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BAC0P,EAAC,KAAD,KAAST,GAAT,OAD1P,iCAC+S,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,OAD/S,2BAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,OACA,EAAC,KAAD,oEACgE,8BADhE,KAGA,yBACe,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,OADf,qBAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,OAMA,EAAC,KAAD,kFAGA,yBACe,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,OADf,qBAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MAMA,gGAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MAMA,qDAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,OAEJ,EAAC,KAAD,CAAOD,MAAO,iCAAsB,EAAC,KAAD,KAASC,GAAT,MAAtB,2BACV,uDAC6C,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MAD7C,MACwE,8CADxE,4BACuI,uBADvI,iCACoL,sCADpL,oBAGA,EAAC,KAAD,oEACgE,qCADhE,KAGA,sDAC4C,EAAC,KAAD,CAAMS,KAAM,yDAAZ,2BAD5C,iDAGA,EAAC,KAAD,KAAST,GAAT,MACA,qDAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,OAEJ,EAAC,KAAD,CAAOD,MAAO,iCAAsB,EAAC,KAAD,KAASC,GAAT,MAAtB,yBACV,8CACoC,uBADpC,IACoD,4BADpD,QAC6E,mDAD7E,8DAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MACA,qDAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,QAGR,EAAC,KAAD,KACI,EAAC,KAAD,CAAOD,MAAO,iCAAsB,EAAC,KAAD,KAASC,GAAT,QAChC,0BACgB,oDADhB,0BACmF,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MADnF,qCAC6I,yBAD7I,KAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MACA,2EACiE,uCADjE,KAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MAOA,EAAC,KAAD,KACI,mDAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MAOA,qDAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,OAQJ,qDAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,OAEJ,EAAC,KAAD,CAAOD,MAAO,iCAAsB,EAAC,KAAD,KAASC,GAAT,QAChC,+BACqB,8BADrB,yBACiE,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MADjE,qCACiI,2CADjI,KAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MACA,iBACO,uCADP,aAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MAOA,qDAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,QAGR,EAAC,KAAD,KACI,EAAC,KAAD,CAAOD,MAAO,iCACV,uDAGA,EAAC,KAAD,KAASC,GAAT,MACA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,OAEJ,EAAC,KAAD,CAAOD,MAAO,iCAAsB,EAAC,KAAD,KAASC,GAAT,QAChC,sCAC4B,iCAD5B,mBACqE,kDADrE,KAGA,yBACe,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MADf,UAC6C,2BAD7C,wBACqF,yBADrF,IACuG,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MADvG,UACqI,oCADrI,IACkK,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MADlK,KAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MACA,wFAC8E,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MAD9E,gCACkI,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MADlI,0DACgN,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MADhN,MAGA,uEAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MAMA,qDAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MACA,WACI,EAAC,KAAD,2EAIZ,EAAC,KAAD,CAASD,MAAO,oBACZ,EAAC,KAAD,CAAOA,MAAO,kBACV,8BAGA,EAAC,KAAD,KAASC,GAAT,MAMA,wGAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MACA,wEAC8D,kCAD9D,cACmG,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MADnG,KAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MACA,WACI,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MADJ,SACiC,qBADjC,qEAGA,sBACY,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MADZ,yDAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MACA,wDAC8C,EAAC,KAAD,UAD9C,oBAGA,YACI,kCAAuB,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,OACvB,iDAAsC,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,OACtC,iDAAsC,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,QAE1C,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,OAEJ,EAAC,KAAD,CAAOD,MAAO,4BACV,oDAGA,EAAC,KAAD,KAASC,GAAT,MACA,oBACU,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MADV,SAC0C,+BAD1C,0CAGA,mEAGA,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MACA,WACI,EAAC,KAAD,kEAIZ,EAAC,KAAD,KACI,EAAC,KAAD,CAAOD,MAAO,oBACV,sDAGA,EAAC,KAAD,KAASC,GAAT,MAMA,WACI,qCADJ,6CAC2E,EAAC,KAAD,KAASA,GAAT,MAD3E,qCACoI,+BADpI,KAGA,8BACoB,kCADpB,gCAC2E,uBAD3E,kBAIJ,EAAC,KAAD,CAAOD,MAAO,0BACV,4DAGA,EAAC,KAAD,KAASC,GAAT,MAMA,6CACmC,gCADnC,kCAGA,WACI,qCADJ,oDACkF,wDADlF,KAGA,8BACoB,kCADpB,sCACiF,uBADjF,uB,0DCvUpB,+GAYe,qBACX,OACI,aACI,gCACA,EAAC,IAAD,MACA,EAAC,IAAD,MACA,EAAC,IAAD,MACA,EAAC,IAAD,S,wyECZNA,EAAIC,OAAOC,IAGF,eACX,OACI,EAAC,WAAD,KACI,EAAC,IAAD,CAASH,MAAO,SACZ,EAAC,IAAD,CAAOA,MAAO,YACV,YACI,YAAI,EAAC,IAAD,CAAMU,KAAM,sCAAZ,gCAGZ,EAAC,IAAD,CAAOV,MAAO,SACV,8BAGA,YACI,iDACA,kEAGR,EAAC,IAAD,CAAOA,MAAO,sBACV,YACI,YAAI,EAAC,IAAD,CAAOW,GAAI,sBACf,YAAI,EAAC,IAAD,CAAOA,GAAI,yBAI3B,EAAC,IAAD,CAASX,MAAO,gBACZ,EAAC,IAAD,CAAOA,MAAO,8BACV,kIAGA,EAAC,IAAD,KACI,YACI,OAAGU,KAAM,4CAAT,8BADJ,IACwF,kEAKpG,EAAC,IAAD,CAASV,MAAO,aACZ,EAAC,IAAD,CAAOA,MAAO,sBACV,+CAGA,YACI,8CACA,2FAIZ,EAAC,IAAD,CAASA,MAAO,8BACZ,EAAC,IAAD,CAAOA,MAAO,UACV,2EACiE,EAAC,IAAD,KAASC,EAAT,MADjE,yCAIA,mDACyC,EAAC,IAAD,KAASA,EAAT,MADzC,OAKR,EAAC,IAAD,KACI,EAAC,IAAD,CAAOD,MAAO,mBACV,kFAGA,EAAC,IAAD,KAASC,EAAT,OAEJ,EAAC,IAAD,CAAOD,MAAO,mBACV,sFAGA,EAAC,IAAD,KAASC,EAAT,QAGR,EAAC,IAAD,KACI,EAAC,IAAD,CAAOD,MAAO,eACV,yCAC+B,uCAD/B,yCAEY,sBAFZ,KAIA,EAAC,IAAD,KACI,4BACgB,aADhB,eAEgB,aAFhB,eAGgB,aAHhB,kBAQR,EAAC,IAAD,CAAOA,MAAO,kBACV,yCAC+B,uCAD/B,mFAEiD,2BAFjD,qDAKA,EAAC,IAAD,KACI,4BACgB,aADhB,eAEgB,aAFhB,eAGgB,aAHhB,kBASZ,EAAC,IAAD,KACI,EAAC,IAAD,CAAOA,MAAO,0BACV,+CACqC,6BADrC,UACiE,8BADjE,yBAC6G,qCAD7G,KAIA,WACI,EAAC,IAAD,KAASC,EAAT,OAEJ,YACI,YACI,EAAC,IAAD,eADJ,mDAGA,YACI,EAAC,IAAD,UADJ,gDAGA,YACI,EAAC,IAAD,UADJ,eACkC,EAAC,IAAD,UADlC,8DAEyB,EAAC,IAAD,KAASA,EAAT,MAFzB,iDAOR,EAAC,IAAD,CAAOD,MAAO,kBACV,6CACmC,mDADnC,+DAIA,EAAC,IAAD,KAASC,EAAT,MACA,EAAC,IAAD,oEAEI,EAAC,IAAD,KAASA,EAAT,SAIZ,EAAC,IAAD,KACI,EAAC,IAAD,CAAOD,MAAO,oBACV,wBACc,EAAC,IAAD,KAASC,EAAT,MADd,2GAIA,yCAC+B,EAAC,IAAD,KAASA,EAAT,MAD/B,2BAEO,EAAC,IAAD,KAASA,EAAT,MAFP,mDAGO,EAAC,IAAD,KAASA,EAAT,MAHP,4BAKA,8GAIJ,EAAC,IAAD,CAAOD,MAAO,gDACV,YACI,qBAAU,kCAAV,KACA,4BAAiB,0BAAjB,KACA,YAAI,kBAAJ,sBACA,YAAI,kBAAJ,uBACA,YAAI,kBAAJ,mDAIZ,EAAC,IAAD,CAASA,MAAO,uCACZ,EAAC,IAAD,CAAOA,MAAO,mBACV,+CACqC,mBADrC,KAGA,4BACkB,EAAC,IAAD,KAASC,EAAT,MADlB,KAGA,EAAC,IAAD,iCAC6B,EAAC,IAAD,UAD7B,kBAC8D,EAAC,IAAD,KAASA,EAAT,MAD9D,MAIJ,EAAC,IAAD,CAAOD,MAAO,sBACV,qDAC2C,wCAD3C,KAGA,4BACkB,EAAC,IAAD,KAASC,EAAT,MADlB,KAGA,EAAC,IAAD,6DACyD,EAAC,IAAD,KAASA,EAAT,MADzD,OAKR,EAAC,IAAD,KACI,EAAC,IAAD,CAAOD,MAAO,mBACV,6CACmC,8BADnC,KAGA,EAAC,IAAD,KACI,EAAC,IAAD,KAASC,EAAT,MADJ,2EAKJ,EAAC,IAAD,CAAOD,MAAO,aACV,6CACmC,iCADnC,KAGA,EAAC,IAAD,KACI,iDACuC,EAAC,IAAD,KAASC,EAAT,MADvC,KAGA,8BACoB,EAAC,IAAD,KAASA,EAAT,MADpB,UAEQ,EAAC,IAAD,KAASA,EAAT,MAFR,uCAIA,qCAC2B,EAAC,IAAD,KAASA,EAAT,MAD3B,4DAE8C,0BAF9C,uBAOZ,EAAC,IAAD,KACI,EAAC,IAAD,CAAOD,MAAO,6BACV,kEACwD,8BADxD,KAGA,qGAGA,wFAIJ,EAAC,IAAD,CAAOA,MAAO,sBACV,kEACwD,iCADxD,KAGA,2G","file":"route-CalcoloNumerico.chunk.2108a.js","sourcesContent":["// extracted by mini-css-extract-plugin\nmodule.exports = {\"red\":\"red__2y1B_\",\"orange\":\"orange__dD2kx\",\"yellow\":\"yellow__OEpwl\",\"lime\":\"lime__CVe41\",\"cyan\":\"cyan__26ZAg\",\"blue\":\"blue__LO7Xm\",\"magenta\":\"magenta__1Akee\",\"example\":\"example__2PzAa\"};","import style from \"./03_Interpolazione.less\";\nimport {Fragment} from \"preact\";\nimport {Section, Panel, ILatex, BLatex, PLatex, Todo} from \"bluelib\";\nimport Example from \"../../components/Example\";\n\nconst r = String.raw;\n\n\nexport default function (props) {\n return (\n \n
\n \n

\n Si vuole trovare una funzione in grado di approssimarne un altra, di cui si conoscono però solo alcuni punti.\n

\n \n È utile in un sacco di casi! Ad esempio, quando si vuole scalare un'immagine.\n \n \n
\n
\n \n TODO\n \n \n TODO\n \n
\n
\n \n TODO\n \n \n TODO\n \n \n TODO\n \n \n TODO\n \n
\n \n )\n}\n","// extracted by mini-css-extract-plugin\nmodule.exports = {\"menulist\":\"menulist__2Cmnq\"};","import style from \"./02_ZeriDiFunzione.less\";\nimport {Fragment} from \"preact\";\nimport {Section, Panel, ILatex, BLatex, PLatex, Todo} from \"bluelib\";\nimport Example from \"../../components/Example\";\n\nconst r = String.raw;\n\n\nexport default function (props) {\n return (\n \n
\n \n

\n Si vogliono trovare i punti (zeri) in cui una funzione continua f : [a, b] \\to R vale 0.\n

\n

\n Per il teorema del valore medio, se {r`f(a) \\cdot f(b) \\leq 0`}, allora esiste sicuramente un punto in cui la funzione vale 0.\n

\n

\n Denominiamo il punto in cui la funzione vale 0 come {r`x_{(*)}`}.\n

\n \n \n

\n Più la derivata prima della funzione si avvicina allo 0, peggio il problema sarà condizionato.\n

\n {r`f'(x_{(*)}) \\simeq 0 \\implies mal\\ condizionato`}\n \n
\n
\n \n

\n Indice {r`{\\color{Orange} p}`} di quanto in fretta una successione converge alla soluzione.\n

\n {r`\\lim_{i \\to +\\infty} \\frac{ \\left| x_{(i+1)} - x_{(*)} \\right| }{ \\left| x_{(k)} - x_{(*)} \\right|^{\\color{Orange} p}}`}\n
    \n
  • Convergenza lineare: {r`p = 1`} e {r`0 < C < 1`}
    • \n
  • Convergenza superlineare: {r`p = 1`} e {r`C = 0`}
    • \n
  • Convergenza quadratica: {r`p = 2`} e {r`0 < C < 1`}
    • \n
  • Convergenza superquadratica: {r`p = 2`} e {r`C = 0`}
    • \n
  • ...
    • \n
\n \n
\n
\n \n

\n Sono metodi iterativi in grado di ridurre sempre di più l'intervallo in cui è definita la funzione, facendolo convergere allo zero desiderato.\n

\n

\n Alcuni di essi sono il metodo dicotomico e il metodo regula falsi.\n

\n

\n Richiedono una valutazione di funzione non-lineare ad ogni iterazione.\n

\n

\n Ad ogni iterazione, l'intervallo viene sempre almeno dimezzato; si ha, pertanto, che:\n

\n {r`b_{(i)} - a_{(i)} = \\frac{b - a}{2^{i - 1}}`}\n

\n Hanno quindi convergenza lineare ({r`C = \\frac{1}{2}, p = 1`}).\n

\n

\n Il loro criterio di arresto è un numero di iterazioni prefissato che dipende dalla tolleranza sull'errore:\n

\n {r`i \\geq \\log_2 \\left( \\frac{b - a}{\\tau} \\right)`}\n \n Dividi l'intervallo {r`[a, b]`} in tante parti grandi quanto la tolleranza. L'algoritmo di bisezione ne escluderà metà ad ogni iterazione; la tolleranza sarà raggiunta quando rimarrà una parte sola!\n \n \n
\n
\n \n
    \n
  1. Finchè non sono state compiute il numero di iterazioni prefissate:\n
      \n
    1. \n Calcoliamo il punto medio dell'intervallo {r`[a_{(n)}, b_{(n)}]`}:\n {r`c_{(n)} = a_{(n)} + \\frac{b_{(n)} - a_{(n)}}{2}`}\n
      2. \n
    2. \n Dividiamo l'intervallo in due parti, separate da {r`c_{(n)}`}:\n
        \n
      • {r`[a_{(n)}, c_{(n)}]`} è la metà sinistra
        • \n
      • {r`[c_{(n)}, b_{(n)}]`} è la metà destra
        • \n
      \n
      3. \n
    3. \n Teniamo l'intervallo in cui i valori della funzione ai due estremi sono discordi, e rinominiamolo in {r`[a_{(n+1)}, b_{(n+1)}]`}.\n
      4. \n
    \n
    2. \n
\n \n \n
    \n
  1. Finchè non sono state compiute il numero di iterazioni prefissate:\n
      \n
    1. \n Calcoliamo l'intersezione tra la retta che congiunge i due estremi {r`a_{(n)}, b_{(n)}`} e l'asse X:\n {r`c_{(n)} = b_{(n)} - \\frac{f(b_{(n)})}{\\frac{f(b_{(n)}) - f(a_{(n)})}{b_{(n)} - a_{(n)}}}`}\n
      2. \n
    2. \n Dividiamo l'intervallo in due parti, separate da {r`c_{(n)}`}:\n
        \n
      • {r`[a_{(n)}, c_{(n)}]`} è la parte sinistra
        • \n
      • {r`[c_{(n)}, b_{(n)}]`} è la parte destra
        • \n
      \n
      3. \n
    3. \n Teniamo l'intervallo in cui i valori della funzione ai due estremi sono discordi, e rinominiamolo in {r`[a_{(n+1)}, b_{(n+1)}]`}.\n
      4. \n
    \n
    2. \n
\n \n
\n
\n \n

\n Sono metodi iterativi che funzionano in modo molto simile ai metodi iterativi per i sistemi lineari, utilizzando una funzione {r`\\phi`} come \"metodo\".\n

\n {r`x = x - \\phi(x) \\cdot f(x)`}\n

\n Che diventa:\n

\n {r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`}\n

\n Sfruttano i punti fissi {r`g(x_{(*)}) = x_{(*)}`} della funzione {r`f`} per convergere:
\n se {r`\\phi(x)`} non ha zeri, allora i punti fissi coincideranno con gli zeri della funzione {r`f`}.\n

\n {r`g(x) = x - \\phi(x) \\cdot f(x)`}\n

\n Si può raggiungere iterativamente ad un punto fisso attraverso la formula:\n

\n {r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`}\n

\n Teorema della mappa contrattiva: il punto fisso esiste ed è unico. TODO: Studiarlo?\n

\n

\n Non si conosce in anticipo il numero di iterazioni necessarie per soddisfare la tolleranza {r`\\tau`}; ad ogni iterazione, si controlla se la tolleranza è soddisfatta:\n

\n
    \n
  • Nella differenza tra due iterate: {r`\\frac{\\left| x_{(k+1)} - x_{(k)} \\right|}{\\left| x_{(k+1)} \\right|} \\leq \\tau`}
    • \n
  • Nel residuo del problema: {r`\\left| f(x_{(k)}) \\right| \\leq \\tau`}
    • \n
\n \n
\n
\n \n

\n Sfrutta la continuità delle funzioni per ottenere una convergenza di ordine più alto.\n

\n {r`\\phi (x) = \\frac{1}{f' (x)}`}\n {r`x_{(k+1)} = x_{(k)} - \\frac{ f(x_{(k)}) }{ f'(x_{(k)}) }`}\n \n Geometricamente, corrisponde a prolungare una retta nel punto {r`(x_{(k)}, f(x_{(k)}))`} con pendenza {r`f'(x_{(k)})`}, e prendendo come nuovo punto la sua intersezione con l'asse X e la sua corrispettiva immagine nella funzione.\n \n

\n Ha costo computazionale di 2 valutazioni di funzione più 2 valutazioni di derivata.\n

\n

\n Ha convergenza quadratica.\n

\n \n \n

\n È come il metodo di Newton, ma usa il rapporto incrementale, in modo da poter essere applicato a funzioni non continue.\n

\n {r`\\phi (x) = \\frac{ 1 }{ \\frac{ f(x_{(k)}) - f(x_{(k-1)}) }{ x_{(k)} - x_{(k-1)} } }`}\n {r`x_{(k+1)} = x_{(k)} - \\frac{ f(x_{(k)}) }{ \\frac{ f(x_{(k)}) - f(x_{(k-1)}) }{ x_{(k)} - x_{(k-1)} } }`}\n \n Geometricamente, corrisponde a costruire una retta che attraversa i punti {r`(x_{(k)}, f(x_{(k)}))`} e {r`(x_{(k-1)}, f(x_{(k-1)}))`}, e prendendo come nuovo punto la sua intersezione con l'asse X e la sua corrispettiva immagine nella funzione.\n \n

\n Ha costo computazionale di 3 valutazioni di funzione.\n

\n

\n Ha convergenza superlineare.\n

\n \n
\n \n )\n}\n","import style from \"./MenuList.less\";\n\nexport default function(props) {\n return (\n \n )\n}","import style from \"./Example.less\";\n\nexport default function (props) {\n return (\n
\n {props.children}\n
\n );\n}\n","import style from \"./01_SistemiLineari.less\"\nimport {ILatex, Panel, PLatex, Section, Todo} from \"bluelib\";\nimport Link from \"../../components/Link\";\nimport Example from \"../../components/Example\";\nimport {Fragment} from \"preact\";\n\nconst r = String.raw;\n\n\nexport default function (props) {\n return (\n \n
\n \n TODO\n \n \n

\n Il condizionamento della risoluzione di sistemi lineari è:\n

\n {r`\\frac{{\\color{yellow} \\|A\\| \\cdot \\|A^{-1}\\|} \\cdot \\| \\Delta b \\|}{\\| b \\|}`}\n

\n In particolare, è segnato in giallo nella formula il numero di condizionamento:\n

\n \n {r`k(A) = \\| A \\| \\cdot \\| A^{-1} \\|`}\n \n \n
\n
\n \n

\n Metodi che trovano la soluzione esatta* di un sistema lineare.\n

\n

\n Tipicamente prevedono la fattorizzazione della matrice dei coefficienti in due sottomatrici più facili da risolvere.\n

\n

\n Generalmente hanno una complessità temporale {r`O(n^3)`}.\n

\n \n \n

\n Metodi che trovano una soluzione imperfetta* di un sistema lineare.\n

\n

\n Tipicamente prevedono l'applicazione ripetuta di un metodo, in base al quale cambia la velocità di convergenza alla soluzione.\n

\n

\n Generalmente hanno una complessità temporale {r`O(n^2)`}.\n

\n \n
\n
\n \n

\n Se la matrice dei coefficienti del sistema è diagonale, allora è possibile trovare la soluzione dividendo ogni termine noto per l'unico coefficiente diverso da zero presente nella sua riga:\n

\n {r`x_i = \\frac{b_i}{A_{ii}}`}\n \n \n

\n Se la matrice dei coefficienti del sistema è triangolare inferiore o superiore, allora è possibile trovare la soluzione effettuando una sostituzione all'avanti oppure all'indietro:\n

\n {r`x_i = \\frac{b_i - \\sum_{k = 1}^{i - 1} (x_k \\cdot A_{ik})}{A_{ii}}`}\n {r`x_i = \\frac{b_i - \\sum_{k = i - 1}^{n} (x_k \\cdot A_{ik})}{A_{ii}}`}\n \n
\n
\n Fattorizzazione {r`LU`}}>\n

\n Se la matrice dei coefficienti del sistema non ha minori uguali a 0 (eccetto l'ultimo) allora è possibile fattorizzarla in due matrici: una {r`L`} triangolare inferiore, e una {r`U`} triangolare superiore.\n

\n {r`A = L \\cdot U`}\n \n Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo metodo di Gauss.\n \n

\n La matrice {r`L`} è così composta:\n

\n {r`\n \\begin{cases}\n L_{ii} = 1 \\qquad \\qquad (diagonale)\\\\\n L_{ik} = -\\frac{A_{ik}}{A_{kk}} \\qquad (tri.\\ infer.)\n \\end{cases}\n `}\n \n Sono i moltiplicatori usati per rendere annullare il triangolo inferiore!\n \n

\n La matrice {r`U`} è così composta:\n

\n {r`\n \\begin{cases}\n U_{ik} = A_{ik} \\quad se\\ i \\leq k \\quad (tri.\\ super.)\\\\\n U_{ik} = 0 \\qquad se\\ i > k \\quad (tri.\\ infer.)\n \\end{cases}\n `}\n

\n Il sistema può essere poi risolto applicando due volte il metodo di sostituzione:\n

\n {r`\n \\begin{cases}\n L \\cdot y = b\\\\\n U \\cdot x = y\n \\end{cases}\n `}\n

\n Questo metodo ha costo computazionale:\n

\n {r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right)} + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}\n \n Fattorizzazione {r`LU`} con pivoting parziale}>\n

\n È possibile applicare la fattorizzazione {r`LU`} a qualsiasi matrice non-singolare permettendo lo scambio (pivoting) delle righe, potenzialmente aumentando la stabilità dell'algoritmo.\n

\n \n Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo metodo di Gauss-Jordan!\n \n

\n Alla formula precedente si aggiunge una matrice di permutazione che indica quali righe sono state scambiate:\n

\n {r`P \\cdot A = L \\cdot U`}\n

\n Questo metodo ha costo computazionale:\n

\n {r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)} + O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}\n \n Fattorizzazione {r`LU`} con pivoting totale}>\n

\n È possibile anche permettere il pivoting sulle colonne per aumentare ulteriormente la stabilità dell'algoritmo, a costo di maggiore costo computazionale:\n

\n {r`P \\cdot A \\cdot Q = L \\cdot U`}\n

\n Questo metodo ha costo computazionale:\n

\n {r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right)} + O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}\n \n
\n
\n Fattorizzazione {r`LDL^{-1}`}}>\n

\n È possibile ridurre la complessità computazionale della fattorizzazione {r`LU`} se la matrice dei coefficienti è simmetrica:\n

\n {r`A = L \\cdot D \\cdot L^{-1}`}\n

\n In questo caso, si calcola solo la matrice L, utilizzando il metodo di pavimentazione.\n

\n {r`\n \\begin{cases}\n d_{ii} = A_{ii} - \\sum_{k=1}^{i-1} ( d_{kk} \\cdot (l_{jk})^2 )\\\\\n \\\\\n l_{ij} = \\frac{A_{ij} - \\sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \\cdot d_{kk} \\cdot l_{jk}}{d_{ii}}\n \\end{cases}\n `}\n \n

\n La prima colonna della matrice sarà:\n

\n {r`\n \\begin{cases}\n d_{11} = A_{11}\\\\\n \\\\\n l_{i1} = \\frac{A_{i1}}{d_{11}}\n \\end{cases}\n `}\n

\n La seconda colonna della matrice sarà:\n

\n {r`\n \\begin{cases}\n d_{22} = A_{22} - d_{11} \\cdot (l_{21})^2\\\\\n \\\\\n l_{i2} = \\frac{A_{i2} - l_{i1} \\cdot d_{11} \\cdot l_{21}}{d_{ii}}\n \\end{cases}\n `}\n \n

\n Questo metodo ha costo computazionale:\n

\n {r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{n^3}{6}\\right)} + O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}\n \n Fattorizzazione {r`\\mathcal{L} \\mathcal{L}^{-1}`}}>\n

\n È possibile dare stabilità forte alla fattorizzazione {r`LDL^{-1}`} se la matrice dei coefficienti è simmetrica definita positiva:\n

\n {r`A = \\mathcal{L} \\cdot \\mathcal{L}^{-1}`}\n

\n Il metodo di pavimentazione diventa:\n

\n {r`\n \\begin{cases}\n l_{ii} = \\sqrt{A_{ii} - \\sum_{k=1}^{i-1} (l_{ik})^2 }\\\\\n \\\\\n l_{ij} = \\frac{A_{ij} - \\sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \\cdot l_{jk}}{l_{ii}}\n \\end{cases}\n `}\n

\n Questo metodo ha costo computazionale:\n

\n {r`O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}\n \n
\n
\n \n

\n Matrice ricavata dalla seguente formula:\n

\n {r`U(v) = I - \\frac{1}{\\alpha} \\cdot v \\cdot v^T`}\n {r`\\alpha = \\frac{1}{2} \\| v \\|_{(2)}^2`}\n \n Fattorizzazione {r`QR`}}>\n

\n Metodo che fornisce una maggiore stabilità a costo di una maggiore complessità computazionale.\n

\n

\n La matrice {r`A`} viene fattorizzata in due matrici, una ortogonale {r`Q`} e una triangolare superiore {r`R`}:\n

\n {r`A = Q \\cdot R`}\n

\n Le matrici si ottengono dal prodotto delle trasformazioni di Householder ({r`Q`} sulle colonne della matrice {r`A`}, trasformandola in una matrice triangolare superiore ({r`R`}).\n

\n

\n Una volta fattorizzata, il sistema si può risolvere con:\n

\n {r`\n \\begin{cases}\n y = Q^T \\cdot b\\\\\n R \\cdot x = y\n \\end{cases}\n `}\n

\n Questo metodo ha costo computazionale:\n

\n {r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{2 \\cdot n^3}{3}\\right)} + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}\n

\n TODO: l'algoritmo con tau per ricavare la q se non è in memoria\n

\n \n
\n
\n \n

\n Se si pone che:\n

\n {r`\n \\begin{cases}\n G = I - M^{-1} \\cdot A\\\\\n c = M^{-1} \\cdot b\n \\end{cases}\n `}\n

\n Allora la formula generale di un sistema lineare può anche essere scritta in questo modo:\n

\n {r`x = G \\cdot x + c`}\n

\n È particolarmente utile perchè ci permette di definire un algoritmo ricorsivo che trovi {r`x`}:\n

\n {r`x_{(i+1)} = G \\cdot x_{(i)} + c`}\n

\n {r`G`} è il metodo, e in base ad esso cambiano stabilità e velocità di convergenza.\n

\n

\n Ponendo {r`A = M - N`}, la formula può essere scritta anche in questo modo:\n

\n {r`M \\cdot x_{(i+1)} = N \\cdot x_{(i)} + b`}\n

\n Possiamo ottenere alcuni metodi separando A in tre matrici:\n

\n
    \n
  • La parte diagonale {r`D`}
    • \n
  • L'opposto del triangolo inferiore {r`E`}
    • \n
  • L'opposto del triangolo superiore {r`F`}
    • \n
\n {r`A = D - E - F`}\n \n \n

\n Un metodo è convergente se e solo se:\n

\n {r`\\rho (M) < 1`}\n

\n (dove {r`\\rho`} è il raggio spettrale, il massimo autovalore della matrice)\n

\n

\n Perchè un metodo sia convergente, è sufficiente che:\n

\n {r`\\| M \\| < 1`}\n

\n TODO: l'algoritmo con tau per le condizioni di arresto\n

\n \n
\n
\n \n

\n Il metodo di Jacobi si ottiene ponendo:\n

\n {r`\n \\begin{cases}\n M = D\\\\\n N = E + F\n \\end{cases}\n `}\n

\n Spostamenti simultanei: Permette di ottenere ogni componente di {r`x`} indipendentemente dagli altri: è parallelizzabile.\n

\n

\n Se la matrice è diagonale dominante, allora il metodo di Jacobi converge sicuramente.\n

\n \n \n

\n Il metodo di Gauss-Seidel si ottiene ponendo:\n

\n {r`\n \\begin{cases}\n M = D - E\\\\\n N = F\n \\end{cases}\n `}\n

\n Ha una velocità di convergenza maggiore o uguale rispetto al metodo di Jacobi.\n

\n

\n Spostamenti successivi: Non è parallelizzabile, perchè ogni componente dipende da quelle calcolate in precedenza.\n

\n

\n Se la matrice è diagonale dominante, allora il metodo di Gauss-Seidel converge sicuramente.\n

\n \n
\n \n )\n}\n","import {ILatex, Panel, PLatex, Section, Timer, Todo} from \"bluelib\";\nimport Example from \"../../components/Example\";\nimport Link from \"../../components/Link\";\nimport MenuList from \"../../components/MenuList\";\nimport Intro from \"./00_Intro\";\nimport SistemiLineari from \"./01_SistemiLineari\";\nimport ZeriDiFunzione from \"./02_ZeriDiFunzione\";\nimport Interpolazione from \"./03_Interpolazione\";\n\nconst r = String.raw;\n\n\nexport default function (props) {\n return (\n
\n

Calcolo Numerico

\n \n \n \n \n
\n )\n}\n","import style from \"./00_Intro.less\"\nimport {ILatex, Panel, PLatex, Section, Timer} from \"bluelib\";\nimport Link from \"../../components/Link\";\nimport MenuList from \"../../components/MenuList\";\nimport Example from \"../../components/Example\";\nimport {Fragment} from \"preact\";\n\nconst r = String.raw;\n\n\nexport default function (props) {\n return (\n \n
\n \n
    \n
  • Prof.ssa Silvia Bonettini
    • \n
\n \n \n

\n E' composto da:\n

\n
    \n
  • 2 domande sugli argomenti teorici
    • \n
  • 1 domanda di implementazione algoritmo in MATLAB
    • \n
\n \n \n
    \n
    2. \n
    3. \n
\n \n
\n
\n \n

\n Prima di iniziare a studiare Calcolo Numerico, potrebbe essere una buona idea ripassare un pochino Algebra Lineare:\n

\n \n
  • \n Ripasso di Algebra Lineare (per studenti sperduti di Calcolo Numerico)\n
    • \n     \n     \n
    \n
    \n \n

    \n Particolari algoritmi che hanno:\n

    \n
      \n
    • numeri reali in input e output
      • \n
    • successioni delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali come passi
      • \n
    \n     \n
    \n
    \n \n

    \n Con i numeri floating point può capitare che un certo numero {r`\\alpha`} non\n sia rappresentato correttamente.\n

    \n

    \n In tal caso, il numero si indica con {r`\\alpha^*`}.\n

    \n     \n
    \n
    \n \n

    \n È la differenza tra il numero desiderato e il numero rappresentato:\n

    \n {r`E_a = \\left | \\alpha - \\alpha^* \\right |`}\n     \n \n

    \n Indica quanto il numero rappresentato differisce dal numero desiderato:\n

    \n {r`\\forall \\alpha \\neq 0, E_r = \\frac{E_a}{\\left | \\alpha \\right |}`}\n     \n
    \n
    \n \n

    \n Metodo con cui gestire gli underflow floating point: le cifre meno significative\n vengono rimosse.\n

    \n \n 
    \n                            1.00  →  1.0
    \n                            1.01  →  1.0
    \n                            1.10  →  1.1
    \n                            1.11  →  1.1\n
    \n     \n     \n \n

    \n Metodo con cui gestire gli underflow floating point: se la cifra più significativa di\n quelle che devono essere rimosse è 1, allora aumenta di 1 anche quella meno signficativa\n che viene tenuta.\n

    \n \n 
    \n                            1.00  →  1.0
    \n                            1.01  →  1.0
    \n                            1.10  →  1.1
    \n                            1.11  → 10.\n
    \n     \n     \n
    \n
    \n \n

    \n Un numero reale rappresentato in virgola mobile ha un errore relativo minore o uguale alla precisione\n di macchina:\n

    \n

    \n {r`E_r \\leq k \\cdot \\beta^{1-t}`}\n

    \n
      \n
    • \n \\beta è uguale alla base utilizzata (solitamente 2).\n
      • \n
    • \n t è uguale al numero di cifre della mantissa.\n
      • \n
    • \n k è uguale a 1 se il numero viene rappresentato per\n troncamento oppure a {r`\\frac{1}{2}`} se viene rappresentato per\n arrotondamento.\n
      • \n
    \n     \n \n

    \n Associa un valore reale al suo corrispondente valore floating point, utilizzando uno dei\n due metodi di gestione dell'undeflow.\n

    \n {r`fl(x) = (x)(1 + \\epsilon_x)`}\n \n Indica che un valore è soggetto alla precisione di macchina.\n {r`fl(1.11) = 1.1`}\n \n     \n
    \n
    \n \n

    \n L'insieme {r`\\mathbb{F}`} è il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili in\n floating point dalla macchina che stiamo usando.\n

    \n

    \n Operazioni tra elementi di {r`\\mathbb{F}`} producono risultati\n in {r`\\mathbb{R}`}, che però decaderanno nuovamente a elementi\n di {r`\\mathbb{F}`}, perdendo informazioni.\n

    \n

    \n Il teorema della precisione di macchina si applica quindi anche ai risultati delle operazioni.\n

    \n     \n \n
      \n
    • Hanno più elementi neutri.
      • \n
    • Un numero ha più opposti.
      • \n
    • Non sono associative.
      • \n
    • Non sono distributive.
      • \n
    • Non vale la legge di annullamento del prodotto.
      • \n
    \n     \n
    \n
    \n \n

    \n Errore derivato da underflow sui dati.\n

    \n

    \n Si indica con {r`\\epsilon_{nome\\_var}`}.\n

    \n \n L'errore sulla variabile x si indica con {r`\\epsilon_{x}`}.\n \n     \n \n

    \n Errore derivato da underflow durante l'esecuzione dell'algoritmo.\n

    \n

    \n Si indica con {r`\\epsilon_{num\\_passo}`}.\n

    \n \n L'errore al primo passo dell'algoritmo si indica con {r`\\epsilon_{1}`}.\n \n     \n
    \n
    \n \n

    \n Sensibilità di un problema all'errore inerente.\n

    \n \n {r`y = \\frac{1}{x}`} è mal condizionato intorno allo 0 e ben condizionato\n lontano dallo 0.\n \n     \n \n

    \n Sensibilità di un problema all'errore algoritmico.\n

    \n \n

    \n Cerchiamo un algoritmo che risolva {r`2x^* = 4`}.\n

    \n

    \n Calcolare prima {r`t = fl \\left( \\frac{1}{4} \\right)`} e\n poi {r`x = fl ( 2 \\cdot t )`} porta a una perdita di precisione.\n

    \n

    \n Calcolare direttamente {r`x = fl \\left( \\frac{2}{4} \\right)`} non ha alcuna\n perdita di precisione e rende l'algoritmo più stabile del precedente.\n

    \n     \n     \n
    \n
    \n \n

    \n È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'errore inerente.\n

    \n

    \n Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione.\n

    \n

    \n Minore è l'indice di condizionamento, meglio condizionato è un problema.\n

    \n     \n \n

    \n È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'errore algoritmico.\n

    \n

    \n Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione.\n

    \n     \n
    \n     \n )\n}\n"],"sourceRoot":""}