import style from './fisica.css'; import { Component } from 'preact'; import Latex from '../components/latex'; import Panel from '../components/panel'; import Split from '../components/split'; import Plus from '../components/plus'; import Minus from '../components/minus'; import Todo from '../components/todo'; const r = String.raw; export default class Fisica extends Component { render() { return (

Fisica (2019)

Vettori

Componenti cartesiane

Usa le regole base della trigonometria:

{r`\vec{v} = \vec{v}_x + \vec{v}_y`}

{r`\left | \vec{v}_x \right | = \left | \vec{v} \right | \sin \alpha`}

{r`\left | \vec{v}_y \right | = \left | \vec{v} \right | \cos \alpha`}

Somma

Scomponi in componenti, poi sommali:

{r`\vec{v} + \vec{w} = (\vec{v}_x + \vec{w}_x) + (\vec{v}_y + \vec{w}_y)`}

Produce il vettore risultante dall'applicazione della regola del parallelogramma.

Differenza

Alla fine è sempre una somma:

{r`\vec{v} - \vec{w} = (\vec{v}_x - \vec{w}_x) + (\vec{v}_y - \vec{w}_y)`}

Produce il vettore che parte da w e arriva a v.

Prodotto scalare

Si chiama scalare perchè il risultato è uno scalare, non un vettore.

{r`\vec{v} \cdot \vec{w} = \left | \vec{v} \right | \left | \vec{w} \right | \cos \alpha`}

Produce il modulo della proiezione di {r`\vec{a}`} su {r`\vec{b}`}.

Leggi di Newton

1ᵃ: Inerzia

Se un corpo puntiforme ha forza risultante nulla, allora la sua velocità non cambia.

{r`\Sigma \vec{F} = 0 \Longleftrightarrow \Delta v = 0`}

2ᵃ: Proporzionalità

La forza risultante di un corpo è direttamente proporzionale alla sua accelerazione, e la costante di proporzionalità è la massa.

{r`\Sigma \vec{F} = m \vec{a}`}

3ᵃ: Azione e reazione

Due corpi esercitano forze uguali e opposte uno sull'altro.

{r`\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}`}

Forza di gravità

Tra due corpi

Due corpi puntiformi si attirano uno verso l'altro con forza:

{r`\left | \vec{F} \right | = G \frac{m_1 m_2}{s^2}`}

G è la costante di gravitazione universale e vale:

{r`G = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{N m^2}{{kg}^2}`}

Verso la Terra

Se nel sistema di riferimento consideriamo la Terra ferma, allora un corpo è attratto verso la Terra con forza peso uguale a:

{r`\left | \vec{F} \right | = g m`}

g è la costante di gravità della Terra, e vale:

{r`g = 9.81 \frac{m}{s^2}`}

Su pianeti diversi

Per pianeti diversi dalla Terra vale la stessa regola:

{r`\left | \vec{F} \right | = g m`}

L'unica differenza è che cambia la costante di gravità:

{r`g_{luna} = 1.62 \frac{m}{s^2}`}

{r`g_{marte} = 3.71 \frac{m}{s^2}`}

Forze di contatto

Normale

Si oppone alle forze applicate alla superficie di contatto.

Un libro appoggiato su un tavolo ha la forza di gravità che lo attira verso il terreno e la forza normale che lo trattiene dal cadere.

Attrito statico

Impedisce a un corpo di muoversi se non viene spinto da una forza che supera una certa soglia:

{r`\left | \vec{F} \right | \leq \mu_{s} \left | \vec{F}_{normale} \right |`}

Attrito dinamico

Rallenta i corpi che si stanno muovendo finchè essi non si fermano:

{r`\left | \vec{F} \right | \leq \mu_{d} \left | \vec{F}_{normale} \right |`}

Tensione

E' forza trasmessa tra due estremi di una fune.

Può essere redirezionata per mezzo di carrucole.

Elastica

Una molla cerca sempre di tornare alla sua posizione indeformata con forza:

{r`F = -k x`}

(E' negativa perchè la forza è opposta a quella applicata per deformarla.)

Cinematica

Spostamento

È un vettore che indica la posizione di un corpo rispetto a un'origine.

{r`\Delta \vec{s} = \vec{s}(fine) - \vec{s}(inizio)`}

Velocità

È un vettore che misura la variazione di posizione nel tempo.

{r`\vec{v} = \frac{\Delta \vec{s}}{\Delta t}`}

Se si considera un intervallo di tempo infinitesimale si dice velocità istantanea:

{r`\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{s}}{\Delta t} = \frac{d \vec{s}}{dt}`}

Accelerazione

È un vettore che misura la variazione di velocità nel tempo.

{r`\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}`}

Se si considera un intervallo di tempo infinitesimale si dice accelerazione istantanea:

{r`\vec{a} = \lim_{\Delta v \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{d^2 \vec{s}}{d t^2}`}

Quantità di moto (momento lineare)

La quantità di moto è una proprietà vettoriale dei corpi:

{r`\vec{p} = m \vec{v}`}

Se la forza risultante è nulla, la quantità di moto non cambia.

{r`\Sigma \vec{F} = 0 \Longleftrightarrow \Delta \vec{p} = 0`}

Moto rettilineo uniforme

Spostamento

La legge oraria è:

{r`s(t) = v \cdot \Delta t + s(0)`}

Velocità

È costante:

{r`v(t) = k`}

Accelerazione

La velocità non varia:

{r`a(t) = 0`}

Forze

Si applica la prima legge di Newton:

f(t) = 0

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Spostamento

La legge oraria è:

{r`s(t) = \frac{1}{2} a \cdot (\Delta t)^2 + v(0) \cdot (\Delta t) + s(0)`}

Velocità

È una retta:

{r`v(t) = a \Delta t + v(0)`}

Accelerazione

È costante:

{r`a(t) = k`}

Forze

Si applica la prima legge di Newton:

f(t) = m a

Moto armonico semplice

Ampiezza

E' la distanza dal centro massima che raggiunge il corpo.

(L'ampiezza di una sinusoide.)

Velocità angolare

Indica quanto in fretta cambia la posizione del corpo.

Dipende dal periodo:

{r`\omega = \frac{2 \pi}{T}`}

Spostamento

E' una sinusoide:

{r`s(t) = A \sin (\omega \cdot t + \phi)`}

Velocità

E' la sinusoide dello spostamento, sfasata di {r`\frac{\pi}{2}`}:

{r`v(t) = A \sin (\omega \cdot t + \phi + \frac{\pi}{2})`}

Accelerazione

E' la sinusoide della velocità, sfasata di {r`\pi`}:

{r`a(t) = A \sin (\omega \cdot t + \phi + \pi)`}

Forze

Si applica la prima legge di Newton:

f(t) = m a

Moti composti

Moto parabolico

Il moto parabolico è dato sommando un moto rettilineo uniforme sull'asse orizzontale e un moto rettilineo uniformemente accelerato sull'asse verticale.

Moto circolare uniforme

Il moto parabolico è dato sommando due moti armonici semplici: uno sull'asse X, e l'altro, sfasato di {r`\frac{\pi}{2}`}, sull'asse Y.

Moto circolare uniforme

Velocità angolare

Quanto cambia la fase nel tempo.

{r`\omega = \frac{2 \pi}{T}`}

Fase

E' l'angolo percorso dal corpo rispetto alla posizione iniziale.

Si indica con {r`\phi`}, e generalmente si usa in radianti.

Velocità

Si applicano le formule per la circonferenza:

{r`v = \frac{\Delta s}{t} = \frac{2 \pi \cdot r}{T} = \omega r`}

Accelerazione

Il corpo ha sempre un accelerazione verso il centro che gli impedisce di abbandonare il moto:

{r`a = \frac{v^2}{r} = r \cdot \omega^2 = v \cdot \omega`}

Forza centripeta

È verso il centro e si calcola con:

{r`F = m \cdot a`}

Lavoro ed energia

Lavoro

E' compiuto da una forza che sposta un corpo.

{r`W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot \Delta s \cdot cos(\alpha )`}

(Se la forza non è parallela allo spostamento, il prodotto scalare ci fa considerare solo la componente parallela.)

Energia cinetica

Un corpo ha energia cinetica in ogni momento uguale a:

{r`E_c = \frac{1}{2} m v^2`}

Se una forza effettua lavoro su un corpo, cambia la sua energia cinetica pari al lavoro effettuato:

{r`\Delta E_c = W`}

Energia potenziale gravitazionale

Un corpo ha energia potenziale in ogni momento pari a:

{r`E_{p_g} = m \cdot g \cdot h`}

(Con h uguale a un altezza scelta come punto di riferimento.)

Energia potenziale elastica

Una molla ha sempre energia potenziale elastica pari a:

{r`E_{p_e} = \frac{1}{2} k x^2`}

Forze conservative

Sono conservative le forze per le quali il lavoro compiuto non dipende dal percorso seguito per andare dalla partenza all'arrivo.

Ad esempio, è conservativa la forza di gravità, ma non è conservativa la forza di attrito.

Se in un sistema ci sono solo forze conservative, allora l'energia meccanica totale si conserva:

{r`E = E_k + E_p`}

Potenza

È la velocità di trasferimento di energia:

{r`P = \frac{\Delta E}{\Delta t}`}

Elettrostatica

Carica elettrica

È una proprietà dei corpi che può essere positiva o negativa.

Si conserva: in un sistema chiuso la carica totale è costante.

Esiste un'unità elementare: {r`C_{elettrone} = 1.602 \cdot 10^{-19}`}.

Cariche opposte si attraggono; cariche uguali si respingono.

Conduttori e isolanti

Più ioni ha un corpo, meglio la carica si muove attraverso di esso.

I corpi in cui la carica si muove bene sono conduttori, mentre quelli in cui si muove difficilmente sono isolanti.

Il corpo umano è un buon conduttore.

Polarizzazione

Polarizzazione

E' possibile polarizzare un corpo per accumulare la carica di un segno in una certa zona.

Messa a terra

Se un corpo conduttore è in contatto con la Terra, le cariche su di esso saranno equilibrate e il corpo diventerà elettricamente neutro (con stesso numero di cariche positive e negative all'interno).

Polarizzazione per strofinio

Strofinando tra loro due corpi isolanti, essi si polarizzeranno per strofinio.

Polarizzazione per contatto

Toccando un conduttore con un corpo carico, il conduttore potrà polarizzarsi per contatto.

Polarizzazione per induzione

Se un corpo conduttore ha cariche "esterne" di un certo segno vicino, esso avrà tutte le cariche del segno opposto in equilibrio vicino alle cariche esterne, e tutte le cariche dello stesso segno più lontano possibile da esse.

Mettendo a terra il conduttore, nuove cariche del segno opposto saranno attratte all'interno del corpo per equilibrare le cariche che si sono allontanate.

Staccando il conduttore da terra e rimuovendo le cariche esterne, esso si ritroverà caricato del segno opposto rispetto alle cariche esterne.

Forza elettrica

Legge di Coulomb

Due corpi carichi si attraggono tra loro con forza:

{r`\left | \vec{F}_{elettrica} \right | = \frac{-k \cdot q_1 \cdot q_2}{s^2}`}

{r`k`} è la costante di Coulomb, e vale {r`k = 8.99 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2}`}.

Permeabilità dello spazio vuoto

La costante {r`k`} è in realtà dipendente da un altra costante, {r`\epsilon_0`}, la permeabilità del vuoto.

{r`k = \frac{1}{4 \pi \cdot \epsilon_0}`}

{r`\left | \vec{F}_{elettrica} \right | = \frac{q_1 \cdot q_2}{4 \pi \cdot \epsilon_0 \cdot s^2}`}

Campo elettrico

Misura che forza viene applicata in ogni punto su una carica unitaria:

{r`\vec{E} = \frac{\vec{F}_{elettrica}}{q} = \frac{-k \cdot q}{s^2}`}

Flusso elettrico

È la differenza tra "quanto" campo elettrico entra e quanto campo elettrico esce da una certa area.

È proporzionale alla intensità del campo, alla dimensione dell'area scelta e a come l'area è disposta rispetto alla direzione del campo.

Se il campo elettrico è uniforme, se ne può calcolare facilmente il valore:

{r`\Phi_E = \vec{E} \cdot \vec{S} = E \cdot S \cdot \cos(\phi)`}

(dove {r`\vec{S}`} è il vettore dell'area che abbiamo scelto.)

Legge di Gauss

Il flusso elettrico uscente da una superficie è proporzionale alla carica presente al suo interno.

{r`\Phi_E = \frac{q_{interna}}{\epsilon_0}`}

E' equivalente alla Legge di Coulomb.

Energia elettrica

Energia potenziale elettrica

Un corpo carico vicino ad altre cariche possiede un'energia potenziale elettrica {r`U_e`}.

Potenziale elettrico

È il valore dell'energia potenziale elettrica per una carica unitaria.

{r`V = \frac{E_{elettrica}}{q}`}

La sua unità di misura è il {r`V`}olt.

Forza elettromotrice (fem)

Non è una forza, ma è la differenza di potenziale presente tra i due campi di una batteria o di un generatore di tensione.

Elementi di un circuito

Condensatore

Immagazzina potenziale elettrico, permettendo di riutilizzarla in seguito.

Per farlo, cattura cariche positive e negative sulle sue due armature; perchè questo avvenga, deve essere compiuto lavoro.

Ha una capacità caratteristica, che in un condensatore a facce piane parallele è:

{r`C = \frac{q_{massima}}{\Delta V}`}

Condensatori di capacità maggiore immagazzinano più potenziale con meno carica.

La capacità aumenta se viene messo qualcosa tra le armature:

{r`C_{nuova} = \kappa \cdot \frac{\epsilon_0 \cdot A}{s}`}

Dove {r`\kappa`} è la costante dielettrica relativa del materiale inserito, {r`A`} l'area di una armatura e {r`d`} la distanza tra le due armature.

Se il campo elettrico creatosi tra le due armature supera la rigidità dielettrica del condensatore, la carica immagazzinata viene persa e ha luogo un breakdown.

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