mirror of
https://github.com/Steffo99/unisteffo.git
synced 2024-11-22 07:54:22 +00:00
70 lines
No EOL
2.6 KiB
TeX
70 lines
No EOL
2.6 KiB
TeX
\documentclass{article}
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|
\usepackage{mathtools}
|
|
\usepackage{amssymb}
|
|
\usepackage{centernot}
|
|
% New symbols
|
|
\let\oldsqrt\sqrt
|
|
\def\sqrt{\mathpalette\DHLhksqrt}
|
|
\def\DHLhksqrt#1#2{
|
|
\setbox0=\hbox{$#1\oldsqrt{#2\,}$}\dimen0=\ht0
|
|
\advance\dimen0-0.2\ht0
|
|
\setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}
|
|
{\box0\lower0.4pt\box2}}
|
|
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}\mkern1mu}
|
|
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
|
|
\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
|
|
\makeatletter
|
|
\let\oldabs\abs
|
|
\def\abs{\@ifstar{\oldabs}{\oldabs*}}
|
|
\let\oldnorm\norm
|
|
\def\norm{\@ifstar{\oldnorm}{\oldnorm*}}
|
|
\makeatother
|
|
\newcommand*{\Value}{\frac{1}{2}x^2}
|
|
\newcommand{\intab}{\int_a^b}
|
|
% End new symbols
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\section{\(\delta < 0, denominatore II grado\)}
|
|
\[\int \frac{1}{x^2 + 4x + 9} dx\]
|
|
Osserviamo che \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan x + c\).
|
|
Provo allora a costruire qualcosa di simile all'arcotangente.
|
|
\[\int \frac{1}{x^2 + 4x + 9} dx = \int \frac{1}{x^2 + 4x + 4 + 5} dx = 5 \int \frac{1}{\frac{(x + 2)^2}{5} + 1} = 5 \arctan (\frac{x + 2}{\sqrt{5}}) + c\]
|
|
|
|
\section{Integrale generalizzato}
|
|
Vogliamo ampliare la nostra definizione di integrale, applicandolo a una \(f\) non limitata.
|
|
\[\int_a^{b-\epsilon} f(x) dx\]
|
|
Ha senso; la funzione è limitata in \([a, b - \epsilon]\).\\
|
|
Allora, possiamo fare l'integrale \textbf{generalizzato} o improprio, se \textsc{esiste} ed è \textsc{finito}:
|
|
\[\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^{b - \epsilon} f(x) dx = \int_a^b f(x) dx\]
|
|
|
|
\subsection{Esercizi}
|
|
|
|
\subsubsection{Uso di parametri}
|
|
Dire per quali valori del \textit{parametro} \(\alpha\)...
|
|
\[\int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha}} dx\]
|
|
Per \(\alpha \leq 0\), si ha che \(\int_0^1 x^-\alpha dx\), e quindi è un integrale standard.\\
|
|
Per \(\alpha > 0\), si ha che \(\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx\).\\
|
|
C'è un problema in \(x = 0\); la funzione non è limitata! Usiamo allora la definizione di integrale generalizzato.\\
|
|
|
|
\subsubsection{Calcolo integrali generalizzati con la definizione}
|
|
\textit{Calcola} l'integrale...
|
|
\[\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\epsilon^1 \frac{1}{x^\alpha} dx\]
|
|
|
|
Trovo l'insieme delle sue primitive:
|
|
\[\int x^{-\alpha} dx = \begin{cases}
|
|
\log \abs{x} + c \qquad \alpha = 1\\
|
|
\frac{x^{1-\alpha}{1 - \alpha} + c \qquad \alpha \neq 1
|
|
\end{cases}\]
|
|
|
|
Infine, applico il teorema fondamentale del calcolo:\\
|
|
Per \(\alpha = 1\):
|
|
\[\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\epsilon^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = [\log \abs{x}]^1_\epsilon = \log 1 - \log \epsilon = - \log \epsilon\]
|
|
Per \(\alpha \neq 1\):
|
|
[mi sa fatica scriverlo ma è uguale a sopra... credo]
|
|
|
|
\subsubsection{Uso dei criteri}
|
|
\textit{Studiare} l'integrabilità...
|
|
|
|
|
|
\end{document} |