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{Component} from 'preact'\nimport Split from \"../components/old/split\";\nimport Latex from \"../components/Latex\";\nimport Panel from \"../components/old/panel\";\nimport Example from \"../components/example\";\nimport Todo from \"../components/old/todo\";\nimport Minus from \"../components/old/minus\";\nimport Plus from \"../components/old/plus\";\nimport Code from \"../components/old/code\";\nimport Timer from \"../components/old/timer\";\nimport Image from \"../components/Image\";\nimport Unfeasible from \"../components/OttimizzazioneLineare/Unfeasible\";\nimport Unbounded from \"../components/OttimizzazioneLineare/Unbounded\";\nimport Min from \"../components/OttimizzazioneLineare/Min\";\nimport Max from \"../components/OttimizzazioneLineare/Max\";\n\nconst r = String.raw;\n\nexport default class OttimizzazioneLineare extends Component {\n    render() {\n        return (\n            <div>\n                <h1>Ottimizzazione lineare intera</h1>\n                <Split title={\"Unimore\"}>\n                    <Panel title={\"Videolezioni su YouTube\"}>\n                        <p>\n                            Ho rimosso il rumore in sottofondo da tutti i video di Ricerca Operativa!\n                        </p>\n                        <p>\n                            <b><a href={\"https://www.youtube.com/playlist?list=PLh93e8qjTszffkHNn-19CqUOhHFbhBlBh\"}>Guardate i video qui!</a></b>\n                        </p>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Prossimi appelli\"}>\n                        <ol>\n                            <li><Timer to={\"2020-06-08\"}/></li>\n                            <li><Timer to={\"2020-06-25\"}/></li>\n                            <li><Timer to={\"2020-07-14\"}/></li>\n                        </ol>\n                    </Panel>\n                </Split>\n                <Split title={\"Le basi\"}>\n                    <Panel title={\"Funzione obiettivo\"}>\n                        <p>\n                            La funzione obiettivo è la funzione con valore noto sconosciuto:\n                        </p>\n                        <p>\n                            <Latex>{r`z = C_1 \\cdot x_1 + C_2 \\cdot x_2 + C_n \\cdot x_n`}</Latex>\n                        </p>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Gradiente\"}>\n                        <p>\n                            Funzione della funzione obiettivo che indica la direzione del suo aumento più veloce.\n                        </p>\n                        <p>\n                            <Latex>{r`\\nabla f = \\frac{\\delta f}{\\delta x_1} e_1 + \\frac{\\delta f}{\\delta x_2} e_2 + \\frac{\\delta f}{\\delta x_n} e_n`}</Latex>\n                        </p>\n                        <p>\n                            <Latex>{r`e_i`}</Latex> è la direzione della coordinata i-esima.\n                        </p>\n                        <Example>\n                            Se <Latex>{r`n = 3`}</Latex>, allora:\n                            <ul>\n                                <li><Latex>{r`e_1 = (1, 0, 0)`}</Latex></li>\n                                <li><Latex>{r`e_2 = (0, 1, 0)`}</Latex></li>\n                                <li><Latex>{r`e_3 = (0, 0, 1)`}</Latex></li>\n                            </ul>\n                        </Example>\n                        <Example>\n                            Se la funzione obiettivo è <Latex>z = 2w + 3x + 4y</Latex>, il suo gradiente è <Latex>{r`\\nabla z = (2, 3, 4)`}</Latex>.\n                        </Example>\n                    </Panel>\n                </Split>\n                <Split title={\"Forme di un sistema\"}>\n                    <Panel title={\"Forma standard\"}>\n                        <ul>\n                            <li><Minus>Solo equazioni</Minus></li>\n                            <li><Minus>Tutte le variabili maggiori di zero</Minus></li>\n                        </ul>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Forma canonica\"}>\n                        <ul>\n                            <li><Plus>Equazioni e disequazioni</Plus></li>\n                            <li><Minus>Tutte le variabili maggiori di zero</Minus></li>\n                        </ul>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Forma generale\"}>\n                        <ul>\n                            <li><Plus>Equazioni e disequazioni</Plus></li>\n                            <li><Plus>Variabili con qualsiasi valore</Plus></li>\n                        </ul>\n                    </Panel>\n                </Split>\n                <Split title={\"Equivalenza di forma\"}>\n                    <Panel title={\"Da standard a generale\"}>\n                        <p>\n                            Convertiamo ogni equazione <Latex>{r`=`}</Latex> in due disequazioni <Latex>{r`\\leq`}</Latex> e <Latex>{r`\\geq`}</Latex>,\n                        </p>\n                        <Example>Why would you ever do that?!</Example>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Da canonica a standard\"}>\n                        <p>\n                            Convertiamo le disequazioni in equazioni aggiungendo una variabile slack.\n                        </p>\n                        <Example>\n                            <Latex>{r`a \\leq 3`}</Latex> diventa <Latex>{r`a + s_1 = 3`}</Latex>.\n                        </Example>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Da generale a canonica\"}>\n                        <p>\n                            Sostituiamo le variabili potenzialmente negative (unconstrained) <Latex>{r`x_j`}</Latex> con due variabili <Latex>{r`x_j^+`}</Latex> e <Latex>{r`x_j^-`}</Latex>.\n                        </p>\n                        <Example>\n                            <Latex>{r`a \\in \\mathbb{Z}`}</Latex> diventa <Latex>{r`a^+ \\in \\mathbb{N}`}</Latex> e <Latex>{r`-a^- \\in \\mathbb{N}`}</Latex>.\n                        </Example>\n                    </Panel>\n                </Split>\n                <Split title={\"La forma standard\"}>\n                    <Panel title={\"Funzione obiettivo\"}>\n                        <p>\n                            La funzione da minimizzare/massimizzare, tipicamente indicata con una <Latex>{r`z`}</Latex> al termine noto.\n                        </p>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Vincoli\"}>\n                        <p>\n                            Le funzioni del sistema che non sono quella obiettivo.\n                        </p>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Tableu\"}>\n                        <p>\n                            Un modo per rappresentare sistemi in forma standard, anche noto come <b>matrice equivalente completa</b> del sistema.\n                        </p>\n                        <Example>\n                            Il sistema:<br/><br/>\n                            <Latex>{r`\n                                \\begin{cases}\n                                2000A + 1000B = z\\\\\n                                1A \\leq 3\\\\\n                                1B \\leq 3\\\\\n                                2A + 2B \\leq 7\n                                \\end{cases}\n                            `}</Latex><br/><br/>\n                            Diventa in forma di tableau:<br/><br/>\n                            <table class={\"right\"}>\n                                <thead>\n                                    <tr>\n                                        <th><abbr title={\"Termine noto\"}>TN</abbr></th>\n                                        <th><Latex>x_1</Latex></th>\n                                        <th><Latex>x_2</Latex></th>\n                                        <th><Latex>s_1</Latex></th>\n                                        <th><Latex>s_2</Latex></th>\n                                    </tr>\n                                </thead>\n                                <tbody>\n                                    <tr>\n                                        <td><Latex>z</Latex></td>\n                                        <td><Latex>2000</Latex></td>\n                                        <td><Latex>1000</Latex></td>\n                                        <td><Latex>0</Latex></td>\n                                        <td><Latex>0</Latex></td>\n                                    </tr>\n                                    <tr>\n                                        <td><Latex>3</Latex></td>\n                                        <td><Latex>1</Latex></td>\n                                        <td><Latex>0</Latex></td>\n                                        <td><Latex>1</Latex></td>\n                                        <td><Latex>0</Latex></td>\n                                    </tr>\n                                    <tr>\n                                        <td><Latex>3</Latex></td>\n                                        <td><Latex>0</Latex></td>\n                                        <td><Latex>1</Latex></td>\n                                        <td><Latex>0</Latex></td>\n                                        <td><Latex>1</Latex></td>\n                                    </tr>\n                                    <tr>\n                                        <td><Latex>7</Latex></td>\n                                        <td><Latex>2</Latex></td>\n                                        <td><Latex>2</Latex></td>\n                                        <td><Latex>0</Latex></td>\n                                        <td><Latex>0</Latex></td>\n                                    </tr>\n                                </tbody>\n                            </table>\n                        </Example>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Variabili di base\"}>\n                        <p>\n                            Variabili che hanno tutti 0 e un 1 nella loro colonna del tableu.\n                        </p>\n                        <p>\n                            La loro controparte sono le <i>variabili fuori base</i>.\n                        </p>\n                        <p>\n                            Un sistema lineare è risolto quando tutte le variabili originali (<Latex>x_n</Latex>) sono nella base.\n                        </p>\n                    </Panel>\n                </Split>\n                <Split title={\"Simplex\"}>\n                    <Panel title={\"Cos'è?\"}>\n                        <p>\n                            Un algoritmo per <Min>minimizzare</Min>/<Max>massimizzare</Max> efficientemente variabili di sistemi lineari, derivato da Gauss-Jordan.\n                        </p>\n                        <Example>\n                            E' spiegato in modo semplice <a href={\"https://web.archive.org/web/20200523052252/https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplex.pdf\"}>qui</a>, e ci sono dei codici sorgenti di esempio <a href={\"https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplexcodes/\"}>qui</a>.\n                        </Example>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"I passi\"}>\n                        <ol>\n                            <li>Trasforma il sistema in <b>forma standard</b>.</li>\n                            <li>Trova tante variabili <b>linearmente indipendenti</b> quante siano le righe: esse saranno la <i>base iniziale</i>.</li>\n                            <li>Finchè ci sono variabili con coefficienti <Min>positivi</Min>/<Max>negativi</Max> nella funzione obiettivo:\n                                <ol>\n                                    <li>\n                                        <b>Scegli</b> la prima variabile con coefficiente <Min>positivo</Min>/<Max>negativo</Max> nella funzione obiettivo: essa è la <i>variabile entrante</i>.\n                                        <Example>Si potrebbe scegliere qualsiasi variabile, ma scegliendo sempre la prima possibile (<i>Regola di Bland</i>) ci si assicura che l'algoritmo termini.</Example>\n                                    </li>\n                                    <li>Trova la variabile di base (detta <i>variabile uscente</i>) tramite il rapporto <Latex>{r`\\frac{termine\\ noto}{coeff.\\ variabile\\ entrante}`}</Latex>: scegli la variabile con il <b>rapporto minore</b>, assicurandoti che esso sia <b>positivo</b>. Se tutti i rapporti sono negativi, allora il problema è <b><Unbounded/></b>.</li>\n                                    <li><b>Riscrivi</b> tutte le funzioni del sistema in termini della variabile entrante.</li>\n                                </ol>\n                            </li>\n                            <li>I <b>termini noti dei vincoli</b> sono le coordinate del risultato, mentre il <b>termine noto della funzione obiettivo</b> è il valore <Min>minimizzato</Min>/<Max>massimizzato</Max>.</li>\n                        </ol>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Sotto forma di tableau\"}>\n                        <p>\n                            Se il problema è rappresentato in forma di tableau, allora esso è risolvibile applicando l'algoritmo di Gauss-Jordan, in aggiunta tenendo conto delle regole per la selezione delle variabili entranti e uscenti.\n                        </p>\n                    </Panel>\n                </Split>\n                <Split>\n                    <Panel title={\"Soluzioni di base degenerata\"}>\n                        <p>\n                            Una soluzione con almeno una variabile di valore <Latex>0</Latex>, dovuta a uno o più <b>vincoli ridondanti</b>.\n                        </p>\n                        <p>\n                            Senza <b>Regola di Bland</b> e in presenza di vincoli ridondanti si rischia di trovarsi a fare pivot infiniti.\n                        </p>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Esempio\"}>\n                        <Example>\n                            Ho risolto il problema 3 del file <a href={\"https://dolly.fim.unimore.it/2019/mod/resource/view.php?id=2716\"}><code>Ex_LP_testo</code></a> con il Simplex:\n                            <p>\n                                <Image src={\"https://i.imgur.com/1r405Mb.jpg\"}/>\n                            </p>\n                        </Example>\n                    </Panel>\n                </Split>\n                <Split title={\"Metodo delle due fasi\"}>\n                    <Panel title={\"Metodo delle due fasi\"}>\n                        <p>\n                            Un estensione del Simplex per permettere la risoluzione di problemi la cui origine non è una soluzione ammissibile.\n                        </p>\n                        <p>\n                            Prevede l'introduzione di un <i>problema ausiliario</i>, le cui variabili sono dette <i>artificiali</i> e sono solitamente rappresentate come <Latex>{r`y_n`}</Latex>.\n                        </p>\n                        <Example>\n                            E' spiegato in modo semplice <a href={\"https://web.archive.org/web/20200523052252/https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplex.pdf\"}>qui</a>.\n                        </Example>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Procedimento\"}>\n                        <ol>\n                            <li>Crea un nuovo tableau, <b>aggiungendo variabili artificiali</b> in modo da avere una base ammissibile.</li>\n                            <li>Sostituisci la vecchia funzione obiettivo con una nuova che <b>minimizzi la somma</b> di tutte le variabili artificiali.</li>\n                            <li><u>Fase 1</u>: <b>Risolvi</b> il nuovo problema con il metodo Simplex.</li>\n                            <li>Se il Simplex termina con ancora <b>variabili artificiali nella base</b>, allora il problema è <b><Unfeasible/></b>.</li>\n                            <li>Una volta che le variabili artificiali sono fuori base, <b>elimina</b> le loro colonne e la nuova funzione obiettivo.<br/></li>\n                            <li>Riporta il tableau in forma base compiendo operazioni per <b>azzerare i coefficienti</b> delle variabili di base nella funzione obiettivo.</li>\n                            <li><u>Fase 2</u>: <b>Risolvi</b> il tableau con il metodo Simplex.</li>\n                        </ol>\n                    </Panel>\n                </Split>\n                <Split title={\"Dualità\"}>\n                    <Panel title={\"Rilassamento\"}>\n                        <p>\n                            Una versione semplificata di un problema nella quale si <b>ignorano</b> uno o più vincoli.\n                        </p>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Rilassamento di Lagrange\"}>\n                        <p>\n                            Un rilassamento che permette di misurare <b>di quanto i vincoli vengono violati</b>.\n                        </p>\n                        <p>\n                            I vincoli vengono aggiunti alla funzione obiettivo assieme a un moltiplicatore, solitamente rappresentato con <Latex>{r`u_n`}</Latex>.\n                        </p>\n                        <Example>\n                            <p>\n                                Il sistema:\n                            </p>\n                            <Latex inline={false}>{r`\n                                \\begin{cases}\n                                z = 3 x_1 + 5 x_2\\\\\n                                2 x_1 + 3 x_2 \\geq 12\\\\\n                                - x_1 + 3 x_2 \\geq 3\\\\\n                                x_1 \\geq 0\\\\\n                                x_2 \\geq 0\n                                \\end{cases}\n                            `}</Latex>\n                            <p>\n                                diventa:\n                            </p>\n                            <Latex inline={false}>{r`\n                                \\begin{cases}\n                                z_{LR} = 3 x_1 + 5 x_2 + u_1 ( 12 - 2 x_1 - 3 x_2 ) + u_2 ( 3 + x_1 - 3 x_2 )\\\\\n                                x_1 \\geq 0\\\\\n                                x_2 \\geq 0\n                                \\end{cases}\n                            `}</Latex>\n                        </Example>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Duale\"}>\n                        <p>\n                            Il sistema che <b><Min>massimizza</Min>/<Max>minimizza</Max> i moltiplicatori di rilassamento</b> di un qualsiasi sistema, detto <i>primale</i>.\n                        </p>\n                        <p>\n                            Si dimostra che la sua soluzione (se esiste) è <b>uguale</b> alla soluzione del problema primale.\n                        </p>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"In termini matriciali\"}>\n                        <p>\n                            Possiamo <b>trasporre</b> il tableau e sostituire le variabili <Latex>{r`x_n`}</Latex> con variabili <Latex>{r`u_n`}</Latex> per ottenere il sistema duale!\n                        </p>\n                        <p>\n                            I maggiori e minori dei vincoli diventeranno maggiori e minori delle variabili e viceversa.\n                        </p>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Feasibility del duale\"}>\n                        <ul>\n                            <li>Se un problema ha una <b>soluzione finita</b>, allora anche il suo duale la avrà.</li>\n                            <li>Se un problema è <b><Unfeasible/></b>, allora il suo duale potrà essere <Unfeasible/> oppure <Unbounded/>.</li>\n                            <li>Se un problema è <b><Unbounded/></b>, allora il suo duale sarà certamente <Unfeasible/>.</li>\n                        </ul>\n                    </Panel>\n                </Split>\n                <Split>\n                    <Panel title={\"Lemma di Farkas\"}>\n                        <p>\n                            <Todo>TODO: una complicata dimostrazione per dire varie cose. Probabilmente si riesce a saltare se non si dà l'orale...</Todo>\n                        </p>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Dualità forte\"}>\n                        <p>\n                            Il teorema che dimostra l'equivalenza tra primale e duale.\n                        </p>\n                        <p>\n                            <Todo>TODO: Anche qui c'è una lunga dimostrazione...</Todo>\n                        </p>\n                    </Panel>\n                    <Panel title={\"Dualità debole\"}>\n                        <p>\n                            Il teorema che dimostra che il valore della funzione obiettivo del duale (di un qualsiasi tableau) è sempre <Min>minore o uguale</Min>/<Max>maggiore o uguale</Max> alla soluzione del corrispettivo primale.\n                        </p>\n                        <p>\n                            <Todo>TODO: Dimostrazione cortina, ma sembra complicata.</Todo>\n                        </p>\n                    </Panel>\n                </Split>\n            </div>\n        )\n    }\n}\n","// extracted by mini-css-extract-plugin\nmodule.exports = {\"todo\":\"todo__1UVRh\"};","// extracted by mini-css-extract-plugin\nmodule.exports = {\"unbounded\":\"unbounded__25UN8\",\"unfeasible\":\"unfeasible__2MuIF\",\"min\":\"min__3lPpn\",\"max\":\"max__1hxKl\"};","// extracted by mini-css-extract-plugin\nmodule.exports = {\"plus\":\"plus__2u13i\"};","import style from \"./Styles.less\";\r\n\r\nexport default function (props) {\r\n    return (\r\n        <span class={style.unfeasible}>{props.children ? props.children : \"unfeasible\"}</span>\r\n    );\r\n}\r\n","import {Component} from 'preact'\nimport style from \"./timer.less\"\n\n\nexport default class Timer extends Component {\n    constructor() {\n        super();\n        this.state = {\n            \"now\": Date.now()\n        };\n        this.timer = null;\n    }\n\n    componentDidMount() {\n        this.timer = setInterval(() => {\n            this.setState({\"now\": Date.now()})\n        }, 1000)\n    }\n\n    componentWillUnmount() {\n        if(this.timer !== null) {\n            clearInterval(this.timer)\n        }\n    }\n\n    render() {\n        let dateTo = \"Unknown date\";\n        let className = style.timer;\n\n        let parts = {\n            milliseconds: \"?\",\n            seconds: \"?\",\n            minutes: \"?\",\n            hours: \"?\",\n            days: \"?\",\n        };\n\n        if(this.props.to) {\n            dateTo = new Date(this.props.to);\n            let timeLeft = dateTo - this.state.now;\n\n            if(timeLeft > 0) {\n                parts = {\n                    milliseconds: timeLeft % 1000,\n                    seconds: Math.floor(timeLeft / 1000) % 60,\n                    minutes: Math.floor(timeLeft / 60000) % 60,\n                    hours: Math.floor(timeLeft / 3600000) % 24,\n                    days: Math.floor(timeLeft / 86400000),\n                };\n            }\n\n            else {\n                parts = {\n                    milliseconds: 0,\n                    seconds: 0,\n                    minutes: 0,\n                    hours: 0,\n                    days: 0,\n                };\n\n                className += \" \" + style.expired;\n            }\n        }\n        else {\n            className += \" \" + style.unknown;\n        }\n\n        return (\n            <div class={className} title={dateTo}>\n                <div class={style.days + \" \" + style.count}>\n                    {parts.days}\n                </div>\n                <div className={style.days + \" \" + style.text}>\n                    giorni\n                </div>\n                <div class={style.hours + \" \" + style.count}>\n                    {parts.hours}\n                </div>\n                <div className={style.hours + \" \" + style.text}>\n                    ore\n                </div>\n                <div class={style.minutes + \" \" + style.count}>\n                    {parts.minutes}\n                </div>\n                <div className={style.minutes + \" \" + style.text}>\n                    minuti\n                </div>\n                <div class={style.seconds + \" \" + style.count}>\n                    {parts.seconds}\n                </div>\n                <div class={style.seconds + \" \" + style.text}>\n                    secondi\n                </div>\n                <div class={style.remaining}>\n                    rimasti\n                </div>\n            </div>\n        )\n    }\n}\n","// extracted by mini-css-extract-plugin\nmodule.exports = {\"timer\":\"timer__K0K_h\",\"days\":\"days__vN3tf\",\"hours\":\"hours__3v0KX\",\"minutes\":\"minutes__vkYk7\",\"seconds\":\"seconds__3gJ99\",\"count\":\"count__1VV4k\",\"text\":\"text__khS4i\",\"remaining\":\"remaining__zUECg\",\"unknown\":\"unknown__af307\",\"expired\":\"expired__1rtHB\"};","import style from './Latex.css';\nimport {useContext} from \"preact/hooks\";\nimport LatexRenderColor from \"../contexts/LatexRenderColor\";\nimport LatexDefaultInline from \"../contexts/LatexDefaultInline\";\n\nexport default function(props) {\n\t// black, blue, brown, cyan, darkgray, gray, green, lightgray, lime, magenta, olive, orange, pink, purple, red, teal, violet, white, yellow\n\tlet renderColor = useContext(LatexRenderColor);\n\tlet defaultInline = useContext(LatexDefaultInline);\n\n\tlet is_inline;\n\tif(props.inline === undefined) {\n\t\tis_inline = defaultInline;\n\t}\n\telse {\n\t\tis_inline = props.inline;\n\t}\n\n\tlet inline = is_inline ? `\\\\inline` : \"\";\n\tlet equation = `${inline} {\\\\color{${renderColor}} ${props.children} }`;\n\n\treturn (\n\t\t<img src={`https://latex.codecogs.com/svg.latex?${equation}`}\n\t\t\t alt={props.children}\n\t\t\t title={props.children}\n\t\t\t class={style.latex}\n\t\t/>\n\t);\n}\n","import style from \"./Styles.less\";\r\n\r\nexport default function (props) {\r\n    return (\r\n        <span class={style.max}>{props.children ? props.children : \"max\"}</span>\r\n    );\r\n}\r\n","import style from \"./minus.css\";\nimport { Component } from 'preact';\n\nexport default class Minus extends Component {\n\trender() {\n\t\treturn <span class={style.minus}>{this.props.children}</span>;\n\t}\n}\n","import style from \"./Styles.less\";\r\n\r\nexport default function (props) {\r\n    return (\r\n        <span class={style.unbounded}>{props.children ? props.children : \"unbounded\"}</span>\r\n    );\r\n}\r\n","import style from \"./Styles.less\";\r\n\r\nexport default function (props) {\r\n    return (\r\n        <span class={style.min}>{props.children ? 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