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\n

Ripasso di Algebra Lineare per Calcolo\n Numerico

\n
\n \n

\n Elemento neutro della moltiplicazione matriciale.\n

\n \n {r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Yellow} 1} & {\\color{Yellow} 0} & {\\color{Yellow} 0}\\\\\n {\\color{Yellow} 0} & {\\color{Yellow} 1} & {\\color{Yellow} 0}\\\\\n {\\color{Yellow} 0} & {\\color{Yellow} 0} & {\\color{Yellow} 1}\n \\end{pmatrix}\n `}\n \n \n \n

\n Matrice con elementi diversi da 0 solo sulla diagonale.\n

\n \n {r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Yellow} 3} & {\\color{Gray} 0} & {\\color{Gray} 0}\\\\\n {\\color{Gray} 0} & {\\color{Yellow} 4} & {\\color{Gray} 0}\\\\\n {\\color{Gray} 0} & {\\color{Gray} 0} & {\\color{Yellow} 5}\n \\end{pmatrix}\n `}\n \n \n \n

\n Matrice con elementi diversi da 0 sopra la diagonale.\n

\n \n {r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Yellow} 3} & {\\color{Gray} 0} & {\\color{Gray} 0}\\\\\n {\\color{Orange} 4} & {\\color{Yellow} 4} & {\\color{Gray} 0}\\\\\n {\\color{Orange} 5} & {\\color{Orange} 5} & {\\color{Yellow} 5}\n \\end{pmatrix}\n `}\n \n \n \n

\n Matrice con elementi diversi da 0 sotto la diagonale.\n

\n \n {r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Yellow} 3} & {\\color{Orange} 3} & {\\color{Orange} 3}\\\\\n {\\color{Gray} 0} & {\\color{Yellow} 4} & {\\color{Orange} 4}\\\\\n {\\color{Gray} 0} & {\\color{Gray} 0} & {\\color{Yellow} 5}\n \\end{pmatrix}\n `}\n \n \n \n

\n Matrice con determinante diverso da 0.\n

\n {r`det(A) \\neq 0`}\n

\n Sono anche dette matrici linearmente indipendenti o matrici invertibili.\n

\n \n {r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Yellow} 1} & {\\color{Yellow} 1} & {\\color{Yellow} 2}\\\\\n {\\color{Orange} 2} & {\\color{Orange} 1} & {\\color{Orange} 1}\\\\\n {\\color{Red} 1} & {\\color{Red} 2} & {\\color{Red} 1}\n \\end{pmatrix}\n `}\n \n \n \n

\n Matrice con un asse di simmetria lungo la diagonale.\n

\n {r`A = A^T`}\n \n {r`\n \\begin{pmatrix}\n 1 & {\\color{Yellow} 2} & {\\color{Orange} 4}\\\\ \n {\\color{Yellow} 2} & 3 & {\\color{Red} 5}\\\\ \n {\\color{Orange} 4} & {\\color{Red} 5} & 6\n \\end{pmatrix}\n `}\n \n \n \n

\n Matrice con un asse di simmetria lungo la diagonale; gli elementi nel triangolo superiore sono\n però l'opposto di quelli del triangolo inferiore.\n

\n

\n Ha sempre degli 0 lungo la diagonale.\n

\n {r`A = -A^T`}\n \n {r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Gray} 0} & {\\color{Yellow} -2} & {\\color{Orange} -4}\\\\ \n {\\color{Yellow} 2} & {\\color{Gray} 0} & {\\color{Red} -5}\\\\ \n {\\color{Orange} 4} & {\\color{Red} 5} & {\\color{Gray} 0}\n \\end{pmatrix}\n `}\n \n \n \n

\n Matrice in cui i valori della diagonale sono maggiori della somma di tutti gli altri nella\n riga/colonna.\n

\n \n {r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Orange} 9} & 1 & 2\\\\\n 1 & {\\color{Orange} 8} & 1\\\\\n 1 & 2 & {\\color{Orange} 7}\n \\end{pmatrix}\n `}\n \n \n \n

\n Matrice che se moltiplicata per la sua trasposta dà come risultato la matrice identità.\n

\n {r`A^T \\cdot A = I`}\n \n {r`\n \\begin{pmatrix}\n \\frac{1}{3} & \\frac{2}{3} & -\\frac{2}{3}\\\\\n \\frac{2}{3} & \\frac{1}{3} & \\frac{2}{3}\\\\\n \\frac{2}{3} & -\\frac{2}{3} & -\\frac{1}{3}\\\\\n \\end{pmatrix}\n `}\n \n \n \n

\n Matrice tale che:\n

\n {r`A^{-1} \\cdot A = I`}\n \n \n

\n Matrice con pochissimi valori diversi da 0.\n

\n \n {r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Gray} 0} & 1 & {\\color{Gray} 0}\\\\\n 1 & 1 & {\\color{Gray} 0}\\\\\n {\\color{Gray} 0} & {\\color{Gray} 0} & 1\n \\end{pmatrix}\n `}\n \n \n
\n
\n \n

\n Funzione che associa un valore positivo a ogni vettore diverso da 0, e 0 al vettore zero.\n

\n \n Esempi\n su Wikipedia\n \n \n \n

\n Massimo dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore.\n

\n

\n {r`\\Vert x \\Vert_\\infty = max_{i = 1..n} | x_i |`}\n

\n \n \n

\n Somma dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore.\n

\n

\n {r`\\Vert x \\Vert_1 = \\sum_{i = 1}^n | x_i |`}\n

\n \n \n

\n Radice quadrata della somma dei quadrati di tutti gli elementi del vettore.\n

\n

\n {r`\\Vert x \\Vert_2 = \\sqrt{\\sum_{i = 1}^n x_i^2}`}\n

\n \n
\n
\n \n

\n Funzione che associa un valore positivo a ogni matrice diversa da 0, e 0 alla matrice zero.\n

\n

\n Si ricavano dalle norme vettoriali:\n

\n

\n {r`\\Vert A \\Vert = sup_{x \\in \\mathbb{R}, x \\neq 0} \\frac{\\Vert A \\cdot x \\Vert}{\\Vert x \\Vert}`}\n

\n \n sup è l'estremo superiore di un insieme. E' molto simile al massimo: ricordi le\n prime lezioni di Analisi?\n \n \n \n

\n Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni riga di una matrice.\n

\n

\n {r`\\Vert A \\Vert_\\infty = max_{i = 1..n} \\sum_{j = 1}^n | a_{ij} |`}\n

\n \n \n

\n Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni colonna di una matrice.\n

\n

\n {r`\\Vert A \\Vert_1 = max_{j = 1..n} \\sum_{i = 1}^n | a_{ij} |`}\n

\n \n \n

\n Radice quadrata del rango del prodotto tra una matrice e la sua trasposta.\n

\n

\n {r`\\Vert A \\Vert_2 = \\sqrt{\\rho ( A^T \\times A ) }`}\n

\n \n
\n
\n \n

\n Funzione che associa un valore reale positivo a ogni funzione.\n

\n \n \n

\n Valore massimo che assume la funzione nel suo dominio.\n

\n {r`\\| f \\|_\\infty = max | f(x) |`}\n \n \n TODO: Esiste?\n \n \n TODO: Esiste?\n \n
\n
\n \n

\n Le norme sono usate per calcolare l'errore relativo tra due vettori o matrici:\n

\n

\n {r`\\frac{\\Vert x - y \\Vert}{\\Vert x \\Vert}`}\n

\n \n \n

\n L'errore, ovvero la massima distanza tra due funzioni, si ottiene con:\n

\n {r`\\| f - g \\|_\\infty`}\n \n
\n
\n )\n}","import style from \"./Example.less\";\n\nexport default function (props) {\n return (\n
\n {props.children}\n
\n );\n}\n"],"sourceRoot":""}