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u,r,s,p,d,m,c,b,v,k,g,f,_,h,z,X,q,E,P,L,x,y,F,S,I,C,N,V,w,D,Y,U,M,B,A,T,G,O,R,j,K,Q,Z,W,J,H,$,ll,il,nl,el,al,ol,tl,ul,rl,sl,pl,dl,ml,cl,bl,vl,kl,gl,fl,_l,hl,zl,Xl,ql,El,Pl,Ll,xl,yl,Fl,Sl,Il,Cl,Nl,Vl,wl,Dl,Yl,Ul,Ml,Bl,Al,Tl,Gl,Ol,Rl,jl,Kl,Ql,Zl,Wl,Jl,Hl,$l,li,ii,ni,ei,ai,oi,ti,ui,ri,si,pi,di,mi,ci,bi,vi,ki,gi,fi,_i,hi,zi,Xi,qi,Ei,Pi,Li,xi,yi,Fi,Si,Ii,Ci,Ni,Vi,wi,Di,Yi,Ui,Mi,Bi,Ai,Ti,Gi,Oi,Ri,ji,Ki,Qi,Zi,Wi,Ji,Hi,$i,ln,nn,en,an,on,tn,un,rn,sn,pn,dn,mn,cn,bn,vn,kn,gn,fn,_n,hn,zn,Xn,qn,En,Pn,Ln,xn,yn,Fn,Sn,In,Cn,Nn,Vn,wn,Dn,Yn,Un,Mn,Bn,An,Tn,Gn,On,Rn,jn,Kn,Qn,Zn,Wn,Jn,Hn,$n,le,ie,ne,ee,ae,oe,te,ue,re,se,pe,de,me,ce,be,ve,ke,ge,fe,_e,he,ze,Xe,qe,Ee,Pe,Le,xe,ye,Fe,Se,Ie,Ce,Ne,Ve,we,De,Ye,Ue,Me,Be,Ae,Te,Ge,Oe,Re,je,Ke,Qe,Ze,We,Je,He,$e,la=l=>l;const ia=String.raw;i.default=function(){return l(e.m.Provider,{value:!1},l(e.l.Provider,{value:e.n.INLINE},l("div",null,l("h1",null,"Statistica ed Elementi di Probabilità"),l(e.s,{title:"Tipi di probabilità"},l(e.r,{title:"Classica"},l("p",null,l(e.k,null,ia(u||(u=la`P(E) = \frac{casi\ favorevoli}{casi\ possibili}`))))),l(e.r,{title:"Frequentista"},l("p",null,l(e.k,null,ia(r||(r=la`P(E) = \frac{successi}{prove\ totali}`))))),l(e.r,{title:"Soggettiva"},l("p",null,"Il prezzo che un individuo coerente riterrebbe equo per ricevere ",l("b",null,"1")," nel caso l'evento si verificasse e ",l("b",null,"0")," nel caso l'evento non si verificasse."))),l(e.s,{title:"Linguaggio matematico"},l(e.r,{title:"Spazio campionario"},l("blockquote",null,'"omegone"'),l("p",null,"L'",l("b",null,"insieme")," di tutti gli esiti possibili di un esperimento."),l("p",null,l(e.k,null,ia(s||(s=la`\Omega = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right \}`))))),l(e.r,{title:"Esito"},l("blockquote",null,'"omeghino"'),l("p",null,"Un ",l("b",null,"elemento")," dello spazio campionario."),l("p",null,l(e.k,null,ia(p||(p=la`\omega = 1`))))),l(e.r,{title:"Evento"},l("blockquote",null,'"e"'),l("p",null,"Un ",l("b",null,"sottoinsieme")," dello spazio campionario."),l("p",null,l(e.k,null,ia(d||(d=la`E = \left \{ 1, 2 \right \}`)))),l("p",null,"Lo spazio campionario stesso è un ",l("b",null,"evento certo"),".")),l(e.r,{title:"Not"},l("blockquote",null,'"not e"'),l("p",null,"Il ",l("b",null,"complementare")," di un sottoinsieme."),l("p",null,l(e.k,null,ia(m||(m=la`\bar{E} = \left \{ 3, 4, 5, 6 \right \}`))))),l(e.r,{title:"And"},l("blockquote",null,'"e intersecato effe"'),l("p",null,"L'",l("b",null,"intersezione")," di più sottoinsiemi."),l("p",null,l(e.k,null,ia(c||(c=la`E \cap F = \left \{ 1 \right \}`))))),l(e.r,{title:"Or"},l("blockquote",null,'"e unito a effe"'),l("p",null,"L'",l("b",null,"unione")," di più sottoinsiemi."),l("p",null,l(e.k,null,ia(b||(b=la`E \cup F = \left \{ 1, 2, 3, 4 \right \}`))))),l(e.r,{title:"Differenza"},l("blockquote",null,'"e meno effe"'),l("p",null,l(e.k,null,ia(v||(v=la`E \setminus F = E \cap \bar{F}`))))),l(e.r,{title:"Implicazione"},l("blockquote",null,'"e contenuto in effe"'),l("p",null,"L'",l("b",null,"inclusione")," del primo insieme in un altro."),l("p",null,l(e.k,null,ia(k||(k=la`E \subseteq F`)))),l("p",null,"Se si verifica ",l(e.k,null,"E"),", allora si verifica anche ",l(e.k,null,"F"),".")),l(e.r,{title:"Evento impossibile"},l("blockquote",null,'"e è impossibile"'),l("p",null,"Un sottoinsieme ",l("b",null,"vuoto"),"."),l("p",null,l(e.k,null,ia(g||(g=la`E = \emptyset`))))),l(e.r,{title:"Mutua esclusione"},l("blockquote",null,'"e ed effe si escludono mutualmente"'),l("p",null,"La ",l("b",null,"disgiunzione")," di due insiemi."),l("p",null,l(e.k,null,ia(f||(f=la`E \cap F = \emptyset`)))))),l(e.s,null,l(e.r,{title:"Famiglia degli eventi"},l("blockquote",null,'"famiglia effe"'),l("p",null,"I sottoinsiemi dello spazio campionario formano una ",l("b",null,"famiglia")," di sottoinsiemi detta ",l("i",null,"famiglia degli eventi"),"."),l("p",null,l(e.k,null,ia(_||(_=la`\mathcal{F}`)))),l("p",null,"Qualsiasi sottoinsieme appartenente a ",l(e.k,null,ia(h||(h=la`\mathcal{F}`)))," è considerato un evento.")),l(e.r,{title:l("span",null,l(e.k,null,ia(z||(z=la`\sigma`))),"-algebra")},l("blockquote",null,'"sigma algebra"'),l("p",null,"Se la famiglia degli eventi soddisfa questi tre requisiti, allora viene detta ",l("i",null,l(e.k,null,ia(X||(X=la`\sigma`))),"-algebra"),":"),l("ol",null,l("li",null,"Lo spazio campionario è un evento: ",l(e.k,null,ia(q||(q=la`\Omega \in \mathcal{F}`)))),l("li",null,"Se un sottoinsieme è un evento, allora anche il suo complementare lo è: ",l(e.k,null,ia(E||(E=la`E \in \mathcal{F} \implies \bar{E} \in \mathcal{F}`)))),l("li",null,"Se due sottoinsiemi sono eventi, allora lo sono anche la loro unione e intersezione: ",l(e.k,null,ia(P||(P=la`(E, F) \in \mathcal{F} \implies (E \cup F, E \cap F) \in \mathcal{F}`))))),l("p",null,"Un esempio: ",l(e.k,null,ia(L||(L=la`E \in \mathcal{F} \implies \mathcal{F} = \{ \emptyset, E, \bar{E}, \Omega \}`)))))),l(e.s,null,l(e.r,{title:"Partizione"},l("blockquote",null,'"la partizione e composta da e uno, e due, e tre..."'),l("p",null,"Un insieme di esiti e eventi:"),l("ul",null,l("li",null,l("b",null,"Finito"),"."),l("li",null,"In cui tutti gli eventi hanno ",l("b",null,"probabilità diversa da 0"),"."),l("li",null,"In cui tutti gli eventi sono ",l("b",null,"mutualmente esclusivi"),"."),l("li",null,"In cui l'unione di tutti i suoi elementi ",l("b",null,"copre lo spazio campionario"),".")),l("p",null,"La partizione ",l(e.k,null,ia(x||(x=la`E_i`)))," è composta dagli eventi ",l(e.k,null,ia(y||(y=la`E_1`))),", ",l(e.k,null,ia(F||(F=la`E_2`))),", ",l(e.k,null,ia(S||(S=la`E_3`))),", fino a ",l(e.k,null,ia(I||(I=la`E_n`))),"."),l(a.a,null,"Se lo spazio campionario fosse una torta, una sua partizione sarebbe l'insieme delle fette di uno dei modi in cui si potrebbe tagliare."))),l(e.s,{title:"Assiomi della probabilità"},l(e.r,{title:"Primo assioma della probabilità"},l("p",null,"La probabilità di un evento è un numero tra 0 e 1."),l("p",null,l(e.k,null,ia(C||(C=la`\forall E \in \mathcal{F}, 0 \leq P(E) \leq 1`))))),l(e.r,{title:"Secondo assioma della probabilità"},l("p",null,"La probabilità dello spazio campionario è sempre 1."),l("p",null,l(e.k,null,ia(N||(N=la`P(\Omega) = 1`))))),l(e.r,{title:"Terzo assioma della probabilità"},l("p",null,"La probabilità dell'unione di eventi indipendenti è uguale alla somma delle loro probabilità."),l("p",null,l(e.k,null,ia(V||(V=la`P \left ( \bigcup_i E_i \right ) = \sum_i P ( E_i )`)))))),l(e.s,{title:"Conseguenze degli assiomi"},l(e.r,{title:"Probabilità di un evento negato"},l("p",null,"La probabilità di un evento negato è uguale a 1 meno la probabilità dell'evento non negato."),l("p",null,l(e.k,null,ia(w||(w=la`P(\bar{E}) = 1 - P({E})`))))),l(e.r,{title:"Probabilità di un evento incluso"},l("p",null,"La probabilità di un evento incluso in un altro è sempre minore o uguale alla probabilità dell'evento in cui è incluso."),l("p",null,l(e.k,null,ia(D||(D=la`F \subseteq E \implies P(F) \leq P(E)`))))),l(e.r,{title:"Unione"},l("p",null,"La probabilità di un evento unito a un altro è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi meno la probabilità della loro intersezione."),l("p",null,l(e.k,null,ia(Y||(Y=la`P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)`)))),l(a.a,null,"Sommando le probabilità dei due eventi, l'intersezione viene contata due volte, e va quindi rimossa!"))),l(e.s,{title:"Spazi equiprobabili"},l(e.r,{title:"Cosa sono?"},l("p",null,"Spazi campionari in cui ci sono un numero finito di esiti e ogni esito ha la stessa probabilità di verificarsi."),l("p",null,l(e.k,null,ia(U||(U=la`P(E) = \frac{len(E)}{len(\Omega)}`))))),l(e.r,{title:"Spazi equiprobabili geometrici"},l("p",null,"Gli spazi campionari possono avere un numero infinito di esiti: sono ",l("i",null,"equiprobabili geometrici")," se nessun esito è privilegiato rispetto agli altri."))),l(e.s,{title:"Calcolo combinatorio"},l(e.r,{title:"Disposizioni"},l("p",null,"Estraggo un numero, da un sacchetto con ",l(e.k,null,"n")," numeri, mi segno che numero ho estratto e lo ",l("b",null,"tengo fuori dal sacchetto"),". Ripeto per ",l(e.k,null,"k")," volte."),l("p",null,l("b",null,"Tengo conto")," dell'ordine in cui ho estratto i numeri."),l("p",null,l(e.k,null,ia(M||(M=la`\boldsymbol{D}_{n, k} = \frac{n!}{(n - k)!}`))))),l(e.r,{title:"Disposizioni con ripetizione"},l("p",null,"Estraggo un numero, da un sacchetto con ",l(e.k,null,"n")," numeri, mi segno che numero ho estratto e lo ",l("b",null,"rimetto nel sacchetto"),". Ripeto per ",l(e.k,null,"k")," volte."),l("p",null,l("b",null,"Tengo conto")," dell'ordine in cui ho estratto i numeri."),l("p",null,l(e.k,null,ia(B||(B=la`\boldsymbol{D}^{r}_{n, k} = n^k`))))),l(e.r,{title:"Combinazioni"},l("p",null,"Estraggo un numero, da un sacchetto con ",l(e.k,null,"n")," numeri, mi segno che numero ho estratto e lo ",l("b",null,"tengo fuori dal sacchetto"),". Ripeto per ",l(e.k,null,"k")," volte."),l("p",null,l("b",null,"Non mi interessa")," l'ordine in cui ho estratto i numeri."),l("p",null,l(e.k,null,ia(A||(A=la`\boldsymbol{C}_{n, k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(k)! \cdot (n - k)!}`))))),l(e.r,{title:"Combinazioni con ripetizione"},l("p",null,"Estraggo un numero, da un sacchetto con ",l(e.k,null,"n")," numeri, mi segno che numero ho estratto e lo ",l("b",null,"rimetto nel sacchetto"),". Ripeto per ",l(e.k,null,"k")," volte."),l("p",null,l("b",null,"Non mi interessa")," l'ordine in cui ho estratto i numeri."),l("p",null,l(e.k,null,ia(T||(T=la`\boldsymbol{C}^{r}_{n, k} = \binom{n + k - 1}{k} = \frac{(n + k - 1)!}{(k)! \cdot (n - 1)!}`))))),l(e.r,{title:"Permutazioni"},l("p",null,"Estraggo ",l(e.k,null,"n")," numeri e guardo in quanti ordini diversi li posso mettere."),l("p",null,l(e.k,null,ia(G||(G=la`\boldsymbol{P}_n = n!`)))))),l(e.s,{title:"Probabilità condizionata"},l(e.r,{title:"Eventi condizionati"},l("blockquote",null,'"E dato F"'),l("p",null,"La probabilità che si verifichi ",l(e.k,null,"E")," sapendo che ",l("b",null,"si è già verificato"),l(e.k,null,"F"),"."),l("p",null,l(e.k,null,ia(O||(O=la`P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}`)))),l(a.a,null,"Ricorda vagamente le pipe di ",l("code",null,"bash"),", però al contrario...")),l(e.r,{title:"Eventi mutualmente esclusivi"},l("p",null,"Se due eventi sono mutualmente esclusivi, entrambe le loro probabilità condizionate saranno uguali a 0."),l("p",null,l(e.k,null,ia(R||(R=la`E \cap F = \emptyset \Longleftrightarrow P(E|F) = P(F|E) = 0`)))))),l(e.s,null,l(e.r,{title:"Regola della catena"},l("p",null,"Si può sfruttare la formula inversa della probabilità condizionata per calcolare catene di intersezioni:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(j||(j=la`P(E_1 \cap \times \cap E_n) = P(E_1) \times P(E_2 | E_1) \times \dots \times P(E_n | E_1 \cap E_2 \cap \dots \cap E_{n-1})`)))))),l(e.s,{title:"Le alternative"},l(e.r,{title:"Legge delle alternative"},l("p",null,"La probabilità che si verifichi un evento è pari alla somma delle probabilità dell'evento stesso dati tutti gli eventi di una partizione."),l("p",null,l(e.k,null,ia(K||(K=la`P(F) = \sum_{i} P(F|E_i) \cdot P(E_i)`))))),l(e.r,{title:"Legge condizionata delle alternative"},l("p",null,"La legge delle alternative funziona anche quando ad essere partizionato è un ",l("b",null,"evento"),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Q||(Q=la`P(F|G) = \sum_i P(F|E_i \cap G) \cdot P(E_i | G)`))))),l(e.r,{title:"Formula di Bayes"},l("p",null,"Tramite la ",l("i",null,"formula di Bayes")," possiamo risalire alla probabilità di un evento condizionato a un altro partendo dalla probabilità di quest'ultimo condizionato al primo:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Z||(Z=la`P(E_h | F) = \frac{P(F | E_h) \cdot P(E_h)}{P(F)}`)))),l(a.a,null,"In pratica, invertiamo gli eventi."))),l(e.s,{title:"Eventi indipendenti"},l(e.r,{title:"Due eventi indipendenti"},l("blockquote",null,'"eventi indipendenti a due a due"'),l("p",null,"Se due eventi sono indipendenti, sapere che uno dei due si è verificato non influisce sulle probabilità che si sia verificato l'altro."),l("p",null,l(e.k,null,ia(W||(W=la`P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) \Longleftrightarrow P(E|F) = P(E) \Longleftrightarrow P(F|E) = P(F)`))))),l(e.r,{title:"Più eventi indipendenti"},l("blockquote",null,'"eventi indipendenti a tre a tre, a quattro a quattro, a cinque a cinque..."'),l("p",null,"Si può verificare l'indipendenza di più eventi alla volta:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(J||(J=la`P(E \cap F \cap G) = P(E) \cdot P(F) \cdot P(G)`)))),l("p",null,"Eventi indipendenti a due a due non sono per forza indipendenti a tre a tre, e viceversa.")),l(e.r,{title:"Famiglia di eventi indipendenti"},l("p",null,"Un insieme di ",l(e.k,null,"n")," eventi è una ",l("i",null,"famiglia di eventi indipendenti")," se, preso un qualsiasi numero di eventi da essa, essi risulteranno indipendenti."),l(a.a,null,"Tutti gli eventi provenienti da essa saranno indipendenti sia a due a due, sia a tre a tre, sia a quattro a quattro, e così via!"))),l(e.s,{title:"Variabili aleatorie"},l(e.r,{title:"Variabile aleatoria"},l("p",null,"Una funzione che fa corrispondere un numero reale a ogni possibile esito dello spazio campionario. ",l(e.k,null,ia(H||(H=la`X(\omega) : \Omega \to \mathbb{R}`))),".")),l(e.r,{title:l("abbr",{title:"Nome artigianale dato da Steffo."},"Insieme di ripartizione")},l("p",null,"Ad ogni variabile aleatoria sono associati gli eventi ",l(e.k,null,ia($||($=la`A_t = \{ \omega | X(\omega) \leq t \}`))),", che contengono tutti gli esiti a cui la variabile aleatoria associa un valore minore o uguale a ",l(e.k,null,"t"),"."),l("p",null,"Per definizione, tutte le variabili aleatorie devono rispettare questa condizione:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ll||(ll=la`\forall t \in \mathbb{R}, A_t \in \mathcal{F}`)))),l(a.a,null,"All'aumentare di t, l'insieme conterrà sempre più elementi.")),l(e.r,{title:"Supporto"},l("blockquote",null,'"supporto di X"'),l("p",null,"Il ",l("b",null,"codominio")," della variabile aleatoria è il suo ",l("i",null,"supporto"),"."),l("p",null,"Per indicare che un valore ",l(e.k,null,"x_0")," appartiene al supporto di ",l(e.k,null,"X"),", si usa la notazione ",l(e.k,null,"X \\mapsto x_0"),"."))),l(e.s,{title:"Densità"},l(e.r,{title:"Funzione probabilità"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione probabilità")," ",l(e.k,null,ia(il||(il=la`p_X : X \to [0, 1]`)))," di una variabile aleatoria ",l("b",null,"discreta")," ",l(e.k,null,"X")," è la funzione che associa ad ogni esito la sua probabilità:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(nl||(nl=la`
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p_X (x) = \begin{cases}
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P([X = x]) \quad se\ X \mapsto x \\
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0 \qquad \qquad \quad se\ X \not\mapsto x
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\end{cases}
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`))))),l(e.r,{title:"Funzione densità"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione densità")," ",l(e.k,null,ia(el||(el=la`f_X : X \to [0, 1]`)))," di una variabile aleatoria ",l("b",null,"continua")," ",l(e.k,null,"X")," è l'equivalente continuo della funzione probabilità:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(al||(al=la`P([a < X \leq b]) = \int_a^b f_X (x) dx`)))),l("p",null,"A differenza della funzione probabilità, è possibile che la funzione densità ",l("b",null,"non esista")," per una certa variabile aleatoria."),l(a.a,null,"Rappresenta \"quanta\" probabilità c'è in un'unità di x!"))),l(e.s,{title:"Funzione di ripartizione"},l(e.r,{title:"Definizione"},l("p",null,"Ogni variabile aleatoria ha una ",l("i",null,"funzione di ripartizione"),l(e.k,null,ia(ol||(ol=la`F_X : \mathbb{R} \to [0, 1]`)))," associata, che rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore minore o uguale a ",l(e.k,null,"t"),":"),l("p",null,"Si può dire che essa rappresenti la probabilità dell'evento ",l(e.k,null,ia(tl||(tl=la`A_t`))),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ul||(ul=la`
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F_X (t) = P(A_t) = \begin{cases}
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\sum_{i = 0}^{t} p_X (x_i) \quad nel\ discreto\\
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\\
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\int_{-\infty}^t f_X (x) dx \quad nel\ continuo
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\end{cases}
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`))))),l(e.r,{title:"Proprietà della funzione"},l("ul",null,l("li",null,"È sempre ",l("b",null,"monotona crescente")," (non strettamente)."),l("br",null),l("li",null,"Vale ",l("b",null,"0")," a ",l(e.k,null,"-\\infty")," e ",l("b",null,"1")," a ",l(e.k,null,"+\\infty"),"."),l("br",null),l("li",null,"È ",l("b",null,"continua da destra"),": ",l(e.k,null,ia(rl||(rl=la`\forall x_0 \in \mathbb{R}, F_X (x_0) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t)`)))))),l(e.r,{title:"Probabilità di un valore"},l("p",null,"Possiamo usare la funzione di ripartizione per calcolare la probabilità di un certo valore reale:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(sl||(sl=la`P([X = x_0]) = \lim_{t \to x^+_0} F_X (t) - \lim_{t \to x^-_0} F_X (t)`)))))),l(e.s,{title:"Trasformazioni di variabili aleatorie"},l(e.r,{title:"Nel discreto"},l("p",null,"Nel discreto basta abbinare un nuovo valore a ogni valore della variabile originale.")),l(e.r,{title:"Nel continuo (invertibile)"},l("p",null,"Nel continuo applichiamo la formula dell'integrazione per sostituzione:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(pl||(pl=la`f_Y (y) = \int_{g(a)}^{g(b)} f_X ( g^{-1} (x) ) g^{-2} (x)`))))),l(e.r,{title:"Nel... digitale"},l("p",null,"Trasformare variabili aleatorie è molto utile nell'informatica per creare distribuzioni partendo da una funzione ",l("a",{href:"https://docs.python.org/3/library/random.html#random.random"},l("code",null,"random()"))," che restituisce numeri da 0 a 1 con una distribuzione lineare."))),l(e.s,{title:"Informazioni delle variabili aleatorie"},l(e.r,{title:"Media"},l("p",null,"Ogni variabile aleatoria che ha una ",l("b",null,"funzione di ripartizione")," e un ",l("b",null,"supporto finito")," ha anche una ",l("i",null,"media")," (o ",l("i",null,"valore medio")," o ",l("i",null,"atteso"),"):"),l("p",null,l(e.k,null,ia(dl||(dl=la`E(X) = \int_0^{+infty} (1 - F_X (t)) dt - \int_{-\infty}^{0} F_X (t) dt`)))),l("p",null,"Nel discreto, si può calcolare con:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ml||(ml=la`E(X) = \sum_i P(X = x_i) \cdot x_i`)))),l("p",null,"Nel continuo, si può calcolare con:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(cl||(cl=la`E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X (x) \cdot x \cdot dx`)))))),l(e.s,null,l(e.r,{title:"Moda"},l("p",null,"Valore per cui la ",l("b",null,"funzione probabilità")," o ",l("b",null,"funzione densità")," è ",l("b",null,"massima"),".")),l(e.r,{title:"Quantili"},l("p",null,"Il ",l("i",null,"quantile")," ",l(e.k,null,ia(bl||(bl=la`x_{\alpha}`)))," di ordine ",l(e.k,null,ia(vl||(vl=la`0 \leq \alpha \leq 1`)))," della variabile aleatoria ",l(e.k,null,"X")," è il più piccolo numero tale che:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(kl||(kl=la`P([X < x_{\alpha}]) \leq \alpha \leq P([X \leq x_{\alpha}])`)))),l("p",null),l("p",null,"Il quantile di ordine 0.5 ",l(e.k,null,ia(gl||(gl=la`x_{0.5}`)))," è detto ",l("i",null,"mediana"),"."),l("p",null,"I quantili di ordine 0.25 ",l(e.k,null,ia(fl||(fl=la`x_{0.25}`)))," e 0.75 ",l(e.k,null,ia(_l||(_l=la`x_{0.75}`)))," sono detti ",l("i",null,"quartili"),"."),l("p",null,"I quantili di ordine ",l(e.k,null,ia(hl||(hl=la`\frac{n}{100}`)))," sono detti ",l("i",null,l(e.k,null,"n"),"-esima percentile"),".")),l(e.r,{title:"Varianza"},l("p",null,"È un valore che indica quanto la variabile aleatoria si discosta generalmente dalla media:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(zl||(zl=la`Var(X) = E( (X - E(X) )^2 ) = E ( X^2 ) - (E(X))^2`)))))),l(e.s,{title:"Disuguaglianze notevoli"},l(e.r,{title:"Disuguaglianza di Markov"},l("p",null,"Data una variabile aleatoria non-negativa:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Xl||(Xl=la`\forall k > 0, P([X \geq k]) \leq \frac{E(X)}{k}`)))),l("p",null,"Divide in due parti (",l(e.k,null,ia(ql||(ql=la`P(X < k)`)))," e ",l(e.k,null,ia(El||(El=la`P(X \geq k)`))),") la funzione X, la cui media risulterà uguale a:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Pl||(Pl=la`E(X) = \overline{k} \cdot P(X < k) + k \cdot P(X \geq k)`))))),l(e.r,{title:"Disuguaglianza di Čebyšëv"},l("blockquote",null,'"disuguaglianza di cebicev"'),l("p",null,"Se la variabile aleatoria ",l(e.k,null,"X")," ha media e varianza, allora la probabilità che essa abbia un valore a più di ",l(e.k,null,ia(Ll||(Ll=la`\epsilon`)))," di distanza dal valore medio è minore o uguale a ",l(e.k,null,ia(xl||(xl=la`\frac{Var(X)}{\epsilon^2}`))),"."),l("p",null,l(e.k,null,ia(yl||(yl=la`\forall \epsilon > 0, P([ \left| X - E(X) \right| \geq \epsilon]) \leq \frac{Var(X)}{\epsilon^2}`)))),l("p",null,"E anche:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Fl||(Fl=la`\forall \epsilon > 0, P([ \left| X - E(X) \right| < \epsilon]) \geq 1 - \frac{Var(X)}{\epsilon^2}`)))),l(a.a,null,"Serve per semplificare i calcoli quando la funzione di ripartizione è difficile da calcolare!"))),l(e.s,{title:"Un momento...!"},l(e.r,{title:"Momento"},l("p",null,"Il ",l("i",null,"momento")," ",l(e.k,null,"k"),"-esimo di una variabile aleatoria è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Sl||(Sl=la`
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\mu_k = E ( X^k ) = \begin{cases}
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\sum_i x_i^k p_X (x_i) \qquad nel\ discreto\\
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\\
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\int_{-\infty}^{+\infty} x^k f_X (x) dx \qquad nel\ continuo
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\end{cases}`)))),l(a.a,null,"La media di una variabile aleatoria è anche il suo primo momento.")),l(e.r,{title:"Funzione generatrice dei momenti"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione generatrice dei momenti")," è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Il||(Il=la`m_X (t) = E( e^{t \cdot X} )`)))),l("p",null,"Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione generatrice dei momenti, allora esse hanno la ",l("b",null,"stessa distribuzione"),"."),l("p",null,"E' la ",l("b",null,"trasformata di Laplace")," della variabile aleatoria di X.")),l(e.r,{title:"Funzione caratteristica"},l("p",null,"La ",l("i",null,"funzione caratteristica")," è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Cl||(Cl=la`H_X (t) = E ( e^{i \cdot t \cdot X} )`)))),l("p",null,"Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione caratteristica, allora esse hanno la ",l("b",null,"stessa distribuzione"),"."),l("p",null,"E' la ",l("b",null,"trasformata di Fourier")," della variabile aleatoria di X."))),l(e.s,{title:"Prove e schemi"},l(e.r,{title:"Variabile con distribuzione"},l("p",null,"Per dire che una variabile ha una certa distribuzione, si usa la notazione:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Nl||(Nl=la`X \sim Distribuzione()`))))),l(e.r,{title:"Prova di Bernoulli"},l("p",null,"Una prova con solo due possibili esiti: ",l(o.a,null,"successo")," e ",l(t.a,null,"insuccesso"),".")),l(e.r,{title:"Schema di Bernoulli"},l("p",null,"Una sequenza di prove di Bernoulli per le quali le probabilità di successo e fallimento rimangono invariate."))),l(e.s,{title:"Bernoulliana"},l(e.r,{title:"Distribuzione bernoulliana"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che rappresenta una prova di Bernoulli:"),l("ul",null,l("li",null,"vale ",l(o.a,null,"1")," in caso di ",l(o.a,null,"successo"),"."),l("li",null,"vale ",l(t.a,null,"0")," in caso di ",l(t.a,null,"insuccesso"),".")),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.k,null,ia(Vl||(Vl=la`Ber(p)`))))),l(e.r,{title:"Densità della bernoulliana"},l("p",null,"La distribuzione bernoulliana ha come densità:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(wl||(wl=la`
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f_X (k) : \{0, 1\} = \begin{cases}
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p \quad se\ k = 1\\
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q \quad se\ k = 0\\
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0 \quad altrimenti
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\end{cases} = p^x \cdot q^{1 - k}`)))))),l(e.s,{title:"Binomiale"},l(e.r,{title:"Distribuzione binomiale"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di successi di ",l(e.k,null,"n")," prove di uno schema di Bernoulli."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.k,null,ia(Dl||(Dl=la`Bin(n, p)`))),".")),l(e.r,{title:"Densità della binomiale"},l("p",null,"La binomiale ha come densità:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Yl||(Yl=la`f_X (k) : \{0..n\} = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n - k}`))))),l(e.r,{title:"Momenti della binomiale"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Ul||(Ul=la`m_X (t) = (q + p \cdot e^t) ^ n`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," di una binomiale è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Ml||(Ml=la`E(X) = n \cdot p`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," di una binomiale è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Bl||(Bl=la`Var(X) = n \cdot p \cdot q`)))))),l(e.s,{title:"Geometrica"},l(e.r,{title:"Distribuzione geometrica"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli fino alla comparsa del primo successo."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.k,null,"Geo(p)"),".")),l(e.r,{title:"Densità della geometrica"},l("p",null,"La geometrica ha come densità:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Al||(Al=la`f_X (k) : \mathbb{N} = q^{k - 1} p`))))),l(e.r,{title:"Momenti della geometrica"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della geometrica è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Tl||(Tl=la`m_X (t) = \frac{p \cdot e^t}{1 - q \cdot e^t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della geometrica è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Gl||(Gl=la`E(X) = \frac{1}{p}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della geometrica è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Ol||(Ol=la`Var(X) = \frac{q}{p^2}`))))),l(e.r,{title:"Assenza di memoria della geometrica"},l("p",null,"La geometrica non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Rl||(Rl=la`P([X = i + j | X > i ]) = P([X = j])`)))),l(a.a,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."))),l(e.s,{title:"Binomiale negativa"},l(e.r,{title:"Distribuzione binomiale negativa"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli necessarie perchè si verifichi l'",l(e.k,null,"n"),"-esimo successo."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.k,null,ia(jl||(jl=la`\overline{Bin}(n, p)`))),".")),l(e.r,{title:"Densità della binomiale negativa"},l("p",null,"La binomiale negativa ha come densità:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Kl||(Kl=la`f_X (k) : \{ n .. +\infty \} \in \mathbb{N} = \binom{k - 1}{n - 1} \cdot p^n \cdot q^{k - n} `))))),l(e.r,{title:"Momenti della binomiale negativa"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Ql||(Ql=la`m_X (t) : \{ t < ln(\frac{1}{q}) \} = \left( \frac{p \cdot e^t}{1 - q \cdot e^t} \right) ^n`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Zl||(Zl=la`E(X) = \frac{n}{p}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della binomiale negativa è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Wl||(Wl=la`Var(X) = \frac{n \cdot q}{p^2}`))))))),l(e.s,{title:"Geometrica traslata"},l(e.r,{title:"Distribuzione geometrica traslata"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero ",l(e.k,null,"k")," di insuccessi consecutivi in uno schema di Bernoulli:"),l("p",null,"Il suo simbolo rimane ",l(e.k,null,ia(Jl||(Jl=la`Geo(p)`))),".")),l(e.r,{title:"Densità della geometrica tralsata"},l("p",null,"La geometrica traslata ha come densità:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Hl||(Hl=la`f_X (k) : \mathbb{N} = p \cdot q^k `))))),l(e.r,{title:"Momenti della geometrica traslata"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della geometrica traslata è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia($l||($l=la`m_X (t) : \left\{ t < ln \left( \frac{1}{q} \right) \right\} = \frac{p}{1 - q \cdot e^t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della geometrica traslata è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(li||(li=la`E(X) = \frac{q}{p}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della geometrica è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ii||(ii=la`Var(X) = \frac{q}{p^2}`))))),l(e.r,{title:"Assenza di memoria della geometrica traslata"},l("p",null,"La geometrica traslata non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ni||(ni=la`P([X = i + j | X > i ]) = P([X = j])`)))),l(a.a,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."))),l(e.s,{title:"Binomiale negativa traslata"},l(e.r,{title:"Distribuzione binomiale negativa traslata"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il numero di insuccessi in uno schema di Bernoulli prima che si verifichi l'",l(e.k,null,"n"),"-esimo successo."),l("p",null,"Il suo simbolo rimane ",l(e.k,null,ia(ei||(ei=la`\overline{Bin}(n, p)`))),".")),l(e.r,{title:"Densità della binomiale negativa traslata"},l("p",null,"La binomiale negativa traslata ha come densità:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ai||(ai=la`f_X (k) : \mathbb{N} = \binom{k + n - 1}{n - 1} \cdot p^n \cdot q^k `))))),l(e.r,{title:"Momenti della binomiale negativa traslata"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della binomiale negativa traslata è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(oi||(oi=la`m_X (t) : \left\{ t < ln \left( \frac{1}{q} \right) \right\} = \left( \frac{p \cdot e^t}{1 - q \cdot e^t} \right) ^n`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della binomiale negativa traslata è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ti||(ti=la`E(X) = \frac{n \cdot q}{p}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della binomiale negativa traslata è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ui||(ui=la`Var(X) = \frac{n \cdot q}{p^2}`))))))),l(e.s,{title:"Ipergeometrica"},l(e.r,{title:"Distribuzione ipergeometrica"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che, sapendo il numero di successi ",l(e.k,null,"K")," e di insuccessi ",l(e.k,null,"N-K"),", conta quanti successi si otterrebbero se se ne estraessero ",l(e.k,null,"n")," in blocco."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.k,null,"Ipe(N, K, n)"),".")),l(e.r,{title:"Densità della ipergeometrica"},l("p",null,"La ipergeometrica ha come densità:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ri||(ri=la`f_X (k) : \{0..n\} \in \mathbb{N} = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}`))))),l(e.r,{title:"Momenti della ipergeometrica"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della ipergeometrica è trascurabile."),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della ipergeometrica è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(si||(si=la`E(X) = n \cdot \frac{K}{N}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della ipergeometrica è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(pi||(pi=la`Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N - K}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1}`))))))),l(e.s,{title:"Poissoniana"},l(e.r,{title:"Distribuzione poissoniana"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che soddisfa tutte le seguenti caratteristiche:"),l("ul",null,l("li",null,"Binomiale: ",l(e.k,null,ia(di||(di=la`X \sim Bin(n, p)`)))),l("li",null,"Il numero di prove tende a infinito: ",l(e.k,null,ia(mi||(mi=la`n \to +\infty`)))),l("li",null,"La probabilità di successo tende a 0: ",l(e.k,null,ia(ci||(ci=la`p \to 0`)))),l("li",null,"La media è finita: ",l(e.k,null,ia(bi||(bi=la`E(X) = n \cdot p \to \mu \neq 0`))))),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.k,null,ia(vi||(vi=la`Poi(\mu)`))))),l(e.r,{title:"Densità della poissoniana"},l("p",null,"La poissoniana ha come densità:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ki||(ki=la`f_X (k) : \mathbb{N} = \frac{e^{-\mu} \cdot \mu^k}{k!}`))))),l(e.r,{title:"Momenti della poissoniana"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della poissoniana è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(gi||(gi=la`m_X (t) = e^{\mu \cdot (e^t - 1)}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della poissoniana è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(fi||(fi=la`E(X) = \mu`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della poissoniana è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(_i||(_i=la`Var(X) = \mu`)))),l("p",null,"Gli altri momenti della poissoniana sono:"),l("ol",{start:2},l("li",null,l(e.k,null,ia(hi||(hi=la`E(X^2) = \mu^2 + \mu`)))))))),l(e.s,{title:"Un altro schema"},l(e.r,{title:"Schema di Poisson"},l("p",null,"Una successione di ",l("b",null,"arrivi")," avvenuti in un certo arco temporale che:"),l("ul",null,l("li",null,"non sono sovrapposti."),l("li",null,"hanno intensità ",l(e.k,null,ia(zi||(zi=la`\lambda`)))," costante."),l("li",null,"avvengono indipendentemente gli uni dagli altri."))),l(e.r,{title:"Processo di Poisson"},l("p",null,"Una variabile aleatoria ",l(e.k,null,"N_t")," che conta il numero di arrivi di uno schema di Poisson di intensità ",l(e.k,null,ia(Xi||(Xi=la`\lambda`)))," in un intervallo di tempo di durata ",l(e.k,null,"t"),"."),l("p",null,"E' una distribuzione poissoniana con ",l(e.k,null,ia(qi||(qi=la`\mu = t \cdot \lambda`))),": ",l(e.k,null,ia(Ei||(Ei=la`Poi(t \cdot \lambda)`)))),l(a.a,null,"E' paragonabile a una bernoulliana: ogni successo corrisponde a un arrivo, mentre il tempo è il numero di prove effettuate (ma nel continuo)."))),l(e.s,{title:"Esponenziale"},l(e.r,{title:"Distribuzione esponenziale"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima del primo arrivo di un processo di Poisson di intensità ",l(e.k,null,ia(Pi||(Pi=la`\lambda`))),"."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.k,null,ia(Li||(Li=la`Esp(\lambda)`))),".")),l(e.r,{title:"Densità dell'esponenziale"},l("p",null,"L'esponenziale ha come ",l("b",null,"densità"),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(xi||(xi=la`
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f_X (x) = \begin{cases}
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0 \qquad \qquad x < 0\\
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\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x} \quad x > 0
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\end{cases}`)))),l("p",null,"L'esponenziale ha come ",l("b",null,"funzione di ripartizione"),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(yi||(yi=la`
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F_X (t) = \begin{cases}
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0 \qquad \qquad t < 0\\
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1 - e^{-\lambda \cdot t} \quad t \geq 0
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\end{cases}`))))),l(e.r,{title:"Momenti dell'esponenziale"},l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Fi||(Fi=la`m_X (t) : \{ t | t < \lambda \} \in \mathbb{R} = \frac{\lambda}{\lambda - t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Si||(Si=la`E(X) = \frac{1}{\lambda}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," dell'esponenziale è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Ii||(Ii=la`Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}`))))),l(e.r,{title:"Assenza di memoria della esponenziale"},l("p",null,"L'esponenziale non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà dell'assenza di memoria:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Ci||(Ci=la`P([X > s + t | X > s]) = P([X > t])`)))),l(a.a,null,"Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto dell'asse X."))),l(e.s,{title:"Legge gamma"},l(e.r,{title:"Distribuzione gamma"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima dell'",l(e.k,null,"n"),"-esimo arrivo di un processo di Poisson di intensità ",l(e.k,null,ia(Ni||(Ni=la`\lambda`))),"."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.k,null,ia(Vi||(Vi=la`\Gamma(n, \lambda)`))),".")),l(e.r,{title:"Densità della legge gamma"},l("p",null,"La legge gamma ha come densità:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(wi||(wi=la`
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f_X (x) = \begin{cases}
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0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x < 0\\
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\frac{1}{(n-1)!} \cdot \lambda^n \cdot x^{n-1} \cdot e^{-\lambda \cdot x} \quad k > 0
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\end{cases}`))))),l(e.r,{title:"Momenti della legge gamma"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Di||(Di=la`m_X (t) : ( t < \lambda ) \in \mathbb{R} = \left( \frac{\lambda}{\lambda - t} \right) ^\alpha`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Yi||(Yi=la`E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della legge gamma è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Ui||(Ui=la`Var(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}`))))))),l(e.s,{title:"Uniforme"},l(e.r,{title:"Distribuzione uniforme"},l("p",null,"Una variabile aleatoria che può assumere qualsiasi valore in un intervallo ",l(e.k,null,ia(Mi||(Mi=la`[a, b]`)))," in modo equiprobabile."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.k,null,ia(Bi||(Bi=la`Uni(a, b)`)))),l("p",null,"Su di essa vale la seguente proprietà:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Ai||(Ai=la`P(X \in (c, d)) = \frac{d - c}{b - a}`))))),l(e.r,{title:"Densità della distribuzione uniforme"},l("p",null,"La distribuzione uniforme ha come ",l("b",null,"densità"),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Ti||(Ti=la`
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f_X (x) = \begin{cases}
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\frac{1}{b - a} \qquad a \leq x \leq b\\
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0 \qquad \quad altrimenti
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\end{cases}
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`)))),l("p",null,"La distribuzione uniforme ha come ",l("b",null,"funzione di ripartizione"),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Gi||(Gi=la`
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f_X (x) = \begin{cases}
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0 \qquad \quad x < a
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\frac{1}{b - a} \qquad a \leq x \leq b\\
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1 \qquad \quad x > b
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\end{cases}`))))),l(e.r,{title:"Momenti della distribuzione uniforme"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Oi||(Oi=la`m_X (t) = \frac{e^{b \cdot t} - e^{a \cdot t}}{(b - a) \cdot t}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Ri||(Ri=la`E(X) = \frac{a + b}{2}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della distribuzione uniforme è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ji||(ji=la`Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}`))))))),l(e.s,{title:"Normale o Gaussiana"},l(e.r,{title:"Distribuzione normale"},l("p",null,"Una variabile aleatoria con una specifica distribuzione."),l("p",null,"Il suo simbolo è ",l(e.k,null,ia(Ki||(Ki=la`Nor(\mu, \sigma^2)`))),"."),l(a.a,null,l(e.k,null,"\\mu")," e ",l(e.k,null,"\\sigma^2")," sono rispettivamente la media e la varianza della distribuzione!")),l(e.r,{title:"Densità della distribuzione normale"},l("p",null,"La distribuzione normale ha come densità:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Qi||(Qi=la`f_X (x) = \frac{e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}}{\sqrt{2 \pi \cdot \sigma^2}}`))))),l(e.r,{title:"Momenti della distribuzione normale"},l("p",null,l("p",null,"La ",l("b",null,"funzione generatrice dei momenti")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Zi||(Zi=la`m_X (t) = e^{\mu \cdot t + \frac{\sigma^2 \cdot t^2}{2}}`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"media")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Wi||(Wi=la`E(X) = \mu`)))),l("p",null,"La ",l("b",null,"varianza")," della distribuzione normale è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Ji||(Ji=la`Var(X) = \sigma^2`))))))),l(e.s,null,l(e.r,{title:"Trasformazione della normale"},l("p",null,"Qualsiasi normale può essere trasformata in qualsiasi altra normale:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Hi||(Hi=la`X \sim Nor(m, v^2) \implies \alpha X + \beta \sim Nor(\alpha m + \beta, (\alpha v)^2)`))))),l(e.r,{title:"Normale standard"},l("p",null,"La distribuzione normale standard ",l(e.k,null,"Z")," è:"),l("p",null,l(e.k,null,"Z \\sim Nor(0, 1)")),l("p",null,"La sua funzione di ripartizione è detta ",l(e.k,null,ia($i||($i=la`\phi(z)`)))," e vale:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ln||(ln=la`F_Z(z) = \phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac{x^2}{2}} dx`))))),l(e.r,{title:"Quantili normali"},l("p",null,"Da un quantile ",l(e.k,null,ia(nn||(nn=la`z_\alpha`)))," della normale standard è possibile risalire allo stesso quantile di qualsiasi altra normale:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(en||(en=la`x_\alpha = \mu + z_\alpha \cdot \sqrt{\sigma^2}`)))))),l(e.s,null,l(e.r,{title:"Gamma e normale"},l("p",null,"La distribuzione normale ha una particolare relazione con la distribuzione Gamma:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(an||(an=la`Z^2 \sim \chi^2 (v = 1)`))))),l(e.r,{title:"La funzione Chi"},l("blockquote",null,'"chi-quadro a un grado di libertà"'),l("p",null,"Esiste una distribuzione Gamma particolare:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(on||(on=la`\Gamma \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) = \chi^2 (v = 1)`)))),l("p",null,"Più chi-quadro possono essere sommate per aumentare i loro gradi di libertà:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(tn||(tn=la`\chi^2 (n) + \chi^2 (m) = \chi^2 (n + m)`))))),l(e.r,{title:"T di Student"},l("p",null,"Un'altra funzione particolare è la funzione T di Student:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(un||(un=la`T(v) = \frac{Nor(0, 1)}{\sqrt{\frac{\chi^2(v)}{v}}}`)))))),l(e.s,{title:"Approssimazioni notevoli"},l(e.r,{title:"Ipergeometrica e binomiale"},l("p",null,"La binomiale è come una ipergeometrica ma con ripetizioni, quindi per valori molto grandi di ",l(e.k,null,"N")," rispetto a ",l(e.k,null,"n"),", si può dire che:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(rn||(rn=la`Ipe(N, K, n) \approx Bin(n, \frac{K}{N})`))))),l(e.r,{title:"Binomiale e poissoniana"},l("p",null,"La binomiale non è altro che una poissoniana a tempo discreto, quindi, se ",l(e.k,null,"n")," è grande e ",l(e.k,null,"n \\cdot p")," è nell'ordine di grandezza delle unità, allora:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(sn||(sn=la`Bin(n, p) \approx Poi(n \cdot p)`))))),l(e.r,{title:"Binomiale e normale"},l("p",null,"Per il Teorema di De Moivre-Laplace, se una binomiale ha una ",l(e.k,null,"n")," grande e ",l(e.k,null,"p")," non vicina a 0 o 1, si può approssimare con:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(pn||(pn=la`Bin(n, p) \approx Nor(n \cdot p, n \cdot p \cdot q)`))))),l(e.r,{title:"Correzione di Yates"},l("p",null,"Passando da una variabile discreta ",l(e.k,null,"X")," a una continua ",l(e.k,null,"Y"),", per ogni valore discreto ",l(e.k,null,"k"),' la probabilità viene "spalmata" su tutto l\'intervallo ',l(e.k,null,ia(dn||(dn=la`(k - \frac{1}{2}, k + \frac{1}{2})`))),":"),l("ul",null,l("li",null,l(e.k,null,ia(mn||(mn=la`P(X < k) \simeq P(Y \leq k - \frac{1}{2})`)))),l("li",null,l(e.k,null,ia(cn||(cn=la`P(X \leq k) \simeq P(Y \leq k + \frac{1}{2})`)))),l("li",null,l(e.k,null,ia(bn||(bn=la`P(X \geq k) \simeq P(Y \geq k - \frac{1}{2})`)))),l("li",null,l(e.k,null,ia(vn||(vn=la`P(X > k) \simeq P(Y \geq k + \frac{1}{2})`))))))),l(e.s,{title:"Vettori aleatori"},l(e.r,{title:"Vettore aleatorio"},l("p",null,"Un vettore ",l("b",null,"composto da variabili aleatorie"),"."),l("p",null,"Il suo simbolo generalmente è ",l(e.k,null,ia(kn||(kn=la`\boldsymbol{X}`)))," oppure ",l(e.k,null,ia(gn||(gn=la`X, Y`))),".")),l(e.r,{title:"Funzioni di ripartizione"},l("p",null,"I vettori aleatori hanno più funzioni di ripartizione che si differenziano in base al numero di parametri."),l("p",null,"Se il numero di parametri coincide con la dimensione del vettore aleatorio, allora la funzione sarà una ",l("i",null,"funzione di ripartizione congiunta"),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(fn||(fn=la`F_{X, Y} (x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)`)))),l("p",null,"Se il numero di parametri è minore della dimensione del vettore aleatorio, allora la funzione sarà una ",l("i",null,"funzione di ripartizione marginale"),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(_n||(_n=la`F_X (x) = P(X \leq x) = \lim_{y \to +\infty} F_{X, Y} (x, y)`))))),l(e.r,{title:"Densità discreta"},l("p",null,"I vettori aleatori ",l("b",null,"discreti")," hanno più densità che si differenziano in base al numero di parametri."),l("p",null,"Se il numero di parametri coincide con la dimensione del vettore aleatorio, allora la funzione sarà una ",l("i",null,"densità congiunta"),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(hn||(hn=la`p_{X, Y} (x, y) = P(X = x, Y = y)`)))),l("p",null,"Se il numero di parametri è minore della dimensione del vettore aleatorio, allora la funzione sarà una ",l("i",null,"densità marginale"),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(zn||(zn=la`p_X (x) = \sum_j p_{X, Y} (x_i, y_j)`)))))),l(e.s,{title:"Più variabili aleatorie"},l(e.r,{title:"Indipendenza delle variabili aleatorie"},l("p",null,"Più variabili aleatorie sono indipendenti se, per qualsiasi scelta di intervalli ",l(e.k,null,"A_i"),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Xn||(Xn=la`P(X_1 \in A_1, \dots, X_n \in A_n) = P(X_1 \in A_1) \times \dots \times P(X_n \in A_n)`))))),l(e.r,{title:"Media dei vettori aleatori"},l("p",null,"E' possibile calcolare la media di qualsiasi funzione ",l(e.k,null,"g(X, Y)")," avente elementi del vettore come variabili:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(qn||(qn=la`E(g(X, Y)) = \sum_{i, j} g(x_i, y_i) \cdot p_{X, Y} (x_i, y_i)`)))),l(a.a,null,"Solitamente si calcola la media di ",l(e.k,null,"x \\cdot y"),"."),l("p",null,"Le medie di più variabili aleatorie si possono sommare:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(En||(En=la`E(X + Y) = E(X) + E(Y)`)))))),l(e.s,null,l(e.r,{title:"Covarianza"},l("p",null,"Un ",l("b",null,"operatore")," che misura la correlazione di due variabili aleatorie."),l("p",null,"Si calcola con il valore atteso dei prodotti delle distanze dalla media:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Pn||(Pn=la`Cov(X, Y) = E((X - E(X) \cdot (Y - E(Y)) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)`)))),l("p",null,"Ha diverse proprietà:"),l("ul",null,l("li",null,"Il suo ",l("b",null,"valore nullo")," è 0: ",l(e.k,null,ia(Ln||(Ln=la`Cov(X, \alpha) = 0`)))),l("li",null,"E' ",l("b",null,"commutativa"),": ",l(e.k,null,ia(xn||(xn=la`Cov(X, Y) = Cov(Y, X)`)))),l("li",null,"E' ",l("b",null,"semplificabile"),": ",l(e.k,null,ia(yn||(yn=la`Cov(X, X) = Var(X)`)))),l("li",null,"E' ",l("b",null,"lineare"),": ",l(e.k,null,ia(Fn||(Fn=la`Cov(\alpha X, \beta Y) = \alpha \cdot \beta \cdot Cov(X, Y)`)))),l("li",null,"E' ",l("b",null,"distributiva"),": ",l(e.k,null,ia(Sn||(Sn=la`Cov(X + Y, V + W) = Cov(X, Y) + Cov(X, W) + Cov(Y, V) + Cov(Y, W)`)))))),l(e.r,{title:"Variabili incorrelate"},l("p",null,"Due variabili sono ",l("i",null,"variabili incorrelate")," se:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(In||(In=la`Cov(X, Y) = 0`)))),l("p",null,"Variabili indipendenti sono sempre incorrelate.")),l(e.r,{title:"Matrice di covarianza"},l("p",null,"Una matrice ",l(e.k,null,ia(Cn||(Cn=la`\boldsymbol{C_X}`)))," che contiene la covarianza tra tutte le variabili di un vettore aleatorio ",l(e.k,null,ia(Nn||(Nn=la`\boldsymbol{X}`))),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Vn||(Vn=la`
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|
\boldsymbol{C_X} =
|
|
\begin{bmatrix}
|
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Var(X_1) & Cov(X_1, X_2) & Cov(X_1, X_3)\\
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|
Cov(X_2, X_1) & Var(X_2) & Cov(X_2, X_3)\\
|
|
Cov(X_3, X_1) & Cov(X_3, X_2) & Var(X_3)
|
|
\end{bmatrix}
|
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`)))),l("p",null,"E' sempre simmetrica e semidefinita positiva (tutti gli autovalori sono ",l(e.k,null,"\\geq 0"),".")),l(e.r,{title:"Coefficiente di correlazione"},l("p",null,"Un valore che misura come due variabili aleatorie sono correlate:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(wn||(wn=la`\rho_{X, Y} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X)} \cdot \sqrt{Var(Y)}}`)))),l("p",null,"E' sempre compreso tra -1 e 1:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Dn||(Dn=la`-1 \leq \rho_{X, Y} \leq 1`)))),l("p",null,"Vale esattamente -1 o 1 solo se esiste un legame lineare tra le due variaibli:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Yn||(Yn=la`Y = a X + b \Longleftrightarrow | \rho_{X, Y} | = 1`))))),l(e.r,{title:"Varianza di variabili aleatorie sommate"},l("p",null,"La varianza di due variabili aleatorie sommate è:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Un||(Un=la`Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y)`)))),l(a.a,null,"Si dimostra applicando le proprietà della covarianza!"),l("p",null,"Se più variabili aleatorie ",l(e.k,null,"X_i")," sono ",l("b",null,"indipendenti")," (",l(e.k,null,ia(Mn||(Mn=la`Cov(X, Y) = 0`))),"), allora:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Bn||(Bn=la`Var \left( \sum_i X_i \right) = \sum_i Var(X_i)`)))))),l(e.s,{title:"Campioni"},l(e.r,{title:"Campione casuale"},l("p",null,"Una ",l("b",null,"n-pla")," di variabili aleatorie con la stessa distribuzione della variabile aleatoria ",l(e.k,null,"X"),' ("popolazione") ma ',l("b",null,"indipendenti")," tra loro."),l(a.a,null,"Le variabili aleatorie sono come un lazy-load in programmazione; quando ci sarà bisogno del loro valore numerico, esse si ",l("b",null,"realizzeranno")," nel loro valore.")),l(e.r,{title:"Momento campionario"},l("p",null,"Il valore dato dalla media aritmetica degli ",l(e.k,null,"n")," elementi del campione elevati alla potenza ",l(e.k,null,"k"),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(An||(An=la`M^{(k)}_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n X_i^k `)))),l("p",null,"Il momento campionario di primo ordine è la ",l("i",null,"media campionaria"),l(e.k,null,ia(Tn||(Tn=la`\overline{X}_n`))),".")),l(e.r,{title:"Varianza campionaria"},l("p",null,"La media aritmetica dello scarto quadratico medio degli elementi del campione."),l("p",null,"Se è noto il valore medio ",l(e.k,null,ia(Gn||(Gn=la`m = E(X)`)))," di X:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(On||(On=la`S_0^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - m)^2 = M_n^(2) - 2 \cdot m \cdot \overline{X}_n + m^2`)))),l("p",null,"Altrimenti:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Rn||(Rn=la`S_n^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot \sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X}_n)^2 = \frac{1}{n - 1} \cdot ( n \cdot M_2^{(2)} - n \cdot \overline{X}_n^2)`)))))),l(e.s,{title:"Media-ception"},l(e.r,{title:"Media campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(jn||(jn=la`E(\overline{X}_n) = E(X)`)))),l(a.a,null,"Quindi, è possibile usare i campioni per trovare la media di una variabile aleatoria!")),l(e.r,{title:"Varianza campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Kn||(Kn=la`Var(\overline{X}_n) = \frac{Var(X)}{n}`)))),l(a.a,null,"Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!")),l(e.r,{title:"Correzione campionaria"},l("p",null,"Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Qn||(Qn=la`E(S_0^2) = E(S_n^2) = Var(X)`)))),l(a.a,null,"Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!"))),l(e.s,{title:"Campionamento di una distribuzione normale"},l(e.r,{title:"Campionamento di una distribuzione normale"},l("p",null,"Se la popolazione ",l(e.k,null,"X")," ha una distribuzione normale (",l(e.k,null,ia(Zn||(Zn=la`X \sim Nor(\mu, \sigma^2)`))),")...")),l(e.r,{title:"Distribuzione della media campionaria"},l("p",null,"...allora sappiamo anche la distribuzione della media campionaria!"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Wn||(Wn=la`\overline{X}_n \sim Nor \left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)`))))),l(e.r,{title:"Distribuzione della varianza campionaria"},l("p",null,"...e anche della varianza campionaria!"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Jn||(Jn=la`S_0^2 \sim \frac{\sigma^2}{n} \cdot \chi^2 (n)`)))),l("p",null,l(e.k,null,ia(Hn||(Hn=la`S_n^2 \sim \frac{\sigma^2}{n - 1} \cdot \chi^2 (n-1)`))))),l(e.r,{title:"Indipendenza"},l("p",null,"...e che media campionaria e varianza campionaria sono indipendenti tra loro!"))),l(e.s,{title:"Quando i campioni hanno dimensioni infinite"},l(e.r,{title:"Convergenza in distribuzione"},l("p",null,"Se la successione di variabili aleatorie ",l(e.k,null,"X_n")," all'infinito ha la ",l("b",null,"stessa funzione di ripartizione")," della popolazione ",l(e.k,null,"X"),", allora essa ",l("i",null,"converge in distribuzione"),"."),l("p",null,l(e.k,null,"\\lim_{n \\to +\\infty} F_{X_n} (x) = F_X (x) \\implies X_n \\xrightarrow{d} X"))),l(e.r,{title:"Convergenza in probabilità"},l("p",null,"Se la successione di variabili aleatorie ",l(e.k,null,"X_n")," all'infinito ha la ",l("b",null,"stessa probabilità")," della popolazione ",l(e.k,null,"X"),", allora essa ",l("i",null,"converge in probabilità"),"."),l("p",null,l(e.k,null,"\\forall \\epsilon > 0, \\lim_{n \\to +\\infty} P( | X_n - X | < \\epsilon) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{p} X"))),l(e.r,{title:"Convergenza quasi certa"},l("p",null,"Se la successione di variabili aleatorie ",l(e.k,null,"X_n")," all'infinito ha la ",l("b",null,"stessa probabilità a ")," della popolazione ",l(e.k,null,"X"),", allora essa ",l("i",null,"converge quasi certamente"),"."),l("p",null,l(e.k,null,"\\forall \\epsilon > 0, P left( \\lim_{n \\to +\\infty} | X_n - X | < \\epsilon) \right) = 1 \\implies X_n \\xrightarrow{qc} X"))),l(e.r,{title:"Convergenza in media quadratica"},l("p",null,"Se la successione di variabili aleatorie ",l(e.k,null,"X_n")," all'infinito ha la ",l("b",null,"media del quadrato della distanza")," tra la successione e la popolazione ",l(e.k,null,"X")," ",l("b",null,"uguale a 0"),", allora essa ",l("i",null,"converge in media quadratica"),"."),l("p",null,l(e.k,null,"\\lim_{n \\to +\\infty} E( | X_n - X |^2 = 0 \\implies X_n \\xrightarrow{mq} X"))),l(e.r,{title:"Gerarchia delle convergenze"},l("p",null,l(e.k,null,"\n \\begin{matrix}\n X_n \\xrightarrow{mq} X\\\\\n X_n \\xrightarrow{qc} X\n \\end{matrix} \\implies X_n \\xrightarrow{p} X \\implies X_n \\xrightarrow{d} X")),l("p",null,"In più:"),l("p",null,l(e.k,null,"X_n \\xrightarrow{p} x \\Longleftrightarrow X_n \\xrightarrow{d} x")))),l(e.s,{title:"I grandi numeri"},l(e.r,{title:"Legge debole dei grandi numeri"},l("p",null,"La successione delle medie campionarie ",l(e.k,null,ia($n||($n=la`\overline{X}_n`)))," ",l("b",null,"converge in probabilità")," alla media della popolazione ",l(e.k,null,ia(le||(le=la`E(X)`))),", se essa esiste."),l("p",null,l(e.k,null,"\\overline{X}_n \\xrightarrow{p} X")),l("p",null,"Ovvero:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ie||(ie=la`\forall \epsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P( | \overline{X}_n - E(X) | < \epsilon) = 1`)))),l("p",null,l(e.k,null,ia(ne||(ne=la`P( | \overline{X}_n - E(X) | < \epsilon) \to 1`))))),l(e.r,{title:"Legge forte dei grandi numeri"},l("p",null,"La successione delle medie campionarie ",l(e.k,null,ia(ee||(ee=la`\overline{X}_n`)))," ",l("b",null,"converge quasi certamente")," alla media della popolazione ",l(e.k,null,ia(ae||(ae=la`E(X)`))),", se essa esiste."),l("p",null,l(e.k,null,"\\overline{X}_n \\xrightarrow{qc} X")),l("p",null,"Ovvero:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(oe||(oe=la`\forall \epsilon > 0, P \left( \lim_{n \to +\infty} | \overline{X}_n - E(X) | < \epsilon \right) = 1`)))),l(a.a,null,"Dimostra che l'interpretazione frequentista della probabilità è valida!"))),l(e.s,{title:"Al limite"},l(e.r,{title:"Teorema centrale del limite"},l("p",null,"La successione delle medie campionarie ",l(e.k,null,ia(te||(te=la`\overline{X}_n`)))," ",l("b",null,"converge in distribuzione")," a ",l(e.k,null,ia(ue||(ue=la`Nor(0, 1) = \Phi()`))),"."),l("p",null,l(e.k,null,ia(re||(re=la`\overline{X}_n \approx Nor \left(E(X), \frac{Var(X)}{n} \right)`)))),l("p",null,"Ovvero:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(se||(se=la`\forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n \to +\infty} P \left( \frac{\overline{X}_n - E(X)}{\sqrt{\frac{Var(X)}{n}}} \leq x \right) = \Phi(x)`)))))),l(e.s,{title:"Altre approsimazioni"},l(e.r,{title:"Binomiale e normale"},l("p",null,"E' una somma di ",l("b",null,"bernoulliane"),", e quindi si approssima a una normale:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(pe||(pe=la`Bin(n, p) \approx Nor(n \cdot p, n \cdot p \cdot q)`))))),l(e.r,{title:"Binomiale negativa e normale"},l("p",null,"E' una somma di ",l("b",null,"geometriche"),", e quindi si approssima a una normale:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(de||(de=la`\overline{Bin} (n, p) \approx Nor \left( \frac{n}{p}, \frac{n \cdot (1 - p)}{p^2} \right)`))))),l(e.r,{title:"Poissoniana e normale"},l("p",null,"E' una somma di altre ",l("b",null,"poissoniane"),", e quindi si approssima a una normale:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(me||(me=la`Poi(\lambda) \approx Nor(\lambda, \lambda)`))))),l(e.r,{title:"Gamma e normale"},l("p",null,"E' una somma di ",l("b",null,"esponenziali"),", e quindi si approssima a una normale:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ce||(ce=la`\Gamma (\alpha, \lambda) \approx Nor \left( \frac{\alpha}{\lambda}, \frac{\alpha}{\lambda^2} \right)`))))),l(e.r,{title:"In generale"},l("p",null,"Se ",l(e.k,null,"n")," è grande, allora:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(be||(be=la`Y = \sum_{i=1}^{n} X_i`)))))),l(e.s,{title:"Actually statistica"},l(e.r,{title:"Parametri sconosciuti"},l("p",null,"Per indicare parametri sconosciuti di una legge si usa ",l(e.k,null,"\\theta"),".")),l(e.r,{title:"Statistica"},l("p",null,"Una variabile aleatoria funzione di un campione:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ve||(ve=la`T(\boldsymbol{X})`)))),l(a.a,null,"Ad esempio, sono statistiche media e varianza campionaria, così come il campione stesso ",l(e.k,null,ia(ke||(ke=la`T(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X}`))),"."))),l(e.s,{title:"Stimatori"},l(e.r,{title:"Stimatore"},l("p",null,"Una statistica ",l(e.k,null,"T_n")," ottenuta da ",l(e.k,null,"n")," osservazioni, che stimi i parametri di una legge e sia indipendente da essi.")),l(e.r,{title:"Corretto"},l("p",null,"Uno stimatore è ",l("i",null,"corretto")," se il suo valore atteso coincide con quello dei parametri che stima:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ge||(ge=la`E(T_n) = \theta`))))),l(e.r,{title:"Asintoticamente corretto"},l("p",null,"Uno stimatore è ",l("i",null,"asintoticamente corretto")," se, per infinite osservazioni, il suo valore atteso coincide con quello dei parametri che stima:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(fe||(fe=la`\lim_{n \to +\infty} E(T_n) = \theta`))))),l(e.r,{title:"Consistente in media quadratica"},l("p",null,"Uno stimatore è ",l("i",null,"consistente in media quadratica")," se:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(_e||(_e=la`\lim_{n \to +\infty} E((T_n - \theta)^2) = 0`))))),l(e.r,{title:"Consistente in probabilità"},l("p",null,"Uno stimatore è ",l("i",null,"consistente in probabilità")," se:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(he||(he=la`\forall \epsilon > 0, \lim_{n \to +\infty} P( |T_n - \theta| < \epsilon) = 1`))))),l(e.r,{title:"Asintoticamente normale"},l("p",null,"Uno stimatore è ",l("i",null,"asintoticamente normale")," se:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(ze||(ze=la`\lim_{n \to +\infty} \frac{T_n - E(T_n)}{\sqrt{Var(T_n)}} \sim Nor(0, 1)`)))))),l(e.s,{title:"Metodo dei momenti"},l(e.r,{title:"Metodo dei momenti"},l("p",null,"Si può usare il ",l("i",null,"metodo dei momenti")," per ottenere uno stimatore di una popolazione ",l(e.k,null,"X"),"."),l("p",null,"Lo stimatore di ",l(e.k,null,ia(Xe||(Xe=la`\theta`)))," così ottenuto sarà indicato aggiungendo un cappellino e una ",l(e.k,null,"M")," a ",l(e.k,null,"\\theta"),": ",l(e.k,null,ia(qe||(qe=la`\widehat{\theta}_M`)))),l("p",null,"Visto che:"),l("ul",null,l("li",null,l(e.k,null,ia(Ee||(Ee=la`\theta = g(E(X))`)))),l("li",null,l(e.k,null,ia(Pe||(Pe=la`\widehat{E(X)} = \overline{X}_n`))))),l("p",null,"Allora:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Le||(Le=la`\widehat{\theta}_M = g( \overline{X}_n )`)))),l("p",null,"Se ",l(e.k,null,ia(xe||(xe=la`\theta`)))," non è esprimibile in termini di ",l(e.k,null,ia(ye||(ye=la`E(X)`))),", si possono usare i momenti successivi ",l(e.k,null,ia(Fe||(Fe=la`M_n^2`))),", ",l(e.k,null,ia(Se||(Se=la`M_n^3`))),", ",l(e.k,null,ia(Ie||(Ie=la`M_n^3`))),"..."))),l(e.s,{title:"Metodo della massima verosomiglianza"},l(e.r,{title:"Metodo della massima verosomiglianza"},l("p",null,"Si può usare il ",l("i",null,"metodo della massima verosomiglianza")," per ottenere uno stimatore di una popolazione ",l(e.k,null,"X"),"."),l("p",null,"Lo stimatore di ",l(e.k,null,ia(Ce||(Ce=la`\theta`)))," così ottenuto sarà indicato aggiungendo un cappellino e una ",l(e.k,null,"L")," a ",l(e.k,null,"\\theta"),": ",l(e.k,null,ia(Ne||(Ne=la`\widehat{\theta}_L`)))),l("p",null,"Consiste nel trovare il massimo assoluto ",l(e.k,null,ia(Ve||(Ve=la`\widehat{\theta}_L`)))," della la funzione di verosomiglianza ",l(e.k,null,ia(we||(we=la`L`))),":"),l("p",null,l(e.k,null,ia(De||(De=la`L(x_1, ..., x_n; \theta) = \prod_{i=1}^n f_X(x_i; \theta)`)))),l("p",null,"Gli stimatori di massima verosomiglianza sono ",l("b",null,"asintoticamente corretti"),", ",l("b",null,"consistenti in probabilità")," e ",l("b",null,"asintoticamente normali"),".")),l(e.r,{title:"Proprietà degli stimatori di massima verosomiglianza"},l("p",null,"Gli stimatori di massima verosomiglianza godono delle seguenti proprietà:"),l("ul",null,l("li",null,"Sono ",l("b",null,"asintoticamente corretti"),"."),l("li",null,"Sono ",l("b",null,"consistenti in probabilità"),"."),l("li",null,"Sono ",l("b",null,"asintoticamente normali"),"."),l("li",null,"Sono ",l("b",null,"invarianti"),": ",l(e.k,null,ia(Ye||(Ye=la`\widehat{g(\theta)}_L = g(\widehat{\theta}_L)`))))))),l(e.s,{title:"Nuove stime notevoli"},l(e.r,{title:"Stima di una bernoulliana"},l("p",null,"Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Ue||(Ue=la`\widehat{p}_M = \widehat{p}_L = \overline{X}_n`))))),l(e.r,{title:"Stima di una poissoniana"},l("p",null,"Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Me||(Me=la`\widehat{\mu}_M = \widehat{\mu}_L = \overline{X}_n`))))),l(e.r,{title:"Stima di una esponenziale"},l("p",null,"Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Be||(Be=la`\widehat{\lambda}_M = \widehat{\lambda}_L = \frac{1}{\overline{X}_n}`))))),l(e.r,{title:"Stima di una normale"},l("p",null,"Per il metodo della massima verosomiglianza:"),l("ul",null,l("li",null,l(e.k,null,ia(Ae||(Ae=la`\widehat{\mu}_L = \overline{X}_n`)))),l("br",null),l("li",null,l(e.k,null,ia(Te||(Te=la`\widehat{\sigma^2}_L = \frac{\sum (X_i - \overline{X}_n)^2 }{n}`))))))),l(e.s,{title:"Intervalli di confidenza"},l(e.r,{title:"Confidenza"},l("blockquote",null,'"intervallo di confidenza al 95%"'),l("p",null,"L'intervallo di valori di ",l(e.k,null,"\\theta"),' all\'interno del quale siamo "più o meno sicuri" si trovi il valore effettivo:'),l("p",null,"L'intervallo di confidenza a N della stima ",l(e.k,null,ia(Ge||(Ge=la`\widehat{W}`)))," è l'intervallo ",l(e.k,null,"]a, b[")," tale che:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(Oe||(Oe=la`P( a < W < b ) = N`)))),l("p",null,"Può anche essere ",l("b",null,"unilatero")," nel caso limiti la stima in una sola direzione, positiva o negativa."))),l(e.s,{title:"Confidenza nella media di una normale"},l(e.r,{title:"Varianza nota"},l("p",null,"Se conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli intervalli di confidenza all'",l(e.k,null,"\\alpha"),"% con queste formule:"),l("ul",null,l("li",null,"Intervalli bilateri: ",l(e.k,null,ia(Re||(Re=la`\mu \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}, \overline{x}_n + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \right]`)))),l("li",null,"Intervallo unilatero da sinistra: ",l(e.k,null,ia(je||(je=la`\mu \in \left( -\infty, \overline{x}_n + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \right]`)))),l("li",null,"Intervallo unilatero da destra: ",l(e.k,null,ia(Ke||(Ke=la`\mu \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}, +\infty \right)`)))))),l(e.r,{title:"Varianza incognita"},l("p",null,"Se non conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli intervalli di confidenza all'",l(e.k,null,"\\alpha"),"% con queste formule:"),l("ul",null,l("li",null,"Intervalli bilateri: ",l(e.k,null,ia(Qe||(Qe=la`\mu \in \left[ \overline{x}_n - t_{1 - \frac{\alpha}{2}; n-1} \cdot \sqrt{\frac{s_n^2}{n}}, \overline{x}_n + t_{1 - \frac{\alpha}{2}; n-1} \cdot \sqrt{\frac{s_n^2}{n}} \right]`)))),l("li",null,"Intervallo unilatero da sinistra: ",l(e.k,null,ia(Ze||(Ze=la`\mu \in \left( -\infty, \overline{x}_n + t_{1 - \frac{\alpha}{2}; n-1} \cdot \sqrt{\frac{s_n^2}{n}} \right]`)))),l("li",null,"Intervallo unilatero da destra: ",l(e.k,null,ia(We||(We=la`\mu \in \left[ \overline{x}_n - t_{1 - \frac{\alpha}{2}; n-1} \cdot \sqrt{\frac{s_n^2}{n}}, +\infty \right)`))))),l("p",null,l(e.k,null,ia(Je||(Je=la`t_{\alpha, v}`)))," è un quantile della distribuzione di Student di parametro ",l(e.k,null,"v"),"."))),l(e.s,{title:"Confidenza per la proporzione di una bernoulliana"},l(e.r,{title:"Terzo metodo corretto"},l("p",null,"L'intervallo di confidenza per la proprorzione di una bernoulliana qualsiasi si ottiene da questa formula:"),l("p",null,l(e.k,null,ia(He||(He=la`p \in \left[ \overline{p} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{p} \cdot (1 - \overline{p})}{n+4}}, \overline{p} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{p} \cdot (1 - \overline{p})}{n+4}} \right]`)))))),l(e.s,{title:"Confidenza per la media di qualsiasi popolazione"},l(e.r,{title:"Approssimando con la normale"},l("p",null,"L'intervallo di confidenza per la media di una qualsiasi popolazione si ottiene da questa formula:"),l("p",null,l(e.k,null,ia($e||($e=la`m \in \left[ \overline{x}_n - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^2_n}{n}}, \overline{x}_n + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^2_n}{n}} \right]`)))))))))}}.call(this,n("hosL").h)},gJgL:function(l){l.exports={red:"red__3phX0",orange:"orange__1OSkI",yellow:"yellow__2pQOr",lime:"lime__3vRUg",cyan:"cyan__1cBtG",blue:"blue__1G1wb",magenta:"magenta__3Wagv",minus:"minus__2qLyv"}},jZax:function(l){l.exports={red:"red__ipSoq",orange:"orange__1nmkj",yellow:"yellow__353ge",lime:"lime__3FW1E",cyan:"cyan__2xhu7",blue:"blue__3MvDe",magenta:"magenta__i03ie",plus:"plus__1eV4_"}},ke5e:function(l,i,n){"use strict";(function(l){var e=n("2w3n"),a=n.n(e);i.a=function(i){return l("div",{class:a.a.example},i.children)}}).call(this,n("hosL").h)},o8Jj:function(l,i,n){"use strict";(function(l){var e=n("jZax"),a=n.n(e);i.a=function(i){return l("span",{class:a.a.plus},i.children)}}).call(this,n("hosL").h)}}]);
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