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{\n    return (\n        <abbr class={style.finite} title={\"I punti del poliedro sono finiti.\"}>{props.children ? props.children : \"finito\"}</abbr>\n    );\n}\n","import style from \"./Styles.less\";\n\nexport default function (props) {\n    return (\n        <abbr class={style.unfeasible} title={\"Il poliedro non contiene punti.\"}>{props.children ? props.children : \"vuoto\"}</abbr>\n    );\n}\n","import style from \"./Styles.less\";\n\nexport default function (props) {\n    return (\n        <abbr class={style.unbounded} title={\"I punti del poliedro sono infiniti.\"}>{props.children ? props.children : \"illimitato\"}</abbr>\n    );\n}\n","import style from \"./Styles.less\";\n\nexport default function (props) {\n    return (\n        <abbr class={style.min} title={\"In problemi in cui il primale è di minimizzazione.\"}>{props.children ? props.children : \"min\"}</abbr>\n    );\n}\n","import {Section, Latex, Panel, Todo, Timer, PLatex, TablePanel, LatexDefaultInline, ILatex, 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href={\"https://drive.google.com/drive/folders/13q-E6LvXca9uo3sATMZxrhJClqMB0wJu\"}>archivio del corso su Google Drive</a></b>.\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Esame\"}>\n                <Panel title={\"Scritto\"}>\n                    <p>\n                        Uno scritto con tre domande:\n                    </p>\n                    <ul>\n                        <li>Progettazione concettuale e logica</li>\n                        <li>Formulazione interrogazione</li>\n                        <li>Una domanda tra:\n                            <ul>\n                                <li>Studio dato derivato</li>\n                                <li>Progettazione fisica</li>\n                                <li>Tecnologia database</li>\n                            </ul>\n                        </li>\n                    </ul>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Appelli\"}>\n                    <ol>\n                        <li><Timer to={\"2020-06-08 09:00\"}/></li>\n                        <li><Timer to={\"2020-06-25 09:00\"}/></li>\n                        <li><Timer to={\"2020-07-16 09:00\"}/></li>\n                    </ol>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <LatexDefaultInline.Provider value={false}>\n                <Section title={\"Glossario\"}>\n                    <TablePanel>\n                        <thead>\n                            <tr>\n                                <th><abbr title={\"Vettore / matrice\"}>v</abbr></th>\n                                <th><abbr title={\"Elemento singolo\"}>s</abbr></th>\n                                <th>Significato</th>\n                            </tr>\n                        </thead>\n                        <tbody>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{x}`}</Latex></td>\n                                <td><Latex>{r`x_i`}</Latex></td>\n                                <td>Incognite</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{s}`}</Latex></td>\n                                <td><Latex>{r`s_i`}</Latex></td>\n                                <td>Variabili slack</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{c}`}</Latex></td>\n                                <td><Latex>{r`c_i`}</Latex></td>\n                                <td>Coefficienti della funzione obiettivo</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{A}`}</Latex></td>\n                                <td><Latex>{r`a_{ij}`}</Latex></td>\n                                <td>Coefficienti dei vincoli</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{b}`}</Latex></td>\n                                <td><Latex>{r`b_i`}</Latex></td>\n                                <td>Termini noti dei vincoli</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{y}`}</Latex></td>\n                                <td><Latex>{r`y_i`}</Latex></td>\n                                <td>Incognite artificiali</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{u}`}</Latex></td>\n                                <td><Latex>{r`u_i`}</Latex></td>\n                                <td>Coefficienti di rilassamento</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td/>\n                                <td><Latex>{r`c_0`}</Latex></td>\n                                <td>Valore ottimo di un problema</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{x}_B`}</Latex></td>\n                                <td/>\n                                <td>Incognite in base</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{c}_B`}</Latex></td>\n                                <td/>\n                                <td>Coefficienti della funzione obiettivo delle variabili in base</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{B}`}</Latex></td>\n                                <td/>\n                                <td>Coefficienti dei vincoli delle variabili in base</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{x}_F`}</Latex></td>\n                                <td/>\n                                <td>Incognite fuori base</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{c}_F`}</Latex></td>\n                                <td/>\n                                <td>Coefficienti della funzione obiettivo delle variabili fuori base</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{F}`}</Latex></td>\n                                <td/>\n                                <td>Coefficienti dei vincoli delle variabili fuori base</td>\n                            </tr>\n                        </tbody>\n                    </TablePanel>\n                    <TablePanel>\n                        <thead>\n                            <tr>\n                                <th>Simboli</th>\n                                <th>Significato</th>\n                            </tr>\n                        </thead>\n                        <tbody>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{c}^T \\mathbf{x}`}</Latex></td>\n                                <td>Soluzione del problema</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{A} \\mathbf{x} = \\mathbf{b}`}</Latex></td>\n                                <td>Vincoli in forma standard</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`z(\\dots)`}</Latex></td>\n                                <td>Funzione obiettivo</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{u}^T \\mathbf{b}`}</Latex></td>\n                                <td>Soluzione del problema duale</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\mathbf{u}^T \\mathbf{A} = \\mathbf{c}^T`}</Latex></td>\n                                <td>Vincoli del problema duale in forma standard</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\lfloor x \\rfloor`}</Latex></td>\n                                <td>Arrotondamento per difetto di x</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`\\lceil x \\rceil`}</Latex></td>\n                                <td>Arrotondamento per eccesso di x</td>\n                            </tr>\n                            <tr>\n                                <td><Latex>{r`x - \\lfloor x \\rfloor`}</Latex></td>\n                                <td>Parte frazionaria di x (se non è negativo)</td>\n                            </tr>\n                        </tbody>\n                    </TablePanel>\n                </Section>\n            </LatexDefaultInline.Provider>\n            <Section title={\"Le basi\"}>\n                <Panel title={\"Funzione obiettivo\"}>\n                    <p>\n                        La funzione obiettivo è la funzione con valore noto sconosciuto:\n                    </p>\n                    <p>\n                        <Latex>{r`z = C_1 \\cdot x_1 + C_2 \\cdot x_2 + C_n \\cdot x_n`}</Latex>\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Problemi di ottimizzazione lineare\"}>\n                <Panel title={\"Cosa sono?\"}>\n                    <p>\n                        Problemi che cercano di <Min>minimizzare</Min>/<Max>massimizzare</Max> il valore di una <i>funzione obiettivo</i> le cui incognite sono sottoposte a un <b>sistema di <i>vincoli</i></b>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Spesso sono detti anche <i>problemi di <abbr title={\"Linear Programming\"}>LP</abbr></i>.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Funzione obiettivo\"}>\n                    <p>\n                        La funzione da <Min>minimizzare</Min>/<Max>massimizzare</Max>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Il vettore dei suoi coefficienti è detto <Latex>{r`\\mathbf{c}`}</Latex>, mentre quello delle sue incognite <Latex>{r`\\mathbf{x}`}</Latex>.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Vincoli\"}>\n                    <p>\n                        Equazioni e disequazioni a cui devono sottostare le incognite perchè esse formino una soluzione valida.\n                    </p>\n                    <p>\n                        I loro coefficienti sono contenuti nella matrice <Latex>{r`\\mathbf{A}`}</Latex>, mentre i loro termini noti nel vettore <Latex>{r`\\mathbf{b}`}</Latex>.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Valore ottimo\"}>\n                    <p>\n                        La <b>soluzione</b> di un problema, ricavabile dal prodotto <Latex>{r`\\mathbf{c}^T \\mathbf{x}`}</Latex>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Spesso, la funzione obiettivo è indicata con il nome <Latex>{r`z(\\dots)`}</Latex>.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Poliedro\"}>\n                    <p>\n                        L'<b>insieme</b> che racchiunde tutte le <b>soluzioni ammissibili</b> di un problema.\n                    </p>\n                    <p>\n                        In particolare, il valore ottimo è un <b>vertice</b> del poliedro, detto <i>vertice ottimo</i>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Può essere <i><Finite/></i>, <i><Empty/></i> oppure <i><Unbounded/></i>.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        Si chiama così perchè se si disegna su un piano cartesiano, esso forma una figura geometrica a più lati, ovvero un <a href={\"https://it.wikipedia.org/wiki/Poliedro\"}>poliedro</a>.\n                    </Example>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Gradiente\"}>\n                    <p>\n                        <b>Funzione</b> della funzione obiettivo che restituisce la direzione del suo aumento più veloce.\n                    </p>\n                    <p>\n                        <Latex>{r`\\nabla f = \\frac{\\delta f}{\\delta x_1} \\mathbf{I}_1 + \\frac{\\delta f}{\\delta x_2} \\mathbf{I}_2 + \\frac{\\delta f}{\\delta x_n} \\mathbf{I}_n`}</Latex>\n                    </p>\n                    <Example>\n                        La matrice <Latex>{r`\\mathbf{I}`}</Latex> è la matrice identità.\n                    </Example>\n                    <Example>\n                        Se la funzione obiettivo è <Latex>z = 2w + 3x + 4y</Latex>, il suo gradiente è <Latex>{r`\\nabla z = (2, 3, 4)`}</Latex>.\n                    </Example>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Forme di un problema di ottimizzazione\"}>\n                <Panel title={\"Forma generale\"}>\n                    <p>\n                        Un problema con:\n                    </p>\n                    <ul>\n                        <li><b>Equazioni e disequazioni</b></li>\n                        <li><b>Variabili non vincolate</b></li>\n                    </ul>\n                    <PLatex>{r`min \\left\\{ \\mathbf{c}^T \\mathbf{x} : \\mathbf{A} \\mathbf{x} = b,\\quad \\mathbf{A'} \\mathbf{x} \\geq \\mathbf{b'} \\quad x_j \\geq 0,\\quad j = 1 \\dots n \\right\\}`}</PLatex>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Forma canonica\"}>\n                    <p>\n                        Un problema con:\n                    </p>\n                    <ul>\n                        <li><b>Solo disequazioni</b></li>\n                        <li><b>Vincoli di non-negatività sulle incognite</b></li>\n                    </ul>\n                    <PLatex>{r`min \\left\\{ \\mathbf{c}^T \\mathbf{x} : \\mathbf{A} \\mathbf{x} \\geq b,\\quad x_j \\geq 0,\\quad j = 1 \\dots n \\right\\}`}</PLatex>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Forma standard\"}>\n                    <p>\n                        Un problema con:\n                    </p>\n                    <ul>\n                        <li><b>Solo equazioni</b></li>\n                        <li><b>Vincoli di non-negatività sulle incognite</b></li>\n                    </ul>\n                    <PLatex>{r`min \\left\\{ \\mathbf{c}^T \\mathbf{x} : \\mathbf{A} \\mathbf{x} = b,\\quad x_j \\geq 0,\\quad j = 1 \\dots n \\right\\}`}</PLatex>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Conversioni tra le forme\"}>\n                <Panel title={\"Standard e generale\"}>\n                    <p>\n                        Applica questa conversione a ogni equazione nel sistema:\n                    </p>\n                    <p>\n                        <Latex inline={false}>{r`a = b \\Leftrightarrow\n                            \\begin{cases}\n                                a \\leq b\\\\\n                                a \\geq b\n                            \\end{cases}\n                        `}</Latex>\n                    </p>\n                    <Example>Serve solo nella teoria per dimostrare che le forme sono equivalenti.</Example>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Canonica e standard\"}>\n                    <p>\n                        Aggiungi una <i>variabile slack</i> <Latex>{r`s`}</Latex> <b>non-vincolata</b> a ogni disequazione nel sistema:\n                    </p>\n                    <p>\n                        <Latex inline={false}>{r`\n                            a \\leq b \\Leftrightarrow a + s = b\n                        `}</Latex>\n                    </p>\n                    <p>\n                        <Latex inline={false}>{r`\n                            a \\geq b \\Leftrightarrow a - s = b\n                        `}</Latex>\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Generale e canonica\"}>\n                    <p>\n                        Sdoppia ogni variabile non-vincolata in due variabili con vincolo di non-negatività:\n                    </p>\n                    <p>\n                        <Latex inline={false}>{r`\\begin{cases}\n                            a = a^+ - a^-\\\\\n                            a^+ \\geq 0\\\\\n                            a^- \\geq 0\n                        \\end{cases}`}</Latex>\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"La forma standard\"}>\n                <Panel title={\"Tableau\"}>\n                    <p>\n                        Un modo per rappresentare sistemi in forma standard, anche noto come <b>matrice equivalente completa</b> del sistema.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        Il sistema:<br/><br/>\n                        <Latex inline={false}>{r`\n                            \\begin{cases}\n                            2000x_1 + 1000x_2 = z\\\\\n                            1x_1 \\leq 3\\\\\n                            1x_2 \\leq 3\\\\\n                            2x_1 + 2x_2 \\leq 7\n                            \\end{cases}\n                        `}</Latex><br/><br/>\n                        Diventa il tableau:<br/><br/>\n                        <table class={\"right\"}>\n                            <thead>\n                                <tr>\n                                    <th><Latex>x_1</Latex></th>\n                                    <th><Latex>x_2</Latex></th>\n                                    <th><Latex>s_1</Latex></th>\n                                    <th><Latex>s_2</Latex></th>\n                                    <th><abbr title={\"Termine noto\"}>TN</abbr></th>\n                                </tr>\n                            </thead>\n                            <tbody>\n                                <tr>\n                                    <td><Latex>2000</Latex></td>\n                                    <td><Latex>1000</Latex></td>\n                                    <td><Latex>0</Latex></td>\n                                    <td><Latex>0</Latex></td>\n                                    <td><Latex>z</Latex></td>\n                                </tr>\n                                <tr>\n                                    <td><Latex>1</Latex></td>\n                                    <td><Latex>0</Latex></td>\n                                    <td><Latex>1</Latex></td>\n                                    <td><Latex>0</Latex></td>\n                                    <td><Latex>3</Latex></td>\n                                </tr>\n                                <tr>\n                                    <td><Latex>0</Latex></td>\n                                    <td><Latex>1</Latex></td>\n                                    <td><Latex>0</Latex></td>\n                                    <td><Latex>1</Latex></td>\n                                    <td><Latex>3</Latex></td>\n                                </tr>\n                                <tr>\n                                    <td><Latex>2</Latex></td>\n                                    <td><Latex>2</Latex></td>\n                                    <td><Latex>0</Latex></td>\n                                    <td><Latex>0</Latex></td>\n                                    <td><Latex>7</Latex></td>\n                                </tr>\n                            </tbody>\n                        </table>\n                    </Example>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Variabili nella base\"}>\n                    <p>\n                        Variabili che hanno <b>tutti 0 e un solo 1</b> nella loro colonna del tableau.\n                    </p>\n                    <p>\n                        La loro controparte sono le <i>variabili fuori base</i>, che hanno qualsiasi altro valore.\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Simplex primale\"}>\n                <Panel title={\"Cos'è?\"}>\n                    <p>\n                        Un algoritmo per <Min>minimizzare</Min>/<Max>massimizzare</Max> trovare efficientemente <b>valore ottimo</b> di problemi di ottimizzazione lineare, derivato da Gauss-Jordan.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Da esso si può anche ricavare un <b>vertice ottimo ammissibile</b>.<br/>\n                        C'è la possibilità che ne esistano anche altri: quello ottenuto dipende da come è stata effettuata la scelta delle variabili entranti.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        E' spiegato in modo semplice <a href={\"https://web.archive.org/web/20200523052252/https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplex.pdf\"}>qui</a>, e ci sono dei codici sorgenti di esempio <a href={\"https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplexcodes/\"}>qui</a>.\n                    </Example>\n                    <Example title={\"Esempio\"}>\n                        <p>\n                            <a href={\"https://i.imgur.com/1r405Mb.jpg\"}>Questa</a> è la soluzione passo per passo del problema 3 del file <a href={\"https://dolly.fim.unimore.it/2019/mod/resource/view.php?id=2716\"}><code>Ex_LP_testo</code></a>.\n                        </p>\n                    </Example>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"I passi\"}>\n                    <ol>\n                        <li>Trasforma il sistema in <b>forma standard</b>.</li>\n                        <li>Trova tante variabili <b>linearmente indipendenti</b> quante siano le righe: esse saranno la <i>base iniziale</i>.</li>\n                        <li>Finchè ci sono variabili con coefficienti <Min>positivi</Min>/<Max>negativi</Max> nella funzione obiettivo:\n                            <ol>\n                                <li>\n                                    <b>Scegli</b> la prima variabile fuori base con coefficiente <Min>positivo</Min>/<Max>negativo</Max> nella funzione obiettivo: essa è la <i>variabile entrante</i>.<br/>\n                                    <aside><i>Regola di Bland</i>: Si potrebbe scegliere qualsiasi variabile come entrante, ma scegliendo sempre la prima ammissibile ci si assicura che l'algoritmo termini.</aside>\n                                </li>\n                                <li>\n                                    <b>Scegli</b> la variabile in base con il minor rapporto positivo <Latex>{r`\\frac{termine\\ noto}{coeff.\\ variabile\\ entrante}`}</Latex>.\n                                    <aside>Se non sei riuscito a trovare nessuna variabile con un rapporto positivo, significa che il poliedro è <Unbounded/>.</aside>\n                                </li>\n                                <li><u>Pivot</u>: <b>riscrivi</b> tutte le funzioni del sistema in termini della variabile entrante.</li>\n                            </ol>\n                        </li>\n                        <li>Il poliedro è <Finite/>: i <b>termini noti dei vincoli</b> sono le coordinate del suo vertice ottimo, mentre il <b>termine noto della funzione obiettivo</b> è il valore ottimo.</li>\n                    </ol>\n                    <Example>\n                        È praticamente l'algoritmo di Gauss-Jordan applicato al tableau, con delle regole aggiuntive per la decisione delle variabili di pivot.\n                    </Example>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Soluzioni di base degenerata\"}>\n                    <p>\n                        Una soluzione con almeno una variabile di valore <Latex>0</Latex>, dovuta a uno o più <b>vincoli ridondanti</b>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Senza <b>Regola di Bland</b> e in presenza di vincoli ridondanti si rischia di trovarsi a fare pivot infiniti.\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Metodo delle due fasi\"}>\n                <Panel title={\"Metodo delle due fasi\"}>\n                    <p>\n                        Un estensione del Simplex per permettere la risoluzione di problemi la cui origine non è una soluzione ammissibile.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Prevede l'introduzione di un <i>problema ausiliario</i>, le cui incognite sono dette <i>artificiali</i>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Il vettore delle incognite artificiali è solitamente chiamato <Latex>{r`\\mathbf{y}`}</Latex>.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        E' spiegato in modo semplice <a href={\"https://web.archive.org/web/20200523052252/https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplex.pdf\"}>qui</a>.\n                    </Example>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Procedimento\"}>\n                    <ol>\n                        <li>Crea un nuovo tableau, <b>aggiungendo variabili artificiali</b> in modo da avere una base ammissibile.</li>\n                        <li>Sostituisci la vecchia funzione obiettivo con una nuova che <b>minimizzi la somma</b> di tutte le variabili artificiali.</li>\n                        <li><u>Fase 1</u>: <b>Risolvi</b> il nuovo problema con il simplex primale.</li>\n                        <li>Se il Simplex termina quando ci sono ancora <b>variabili artificiali nella base</b>, allora il poliedro è <b><Empty/></b>.</li>\n                        <li>Una volta che le variabili artificiali sono fuori base, <b>elimina</b> le loro colonne e la nuova funzione obiettivo.<br/></li>\n                        <li>Riporta il tableau in forma base compiendo operazioni per <b>azzerare i coefficienti</b> delle variabili di base nella funzione obiettivo.</li>\n                        <li><u>Fase 2</u>: <b>Risolvi</b> il tableau con il simplex primale.</li>\n                    </ol>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Rilassamento\"}>\n                <Panel title={\"Cos'è?\"}>\n                    <p>\n                        Una versione semplificata di un problema nella quale si <b>ignora la violazione</b> di uno o più vincoli.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Rilassamento di Lagrange\"}>\n                    <p>\n                        Un rilassamento che permette di misurare <b>di quanto i vincoli vengono violati</b>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        I vincoli, moltiplicati per <b>coefficienti di rilassamento</b>, vengono inseriti nella funzione obiettivo.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Il vettore dei coefficienti di rilassamento solitamente è indicato con <Latex>{r`\\mathbf{u}`}</Latex>.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        <p>\n                            Il sistema:\n                        </p>\n                        <Latex inline={false}>{r`\n                            \\begin{cases}\n                            z = 3 x_1 + 5 x_2\\\\\n                            2 x_1 + 3 x_2 \\geq 12\\\\\n                            - x_1 + 3 x_2 \\geq 3\\\\\n                            x_1 \\geq 0\\\\\n                            x_2 \\geq 0\n                            \\end{cases}\n                        `}</Latex>\n                        <p>\n                            diventa:\n                        </p>\n                        <Latex inline={false}>{r`\n                            \\begin{cases}\n                            z = 3 x_1 + 5 x_2 + u_1 ( 12 - 2 x_1 - 3 x_2 ) + u_2 ( 3 + x_1 - 3 x_2 )\\\\\n                            x_1 \\geq 0\\\\\n                            x_2 \\geq 0\n                            \\end{cases}\n                        `}</Latex>\n                    </Example>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Dualità\"}>\n                <Panel title={\"Duale\"}>\n                    <p>\n                        Il sistema che <b><Min>massimizza</Min>/<Max>minimizza</Max> i moltiplicatori di rilassamento</b> di un problema detto <i>primale</i>.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"In termini matriciali\"}>\n                    <p>\n                        Possiamo <b>trasporre</b> il tableau e sostituire le variabili <Latex>{r`x_n`}</Latex> con variabili <Latex>{r`u_n`}</Latex> per ottenere il sistema duale!\n                    </p>\n                    <p>\n                        I maggiori e minori dei vincoli diventeranno maggiori e minori delle variabili e viceversa.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Feasibility del duale\"}>\n                    <ul>\n                        <li>Se un problema ha una <b>soluzione finita</b>, allora anche il suo duale la avrà.</li>\n                        <li>Se un problema è <b><Empty/></b>, allora il suo duale potrà essere <Empty/> oppure <Unbounded/>.</li>\n                        <li>Se un problema è <b><Unbounded/></b>, allora il suo duale sarà certamente <Empty/>.</li>\n                    </ul>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Un po' di teoria\"}>\n                <Panel title={\"Lemma di Farkas\"}>\n                    <p>\n                        Una disuguaglianza lineare <Latex>{r`c_0 \\leq \\mathbf{c}^T \\mathbf{x}`}</Latex> è verificata da tutti i punti di un poliedro non-<Empty/> se e solo se esiste un vettore <Latex>{r`u \\in \\mathfrak{R}^m`}</Latex> tale che:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\\mathbf{c}^T \\geq \\mathbf{u}^T \\mathbf{A}`}</PLatex>\n                    <PLatex>{r`c_0 \\leq \\mathbf{u}^T \\mathbf{b}`}</PLatex>\n                    <p>\n                        <Todo>TODO: Cioè?</Todo>\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Dualità forte\"}>\n                    <p>\n                        Il teorema che dimostra l'equivalenza tra primale e duale.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Se uno dei due problemi è finito, la soluzione di uno coincide con la soluzione dell'altro.\n                    </p>\n                    <p>\n                        <Latex>{r`\\mathbf{c}^T \\mathbf{x} = \\mathbf{u}^T \\mathbf{b}`}</Latex>\n                    </p>\n                    <p>\n                        <Todo>TODO: Anche qui c'è una lunga dimostrazione...</Todo>\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Dualità debole\"}>\n                    <p>\n                        Il teorema che dimostra che il valore della funzione obiettivo del duale (di un qualsiasi tableau) è sempre <Min>minore o uguale</Min>/<Max>maggiore o uguale</Max> alla soluzione del corrispettivo primale.\n                    </p>\n                    <p>\n                        <Todo>TODO: Dimostrazione cortina, ma sembra complicata.</Todo>\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Condizioni di ottimalità\"}>\n                    <p>\n                        Il teorema che ci permette di passare dalla soluzione del duale alla soluzione del primale. <Todo>TODO: credo?</Todo>\n                    </p>\n                    <p>\n                        Si deriva combinando le seguenti condizioni:\n                    </p>\n                    <ul>\n                        <li>Ammissibilità del primale: <Latex>{r`\\mathbf{A} \\mathbf{X} \\geq \\mathbf{b}, \\quad \\mathbf{x} \\geq 0`}</Latex></li>\n                        <li>Ammissibilità del duale: <Latex>{r`\\mathbf{u}^T \\mathbf{A} \\leq \\mathbf{c}^T, \\quad \\mathbf{u} \\geq 0`}</Latex></li>\n                        <li>Teorema della dualità forte: <Latex>{r`\\mathbf{c}^T \\mathbf{x} = \\mathbf{u}^T \\mathbf{b}`}</Latex> (alla soluzione ottima)</li>\n                    </ul>\n                    <p>\n                        Ne risulta che una soluzione è ottima se e solo se:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\\left( \\mathbf{c}^T - \\mathbf{u}^T \\mathbf{A} \\right) \\mathbf{x} = 0`}</PLatex>\n                    <PLatex>{r`\\mathbf{u}^T \\left( \\mathbf{A} \\mathbf{x} - \\mathbf{b}  \\right) = 0`}</PLatex>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Simplex duale\"}>\n                <Panel title={\"Cos'è?\"}>\n                    <p>\n                        Un'estensione al Simplex primale che opera sul problema duale.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Come funziona?\"}>\n                    <p>\n                        Funziona esattamente come il Simplex primale, ma opera sulle righe invece che sulle colonne, cercando di rendere <Min>positivi</Min>/<Max>negativi</Max> tutti i termini noti.\n                    </p>\n                    <Todo>\n                        TODO: Significa che si possono moltiplicare tutti i valori di una riga per lo stesso numero e il risultato non cambia...?\n                    </Todo>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Analisi di sensibilità\"}>\n                <Panel title={\"Cos'è?\"}>\n                    <p>\n                        Un procedimento che misura di <b>quanto può variare</b> il termine noto di un vincolo <Latex>{r`b_i`}</Latex> o il coefficiente della funzione obiettivo <Latex>{r`c_i`}</Latex> prima che la base degeneri.\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Ottimizzazione lineare intera\"}>\n                <Panel title={\"Cos'è?\"}>\n                    <p>\n                        Particolari problemi di ottimizzazione lineare in cui le <b>variabili sono vincolate ad essere numeri interi</b>.\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\n                        \\mathbf{x} \\in \\mathbb{Z}^n\n                    `}</PLatex>\n                    <p>\n                        Spesso detti anche <i>problemi di <abbr title={\"Integer Linear Programming\"}>ILP</abbr></i>.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Rilassamento lineare\"}>\n                    <p>\n                        Un rilassamento che rimuove il vincolo di <Todo>TODO: integrità</Todo> a un problema, trovando la sua soluzione continua.\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Dal rilassamento alla soluzione\"}>\n                <Panel title={\"Enumerazione totale\"}>\n                    <p>\n                        Un <b>modo</b> per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera di un problema di ILP.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Consiste nel calcolare la soluzione di ogni singolo punto incluso nel poliedro, e selezionare la <Min>minore</Min>/<Max>maggiore</Max>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Trova <b>sicuramente</b> la soluzione giusta, ma il costo computazionale è esponenziale <ILatex>O(n^k)</ILatex>!\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Arrotondamento\"}>\n                    <p>\n                        Un altro <b>modo</b> per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera di un problema di ILP.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Consiste nell'<b>arrotondare tutte le variabili al loro valore intero più vicino</b>, e calcolarne il valore ottimo.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Funziona bene per valori grandi, ma più essi si avvicinano allo 0 più l'<b>errore diventa grande</b>.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Piani secanti\"}>\n                    <p>\n                        Un altro <b>modo</b> ancora per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera di un problema di ILP.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Consiste nel tagliare il poliedro con nuovi vincoli (<i>piani secanti</i>) che <b>riducono le possibili soluzioni continue</b> ma non quelle intere.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Per selezionare i vincoli, si usano i <b>tagli di Gomory</b>:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\n                        \\sum_{j \\in F} \\left( \\left( a_{tj} - \\lfloor a_{tj} \\rfloor \\right) \\cdot x_j \\right) \\geq (b_t - \\lfloor b_t \\rfloor)\n                    `}</PLatex>\n                    <p>\n                        Per ogni valore noto frazionario si viene quindi a creare <b>una nuova variabile in base</b> e un nuovo vincolo formato dall'opposto di tutti i valori frazionari dei coefficienti fuori base.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        <p>\n                            Il tableau:\n                            <table>\n                                <thead>\n                                    <tr>\n                                        <th><BLatex>{r`x_1`}</BLatex></th>\n                                        <th><BLatex>{r`x_2`}</BLatex></th>\n                                        <th><BLatex>{r`s_1`}</BLatex></th>\n                                        <th><BLatex>{r`s_2`}</BLatex></th>\n                                        <th><abbr title={\"Termine noto\"}>TN</abbr></th>\n                                    </tr>\n                                </thead>\n                                <tbody>\n                                    <tr>\n                                        <td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>\n                                        <td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>\n                                        <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                        <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                        <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                    </tr>\n                                    <tr>\n                                        <td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>\n                                        <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                        <td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>\n                                        <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                        <td><BLatex>{r`3`}</BLatex></td>\n                                    </tr>\n                                    <tr>\n                                        <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                        <td><BLatex>{r`\\frac{1}{2}`}</BLatex></td>\n                                        <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                        <td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>\n                                        <td><BLatex>{r`\\frac{6}{5}`}</BLatex></td>\n                                    </tr>\n                                </tbody>\n                            </table>\n                        </p>\n                        <p>\n                            Diventa:\n                            <table>\n                                <thead>\n                                <tr>\n                                    <th><BLatex>{r`x_1`}</BLatex></th>\n                                    <th><BLatex>{r`x_2`}</BLatex></th>\n                                    <th><BLatex>{r`s_1`}</BLatex></th>\n                                    <th><BLatex>{r`s_2`}</BLatex></th>\n                                    <th style={\"background-color: rgba(255, 255, 0, 0.1);\"}><BLatex>{r`s_3`}</BLatex></th>\n                                    <th><abbr title={\"Termine noto\"}>TN</abbr></th>\n                                </tr>\n                                </thead>\n                                <tbody>\n                                <tr>\n                                    <td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                    <td style={\"background-color: rgba(255, 255, 0, 0.1);\"}><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                </tr>\n                                <tr>\n                                    <td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                    <td style={\"background-color: rgba(255, 255, 0, 0.1);\"}><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`3`}</BLatex></td>\n                                </tr>\n                                <tr>\n                                    <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`\\frac{1}{2}`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>\n                                    <td style={\"background-color: rgba(255, 255, 0, 0.1);\"}><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`\\frac{6}{5}`}</BLatex></td>\n                                </tr>\n                                <tr style={\"background-color: rgba(255, 255, 0, 0.1);\"}>\n                                    <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`-\\frac{1}{2}`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>\n                                    <td style={\"background-color: rgba(255, 255, 0, 0.2);\"}><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>\n                                    <td><BLatex>{r`-\\frac{1}{5}`}</BLatex></td>\n                                </tr>\n                                </tbody>\n                            </table>\n                        </p>\n                    </Example>\n                </Panel>\n            </Section>\n        </div>\n    )\n}\n","import style from \"./Example.less\";\r\n\r\nexport default function(props) {\r\n    return (\r\n        <div class={style.example}>\r\n            {props.children}\r\n        </div>\r\n    );\r\n}\r\n"],"sourceRoot":""}