(window.webpackJsonp=window.webpackJsonp||[]).push([[5],{"2w3n":function(e){e.exports={red:"red__2y1B_",orange:"orange__dD2kx",yellow:"yellow__OEpwl",lime:"lime__CVe41",cyan:"cyan__26ZAg",blue:"blue__LO7Xm",magenta:"magenta__1Akee",example:"example__2PzAa"}},ke5e:function(e,n,i){"use strict";(function(e){var l=i("2w3n"),t=i.n(l);n.a=function(n){return e("div",{class:t.a.example},n.children)}}).call(this,i("hosL").h)},yWBn:function(e,n,i){"use strict";i.r(n),function(e){function l(){var e=w(["\frac{Vert x - y Vert}{Vert x Vert}"],["\\frac{\\Vert x - y \\Vert}{\\Vert x \\Vert}"]);return l=function(){return e},e}function t(){var e=w(["Vert A Vert_2 = sqrt{\rho ( A^T \times A ) }"],["\\Vert A \\Vert_2 = \\sqrt{\\rho ( A^T \\times A ) }"]);return t=function(){return e},e}function r(){var e=w(["Vert A Vert_1 = max_{j = 1..n} sum_{i = 1}^n | a_{ij} |"],["\\Vert A \\Vert_1 = max_{j = 1..n} \\sum_{i = 1}^n | a_{ij} |"]);return r=function(){return e},e}function o(){var e=w(["Vert A Vert_infty = max_{i = 1..n} sum_{j = 1}^n | a_{ij} |"],["\\Vert A \\Vert_\\infty = max_{i = 1..n} \\sum_{j = 1}^n | a_{ij} |"]);return o=function(){return e},e}function a(){var e=w(["Vert A Vert = sup_{x in mathbb{R}, x \neq 0} \frac{Vert A cdot x Vert}{Vert x Vert}"],["\\Vert A \\Vert = sup_{x \\in \\mathbb{R}, x \\neq 0} \\frac{\\Vert A \\cdot x \\Vert}{\\Vert x \\Vert}"]);return a=function(){return e},e}function u(){var e=w(["Vert x Vert_2 = sqrt{sum_{i = 1}^n x_i^2}"],["\\Vert x \\Vert_2 = \\sqrt{\\sum_{i = 1}^n x_i^2}"]);return u=function(){return e},e}function c(){var e=w(["Vert x Vert_1 = sum_{i = 1}^n | x_i |"],["\\Vert x \\Vert_1 = \\sum_{i = 1}^n | x_i |"]);return c=function(){return e},e}function s(){var e=w(["Vert x Vert_infty = max_{i = 1..n} | x_i |"],["\\Vert x \\Vert_\\infty = max_{i = 1..n} | x_i |"]);return s=function(){return e},e}function p(){var e=w(["x^* = fl left( \frac{2}{4} \right)"],["x^* = fl \\left( \\frac{2}{4} \\right)"]);return p=function(){return e},e}function m(){var e=w(["x^* = fl ( 2 cdot t )"],["x^* = fl ( 2 \\cdot t )"]);return m=function(){return e},e}function d(){var e=w(["t = fl left( \frac{1}{4} \right)"],["t = fl \\left( \\frac{1}{4} \\right)"]);return d=function(){return e},e}function f(){var e=w(["2x = 4"]);return f=function(){return e},e}function h(){var e=w(["y = \frac{1}{x}"],["y = \\frac{1}{x}"]);return h=function(){return e},e}function v(){var e=w(["epsilon_x = epsilon_y = dots = 0"],["\\epsilon_x = \\epsilon_y = \\dots = 0"]);return v=function(){return e},e}function _(){var e=w(["epsilon_1 = epsilon_2 = dots = 0"],["\\epsilon_1 = \\epsilon_2 = \\dots = 0"]);return _=function(){return e},e}function g(){var e=w(["fl(x) = (x)(1 + epsilon_x)"],["fl(x) = (x)(1 + \\epsilon_x)"]);return g=function(){return e},e}function x(){var e=w(["mathbb{R}"],["\\mathbb{R}"]);return x=function(){return e},e}function b(){var e=w(["\frac{1}{2}"],["\\frac{1}{2}"]);return b=function(){return e},e}function V(){var e=w(["E_r leq k cdot \beta^{1-t}"],["E_r \\leq k \\cdot \\beta^{1-t}"]);return V=function(){return e},e}function z(){var e=w(["\forall alpha \neq 0, E_r = \frac{E_a}{left | alpha \right |}"],["\\forall \\alpha \\neq 0, E_r = \\frac{E_a}{\\left | \\alpha \\right |}"]);return z=function(){return e},e}function A(){var e=w(["E_a = left | alpha - alpha^* \right |"],["E_a = \\left | \\alpha - \\alpha^* \\right |"]);return A=function(){return e},e}function q(){var e=w(["alpha^*"],["\\alpha^*"]);return q=function(){return e},e}function E(){var e=w(["alpha"],["\\alpha"]);return E=function(){return e},e}function w(e,n){return n||(n=e.slice(0)),e.raw=n,e}var y=i("mbOI"),N=i("ke5e"),k=String.raw;n.default=function(){return e(y.j.Provider,{value:!0},e("div",null,e("h1",null,"Calcolo Numerico"),e(y.o,{title:"Informazioni"},e(y.n,{title:"Contatti"},e("ul",null,e("li",null,e("a",{href:"mailto:silvia.bonettini@unimore.it"},"Prof.ssa Silvia Bonettini")))),e(y.n,{title:"Archivio"},e("p",null,"Se sei uno ",e("b",null,"studente dell'Unimore"),", puoi accedere all'",e("b",null,e("a",{href:"https://drive.google.com/drive/folders/1gqY-QIe4UeOSHpcho0R-Nvh2IRAlTFmf"},"archivio del corso su Google Drive"),"."),"."))),e(y.o,{title:"Esame"},e(y.n,{title:"Orale"},e("p",null,"E' composto da:"),e("ul",null,e("li",null,"2 domande sugli argomenti teorici"),e("li",null,"1 domanda di implementazione algoritmo in MATLAB"))),e(y.n,{title:"Appelli"},e("ol",null,e("li",null,e(y.q,{to:"2020-06-15 09:00"})),e("li",null,e(y.q,{to:"2020-06-22 09:00"})),e("li",null,e(y.q,{to:"2020-07-06 09:00"})),e("li",null,e(y.q,{to:"2020-07-13 09:00"})),e("li",null,e(y.q,{to:"2020-07-20 09:00"})),e("li",null,e(y.q,{to:"2020-07-27 09:00"}))))),e(y.o,{title:"Algoritmi"},e(y.n,{title:"Algoritmi numerici"},e("p",null,"Algoritmi che hanno:"),e("ul",null,e("li",null,"numeri reali in input e output"),e("li",null,"successioni delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali come passi")))),e(y.o,{title:"Errore di rappresentazione"},e(y.n,{title:"Errore di rappresentazione"},e("p",null,"Con i numeri floating point può capitare che un certo numero ",e(y.h,null,k(E()))," non sia rappresentato correttamente."),e("p",null,"In tal caso, il numero si indica con ",e(y.h,null,k(q())),".")),e(y.n,{title:"Errore assoluto"},e("p",null,"È la differenza tra il numero desiderato e il numero rappresentato:"),e("p",null,e(y.h,null,k(A()))),e(N.a,null,"Vale sempre 0, tranne in caso di underflow o overflow.")),e(y.n,{title:"Errore relativo"},e("p",null,"Indica quanto il numero rappresentato differisce dal numero desiderato:"),e("p",null,e(y.h,null,k(z()))))),e(y.o,{title:"Floating point"},e(y.n,{title:"Precisione di macchina"},e("p",null,"L'errore relativo di un numero reale rappresentato in virgola mobile è minore o uguale alla ",e("i",null,"precisione di macchina"),":"),e("p",null,e(y.h,null,k(V()))),e("ul",null,e("li",null,e(y.h,null,"\\beta")," è uguale alla base utilizzata (solitamente 2)."),e("li",null,e(y.h,null,"t")," è uguale al numero di cifre della mantissa."),e("li",null,e(y.h,null,"k")," è uguale a ",e(y.h,null,"1")," se il numero viene rappresentato per troncamento oppure a ",e(y.h,null,k(b()))," se viene rappresentato per arrotondamento.")))),e(y.o,{title:"Operazioni di macchina"},e(y.n,{title:"Un nuovo insieme"},e("p",null,"L'insieme ",e(y.h,null,"F")," è il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili in floating point dalla macchina che stiamo usando."),e("p",null,"Operazioni tra elementi di ",e(y.h,null,"F")," producono risultati in ",e(y.h,null,k(x())),", che però decaderanno nuovamente a elementi di ",e(y.h,null,"F"),", perdendo informazioni."),e("p",null,"Il teorema della precisione di macchina si applica quindi anche ai risultati delle operazioni.")),e(y.n,{title:"Caratteristiche delle operazioni di macchina"},e("ul",null,e("li",null,"Hanno più di un elemento neutro."),e("li",null,"Un numero ha più opposti."),e("li",null,"Non sono associative."),e("li",null,"Non sono distributive."),e("li",null,"Non vale la legge di annullamento del prodotto."))),e(y.n,{title:"La funzione fl"},e("p",null,"Indica che un valore è soggetto alla precisione di macchina:"),e("p",null,e(y.h,null,k(g()))))),e(y.o,{title:"Errori nelle operazioni di macchina"},e(y.n,{title:"Errore inerente"},e("p",null,"Errore dipendente ",e("b",null,"solo dai dati"),"."),e("p",null,e(y.r,null,"TODO: qual è la formula?")),e("p",null,"È l'errore che si presenterebbe se ",e(y.h,null,k(_())),".")),e(y.n,{title:"Errore algoritmico"},e("p",null,"Errore dipendente ",e("b",null,"solo dalle operazioni effettuate"),"."),e("p",null,e(y.r,null,"TODO: qual è la formula?")),e("p",null,"È l'errore che si presenterebbe se ",e(y.h,null,k(v())),"."))),e(y.o,null,e(y.n,{title:"Problema ben condizionato"},e("p",null,"Un problema poco sensibile all'",e("b",null,"errore inerente"),"."),e(N.a,null,e(y.h,null,k(h()))," è mal condizionato intorno allo 0 e ben condizionato lontano dallo 0.")),e(y.n,{title:"Algoritmo stabile"},e("p",null,"Un algoritmo poco sensibile all'",e("b",null,"errore algoritmico"),"."),e(N.a,null,e("p",null,"Cerchiamo un algoritmo che risolva ",e(y.h,null,k(f())),"."),e("p",null,"Calcolare prima ",e(y.h,null,k(d()))," e poi ",e(y.h,null,k(m()))," porta a una perdita di precisione."),e("p",null,"Calcolare direttamente ",e(y.h,null,k(p()))," non ha alcuna perdita di precisione e rende l'algoritmo ",e("b",null,"più stabile")," del precedente.")))),e(y.o,null,e(y.n,{title:"Indice di condizionamento"},e("p",null,"È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'",e("b",null,"errore inerente"),"."),e("p",null,"Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione."),e("p",null,"Minore è l'indice di condizionamento, meglio condizionato è un problema.")),e(y.n,{title:"Indice algoritmico"},e("p",null,"È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'",e("b",null,"errore algoritmico"),"."),e("p",null,"Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione."))),e(y.o,{title:"Le cose più difficili di Algebra Lineare"},e(y.n,{title:"Matrice singolare"},e("p",null,"Matrice con determinante 0."),e("p",null,"Le matrici singolari ",e("b",null,"non sono invertibili"),"."))),e(y.o,{title:"Norme"},e(y.n,{title:"Norma vettoriale"},e("p",null,"Funzione che associa un valore positivo a ogni vettore diverso da 0, e 0 al vettore zero."),e(N.a,null,e("a",{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Norma_(matematica)#/media/File:Vector_norms.svg"},"Esempi su Wikipedia"))),e(y.n,{title:"Norma a infinito"},e("p",null,"Massimo dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore."),e("p",null,e(y.h,null,k(s())))),e(y.n,{title:"Norma a 1"},e("p",null,"Somma dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore."),e("p",null,e(y.h,null,k(c())))),e(y.n,{title:"Norma a 2"},e("p",null,"Radice quadrata della somma dei quadrati di tutti gli elementi del vettore."),e("p",null,e(y.h,null,k(u()))))),e(y.o,null,e(y.n,{title:"Norma matriciale indotta"},e("p",null,"Funzione che associa un valore positivo a ogni matrice diversa da 0, e 0 alla matrice zero."),e("p",null,"Si ricavano dalle norme vettoriali:"),e("p",null,e(y.h,null,k(a()))),e(N.a,null,e(y.h,null,"sup")," è l'estremo superiore di un insieme. E' molto simile al massimo: ricordi le prime lezioni di Analisi?")),e(y.n,{title:"Norma a infinito"},e("p",null,"Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni riga di una matrice."),e("p",null,e(y.h,null,k(o())))),e(y.n,{title:"Norma a 1"},e("p",null,"Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni colonna di una matrice."),e("p",null,e(y.h,null,k(r())))),e(y.n,{title:"Norma a 2"},e("p",null,"Radice quadrata del rango del prodotto tra una matrice e la sua trasposta."),e("p",null,e(y.h,null,k(t()))))),e(y.o,null,e(y.n,{title:"Errore relativo tra vettori e matrici"},e("p",null,"Le norme sono usate per calcolare l'errore relativo tra due vettori o matrici:"),e("p",null,e(y.h,null,k(l()))))),e(y.o,{title:"Fattorizzazione"},e(y.n,{title:"Cos'è?"},e("p",null,"La fattorizzazione è il processo che permette di risolvere sistemi di equazioni lineari rappresentati in forma di matrice."),e("p",null,"Esistono molteplici algoritmi in grado di realizzarla: mentre tutti portano alla stessa soluzione, possono avere ",e("b",null,"velocità")," e ",e("b",null,"indici algoritmici")," diversi."),e("p",null,"Il sistema lineare da risolvere viene diviso in due parti: la ",e("i",null,"matrice dei coefficienti")," e il ",e("i",null,"vettore termine noto"),".")),e(y.n,{title:"Teorema di Rouché-Capélli"},e("p",null)))))}}.call(this,i("hosL").h)}}]);
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