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Stefano Pigozzi ef1aafa7d1
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2021-02-02 04:08:22 +01:00

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extracted by mini-css-extract-plugin\nmodule.exports = {\"red\":\"red__2y1B_\",\"orange\":\"orange__dD2kx\",\"yellow\":\"yellow__OEpwl\",\"lime\":\"lime__CVe41\",\"cyan\":\"cyan__26ZAg\",\"blue\":\"blue__LO7Xm\",\"magenta\":\"magenta__1Akee\",\"example\":\"example__2PzAa\"};","import {ILatex, Panel, PLatex, Section, Todo} from \"bluelib\";\nimport Example from \"../components/Example\";\n\nconst r = String.raw;\n\n\nexport default function () {\n return (\n <div>\n <h1>Ripasso di Algebra Lineare <small>per <a href={\"/calcolonumerico\"}>Calcolo\n Numerico</a></small></h1>\n <Section title={\"Matrici speciali\"}>\n <Panel title={\"Matrice identità\"}>\n <p>\n Elemento neutro della moltiplicazione matriciale.\n </p>\n <Example>\n <PLatex>{r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Yellow} 1} & {\\color{Yellow} 0} & {\\color{Yellow} 0}\\\\\n {\\color{Yellow} 0} & {\\color{Yellow} 1} & {\\color{Yellow} 0}\\\\\n {\\color{Yellow} 0} & {\\color{Yellow} 0} & {\\color{Yellow} 1}\n \\end{pmatrix}\n `}</PLatex>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Matrice diagonale\"}>\n <p>\n Matrice con elementi diversi da 0 solo sulla diagonale.\n </p>\n <Example>\n <PLatex>{r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Yellow} 3} & {\\color{Gray} 0} & {\\color{Gray} 0}\\\\\n {\\color{Gray} 0} & {\\color{Yellow} 4} & {\\color{Gray} 0}\\\\\n {\\color{Gray} 0} & {\\color{Gray} 0} & {\\color{Yellow} 5}\n \\end{pmatrix}\n `}</PLatex>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Matrice triangolare inferiore\"}>\n <p>\n Matrice con elementi diversi da 0 sopra la diagonale.\n </p>\n <Example>\n <PLatex>{r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Yellow} 3} & {\\color{Gray} 0} & {\\color{Gray} 0}\\\\\n {\\color{Orange} 4} & {\\color{Yellow} 4} & {\\color{Gray} 0}\\\\\n {\\color{Orange} 5} & {\\color{Orange} 5} & {\\color{Yellow} 5}\n \\end{pmatrix}\n `}</PLatex>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Matrice triangolare superiore\"}>\n <p>\n Matrice con elementi diversi da 0 sotto la diagonale.\n </p>\n <Example>\n <PLatex>{r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Yellow} 3} & {\\color{Orange} 3} & {\\color{Orange} 3}\\\\\n {\\color{Gray} 0} & {\\color{Yellow} 4} & {\\color{Orange} 4}\\\\\n {\\color{Gray} 0} & {\\color{Gray} 0} & {\\color{Yellow} 5}\n \\end{pmatrix}\n `}</PLatex>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Matrice non-singolare\"}>\n <p>\n Matrice con determinante diverso da 0.\n </p>\n <PLatex>{r`det(A) \\neq 0`}</PLatex>\n <p>\n Sono anche dette <b>matrici linearmente indipendenti</b> o <b>matrici invertibili</b>.\n </p>\n <Example>\n <PLatex>{r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Yellow} 1} & {\\color{Yellow} 1} & {\\color{Yellow} 2}\\\\\n {\\color{Orange} 2} & {\\color{Orange} 1} & {\\color{Orange} 1}\\\\\n {\\color{Red} 1} & {\\color{Red} 2} & {\\color{Red} 1}\n \\end{pmatrix}\n `}</PLatex>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Matrice simmetrica\"}>\n <p>\n Matrice con un asse di simmetria lungo la diagonale.\n </p>\n <PLatex>{r`A = A^T`}</PLatex>\n <Example>\n <PLatex>{r`\n \\begin{pmatrix}\n 1 & {\\color{Yellow} 2} & {\\color{Orange} 4}\\\\ \n {\\color{Yellow} 2} & 3 & {\\color{Red} 5}\\\\ \n {\\color{Orange} 4} & {\\color{Red} 5} & 6\n \\end{pmatrix}\n `}</PLatex>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Matrice antisimmetrica\"}>\n <p>\n Matrice con un asse di simmetria lungo la diagonale; gli elementi nel triangolo superiore sono\n però l'opposto di quelli del triangolo inferiore.\n </p>\n <p>\n Ha sempre degli <ILatex>0</ILatex> lungo la diagonale.\n </p>\n <PLatex>{r`A = -A^T`}</PLatex>\n <Example>\n <PLatex>{r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Gray} 0} & {\\color{Yellow} -2} & {\\color{Orange} -4}\\\\ \n {\\color{Yellow} 2} & {\\color{Gray} 0} & {\\color{Red} -5}\\\\ \n {\\color{Orange} 4} & {\\color{Red} 5} & {\\color{Gray} 0}\n \\end{pmatrix}\n `}</PLatex>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Matrice a diagonale dominante per riga/colonna\"}>\n <p>\n Matrice in cui i valori della diagonale sono maggiori della somma di tutti gli altri nella\n riga/colonna.\n </p>\n <Example>\n <PLatex>{r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Orange} 9} & 1 & 2\\\\\n 1 & {\\color{Orange} 8} & 1\\\\\n 1 & 2 & {\\color{Orange} 7}\n \\end{pmatrix}\n `}</PLatex>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Matrice ortogonale\"}>\n <p>\n Matrice che se moltiplicata per la sua trasposta dà come risultato la <b>matrice identità</b>.\n </p>\n <PLatex>{r`A^T \\cdot A = I`}</PLatex>\n <Example>\n <PLatex>{r`\n \\begin{pmatrix}\n \\frac{1}{3} & \\frac{2}{3} & -\\frac{2}{3}\\\\\n \\frac{2}{3} & \\frac{1}{3} & \\frac{2}{3}\\\\\n \\frac{2}{3} & -\\frac{2}{3} & -\\frac{1}{3}\\\\\n \\end{pmatrix}\n `}</PLatex>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Matrice inversa\"}>\n <p>\n Matrice tale che:\n </p>\n <PLatex>{r`A^{-1} \\cdot A = I`}</PLatex>\n </Panel>\n <Panel title={\"Matrice sparsa\"}>\n <p>\n Matrice con pochissimi valori diversi da 0.\n </p>\n <Example>\n <PLatex>{r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Gray} 0} & 1 & {\\color{Gray} 0}\\\\\n 1 & 1 & {\\color{Gray} 0}\\\\\n {\\color{Gray} 0} & {\\color{Gray} 0} & 1\n \\end{pmatrix}\n `}</PLatex>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Matrice di permutazione\"}>\n <p>\n Matrice riempita di 0 eccetto per un solo 1 per riga e per colonna.\n </p>\n <Example>\n <PLatex>{r`\n \\begin{pmatrix}\n {\\color{Gray} 0} & {\\color{Gray} 0} & 1\n {\\color{Gray} 0} & 1 & {\\color{Gray} 0}\\\\\n 1 & {\\color{Gray} 0} & {\\color{Gray} 0}\\\\\n \\end{pmatrix}\n `}</PLatex>\n </Example>\n <p>\n Se premoltiplicata per una matrice, ne <b>riordina le righe</b>; se invece postmoltiplicata, ne <b>riordina le colonne</b>.\n </p>\n <Example>\n <p>\n Premoltiplicare la matrice precedente scambia la prima e la terza righa, postmoltiplicarla scambia la prima e la terza colonna.\n </p>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Matrice di permutazione elementare\"}>\n <p>\n Matrice di permutazione con un solo scambio.\n </p>\n <p>\n Sono <b>nonsingolari</b>, <b>simmetriche</b> e <b>ortogonali</b>.\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Norme vettoriali\"}>\n <Panel title={\"Norma vettoriale\"}>\n <p>\n Funzione che associa un valore positivo a ogni vettore diverso da 0, e 0 al vettore zero.\n </p>\n <Example>\n <a href={\"https://it.wikipedia.org/wiki/Norma_(matematica)#/media/File:Vector_norms.svg\"}>Esempi\n su Wikipedia</a>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Norma a infinito\"}>\n <p>\n Massimo dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore.\n </p>\n <p>\n <ILatex>{r`\\Vert x \\Vert_\\infty = max_{i = 1..n} | x_i |`}</ILatex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Norma a 1\"}>\n <p>\n Somma dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore.\n </p>\n <p>\n <ILatex>{r`\\Vert x \\Vert_1 = \\sum_{i = 1}^n | x_i |`}</ILatex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Norma a 2\"}>\n <p>\n Radice quadrata della somma dei quadrati di tutti gli elementi del vettore.\n </p>\n <p>\n <ILatex>{r`\\Vert x \\Vert_2 = \\sqrt{\\sum_{i = 1}^n x_i^2}`}</ILatex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Norme matriciali\"}>\n <Panel title={\"Norma matriciale indotta\"}>\n <p>\n Funzione che associa un valore positivo a ogni matrice diversa da 0, e 0 alla matrice zero.\n </p>\n <p>\n Si ricavano dalle norme vettoriali:\n </p>\n <p>\n <ILatex>{r`\\Vert A \\Vert = sup_{x \\in \\mathbb{R}, x \\neq 0} \\frac{\\Vert A \\cdot x \\Vert}{\\Vert x \\Vert}`}</ILatex>\n </p>\n <Example>\n <ILatex>sup</ILatex> è l'estremo superiore di un insieme. E' molto simile al massimo: ricordi le\n prime lezioni di Analisi?\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Norma a infinito\"}>\n <p>\n Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni riga di una matrice.\n </p>\n <p>\n <ILatex>{r`\\Vert A \\Vert_\\infty = max_{i = 1..n} \\sum_{j = 1}^n | a_{ij} |`}</ILatex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Norma a 1\"}>\n <p>\n Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni colonna di una matrice.\n </p>\n <p>\n <ILatex>{r`\\Vert A \\Vert_1 = max_{j = 1..n} \\sum_{i = 1}^n | a_{ij} |`}</ILatex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Norma a 2\"}>\n <p>\n Radice quadrata del rango del prodotto tra una matrice e la sua trasposta.\n </p>\n <p>\n <ILatex>{r`\\Vert A \\Vert_2 = \\sqrt{\\rho ( A^T \\times A ) }`}</ILatex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Norme tra funzioni\"}>\n <Panel title={\"Norma di funzione\"}>\n <p>\n Funzione che associa un valore reale positivo a ogni funzione.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Norma a infinito\"}>\n <p>\n Valore massimo che assume la funzione nel suo dominio.\n </p>\n <PLatex>{r`\\| f \\|_\\infty = max | f(x) |`}</PLatex>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Errori\"}>\n <Panel title={\"Errore relativo tra vettori e matrici\"}>\n <p>\n Le norme sono usate per calcolare l'errore relativo tra due vettori o matrici:\n </p>\n <p>\n <ILatex>{r`\\frac{\\Vert x - y \\Vert}{\\Vert x \\Vert}`}</ILatex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Errore assoluto tra funzioni\"}>\n <p>\n L'errore, ovvero la <b>massima distanza</b> tra due funzioni, si ottiene con:\n </p>\n <PLatex>{r`\\| f - g \\|_\\infty`}</PLatex>\n </Panel>\n </Section>\n </div>\n )\n}","import style from \"./Example.less\";\n\nexport default function (props) {\n return (\n <div class={style.example}>\n {props.children}\n </div>\n );\n}\n"],"sourceRoot":""}
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