h)("b",null,"supporto finito")," ha anche una ",Object(Pe.h)("i",null,"media")," (o ",Object(Pe.h)("i",null,"valore medio")," o ",Object(Pe.h)("i",null,"atteso"),"):"),jb=Object(Pe.h)("p",null,"Nel discreto, si può calcolare con:"),Ob=Object(Pe.h)("p",null,"Nel continuo, si può calcolare con:"),_b=Object(Pe.h)(Be,{title:"Moda"},Object(Pe.h)("p",null,"Valore per cui la ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione probabilità")," o ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione densità")," è ",Object(Pe.h)("b",null,"massima"),".")),gb=Object(Pe.h)("i",null,"quantile"),vb=Object(Pe.h)(nt,null,"X"),wb=Object(Pe.h)("p",null),zb=Object(Pe.h)("i",null,"mediana"),yb=Object(Pe.h)("i",null,"quartili"),kb=Object(Pe.h)("i",null,Object(Pe.h)(nt,null,"n"),"-esima percentile"),Pb=Object(Pe.h)("p",null,"È un valore che indica quanto la variabile aleatoria si discosta generalmente dalla media:"),Eb=Object(Pe.h)("p",null,"Data una variabile aleatoria non-negativa:"),Xb=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(Ge,null,"TODO: Ha senso questa minidimostrazione?")),xb=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"disuguaglianza di cebicev"'),qb=Object(Pe.h)(nt,null,"X"),Cb=Object(Pe.h)(jr,null,"Serve per semplificare i calcoli quando la funzione di ripartizione è difficile da calcolare!"),Sb=Object(Pe.h)("p",null,"Il ",Object(Pe.h)("i",null,"momento")," ",Object(Pe.h)(nt,null,"k"),"-esimo di una variabile aleatoria è:"),Lb=Object(Pe.h)(jr,null,"La media di una variabile aleatoria è anche il suo primo momento."),Ab=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("i",null,"funzione generatrice dei momenti")," è:"),Mb=Object(Pe.h)("p",null,"Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione generatrice dei momenti, allora esse hanno la ",Object(Pe.h)("b",null,"stessa distribuzione"),"."),Fb=Object(Pe.h)("p",null,"E' la ",Object(Pe.h)("b",null,"trasformata di Laplace")," della variabile aleatoria di X."),Tb=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("i",null,"funzione caratteristica")," è:"),Ib=Object(Pe.h)("p",null,"Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione caratteristica, allora esse hanno la ",Object(Pe.h)("b",null,"stessa distribuzione"),"."),Db=Object(Pe.h)("p",null,"E' la ",Object(Pe.h)("b",null,"trasformata di Fourier")," della variabile aleatoria di X."),Nb=Object(Pe.h)("p",null,"Per dire che una variabile ha una certa distribuzione, si usa la notazione:"),Bb=Object(Pe.h)(Be,{title:"Prova di Bernoulli"},Object(Pe.h)("p",null,"Una prova con solo due possibili esiti: ",Object(Pe.h)(lt,null,"successo")," e ",Object(Pe.h)(ct,null,"insuccesso"),".")),Vb=Object(Pe.h)(Be,{title:"Schema di Bernoulli"},Object(Pe.h)("p",null,"Una sequenza di prove di Bernoulli per le quali le probabilità di successo e fallimento rimangono invariate.")),Rb=Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria che rappresenta una prova di Bernoulli:"),Ub=Object(Pe.h)("ul",null,Object(Pe.h)("li",null,"vale ",Object(Pe.h)(lt,null,"1")," in caso di ",Object(Pe.h)(lt,null,"successo"),"."),Object(Pe.h)("li",null,"vale ",Object(Pe.h)(ct,null,"0")," in caso di ",Object(Pe.h)(ct,null,"insuccesso"),".")),Yb=Object(Pe.h)("p",null,"La distribuzione bernoulliana ha come densità:"),Hb=Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di successi di ",Object(Pe.h)(nt,null,"n")," prove di uno schema di Bernoulli."),Gb=Object(Pe.h)("p",null,"La binomiale ha come densità:"),Wb=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale è:"),$b=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"media")," di una binomiale è:"),Kb=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"varianza")," di una binomiale è:"),Zb=Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione geometrica"},Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli fino alla comparsa del primo successo."),Object(Pe.h)("p",null,"Il suo simbolo è ",Object(Pe.h)(nt,null,"Geo(p)"),".")),Qb=Object(Pe.h)("p",null,"La geometrica ha come densità:"),Jb=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della geometrica è:"),ed=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"media")," della geometrica è:"),td=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"varianza")," della geometrica è:"),nd=Object(Pe.h)("p",null,"La geometrica non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),ad=Object(Pe.h)(jr,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."),id=Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli necessarie perchè si verifichi l'",Object(Pe.h)(nt,null,"n"),"-esimo successo."),ld=Object(Pe.h)("p",null,"La binomiale negativa ha come densità:"),od=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale negativa è:"),rd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"media")," della binomiale negativa è:"),cd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"varianza")," della binomiale negativa è:"),sd=Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero ",Object(Pe.h)(nt,null,"k")," di insuccessi consecutivi in uno schema di Bernoulli:"),ud=Object(Pe.h)("p",null,"La geometrica traslata ha come densità:"),hd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della geometrica traslata è:"),pd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"media")," della geometrica traslata è:"),bd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"varianza")," della geometrica è:"),dd=Object(Pe.h)("p",null,"La geometrica traslata non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),md=Object(Pe.h)(jr,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."),fd=Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di insuccessi in uno schema di Bernoulli prima che si verifichi l'",Object(Pe.h)(nt,null,"n"),"-esimo successo."),jd=Object(Pe.h)("p",null,"La binomiale negativa traslata ha come densità:"),Od=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale negativa traslata è:"),_d=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"media")," della binomiale negativa traslata è:"),gd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"varianza")," della binomiale negativa traslata è:"),vd=Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione ipergeometrica"},Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria che, sapendo il numero di successi ",Object(Pe.h)(nt,null,"K")," e di insuccessi ",Object(Pe.h)(nt,null,"N-K"),", conta quanti successi si otterrebbero se se ne estraessero ",Object(Pe.h)(nt,null,"n")," in blocco."),Object(Pe.h)("p",null,"Il suo simbolo è ",Object(Pe.h)(nt,null,"Ipe(N, K, n)"),".")),wd=Object(Pe.h)("p",null,"La ipergeometrica ha come densità:"),zd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della ipergeometrica è trascurabile."),yd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"media")," della ipergeometrica è:"),kd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"varianza")," della ipergeometrica è:"),Pd=Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria che soddisfa tutte le seguenti caratteristiche:"),Ed=Object(Pe.h)("p",null,"La poissoniana ha come densità:"),Xd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della poissoniana è:"),xd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"media")," della poissoniana è:"),qd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"varianza")," della poissoniana è:"),Cd=Object(Pe.h)("p",null,"Gli altri momenti della poissoniana sono:"),Sd=Object(Pe.h)("p",null,"Una successione di ",Object(Pe.h)("b",null,"arrivi")," avvenuti in un certo arco temporale che:"),Ld=Object(Pe.h)("li",null,"non sono sovrapposti."),Ad=Object(Pe.h)("li",null,"avvengono indipendentemente gli uni dagli altri."),Md=Object(Pe.h)(nt,null,"N_t"),Fd=Object(Pe.h)(nt,null,"t"),Td=Object(Pe.h)(jr,null,"E' paragonabile a una bernoulliana: ogni successo corrisponde a un arrivo, mentre il tempo è il numero di prove effettuate (ma nel continuo)."),Id=Object(Pe.h)("p",null,"L'esponenziale ha come ",Object(Pe.h)("b",null,"densità"),":"),Dd=Object(Pe.h)("p",null,"L'esponenziale ha come ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione di ripartizione"),":"),Nd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," dell'esponenziale è:"),Bd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"media")," dell'esponenziale è:"),Vd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"varianza")," dell'esponenziale è:"),Rd=Object(Pe.h)("p",null,"L'esponenziale non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),Ud=Object(Pe.h)(jr,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."),Yd=Object(Pe.h)(nt,null,"n"),Hd=Object(Pe.h)("p",null,"La legge gamma ha come densità:"),Gd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della legge gamma è:"),Wd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"media")," della legge gamma è:"),$d=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"varianza")," della legge gamma è:"),Kd=Object(Pe.h)("p",null,"Su di essa vale la seguente proprietà:"),Zd=Object(Pe.h)("p",null,"La distribuzione uniforme ha come ",Object(Pe.h)("b",null,"densità"),":"),Qd=Object(Pe.h)("p",null,"La distribuzione uniforme ha come ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione di ripartizione"),":"),Jd=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della distribuzione uniforme è:"),em=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"media")," della distribuzione uniforme è:"),tm=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"varianza")," della distribuzione uniforme è:"),nm=Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria con una specifica distribuzione."),am=Object(Pe.h)(jr,null,Object(Pe.h)(nt,null,"\\mu")," e ",Object(Pe.h)(nt,null,"\\sigma^2")," sono rispettivamente la media e la varianza della distribuzione!"),im=Object(Pe.h)("p",null,"La distribuzione normale ha come densità:"),lm=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della distribuzione normale è:"),om=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"media")," della distribuzione normale è:"),rm=Object(Pe.h)("p",null,"La ",Object(Pe.h)("b",null,"varianza")," della distribuzione normale è:"),cm=Object(Pe.h)("p",null,"Qualsiasi normale può essere trasformata in qualsiasi altra normale:"),sm=Object(Pe.h)("p",null,"La distribuzione normale standard ",Object(Pe.h)(nt,null,"Z")," è:"),um=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"Z \\sim Nor(0, 1)")),hm=Object(Pe.h)("blockquote",null,"chi-quadro a un grado di libertà"),pm=Object(Pe.h)("p",null,"Esiste una distribuzione Gamma particolare:"),bm=Object(Pe.h)("p",null,"Più chi-quadro possono essere sommate per aumentare i loro gradi di libertà:"),dm=Object(Pe.h)("p",null,"La distribuzione normale ha una particolare relazione con la distribuzione Gamma:"),mm=Object(Pe.h)("p",null,"La binomiale è come una ipergeometrica ma con ripetizioni, quindi per valori molto grandi di ",Object(Pe.h)(nt,null,"N")," rispetto a ",Object(Pe.h)(nt,null,"n"),", si può dire che:"),fm=Object(Pe.h)("p",null,"La binomiale non è altro che una poissoniana a tempo discreto, quindi, se ",Object(Pe.h)(nt,null,"n")," è grande e ",Object(Pe.h)(nt,null,"n \\cdot p")," è nell'ordine di grandezza delle unità, allora:"),jm=Object(Pe.h)("p",null,"Per il Teorema di De Moivre-Laplace, se una binomiale ha una ",Object(Pe.h)(nt,null,"n")," grande e ",Object(Pe.h)(nt,null,"p")," non vicina a 0 o 1, si può approssimare con:"),Om=Object(Pe.h)(nt,null,"X"),_m=Object(Pe.h)(nt,null,"Y"),gm=Object(Pe.h)(nt,null,"k"),vm=Object(Pe.h)("p",null,"Un vettore ",Object(Pe.h)("b",null,"composto da variabili aleatorie"),"."),wm=Object(Pe.h)("p",null,"I vettori aleatori hanno più funzioni di ripartizione che si differenziano in base al numero di parametri."),zm=Object(Pe.h)("p",null,"Se il numero di parametri coincide con la dimensione del vettore aleatorio, allora la funzione sarà una ",Object(Pe.h)("i",null,"funzione di ripartizione congiunta"),":"),ym=Object(Pe.h)("p",null,"Se il numero di parametri è minore della dimensione del vettore aleatorio, allora la funzione sarà una ",Object(Pe.h)("i",null,"funzione di ripartizione marginale"),":"),km=Object(Pe.h)("p",null,"I vettori aleatori ",Object(Pe.h)("b",null,"discreti")," hanno più densità che si differenziano in base al numero di parametri."),Pm=Object(Pe.h)("p",null,"Se il numero di parametri coincide con la dimensione del vettore aleatorio, allora la funzione sarà una ",Object(Pe.h)("i",null,"densità congiunta"),":"),Em=Object(Pe.h)("p",null,"Se il numero di parametri è minore della dimensione del vettore aleatorio, allora la funzione sarà una ",Object(Pe.h)("i",null,"densità marginale"),":"),Xm=Object(Pe.h)("p",null,"Più variabili aleatorie sono indipendenti se, per qualsiasi scelta di intervalli ",Object(Pe.h)(nt,null,"A_i"),":"),xm=Object(Pe.h)("p",null,"E' possibile calcolare la media di qualsiasi funzione ",Object(Pe.h)(nt,null,"g(X, Y)")," avente elementi del vettore come variabili:"),qm=Object(Pe.h)(jr,null,"Solitamente si calcola la media di ",Object(Pe.h)(nt,null,"x \\cdot y"),"."),Cm=Object(Pe.h)("p",null,"Le medie di più variabili aleatorie si possono sommare:"),Sm=Object(Pe.h)("p",null,"Un ",Object(Pe.h)("b",null,"operatore")," che misura la correlazione di due variabili aleatorie."),Lm=Object(Pe.h)("p",null,"Si calcola con il valore atteso dei prodotti delle distanze dalla media:"),Am=Object(Pe.h)("p",null,"Ha diverse proprietà:"),Mm=Object(Pe.h)("b",null,"valore nullo"),Fm=Object(Pe.h)("b",null,"commutativa"),Tm=Object(Pe.h)("b",null,"semplificabile"),Im=Object(Pe.h)("b",null,"lineare"),Dm=Object(Pe.h)("b",null,"distributiva"),Nm=Object(Pe.h)("p",null,"Due variabili sono ",Object(Pe.h)("i",null,"variabili incorrelate")," se:"),Bm=Object(Pe.h)("p",null,"Variabili indipendenti sono sempre incorrelate."),Vm=Object(Pe.h)("p",null,"E' sempre simmetrica e semidefinita positiva (tutti gli autovalori sono ",Object(Pe.h)(nt,null,"\\geq 0"),"."),Rm=Object(Pe.h)("p",null,"Un valore che misura come due variabili aleatorie sono correlate:"),Um=Object(Pe.h)("p",null,"E' sempre compreso tra -1 e 1:"),Ym=Object(Pe.h)("p",null,"Vale esattamente -1 o 1 solo se esiste un legame lineare tra le due variaibli:"),Hm=Object(Pe.h)("p",null,"La varianza di due variabili aleatorie sommate è:"),Gm=Object(Pe.h)(jr,null,"Si dimostra applicando le proprietà della covarianza!"),Wm=Object(Pe.h)(nt,null,"X_i"),$m=Object(Pe.h)("b",null,"indipendenti"),Km=Object(Pe.h)(Be,{title:"Campione casuale"},Object(Pe.h)("p",null,"Una ",Object(Pe.h)("b",null,"n-pla")," di variabili aleatorie con la stessa distribuzione della variabile aleatoria ",Object(Pe.h)(nt,null,"X"),' ("popolazione") ma ',Object(Pe.h)("b",null,"indipendenti")," tra loro."),Object(Pe.h)(jr,null,"Le variabili aleatorie sono come un lazy-load in programmazione; quando ci sarà bisogno del loro valore numerico, esse si ",Object(Pe.h)("b",null,"realizzeranno")," nel loro valore.")),Zm=Object(Pe.h)("p",null,"Il valore dato dalla media aritmetica degli ",Object(Pe.h)(nt,null,"n")," elementi del campione elevati alla potenza ",Object(Pe.h)(nt,null,"k"),":"),Qm=Object(Pe.h)("i",null,"media campionaria"),Jm=Object(Pe.h)("p",null,"La media aritmetica dello scarto quadratico medio degli elementi del campione."),ef=Object(Pe.h)("p",null,"Altrimenti:"),tf=Object(Pe.h)("p",null,"Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che:"),nf=Object(Pe.h)(jr,null,"Quindi, è possibile usare i campioni per trovare la media di una variabile aleatoria!"),af=Object(Pe.h)("p",null,"Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che:"),lf=Object(Pe.h)(jr,null,"Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!"),of=Object(Pe.h)("p",null,"Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che:"),rf=Object(Pe.h)(jr,null,"Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!"),cf=Object(Pe.h)(nt,null,"X"),sf=Object(Pe.h)("p",null,"...allora sappiamo anche la distribuzione della media campionaria!"),uf=Object(Pe.h)("p",null,"...e anche della varianza campionaria!"),hf=Object(Pe.h)(Be,{title:"Indipendenza"},Object(Pe.h)("p",null,"...e che media campionaria e varianza campionaria sono indipendenti tra loro!")),pf=Object(Pe.h)("p",null,"Se la successione di variabili aleatorie ",Object(Pe.h)(nt,null,"X_n")," all'infinito ha la ",Object(Pe.h)("b",null,"stessa funzione di ripartizione")," della popolazione ",Object(Pe.h)(nt,null,"X"),", allora essa ",Object(Pe.h)("i",null,"converge in distribuzione"),"."),bf=Object(Pe.h)("p",null,"Se la successione di variabili aleatorie ",Object(Pe.h)(nt,null,"X_n")," all'infinito ha la ",Object(Pe.h)("b",null,"stessa probabilità")," della popolazione ",Object(Pe.h)(nt,null,"X"),", allora essa ",Object(Pe.h)("i",null,"converge in probabilità"),"."),df=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(Ge,null,"TODO: non sono certissimo della definizione")),mf=Object(Pe.h)("p",null,"Se la successione di variabili aleatorie ",Object(Pe.h)(nt,null,"X_n")," all'infinito ha la ",Object(Pe.h)("b",null,"stessa probabilità a ")," della popolazione ",Object(Pe.h)(nt,null,"X"),", allora essa ",Object(Pe.h)("i",null,"converge quasi certamente"),"."),ff=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(Ge,null,"TODO: non sono certissimo della definizione")),jf=Object(Pe.h)("p",null,"Se la successione di variabili aleatorie ",Object(Pe.h)(nt,null,"X_n")," all'infinito ha la ",Object(Pe.h)("b",null,"media del quadrato della distanza")," tra la successione e la popolazione ",Object(Pe.h)(nt,null,"X")," ",Object(Pe.h)("b",null,"uguale a 0"),", allora essa ",Object(Pe.h)("i",null,"converge in media quadratica"),"."),Of=Object(Pe.h)("p",null,"In più:"),_f=Object(Pe.h)("b",null,"converge in probabilità"),gf=Object(Pe.h)("p",null,"Ovvero:"),vf=Object(Pe.h)("b",null,"converge quasi certamente"),wf=Object(Pe.h)("p",null,"Ovvero:"),zf=Object(Pe.h)("b",null,"converge in distribuzione"),yf=Object(Pe.h)("p",null,"Ovvero:"),kf=Object(Pe.h)("p",null,"E' una somma di ",Object(Pe.h)("b",null,"bernoulliane"),", e quindi si approssima a una normale:"),Pf=Object(Pe.h)("p",null,"E' una somma di ",Object(Pe.h)("b",null,"geometriche"),", e quindi si approssima a una normale:"),Ef=Object(Pe.h)("p",null,"E' una somma di altre ",Object(Pe.h)("b",null,"poissoniane"),", e quindi si approssima a una normale:"),Xf=Object(Pe.h)("p",null,"E' una somma di ",Object(Pe.h)("b",null,"esponenziali"),", e quindi si approssima a una normale:"),xf=Object(Pe.h)("p",null,"Se ",Object(Pe.h)(nt,null,"n")," è grande, allora:"),qf=Object(Pe.h)(Be,{title:"Parametri sconosciuti"},Object(Pe.h)("p",null,"Per indicare parametri sconosciuti di una legge si usa ",Object(Pe.h)(nt,null,"\\theta"),".")),Cf=Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria funzione di un campione:"),Sf=Object(Pe.h)(Be,{title:"Stimatore"},Object(Pe.h)("p",null,"Una statistica ",Object(Pe.h)(nt,null,"T_n")," ottenuta da ",Object(Pe.h)(nt,null,"n")," osservazioni, che stimi i parametri di una legge e sia indipendente da essi.")),Lf=Object(Pe.h)("p",null,"Uno stimatore è ",Object(Pe.h)("i",null,"corretto")," se il suo valore atteso coincide con quello dei parametri che stima:"),Af=Object(Pe.h)("p",null,"Uno stimatore è ",Object(Pe.h)("i",null,"asintoticamente corretto")," se, per infinite osservazioni, il suo valore atteso coincide con quello dei parametri che stima:"),Mf=Object(Pe.h)("p",null,"Uno stimatore è ",Object(Pe.h)("i",null,"consistente in media quadratica")," se:"),Ff=Object(Pe.h)("p",null,"Uno stimatore è ",Object(Pe.h)("i",null,"consistente in probabilità")," se:"),Tf=Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(Ge,null,"TODO: verificare che la mia modifica sia corretta")),If=Object(Pe.h)("p",null,"Uno stimatore è ",Object(Pe.h)("i",null,"asintoticamente normale")," se:"),Df=Object(Pe.h)("p",null,"Si può usare il ",Object(Pe.h)("i",null,"metodo dei momenti")," per ottenere uno stimatore di una popolazione ",Object(Pe.h)(nt,null,"X"),"."),Nf=Object(Pe.h)(nt,null,"M"),Bf=Object(Pe.h)(nt,null,"\\theta"),Vf=Object(Pe.h)("p",null,"Visto che:"),Rf=Object(Pe.h)("p",null,"Allora:"),Uf=Object(Pe.h)("p",null,"Si può usare il ",Object(Pe.h)("i",null,"metodo della massima verosomiglianza")," per ottenere uno stimatore di una popolazione ",Object(Pe.h)(nt,null,"X"),"."),Yf=Object(Pe.h)(nt,null,"L"),Hf=Object(Pe.h)(nt,null,"\\theta"),Gf=Object(Pe.h)("p",null,"Gli stimatori di massima verosomiglianza sono ",Object(Pe.h)("b",null,"asintoticamente corretti"),", ",Object(Pe.h)("b",null,"consistenti in probabilità")," e ",Object(Pe.h)("b",null,"asintoticamente normali"),"."),Wf=Object(Pe.h)("p",null,"Gli stimatori di massima verosomiglianza godono delle seguenti proprietà:"),$f=Object(Pe.h)("li",null,"Sono ",Object(Pe.h)("b",null,"asintoticamente corretti"),"."),Kf=Object(Pe.h)("li",null,"Sono ",Object(Pe.h)("b",null,"consistenti in probabilità"),"."),Zf=Object(Pe.h)("li",null,"Sono ",Object(Pe.h)("b",null,"asintoticamente normali"),"."),Qf=Object(Pe.h)("b",null,"invarianti"),Jf=Object(Pe.h)("p",null,"Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:"),ej=Object(Pe.h)("p",null,"Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:"),tj=Object(Pe.h)("p",null,"Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:"),nj=Object(Pe.h)("p",null,"Per il metodo della massima verosomiglianza:"),aj=Object(Pe.h)("br",null),ij=Object(Pe.h)("blockquote",null,'"intervallo di confidenza al 95%"'),lj=Object(Pe.h)("p",null,"L'intervallo di valori di ",Object(Pe.h)(nt,null,"\\theta"),' all\'interno del quale siamo "più o meno sicuri" si trovi il valore effettivo:'),oj=Object(Pe.h)(nt,null,"]a, b["),rj=Object(Pe.h)("p",null,"Può anche essere ",Object(Pe.h)("b",null,"unilatero")," nel caso limiti la stima in una sola direzione, positiva o negativa."),cj=Object(Pe.h)("p",null,"Se conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli intervalli di confidenza all'",Object(Pe.h)(nt,null,"\\alpha"),"% con queste formule:"),sj=Object(Pe.h)(Be,{title:"Varianza incognita"},Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(Ge,null,"TODO: Cos'è la distribuzione di Student?"))),uj=Object(Pe.h)("p",null,"L'intervallo di confidenza per la proprorzione di una bernoulliana qualsiasi si ottiene da questa formula:"),hj=Object(Pe.h)("p",null,"L'intervallo di confidenza per la media di una qualsiasi popolazione si ottiene da questa formula:"),pj=function(e){function t(){return ge(this,t),ve(this,e.apply(this,arguments))}return we(t,e),t.prototype.render=function(){return Object(Pe.h)("div",{style:ar.a.statistica},Th,Object(Pe.h)(Ue,{title:"Tipi di probabilità"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Classica"},Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Or)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Frequentista"},Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(_r)))),Ih),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Linguaggio matematico"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Spazio campionario"},Dh,Nh,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(gr)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Esito"},Bh,Vh,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(vr)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Evento"},Rh,Uh,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(wr))),Yh),Object(Pe.h)(Be,{title:"Not"},Hh,Gh,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(zr)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"And"},Wh,$h,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(yr)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Or"},Kh,Zh,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(kr)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Differenza"},Qh,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Pr)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Implicazione"},Jh,ep,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Er))),tp),Object(Pe.h)(Be,{title:"Evento impossibile"},np,ap,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Xr)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Mutua esclusione"},ip,lp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(xr))))),Object(Pe.h)(Ue,null,Object(Pe.h)(Be,{title:"Famiglia degli eventi"},op,rp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(qr))),Object(Pe.h)("p",null,"Qualsiasi sottoinsieme appartenente a ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(qr))," è considerato un evento.")),Object(Pe.h)(Be,{title:Object(Pe.h)("span",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Cr)),"-algebra")},cp,Object(Pe.h)("p",null,"Se la famiglia degli eventi soddisfa questi tre requisiti, allora viene detta ",Object(Pe.h)("i",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Cr)),"-algebra"),":"),Object(Pe.h)("ol",null,Object(Pe.h)("li",null,"Lo spazio campionario è un evento: ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Sr))),Object(Pe.h)("li",null,"Se un sottoinsieme è un evento, allora anche il suo complementare lo è: ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Lr))),Object(Pe.h)("li",null,"Se due sottoinsiemi sono eventi, allora lo sono anche la loro unione e intersezione: ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ar)))),Object(Pe.h)("p",null,"Un esempio: ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Mr))))),Object(Pe.h)(Ue,null,Object(Pe.h)(Be,{title:"Partizione"},sp,up,hp,Object(Pe.h)("p",null,"La partizione ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Fr))," è composta dagli eventi ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Tr)),", ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ir)),", ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Dr)),", fino a ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Nr)),"."),pp)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Assiomi della probabilità"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Primo assioma della probabilità"},bp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Br)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Secondo assioma della probabilità"},dp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Vr)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Terzo assioma della probabilità"},mp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Rr))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Conseguenze degli assiomi"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Probabilità di un evento negato"},fp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ur)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Probabilità di un evento incluso"},jp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Yr)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Unione"},Op,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Hr))),_p)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Spazi equiprobabili"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Cosa sono?"},gp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Gr)))),vp),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Calcolo combinatorio"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Disposizioni"},wp,zp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Wr)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Disposizioni con ripetizione"},yp,kp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh($r)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Combinazioni"},Pp,Ep,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Kr)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Combinazioni con ripetizione"},Xp,xp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Zr)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Permutazioni"},qp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Qr))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Probabilità condizionata"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Eventi condizionati"},Cp,Sp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Jr))),Lp),Object(Pe.h)(Be,{title:"Eventi mutualmente esclusivi"},Ap,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ec))))),Object(Pe.h)(Ue,null,Object(Pe.h)(Be,{title:"Regola della catena"},Mp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(tc))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Le alternative"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Legge delle alternative"},Fp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(nc)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Legge condizionata delle alternative"},Tp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ac)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Formula di Bayes"},Ip,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ic))),Dp)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Eventi indipendenti"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Due eventi indipendenti"},Np,Bp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(lc)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Più eventi indipendenti"},Vp,Rp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(oc))),Up),Yp),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Variabili aleatorie"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Variabile aleatoria"},Object(Pe.h)("p",null,"Una funzione che fa corrispondere un numero reale a ogni possibile esito dello spazio campionario. ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(rc)),".")),Object(Pe.h)(Be,{title:Hp},Object(Pe.h)("p",null,"Ad ogni variabile aleatoria sono associati gli eventi ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(cc)),", che contengono tutti gli esiti a cui la variabile aleatoria associa un valore minore o uguale a ",Gp,"."),Wp,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(sc))),$p),Kp),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Densità"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Funzione probabilità"},Object(Pe.h)("p",null,"La ",Zp," ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(uc))," di una variabile aleatoria ",Qp," ",Jp," è la funzione che associa ad ogni esito la sua probabilità:"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(hc)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Funzione densità"},Object(Pe.h)("p",null,"La ",eb," ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(pc))," di una variabile aleatoria ",tb," ",nb," è l'equivalente continuo della funzione probabilità:"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(bc))),ab,ib)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Funzione di ripartizione"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Definizione"},Object(Pe.h)("p",null,"Ogni variabile aleatoria ha una ",lb," ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(dc))," associata, che rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore minore o uguale a ",ob,":"),Object(Pe.h)("p",null,"Si può dire che essa rappresenti la probabilità dell'evento ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(mc)),":"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(fc)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Proprietà della funzione"},Object(Pe.h)("ul",null,rb,cb,sb,ub,Object(Pe.h)("li",null,"È ",hb,": ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(jc))))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Probabilità di un valore"},pb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Oc))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Trasformazioni di variabili aleatorie"},bb,Object(Pe.h)(Be,{title:"Nel continuo (invertibile)"},db,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(_c)))),mb),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Informazioni delle variabili aleatorie"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Media"},fb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(gc))),jb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(vc))),Ob,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(wc))))),Object(Pe.h)(Ue,null,_b,Object(Pe.h)(Be,{title:"Quantili"},Object(Pe.h)("p",null,"Il ",gb," ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(zc))," di ordine ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(yc))," della variabile aleatoria ",vb," è il più piccolo numero tale che:"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(kc))),wb,Object(Pe.h)("p",null,"Il quantile di ordine 0.5 ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Pc))," è detto ",zb,"."),Object(Pe.h)("p",null,"I quantili di ordine 0.25 ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ec))," e 0.75 ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Xc))," sono detti ",yb,"."),Object(Pe.h)("p",null,"I quantili di ordine ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(xc))," sono detti ",kb,".")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Varianza"},Pb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(qc))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Disuguaglianze notevoli"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Disuguaglianza di Markov"},Eb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Cc))),Object(Pe.h)("p",null,"Divide in due parti (",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Sc))," e ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Lc)),") la funzione X, la cui media risulterà uguale a:"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ac))),Xb),Object(Pe.h)(Be,{title:"Disuguaglianza di Čebyšëv"},xb,Object(Pe.h)("p",null,"Se la variabile aleatoria ",qb," ha media e varianza, allora la probabilità che essa abbia un valore a più di ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Mc))," di distanza dal valore medio è minore o uguale a ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Fc)),"."),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Tc))),Cb)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Un momento...!"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Momento"},Sb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ic))),Lb),Object(Pe.h)(Be,{title:"Funzione generatrice dei momenti"},Ab,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Dc))),Mb,Fb),Object(Pe.h)(Be,{title:"Funzione caratteristica"},Tb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Nc))),Ib,Db)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Prove e schemi"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Variabile con distribuzione"},Nb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Bc)))),Bb,Vb),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Bernoulliana"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione bernoulliana"},Rb,Ub,Object(Pe.h)("p",null,"Il suo simbolo è ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Vc)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Densità della bernoulliana"},Yb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Rc))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Binomiale"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione binomiale"},Hb,Object(Pe.h)("p",null,"Il suo simbolo è ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Uc)),".")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Densità della binomiale"},Gb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Yc)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Momenti della binomiale"},Wb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Hc))),$b,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Gc))),Kb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Wc))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Geometrica"},Zb,Object(Pe.h)(Be,{title:"Densità della geometrica"},Qb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh($c)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Momenti della geometrica"},Jb,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Kc))),ed,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Zc))),td,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Qc)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Assenza di memoria della geometrica"},nd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Jc))),ad)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Binomiale negativa"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione binomiale negativa"},id,Object(Pe.h)("p",null,"Il suo simbolo è ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(es)),".")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Densità della binomiale negativa"},ld,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ts)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Momenti della binomiale negativa"},Object(Pe.h)("p",null,od,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ns))),rd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(as))),cd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(is)))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Geometrica traslata"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione geometrica traslata"},sd,Object(Pe.h)("p",null,"Il suo simbolo rimane ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ls)),".")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Densità della geometrica tralsata"},ud,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(os)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Momenti della geometrica traslata"},hd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(rs))),pd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(cs))),bd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Qc)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Assenza di memoria della geometrica traslata"},dd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Jc))),md)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Binomiale negativa traslata"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione binomiale negativa traslata"},fd,Object(Pe.h)("p",null,"Il suo simbolo rimane ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(es)),".")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Densità della binomiale negativa traslata"},jd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ss)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Momenti della binomiale negativa traslata"},Object(Pe.h)("p",null,Od,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(us))),_d,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(hs))),gd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(is)))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Ipergeometrica"},vd,Object(Pe.h)(Be,{title:"Densità della ipergeometrica"},wd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ps)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Momenti della ipergeometrica"},Object(Pe.h)("p",null,zd,yd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(bs))),kd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ds)))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Poissoniana"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione poissoniana"},Pd,Object(Pe.h)("ul",null,Object(Pe.h)("li",null,"Binomiale: ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ms))),Object(Pe.h)("li",null,"Il numero di prove tende a infinito: ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(fs))),Object(Pe.h)("li",null,"La probabilità di successo tende a 0: ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(js))),Object(Pe.h)("li",null,"La media è finita: ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Os)))),Object(Pe.h)("p",null,"Il suo simbolo è ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(_s)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Densità della poissoniana"},Ed,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(gs)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Momenti della poissoniana"},Object(Pe.h)("p",null,Xd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(vs))),xd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ws))),qd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(zs))),Cd,Object(Pe.h)("ol",{start:2},Object(Pe.h)("li",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ys))))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Un altro schema"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Schema di Poisson"},Sd,Object(Pe.h)("ul",null,Ld,Object(Pe.h)("li",null,"hanno intensità ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ks))," costante."),Ad)),Object(Pe.h)(Be,{title:"Processo di Poisson"},Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria ",Md," che conta il numero di arrivi di uno schema di Poisson di intensità ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ks))," in un intervallo di tempo di durata ",Fd,"."),Object(Pe.h)("p",null,"E' una distribuzione poissoniana con ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ps)),": ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Es))),Td)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Esponenziale"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione esponenziale"},Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima del primo arrivo di un processo di Poisson di intensità ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ks)),"."),Object(Pe.h)("p",null,"Il suo simbolo è ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Xs)),".")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Densità dell'esponenziale"},Id,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(xs))),Dd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(qs)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Momenti dell'esponenziale"},Nd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Cs))),Bd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ss))),Vd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ls)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Assenza di memoria della esponenziale"},Rd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(As))),Ud)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Legge gamma"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione gamma"},Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima dell'",Yd,"-esimo arrivo di un processo di Poisson di intensità ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ks)),"."),Object(Pe.h)("p",null,"Il suo simbolo è ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ms)),".")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Densità della legge gamma"},Hd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Fs)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Momenti della legge gamma"},Object(Pe.h)("p",null,Gd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ts))),Wd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Is))),$d,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ds)))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Uniforme"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione uniforme"},Object(Pe.h)("p",null,"Una variabile aleatoria che può assumere qualsiasi valore in un intervallo ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ns))," in modo equiprobabile."),Object(Pe.h)("p",null,"Il suo simbolo è ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Bs))),Kd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Vs)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Densità della distribuzione uniforme"},Zd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Rs))),Qd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Us)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Momenti della distribuzione uniforme"},Object(Pe.h)("p",null,Jd,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ys))),em,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Hs))),tm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Gs)))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Normale o Gaussiana"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione normale"},nm,Object(Pe.h)("p",null,"Il suo simbolo è ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ws)),"."),am),Object(Pe.h)(Be,{title:"Densità della distribuzione normale"},im,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh($s)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Momenti della distribuzione normale"},Object(Pe.h)("p",null,lm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ks))),om,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ws))),rm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Zs)))))),Object(Pe.h)(Ue,null,Object(Pe.h)(Be,{title:"Trasformazione della normale"},cm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Qs)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Normale standard"},sm,um,Object(Pe.h)("p",null,"La sua funzione di ripartizione è detta ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Js))," e vale:"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(eu)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Quantili normali"},Object(Pe.h)("p",null,"Da un quantile ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(tu))," della normale standard è possibile risalire allo stesso quantile di qualsiasi altra normale:"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(nu))))),Object(Pe.h)(Ue,null,Object(Pe.h)(Be,{title:"Una gamma particolare"},hm,pm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(au))),bm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(iu)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Gamma e normale"},dm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(lu))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Approssimazioni notevoli"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Ipergeometrica e binomiale"},mm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ou)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Binomiale e poissoniana"},fm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ru)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Binomiale e 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discreta"},km,Pm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ou))),Em,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(_u))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Più variabili aleatorie"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Indipendenza delle variabili aleatorie"},Xm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(gu)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Media dei vettori aleatori"},xm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(vu))),qm,Cm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(wu))))),Object(Pe.h)(Ue,null,Object(Pe.h)(Be,{title:"Covarianza"},Sm,Lm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(zu))),Am,Object(Pe.h)("ul",null,Object(Pe.h)("li",null,"Il suo ",Mm," è 0: ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(yu))),Object(Pe.h)("li",null,"E' ",Fm,": ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(ku))),Object(Pe.h)("li",null,"E' ",Tm,": ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Pu))),Object(Pe.h)("li",null,"E' ",Im,": ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Eu))),Object(Pe.h)("li",null,"E' ",Dm,": ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Xu))))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Variabili incorrelate"},Nm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(xu))),Bm),Object(Pe.h)(Be,{title:"Matrice di covarianza"},Object(Pe.h)("p",null,"Una matrice ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(qu))," che contiene la covarianza tra tutte le variabili di un vettore aleatorio ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(du)),":"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Cu))),Vm),Object(Pe.h)(Be,{title:"Coefficiente di correlazione"},Rm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Su))),Um,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Lu))),Ym,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Au)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Varianza di variabili aleatorie sommate"},Hm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Mu))),Gm,Object(Pe.h)("p",null,"Se più variabili aleatorie ",Wm," sono ",$m," (",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(xu)),"), allora:"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Fu))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Campioni"},Km,Object(Pe.h)(Be,{title:"Momento campionario"},Zm,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Tu))),Object(Pe.h)("p",null,"Il momento campionario di primo ordine è la ",Qm," ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Iu)),".")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Varianza campionaria"},Jm,Object(Pe.h)("p",null,"Se è noto il valore medio ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Du))," di X:"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Nu))),ef,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Bu))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Media-ception"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Media campionaria"},tf,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Vu))),nf),Object(Pe.h)(Be,{title:"Varianza campionaria"},af,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ru))),lf),Object(Pe.h)(Be,{title:"Correzione campionaria"},of,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Uu))),rf)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Campionamento di una distribuzione normale"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Campionamento di una distribuzione normale"},Object(Pe.h)("p",null,"Se la popolazione ",cf," ha una distribuzione normale (",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Yu)),")...")),Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione della media campionaria"},sf,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Hu)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Distribuzione della varianza campionaria"},uf,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Gu))),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Wu)))),hf),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Quando i campioni hanno dimensioni infinite"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Convergenza in distribuzione"},pf,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"\\lim_{n \\to +\\infty} F_{X_n} (x) = F_X (x) \\implies X_n \\xrightarrow{d} X"))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Convergenza in probabilità"},bf,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"\\forall \\epsilon > 0, \\lim_{n \\to +\\infty} P( | X_n - X | < \\epsilon) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{p} X")),df),Object(Pe.h)(Be,{title:"Convergenza quasi certa"},mf,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"\\forall \\epsilon > 0, P left( \\lim_{n \\to +\\infty} | X_n - X | < \\epsilon) \right) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{qc} X")),ff),Object(Pe.h)(Be,{title:"Convergenza in media quadratica"},jf,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"\\lim_{n \\to +\\infty} E( | X_n - X |^2 = 0 \\implies X_n \\xrightarrow{mq} X"))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Gerarchia delle convergenze"},Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"\n \\begin{matrix}\n X_n \\xrightarrow{mq} X\\\\\n X_n \\xrightarrow{qc} X\n \\end{matrix} \\implies X_n \\xrightarrow{p} X \\implies X_n \\xrightarrow{d} X")),Of,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"X_n \\xrightarrow{p} x \\Longleftrightarrow X_n \\xrightarrow{d} x")))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"I grandi numeri"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Legge debole dei grandi numeri"},Object(Pe.h)("p",null,"La successione delle medie campionarie ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Iu))," ",_f," alla media della popolazione ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh($u)),", se essa esiste."),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"\\overline{X}_n \\xrightarrow{p} X")),gf,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ku))),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Zu)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Legge forte dei grandi numeri"},Object(Pe.h)("p",null,"La successione delle medie campionarie ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Iu))," ",vf," alla media della popolazione ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh($u)),", se essa esiste."),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,"\\overline{X}_n \\xrightarrow{qc} X")),wf,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Qu))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Al limite"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Teorema centrale del limite"},Object(Pe.h)("p",null,"La successione delle medie campionarie ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Iu))," ",zf," a ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ju)),"."),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(eh))),yf,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(th))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Altre approsimazioni"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Binomiale e 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bernoulliana"},Jf,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(yh)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Stima di una poissoniana"},ej,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(kh)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Stima di una esponenziale"},tj,Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ph)))),Object(Pe.h)(Be,{title:"Stima di una normale"},nj,Object(Pe.h)("ul",null,Object(Pe.h)("li",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Eh))),aj,Object(Pe.h)("li",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Xh)))))),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Intervalli di confidenza"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Confidenza"},ij,lj,Object(Pe.h)("p",null,"L'intervallo di confidenza a N della stima ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(xh))," è l'intervallo ",oj," tale che:"),Object(Pe.h)("p",null,Object(Pe.h)(nt,null,Fh(qh))),rj)),Object(Pe.h)(Ue,{title:"Confidenza nella media di una normale"},Object(Pe.h)(Be,{title:"Varianza nota"},cj,Object(Pe.h)("ul",null,Object(Pe.h)("li",null,"Intervalli bilateri: ",Object(Pe.h)(nt,null,Fh(Ch))),Object(Pe.h)("li",null,"Intervallo 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