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\n

Calcolo Numerico

\n
\n \n \n \n \n

\n Se sei uno studente dell'Unimore, puoi accedere all'archivio del corso su Google Drive..\n

\n \n \n

\n Prima di studiare Calcolo Numerico, guardati i prerequisiti di Algebra Lineare!\n

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\n \n

\n E' composto da:\n

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    \n
  • 2 domande sugli argomenti teorici
    • \n
  • 1 domanda di implementazione algoritmo in MATLAB
    • \n
\n \n \n
    \n
    2. \n
\n \n
\n
\n \n

\n Algoritmi che hanno:\n

\n
    \n
  • numeri reali in input e output
    • \n
  • successioni delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali come passi
    • \n
\n \n
\n
\n \n

\n Con i numeri floating point può capitare che un certo numero {r`\\alpha`} non sia rappresentato correttamente.\n

\n

\n In tal caso, il numero si indica con {r`\\alpha^*`}.\n

\n \n
\n
\n \n

\n È la differenza tra il numero desiderato e il numero rappresentato:\n

\n {r`E_a = \\left | \\alpha - \\alpha^* \\right |`}\n \n \n

\n Indica quanto il numero rappresentato differisce dal numero desiderato:\n

\n {r`\\forall \\alpha \\neq 0, E_r = \\frac{E_a}{\\left | \\alpha \\right |}`}\n \n
\n
\n \n

\n Metodo con cui gestire gli underflow floating point: le cifre meno significative vengono rimosse.\n

\n \n 
\n                            1.00  →  1.0
\n                            1.01  →  1.0
\n                            1.10  →  1.1
\n                            1.11  →  1.1\n
\n \n \n \n

\n Metodo con cui gestire gli underflow floating point: se la cifra più significativa di quelle che devono essere rimosse è 1, allora aumenta di 1 anche quella meno signficativa che viene tenuta.\n

\n \n 
\n                            1.00  →  1.0
\n                            1.01  →  1.0
\n                            1.10  →  1.1
\n                            1.11  → 10.\n
\n \n \n
\n
\n \n

\n L'errore relativo di un numero reale rappresentato in virgola mobile è minore o uguale alla precisione di macchina:\n

\n

\n {r`E_r \\leq k \\cdot \\beta^{1-t}`}\n

\n
    \n
  • \n \\beta è uguale alla base utilizzata (solitamente 2).\n
    • \n
  • \n t è uguale al numero di cifre della mantissa.\n
    • \n
  • \n k è uguale a 1 se il numero viene rappresentato per troncamento oppure a {r`\\frac{1}{2}`} se viene rappresentato per arrotondamento.\n
    • \n
\n \n \n

\n Associa un valore reale al suo corrispondente valore floating point, utilizzando uno dei due metodi di gestione dell'undeflow.\n

\n {r`fl(x) = (x)(1 + \\epsilon_x)`}\n \n Indica che un valore è soggetto alla precisione di macchina.\n {r`fl(1.11) = 1.1`}\n \n \n
\n
\n \n

\n L'insieme {r`\\mathbb{F}`} è il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili in floating point dalla macchina che stiamo usando.\n

\n

\n Operazioni tra elementi di {r`\\mathbb{F}`} producono risultati in {r`\\mathbb{R}`}, che però decaderanno nuovamente a elementi di {r`\\mathbb{F}`}, perdendo informazioni.\n

\n

\n Il teorema della precisione di macchina si applica quindi anche ai risultati delle operazioni.\n

\n \n \n
    \n
  • Hanno più di un elemento neutro.
    • \n
  • Un numero ha più opposti.
    • \n
  • Non sono associative.
    • \n
  • Non sono distributive.
    • \n
  • Non vale la legge di annullamento del prodotto.
    • \n
\n \n
\n
\n \n

\n Errore derivato da underflow sui dati.\n

\n

\n Si indica con {r`\\epsilon_{variabile}`}.\n

\n \n L'errore sulla variabile x si indica con {r`\\epsilon_{x}`}.\n \n \n \n

\n Errore derivato da underflow durante l'esecuzione dell'algoritmo.\n

\n

\n Si indica con {r`\\epsilon_{passo}`}.\n

\n \n L'errore al primo passo dell'algoritmo si indica con {r`\\epsilon_{1}`}.\n \n \n
\n
\n \n

\n Sensibilità di un problema all'errore inerente.\n

\n \n {r`y = \\frac{1}{x}`} è mal condizionato intorno allo 0 e ben condizionato lontano dallo 0.\n \n \n \n

\n Sensibilità di un problema all'errore algoritmico.\n

\n \n

\n Cerchiamo un algoritmo che risolva {r`2x^* = 4`}.\n

\n

\n Calcolare prima {r`t = fl \\left( \\frac{1}{4} \\right)`} e poi {r`x = fl ( 2 \\cdot t )`} porta a una perdita di precisione.\n

\n

\n Calcolare direttamente {r`x = fl \\left( \\frac{2}{4} \\right)`} non ha alcuna perdita di precisione e rende l'algoritmo più stabile del precedente.\n

\n \n \n
\n
\n \n

\n È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'errore inerente.\n

\n

\n Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione.\n

\n

\n Minore è l'indice di condizionamento, meglio condizionato è un problema.\n

\n \n \n

\n È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'errore algoritmico.\n

\n

\n Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione.\n

\n \n
\n\n
\n \n

\n Funzione che associa un valore positivo a ogni matrice diversa da 0, e 0 alla matrice zero.\n

\n

\n Si ricavano dalle norme vettoriali:\n

\n

\n {r`\\Vert A \\Vert = sup_{x \\in \\mathbb{R}, x \\neq 0} \\frac{\\Vert A \\cdot x \\Vert}{\\Vert x \\Vert}`}\n

\n \n sup è l'estremo superiore di un insieme. E' molto simile al massimo: ricordi le prime lezioni di Analisi?\n \n \n \n

\n Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni riga di una matrice.\n

\n

\n {r`\\Vert A \\Vert_\\infty = max_{i = 1..n} \\sum_{j = 1}^n | a_{ij} |`}\n

\n \n \n

\n Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni colonna di una matrice.\n

\n

\n {r`\\Vert A \\Vert_1 = max_{j = 1..n} \\sum_{i = 1}^n | a_{ij} |`}\n

\n \n \n

\n Radice quadrata del rango del prodotto tra una matrice e la sua trasposta.\n

\n

\n {r`\\Vert A \\Vert_2 = \\sqrt{\\rho ( A^T \\times A ) }`}\n

\n \n
\n
\n \n\n {r`\\frac{{\\color{yellow} \\|A\\| \\cdot \\|A^{-1}\\|} \\cdot \\| \\Delta b \\|}{\\| b \\|}`}\n

\n In particolare, le numero di condizionamento:\n

\n \n {r`k(A) = `}\n \n \n
\n
\n \n

\n La fattorizzazione è il processo che permette di risolvere sistemi di equazioni lineari rappresentati in forma di matrice.\n

\n

\n Esistono molteplici algoritmi in grado di realizzarla: mentre tutti portano alla stessa soluzione, possono avere velocità e indici algoritmici diversi.\n

\n

\n Il sistema lineare da risolvere viene diviso in due parti: la matrice dei coefficienti e il vettore termine noto.\n

\n \n \n

\n\n

\n \n
\n
\n )\n}\n"],"sourceRoot":""}