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\n

Calcolo Numerico

\n
\n \n
    \n
  • Prof.ssa Silvia Bonettini
    • \n
\n \n \n

\n E' composto da:\n

\n
    \n
  • 2 domande sugli argomenti teorici
    • \n
  • 1 domanda di implementazione algoritmo in MATLAB
    • \n
\n \n \n
    \n
    2. \n
    3. \n
\n \n
\n
\n \n

\n Prima di iniziare a studiare Calcolo Numerico, potrebbe essere una buona idea ripassare un pochino Algebra Lineare:\n

\n \n
  • \n Ripasso di Algebra Lineare (per studenti sperduti di Calcolo Numerico)\n
    • \n     \n     \n
    \n
    \n \n

    \n Particolari algoritmi che hanno:\n

    \n
      \n
    • numeri reali in input e output
      • \n
    • successioni delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali come passi
      • \n
    \n     \n
    \n
    \n \n

    \n Con i numeri floating point può capitare che un certo numero {r`\\alpha`} non\n sia rappresentato correttamente.\n

    \n

    \n In tal caso, il numero si indica con {r`\\alpha^*`}.\n

    \n     \n
    \n
    \n \n

    \n È la differenza tra il numero desiderato e il numero rappresentato:\n

    \n {r`E_a = \\left | \\alpha - \\alpha^* \\right |`}\n     \n \n

    \n Indica quanto il numero rappresentato differisce dal numero desiderato:\n

    \n {r`\\forall \\alpha \\neq 0, E_r = \\frac{E_a}{\\left | \\alpha \\right |}`}\n     \n
    \n
    \n \n

    \n Metodo con cui gestire gli underflow floating point: le cifre meno significative\n vengono rimosse.\n

    \n \n 
    \n                            1.00  →  1.0
    \n                            1.01  →  1.0
    \n                            1.10  →  1.1
    \n                            1.11  →  1.1\n
    \n     \n     \n \n

    \n Metodo con cui gestire gli underflow floating point: se la cifra più significativa di\n quelle che devono essere rimosse è 1, allora aumenta di 1 anche quella meno signficativa\n che viene tenuta.\n

    \n \n 
    \n                            1.00  →  1.0
    \n                            1.01  →  1.0
    \n                            1.10  →  1.1
    \n                            1.11  → 10.\n
    \n     \n     \n
    \n
    \n \n

    \n Un numero reale rappresentato in virgola mobile ha un errore relativo minore o uguale alla precisione\n di macchina:\n

    \n

    \n {r`E_r \\leq k \\cdot \\beta^{1-t}`}\n

    \n
      \n
    • \n \\beta è uguale alla base utilizzata (solitamente 2).\n
      • \n
    • \n t è uguale al numero di cifre della mantissa.\n
      • \n
    • \n k è uguale a 1 se il numero viene rappresentato per\n troncamento oppure a {r`\\frac{1}{2}`} se viene rappresentato per\n arrotondamento.\n
      • \n
    \n     \n \n

    \n Associa un valore reale al suo corrispondente valore floating point, utilizzando uno dei\n due metodi di gestione dell'undeflow.\n

    \n {r`fl(x) = (x)(1 + \\epsilon_x)`}\n \n Indica che un valore è soggetto alla precisione di macchina.\n {r`fl(1.11) = 1.1`}\n \n     \n
    \n
    \n \n

    \n L'insieme {r`\\mathbb{F}`} è il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili in\n floating point dalla macchina che stiamo usando.\n

    \n

    \n Operazioni tra elementi di {r`\\mathbb{F}`} producono risultati\n in {r`\\mathbb{R}`}, che però decaderanno nuovamente a elementi\n di {r`\\mathbb{F}`}, perdendo informazioni.\n

    \n

    \n Il teorema della precisione di macchina si applica quindi anche ai risultati delle operazioni.\n

    \n     \n \n
      \n
    • Hanno più elementi neutri.
      • \n
    • Un numero ha più opposti.
      • \n
    • Non sono associative.
      • \n
    • Non sono distributive.
      • \n
    • Non vale la legge di annullamento del prodotto.
      • \n
    \n     \n
    \n
    \n \n

    \n Errore derivato da underflow sui dati.\n

    \n

    \n Si indica con {r`\\epsilon_{nome\\_var}`}.\n

    \n \n L'errore sulla variabile x si indica con {r`\\epsilon_{x}`}.\n \n     \n \n

    \n Errore derivato da underflow durante l'esecuzione dell'algoritmo.\n

    \n

    \n Si indica con {r`\\epsilon_{num\\_passo}`}.\n

    \n \n L'errore al primo passo dell'algoritmo si indica con {r`\\epsilon_{1}`}.\n \n     \n
    \n
    \n \n

    \n Sensibilità di un problema all'errore inerente.\n

    \n \n {r`y = \\frac{1}{x}`} è mal condizionato intorno allo 0 e ben condizionato\n lontano dallo 0.\n \n     \n \n

    \n Sensibilità di un problema all'errore algoritmico.\n

    \n \n

    \n Cerchiamo un algoritmo che risolva {r`2x^* = 4`}.\n

    \n

    \n Calcolare prima {r`t = fl \\left( \\frac{1}{4} \\right)`} e\n poi {r`x = fl ( 2 \\cdot t )`} porta a una perdita di precisione.\n

    \n

    \n Calcolare direttamente {r`x = fl \\left( \\frac{2}{4} \\right)`} non ha alcuna\n perdita di precisione e rende l'algoritmo più stabile del precedente.\n

    \n     \n     \n
    \n
    \n \n

    \n È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'errore inerente.\n

    \n

    \n Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione.\n

    \n

    \n Minore è l'indice di condizionamento, meglio condizionato è un problema.\n

    \n     \n \n

    \n È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'errore algoritmico.\n

    \n

    \n Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione.\n

    \n     \n
    \n
    \n \n TODO\n \n \n

    \n Il condizionamento della risoluzione di sistemi lineari è:\n

    \n {r`\\frac{{\\color{yellow} \\|A\\| \\cdot \\|A^{-1}\\|} \\cdot \\| \\Delta b \\|}{\\| b \\|}`}\n

    \n In particolare, è segnato in giallo nella formula il numero di condizionamento:\n

    \n \n {r`k(A) = \\| A \\| \\cdot \\| A^{-1} \\|`}\n \n     \n
    \n
    \n \n

    \n Metodi che trovano la soluzione esatta* di un sistema lineare.\n

    \n

    \n Tipicamente prevedono la fattorizzazione della matrice dei coefficienti in due sottomatrici più facili da risolvere.\n

    \n

    \n Generalmente hanno una complessità temporale {r`O(n^3)`}.\n

    \n     \n \n

    \n Metodi che trovano una soluzione imperfetta* di un sistema lineare.\n

    \n

    \n Tipicamente prevedono l'applicazione ripetuta di un metodo, in base al quale cambia la velocità di convergenza alla soluzione.\n

    \n

    \n Generalmente hanno una complessità temporale {r`O(n^2)`}.\n

    \n     \n
    \n
    \n \n

    \n Se la matrice dei coefficienti del sistema è diagonale, allora è possibile trovare la soluzione dividendo ogni termine noto per l'unico coefficiente diverso da zero presente nella sua riga:\n

    \n {r`x_i = \\frac{b_i}{A_{ii}}`}\n     \n \n

    \n Se la matrice dei coefficienti del sistema è triangolare inferiore o superiore, allora è possibile trovare la soluzione effettuando una sostituzione all'avanti oppure all'indietro:\n

    \n {r`x_i = \\frac{b_i - \\sum_{k = 1}^{i - 1} (x_k \\cdot A_{ik})}{A_{ii}}`}\n {r`x_i = \\frac{b_i - \\sum_{k = i - 1}^{n} (x_k \\cdot A_{ik})}{A_{ii}}`}\n     \n
    \n
    \n Fattorizzazione {r`LU`}}>\n

    \n Se la matrice dei coefficienti del sistema non ha minori uguali a 0 (eccetto l'ultimo) allora è possibile fattorizzarla in due matrici: una {r`L`} triangolare inferiore, e una {r`U`} triangolare superiore.\n

    \n {r`A = L \\cdot U`}\n \n Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo metodo di Gauss.\n \n

    \n La matrice {r`L`} è così composta:\n

    \n {r`\n \\begin{cases}\n L_{ii} = 1 \\qquad \\qquad (diagonale)\\\\\n L_{ik} = -\\frac{A_{ik}}{A_{kk}} \\qquad (tri.\\ infer.)\n \\end{cases}\n `}\n \n Sono i moltiplicatori usati per rendere annullare il triangolo inferiore!\n \n

    \n La matrice {r`U`} è così composta:\n

    \n {r`\n \\begin{cases}\n U_{ik} = A_{ik} \\quad se\\ i \\leq k \\quad (tri.\\ super.)\\\\\n U_{ik} = 0 \\qquad se\\ i > k \\quad (tri.\\ infer.)\n \\end{cases}\n `}\n

    \n Il sistema può essere poi risolto applicando due volte il metodo di sostituzione:\n

    \n {r`\n \\begin{cases}\n L \\cdot y = b\\\\\n U \\cdot x = y\n \\end{cases}\n `}\n

    \n Questo metodo ha costo computazionale:\n

    \n {r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right)} + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}\n     \n Fattorizzazione {r`LU`} con pivoting parziale}>\n

    \n È possibile applicare la fattorizzazione {r`LU`} a qualsiasi matrice non-singolare permettendo lo scambio (pivoting) delle righe, potenzialmente aumentando la stabilità dell'algoritmo.\n

    \n \n Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo metodo di Gauss-Jordan!\n \n

    \n Alla formula precedente si aggiunge una matrice di permutazione che indica quali righe sono state scambiate:\n

    \n {r`P \\cdot A = L \\cdot U`}\n

    \n Questo metodo ha costo computazionale:\n

    \n {r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)} + O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}\n     \n Fattorizzazione {r`LU`} con pivoting totale}>\n

    \n È possibile anche permettere il pivoting sulle colonne per aumentare ulteriormente la stabilità dell'algoritmo, a costo di maggiore costo computazionale:\n

    \n {r`P \\cdot A \\cdot Q = L \\cdot U`}\n

    \n Questo metodo ha costo computazionale:\n

    \n {r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right)} + O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}\n     \n
    \n
    \n Fattorizzazione {r`LDL^{-1}`}}>\n

    \n È possibile ridurre la complessità computazionale della fattorizzazione {r`LU`} se la matrice dei coefficienti è simmetrica:\n

    \n {r`A = L \\cdot D \\cdot L^{-1}`}\n

    \n In questo caso, si calcola solo la matrice L, utilizzando il metodo di pavimentazione.\n

    \n {r`\n \\begin{cases}\n d_{ii} = A_{ii} - \\sum_{k=1}^{i-1} ( d_{kk} \\cdot (l_{jk})^2 )\\\\\n l_{ij} = \\frac{A_{ij} - \\sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \\cdot d_{kk} \\cdot l_{jk}}{d_ii}\n \\end{cases}\n `}\n \n

    \n La prima colonna della matrice sarà:\n

    \n {r`\n \\begin{cases}\n d_{11} = A_{11}\n l_{i1} = \\frac{A_{i1}}{d_{11}}\n \\end{cases}\n `}\n

    \n La seconda colonna della matrice sarà:\n

    \n {r`\n \\begin{cases}\n d_{22} = A_{22} - d_{11} \\cdot (l_{21})^2\\\\\n l_{i2} = \\frac{A_{i2} - l_{i1} \\cdot d_{11} \\cdot l_{21}}{d_ii}\n \\end{cases}\n `}\n     \n

    \n Questo metodo ha costo computazionale:\n

    \n {r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{n^3}{6}\\right)} + O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}\n     \n Fattorizzazione {r`\\mathcal{L} \\mathcal{L}^{-1}`}}>\n

    \n È possibile dare stabilità forte alla fattorizzazione {r`LDL^{-1}`} se la matrice dei coefficienti è simmetrica definita positiva:\n

    \n {r`A = \\mathcal{L} \\cdot \\mathcal{L}^{-1}`}\n

    \n Il metodo di pavimentazione diventa:\n

    \n {r`\n \\begin{cases}\n l_{ii} = \\sqrt{A_{ii} - \\sum_{k=1}^{i-1} (l_{ik})^2 }\\\\\n l_{ij} = \\frac{A_{ij} - \\sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \\cdot l_{jk}}{l_ii}\n \\end{cases}\n `}\n

    \n Questo metodo ha costo computazionale:\n

    \n {r`O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}\n     \n
    \n
    \n \n

    \n Matrice ricavata dalla seguente formula:\n

    \n {r`U(v) = I - \\frac{1}{\\alpha} \\cdot v \\cdot v^T`}\n {r`\\alpha = \\frac{1}{2} \\| v \\|_{(2)}^2`}\n     \n Fattorizzazione {r`QR`}}>\n

    \n Metodo che fornisce una maggiore stabilità a costo di una maggiore complessità computazionale.\n

    \n

    \n La matrice {r`A`} viene fattorizzata in due matrici, una ortogonale {r`Q`} e una triangolare superiore {r`R`}:\n

    \n {r`A = Q \\cdot R`}\n

    \n Le matrici si ottengono dal prodotto delle trasformazioni di Householder ({r`Q`} sulle colonne della matrice {r`A`}, trasformandola in una matrice triangolare superiore ({r`R`}).\n

    \n

    \n Una volta fattorizzata, il sistema si può risolvere con:\n

    \n {r`\n \\begin{cases}\n y = Q^T \\cdot b\\\\\n R \\cdot x = y\n \\end{cases}\n `}\n

    \n Questo metodo ha costo computazionale:\n

    \n {r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{2 \\cdot n^3}{3}\\right)} + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}\n

    \n TODO: l'algoritmo con tau per ricavare la q se non è in memoria\n

    \n     \n
    \n
    \n \n TODO\n \n \n TODO\n \n
    \n
    \n \n TODO\n \n \n TODO\n \n
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    \n \n TODO\n \n \n TODO\n \n
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    \n \n TODO\n \n \n TODO\n \n
    \n
    \n \n TODO\n \n \n TODO\n \n
    \n
    \n \n

    \n Si vuole trovare una funzione in grado di approssimarne un altra, di cui si conoscono però solo alcuni punti.\n

    \n \n È utile in un sacco di casi! Ad esempio, quando si vuole scalare un'immagine.\n \n     \n
    \n
    \n \n TODO\n \n \n TODO\n \n
    \n
    \n \n TODO\n \n \n TODO\n \n \n TODO\n \n \n TODO\n \n
    \n
    \n )\n}\n"],"sourceRoot":""}