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extracted by mini-css-extract-plugin\nmodule.exports = {\"red\":\"red__2y1B_\",\"orange\":\"orange__dD2kx\",\"yellow\":\"yellow__OEpwl\",\"lime\":\"lime__CVe41\",\"cyan\":\"cyan__26ZAg\",\"blue\":\"blue__LO7Xm\",\"magenta\":\"magenta__1Akee\",\"example\":\"example__2PzAa\"};","import style from \"./Minus.less\";\n\nexport default function (props) {\n return <span class={style.minus}>{props.children}</span>;\n}\n","import {Latex, LatexDefaultDisplay, LatexDefaultInline, LatexDisplay, Panel, Section} from \"bluelib\";\nimport Example from \"../components/Example\";\n\nimport Plus from \"../components/Fisica/Plus\";\nimport Minus from \"../components/Fisica/Minus\";\n\nconst r = String.raw;\n\n\nexport default function (props) {\n return (\n <LatexDefaultInline.Provider value={false}>\n <LatexDefaultDisplay.Provider value={LatexDisplay.INLINE}>\n <div>\n <h1>Statistica ed Elementi di Probabilità</h1>\n <Section title={\"Tipi di probabilità\"}>\n <Panel title={\"Classica\"}>\n <p>\n <Latex>{r`P(E) = \\frac{casi\\ favorevoli}{casi\\ possibili}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Frequentista\"}>\n <p>\n <Latex>{r`P(E) = \\frac{successi}{prove\\ totali}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Soggettiva\"}>\n <p>\n Il prezzo che un individuo coerente riterrebbe equo per ricevere <b>1</b> nel caso\n l'evento si verificasse e <b>0</b> nel caso l'evento non si verificasse.\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Linguaggio matematico\"}>\n <Panel title={\"Spazio campionario\"}>\n <blockquote>\n \"omegone\"\n </blockquote>\n <p>\n L'<b>insieme</b> di tutti gli esiti possibili di un esperimento.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\Omega = \\left \\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \\right \\}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Esito\"}>\n <blockquote>\n \"omeghino\"\n </blockquote>\n <p>\n Un <b>elemento</b> dello spazio campionario.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\omega = 1`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Evento\"}>\n <blockquote>\n \"e\"\n </blockquote>\n <p>\n Un <b>sottoinsieme</b> dello spazio campionario.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E = \\left \\{ 1, 2 \\right \\}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Lo spazio campionario stesso è un <b>evento certo</b>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Not\"}>\n <blockquote>\n \"not e\"\n </blockquote>\n <p>\n Il <b>complementare</b> di un sottoinsieme.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\bar{E} = \\left \\{ 3, 4, 5, 6 \\right \\}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"And\"}>\n <blockquote>\n \"e intersecato effe\"\n </blockquote>\n <p>\n L'<b>intersezione</b> di più sottoinsiemi.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E \\cap F = \\left \\{ 1 \\right \\}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Or\"}>\n <blockquote>\n \"e unito a effe\"\n </blockquote>\n <p>\n L'<b>unione</b> di più sottoinsiemi.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E \\cup F = \\left \\{ 1, 2, 3, 4 \\right \\}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Differenza\"}>\n <blockquote>\n \"e meno effe\"\n </blockquote>\n <p>\n <Latex>{r`E \\setminus F = E \\cap \\bar{F}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Implicazione\"}>\n <blockquote>\n \"e contenuto in effe\"\n </blockquote>\n <p>\n L'<b>inclusione</b> del primo insieme in un altro.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E \\subseteq F`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Se si verifica <Latex>E</Latex>, allora si verifica anche <Latex>F</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Evento impossibile\"}>\n <blockquote>\n \"e è impossibile\"\n </blockquote>\n <p>\n Un sottoinsieme <b>vuoto</b>.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E = \\emptyset`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Mutua esclusione\"}>\n <blockquote>\n \"e ed effe si escludono mutualmente\"\n </blockquote>\n <p>\n La <b>disgiunzione</b> di due insiemi.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E \\cap F = \\emptyset`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section>\n <Panel title={\"Famiglia degli eventi\"}>\n <blockquote>\n \"famiglia effe\"\n </blockquote>\n <p>\n I sottoinsiemi dello spazio campionario formano una <b>famiglia</b> di sottoinsiemi\n detta <i>famiglia degli eventi</i>.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\mathcal{F}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Qualsiasi sottoinsieme appartenente a <Latex>{r`\\mathcal{F}`}</Latex> è considerato un\n evento.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={<span><Latex>{r`\\sigma`}</Latex>-algebra</span>}>\n <blockquote>\n \"sigma algebra\"\n </blockquote>\n <p>\n Se la famiglia degli eventi soddisfa questi tre requisiti, allora viene\n detta <i><Latex>{r`\\sigma`}</Latex>-algebra</i>:\n </p>\n <ol>\n <li>\n Lo spazio campionario è un evento: <Latex>{r`\\Omega \\in \\mathcal{F}`}</Latex>\n </li>\n <li>\n Se un sottoinsieme è un evento, allora anche il suo complementare lo\n è: <Latex>{r`E \\in \\mathcal{F} \\implies \\bar{E} \\in \\mathcal{F}`}</Latex>\n </li>\n <li>\n Se due sottoinsiemi sono eventi, allora lo sono anche la loro unione e\n intersezione: <Latex>{r`(E, F) \\in \\mathcal{F} \\implies (E \\cup F, E \\cap F) \\in \\mathcal{F}`}</Latex>\n </li>\n </ol>\n <p>\n Un\n esempio: <Latex>{r`E \\in \\mathcal{F} \\implies \\mathcal{F} = \\{ \\emptyset, E, \\bar{E}, \\Omega \\}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section>\n <Panel title={\"Partizione\"}>\n <blockquote>\n \"la partizione e composta da e uno, e due, e tre...\"\n </blockquote>\n <p>\n Un insieme di esiti e eventi:\n </p>\n <ul>\n <li><b>Finito</b>.</li>\n <li>In cui tutti gli eventi hanno <b>probabilità diversa da 0</b>.</li>\n <li>In cui tutti gli eventi sono <b>mutualmente esclusivi</b>.</li>\n <li>In cui l'unione di tutti i suoi elementi <b>copre lo spazio campionario</b>.</li>\n </ul>\n <p>\n La partizione <Latex>{r`E_i`}</Latex> è composta dagli\n eventi <Latex>{r`E_1`}</Latex>, <Latex>{r`E_2`}</Latex>, <Latex>{r`E_3`}</Latex>, fino\n a <Latex>{r`E_n`}</Latex>.\n </p>\n <Example>\n Se lo spazio campionario fosse una torta, una sua partizione sarebbe l'insieme delle\n fette di uno dei modi in cui si potrebbe tagliare.\n </Example>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Assiomi della probabilità\"}>\n <Panel title={\"Primo assioma della probabilità\"}>\n <p>\n La probabilità di un evento è un numero tra 0 e 1.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\forall E \\in \\mathcal{F}, 0 \\leq P(E) \\leq 1`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Secondo assioma della probabilità\"}>\n <p>\n La probabilità dello spazio campionario è sempre 1.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P(\\Omega) = 1`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Terzo assioma della probabilità\"}>\n <p>\n La probabilità dell'unione di eventi indipendenti è uguale alla somma delle loro\n probabilità.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P \\left ( \\bigcup_i E_i \\right ) = \\sum_i P ( E_i )`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Conseguenze degli assiomi\"}>\n <Panel title={\"Probabilità di un evento negato\"}>\n <p>\n La probabilità di un evento negato è uguale a 1 meno la probabilità dell'evento non\n negato.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P(\\bar{E}) = 1 - P({E})`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Probabilità di un evento incluso\"}>\n <p>\n La probabilità di un evento incluso in un altro è sempre minore o uguale alla\n probabilità dell'evento in cui è incluso.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`F \\subseteq E \\implies P(F) \\leq P(E)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Unione\"}>\n <p>\n La probabilità di un evento unito a un altro è uguale alla somma delle probabilità dei\n due eventi meno la probabilità della loro intersezione.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P(E \\cup F) = P(E) + P(F) - P(E \\cap F)`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n Sommando le probabilità dei due eventi, l'intersezione viene contata due volte, e va\n quindi rimossa!\n </Example>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Spazi equiprobabili\"}>\n <Panel title={\"Cosa sono?\"}>\n <p>\n Spazi campionari in cui ci sono un numero finito di esiti e ogni esito ha la stessa\n probabilità di verificarsi.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P(E) = \\frac{len(E)}{len(\\Omega)}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Spazi equiprobabili geometrici\"}>\n <p>\n Gli spazi campionari possono avere un numero infinito di esiti: sono <i>equiprobabili\n geometrici</i> se nessun esito è privilegiato rispetto agli altri.\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Calcolo combinatorio\"}>\n <Panel title={\"Disposizioni\"}>\n <p>\n Estraggo un numero, da un sacchetto con <Latex>n</Latex> numeri, mi segno che numero ho\n estratto e lo <b>tengo fuori dal sacchetto</b>. Ripeto per <Latex>k</Latex> volte.\n </p>\n <p>\n <b>Tengo conto</b> dell'ordine in cui ho estratto i numeri.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\boldsymbol{D}_{n, k} = \\frac{n!}{(n - k)!}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Disposizioni con ripetizione\"}>\n <p>\n Estraggo un numero, da un sacchetto con <Latex>n</Latex> numeri, mi segno che numero ho\n estratto e lo <b>rimetto nel sacchetto</b>. Ripeto per <Latex>k</Latex> volte.\n </p>\n <p>\n <b>Tengo conto</b> dell'ordine in cui ho estratto i numeri.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\boldsymbol{D}^{r}_{n, k} = n^k`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Combinazioni\"}>\n <p>\n Estraggo un numero, da un sacchetto con <Latex>n</Latex> numeri, mi segno che numero ho\n estratto e lo <b>tengo fuori dal sacchetto</b>. Ripeto per <Latex>k</Latex> volte.\n </p>\n <p>\n <b>Non mi interessa</b> l'ordine in cui ho estratto i numeri.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\boldsymbol{C}_{n, k} = \\binom{n}{k} = \\frac{n!}{(k)! \\cdot (n - k)!}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Combinazioni con ripetizione\"}>\n <p>\n Estraggo un numero, da un sacchetto con <Latex>n</Latex> numeri, mi segno che numero ho\n estratto e lo <b>rimetto nel sacchetto</b>. Ripeto per <Latex>k</Latex> volte.\n </p>\n <p>\n <b>Non mi interessa</b> l'ordine in cui ho estratto i numeri.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\boldsymbol{C}^{r}_{n, k} = \\binom{n + k - 1}{k} = \\frac{(n + k - 1)!}{(k)! \\cdot (n - 1)!}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Permutazioni\"}>\n <p>\n Estraggo <Latex>n</Latex> numeri e guardo in quanti ordini diversi li posso mettere.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\boldsymbol{P}_n = n!`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Probabilità condizionata\"}>\n <Panel title={\"Eventi condizionati\"}>\n <blockquote>\n \"E dato F\"\n </blockquote>\n <p>\n La probabilità che si verifichi <Latex>E</Latex> sapendo che <b>si è già verificato</b>\n <Latex>F</Latex>.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P(E|F) = \\frac{P(E \\cap F)}{P(F)}`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n Ricorda vagamente le pipe di <code>bash</code>, però al contrario...\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Eventi mutualmente esclusivi\"}>\n <p>\n Se due eventi sono mutualmente esclusivi, entrambe le loro probabilità condizionate\n saranno uguali a 0.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E \\cap F = \\emptyset \\Longleftrightarrow P(E|F) = P(F|E) = 0`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section>\n <Panel title={\"Regola della catena\"}>\n <p>\n Si può sfruttare la formula inversa della probabilità condizionata per calcolare catene\n di intersezioni:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P(E_1 \\cap \\times \\cap E_n) = P(E_1) \\times P(E_2 | E_1) \\times \\dots \\times P(E_n | E_1 \\cap E_2 \\cap \\dots \\cap E_{n-1})`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Le alternative\"}>\n <Panel title={\"Legge delle alternative\"}>\n <p>\n La probabilità che si verifichi un evento è pari alla somma delle probabilità\n dell'evento stesso dati tutti gli eventi di una partizione.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P(F) = \\sum_{i} P(F|E_i) \\cdot P(E_i)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Legge condizionata delle alternative\"}>\n <p>\n La legge delle alternative funziona anche quando ad essere partizionato è\n un <b>evento</b>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P(F|G) = \\sum_i P(F|E_i \\cap G) \\cdot P(E_i | G)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Formula di Bayes\"}>\n <p>\n Tramite la <i>formula di Bayes</i> possiamo risalire alla probabilità di un evento\n condizionato a un altro partendo dalla probabilità di quest'ultimo condizionato al\n primo:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P(E_h | F) = \\frac{P(F | E_h) \\cdot P(E_h)}{P(F)}`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n In pratica, invertiamo gli eventi.\n </Example>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Eventi indipendenti\"}>\n <Panel title={\"Due eventi indipendenti\"}>\n <blockquote>\n \"eventi indipendenti a due a due\"\n </blockquote>\n <p>\n Se due eventi sono indipendenti, sapere che uno dei due si è verificato non influisce\n sulle probabilità che si sia verificato l'altro.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P(E \\cap F) = P(E) \\cdot P(F) \\Longleftrightarrow P(E|F) = P(E) \\Longleftrightarrow P(F|E) = P(F)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Più eventi indipendenti\"}>\n <blockquote>\n \"eventi indipendenti a tre a tre, a quattro a quattro, a cinque a cinque...\"\n </blockquote>\n <p>\n Si può verificare l'indipendenza di più eventi alla volta:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P(E \\cap F \\cap G) = P(E) \\cdot P(F) \\cdot P(G)`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Eventi indipendenti a due a due non sono per forza indipendenti a tre a tre, e\n viceversa.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Famiglia di eventi indipendenti\"}>\n <p>\n Un insieme di <Latex>n</Latex> eventi è una <i>famiglia di eventi indipendenti</i> se,\n preso un qualsiasi numero di eventi da essa, essi risulteranno indipendenti.\n </p>\n <Example>\n Tutti gli eventi provenienti da essa saranno indipendenti sia a due a due, sia a tre a\n tre, sia a quattro a quattro, e così via!\n </Example>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Variabili aleatorie\"}>\n <Panel title={\"Variabile aleatoria\"}>\n <p>\n Una funzione che fa corrispondere un numero reale a ogni possibile esito dello spazio\n campionario. <Latex>{r`X(\\omega) : \\Omega \\to \\mathbb{R}`}</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={<abbr title={\"Nome artigianale dato da Steffo.\"}>Insieme di ripartizione</abbr>}>\n <p>\n Ad ogni variabile aleatoria sono associati gli\n eventi <Latex>{r`A_t = \\{ \\omega | X(\\omega) \\leq t \\}`}</Latex>, che contengono tutti\n gli esiti a cui la variabile aleatoria associa un valore minore o uguale\n a <Latex>t</Latex>.\n </p>\n <p>\n Per definizione, tutte le variabili aleatorie devono rispettare questa condizione:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\forall t \\in \\mathbb{R}, A_t \\in \\mathcal{F}`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n All'aumentare di t, l'insieme conterrà sempre più elementi.\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Supporto\"}>\n <blockquote>\n \"supporto di X\"\n </blockquote>\n <p>\n Il <b>codominio</b> della variabile aleatoria è il suo <i>supporto</i>.\n </p>\n <p>\n Per indicare che un valore <Latex>x_0</Latex> appartiene al supporto di <Latex>X</Latex>,\n si usa la notazione <Latex>X \\mapsto x_0</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Densità\"}>\n <Panel title={\"Funzione probabilità\"}>\n <p>\n La <i>funzione probabilità</i> <Latex>{r`p_X : X \\to [0, 1]`}</Latex> di una variabile\n aleatoria <b>discreta</b> <Latex>X</Latex> è la funzione che associa ad ogni esito la\n sua probabilità:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\n p_X (x) = \\begin{cases}\n P([X = x]) \\quad se\\ X \\mapsto x \\\\\n 0 \\qquad \\qquad \\quad se\\ X \\not\\mapsto x\n \\end{cases} \n `}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Funzione densità\"}>\n <p>\n La <i>funzione densità</i> <Latex>{r`f_X : X \\to [0, 1]`}</Latex> di una variabile\n aleatoria <b>continua</b> <Latex>X</Latex> è l'equivalente continuo della funzione\n probabilità:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P([a < X \\leq b]) = \\int_a^b f_X (x) dx`}</Latex>\n </p>\n <p>\n A differenza della funzione probabilità, è possibile che la funzione densità <b>non\n esista</b> per una certa variabile aleatoria.\n </p>\n <Example>\n Rappresenta \"quanta\" probabilità c'è in un'unità di x!\n </Example>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Funzione di ripartizione\"}>\n <Panel title={\"Definizione\"}>\n <p>\n Ogni variabile aleatoria ha una <i>funzione di ripartizione</i>\n <Latex>{r`F_X : \\mathbb{R} \\to [0, 1]`}</Latex> associata, che rappresenta la\n probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore minore o uguale\n a <Latex>t</Latex>:\n </p>\n <p>\n Si può dire che essa rappresenti la probabilità dell'evento <Latex>{r`A_t`}</Latex>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\n F_X (t) = P(A_t) = \\begin{cases}\n \\sum_{i = 0}^{t} p_X (x_i) \\quad nel\\ discreto\\\\\n \\\\\n \\int_{-\\infty}^t f_X (x) dx \\quad nel\\ continuo\n \\end{cases}\n `}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Proprietà della funzione\"}>\n <ul>\n <li>È sempre <b>monotona crescente</b> (non strettamente).</li>\n <br/>\n <li>Vale <b>0</b> a <Latex>-\\infty</Latex> e <b>1</b> a <Latex>+\\infty</Latex>.</li>\n <br/>\n <li>È <b>continua da\n destra</b>: <Latex>{r`\\forall x_0 \\in \\mathbb{R}, F_X (x_0) = \\lim_{t \\to x^+_0} F_X (t)`}</Latex>\n </li>\n </ul>\n </Panel>\n <Panel title={\"Probabilità di un valore\"}>\n <p>\n Possiamo usare la funzione di ripartizione per calcolare la probabilità di un certo\n valore reale:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P([X = x_0]) = \\lim_{t \\to x^+_0} F_X (t) - \\lim_{t \\to x^-_0} F_X (t)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Trasformazioni di variabili aleatorie\"}>\n <Panel title={\"Nel discreto\"}>\n <p>\n Nel discreto basta abbinare un nuovo valore a ogni valore della variabile originale.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Nel continuo (invertibile)\"}>\n <p>\n Nel continuo applichiamo la formula dell'integrazione per sostituzione:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`f_Y (y) = \\int_{g(a)}^{g(b)} f_X ( g^{-1} (x) ) g^{-2} (x)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Nel... digitale\"}>\n <p>\n Trasformare variabili aleatorie è molto utile nell'informatica per creare distribuzioni\n partendo da una funzione <a\n href={\"https://docs.python.org/3/library/random.html#random.random\"}><code>random()</code></a> che\n restituisce numeri da 0 a 1 con una distribuzione lineare.\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Informazioni delle variabili aleatorie\"}>\n <Panel title={\"Media\"}>\n <p>\n Ogni variabile aleatoria che ha una <b>funzione di ripartizione</b> e un <b>supporto\n finito</b> ha anche una <i>media</i> (o <i>valore medio</i> o <i>atteso</i>):\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = \\int_0^{+infty} (1 - F_X (t)) dt - \\int_{-\\infty}^{0} F_X (t) dt`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Nel discreto, si può calcolare con:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = \\sum_i P(X = x_i) \\cdot x_i`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Nel continuo, si può calcolare con:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f_X (x) \\cdot x \\cdot dx`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section>\n <Panel title={\"Moda\"}>\n <p>\n Valore per cui la <b>funzione probabilità</b> o <b>funzione densità</b> è <b>massima</b>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Quantili\"}>\n <p>\n Il <i>quantile</i> <Latex>{r`x_{\\alpha}`}</Latex> di\n ordine <Latex>{r`0 \\leq \\alpha \\leq 1`}</Latex> della variabile\n aleatoria <Latex>X</Latex> è il più piccolo numero tale che:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P([X < x_{\\alpha}]) \\leq \\alpha \\leq P([X \\leq x_{\\alpha}])`}</Latex>\n </p>\n <p>\n\n </p>\n <p>\n Il quantile di ordine 0.5 <Latex>{r`x_{0.5}`}</Latex> è detto <i>mediana</i>.\n </p>\n <p>\n I quantili di ordine 0.25 <Latex>{r`x_{0.25}`}</Latex> e\n 0.75 <Latex>{r`x_{0.75}`}</Latex> sono detti <i>quartili</i>.\n </p>\n <p>\n I quantili di ordine <Latex>{r`\\frac{n}{100}`}</Latex> sono detti <i><Latex>n</Latex>-esima\n percentile</i>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Varianza\"}>\n <p>\n È un valore che indica quanto la variabile aleatoria si discosta generalmente dalla\n media:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(X) = E( (X - E(X) )^2 ) = E ( X^2 ) - (E(X))^2`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Disuguaglianze notevoli\"}>\n <Panel title={\"Disuguaglianza di Markov\"}>\n <p>\n Data una variabile aleatoria non-negativa:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\forall k > 0, P([X \\geq k]) \\leq \\frac{E(X)}{k}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Divide in due parti (<Latex>{r`P(X < k)`}</Latex> e <Latex>{r`P(X \\geq k)`}</Latex>) la\n funzione X, la cui media risulterà uguale a:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = \\overline{k} \\cdot P(X < k) + k \\cdot P(X \\geq k)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Disuguaglianza di Čebyšëv\"}>\n <blockquote>\n \"disuguaglianza di cebicev\"\n </blockquote>\n <p>\n Se la variabile aleatoria <Latex>X</Latex> ha media e varianza, allora la probabilità\n che essa abbia un valore a più di <Latex>{r`\\epsilon`}</Latex> di distanza dal valore\n medio è minore o uguale a <Latex>{r`\\frac{Var(X)}{\\epsilon^2}`}</Latex>.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\forall \\epsilon > 0, P([ \\left| X - E(X) \\right| \\geq \\epsilon]) \\leq \\frac{Var(X)}{\\epsilon^2}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n E anche:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\forall \\epsilon > 0, P([ \\left| X - E(X) \\right| < \\epsilon]) \\geq 1 - \\frac{Var(X)}{\\epsilon^2}`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n Serve per semplificare i calcoli quando la funzione di ripartizione è difficile da\n calcolare!\n </Example>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Un momento...!\"}>\n <Panel title={\"Momento\"}>\n <p>\n Il <i>momento</i> <Latex>k</Latex>-esimo di una variabile aleatoria è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\n \\mu_k = E ( X^k ) = \\begin{cases}\n \\sum_i x_i^k p_X (x_i) \\qquad nel\\ discreto\\\\\n \\\\\n \\int_{-\\infty}^{+\\infty} x^k f_X (x) dx \\qquad nel\\ continuo\n \\end{cases}`\n }</Latex>\n </p>\n <Example>\n La media di una variabile aleatoria è anche il suo primo momento.\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Funzione generatrice dei momenti\"}>\n <p>\n La <i>funzione generatrice dei momenti</i> è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`m_X (t) = E( e^{t \\cdot X} )`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione generatrice dei momenti, allora esse\n hanno la <b>stessa distribuzione</b>.\n </p>\n <p>\n E' la <b>trasformata di Laplace</b> della variabile aleatoria di X.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Funzione caratteristica\"}>\n <p>\n La <i>funzione caratteristica</i> è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`H_X (t) = E ( e^{i \\cdot t \\cdot X} )`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Se due variabile aleatorie hanno la stessa funzione caratteristica, allora esse hanno\n la <b>stessa distribuzione</b>.\n </p>\n <p>\n E' la <b>trasformata di Fourier</b> della variabile aleatoria di X.\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Prove e schemi\"}>\n <Panel title={\"Variabile con distribuzione\"}>\n <p>\n Per dire che una variabile ha una certa distribuzione, si usa la notazione:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`X \\sim Distribuzione()`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Prova di Bernoulli\"}>\n <p>\n Una prova con solo due possibili\n esiti: <Plus>successo</Plus> e <Minus>insuccesso</Minus>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Schema di Bernoulli\"}>\n <p>\n Una sequenza di prove di Bernoulli per le quali le probabilità di successo e fallimento\n rimangono invariate.\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Bernoulliana\"}>\n <Panel title={\"Distribuzione bernoulliana\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria che rappresenta una prova di Bernoulli:\n </p>\n <ul>\n <li>vale <Plus>1</Plus> in caso di <Plus>successo</Plus>.</li>\n <li>vale <Minus>0</Minus> in caso di <Minus>insuccesso</Minus>.</li>\n </ul>\n <p>\n Il suo simbolo è <Latex>{r`Ber(p)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Densità della bernoulliana\"}>\n <p>\n La distribuzione bernoulliana ha come densità:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\n f_X (k) : \\{0, 1\\} = \\begin{cases}\n p \\quad se\\ k = 1\\\\\n q \\quad se\\ k = 0\\\\\n 0 \\quad altrimenti\n \\end{cases} = p^x \\cdot q^{1 - k}`\n }</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Binomiale\"}>\n <Panel title={\"Distribuzione binomiale\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria che conta il numero di successi di <Latex>n</Latex> prove di uno\n schema di Bernoulli.\n </p>\n <p>\n Il suo simbolo è <Latex>{r`Bin(n, p)`}</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Densità della binomiale\"}>\n <p>\n La binomiale ha come densità:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`f_X (k) : \\{0..n\\} = \\binom{n}{k} \\cdot p^k \\cdot q^{n - k}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Momenti della binomiale\"}>\n <p>\n La <b>funzione generatrice dei momenti</b> della binomiale è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`m_X (t) = (q + p \\cdot e^t) ^ n`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>media</b> di una binomiale è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = n \\cdot p`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>varianza</b> di una binomiale è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(X) = n \\cdot p \\cdot q`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Geometrica\"}>\n <Panel title={\"Distribuzione geometrica\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli fino\n alla comparsa del primo successo.\n </p>\n <p>\n Il suo simbolo è <Latex>Geo(p)</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Densità della geometrica\"}>\n <p>\n La geometrica ha come densità:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`f_X (k) : \\mathbb{N} = q^{k - 1} p`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Momenti della geometrica\"}>\n <p>\n La <b>funzione generatrice dei momenti</b> della geometrica è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`m_X (t) = \\frac{p \\cdot e^t}{1 - q \\cdot e^t}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>media</b> della geometrica è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = \\frac{1}{p}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>varianza</b> della geometrica è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(X) = \\frac{q}{p^2}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Assenza di memoria della geometrica\"}>\n <p>\n La geometrica non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà\n dell'assenza di memoria:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P([X = i + j | X > i ]) = P([X = j])`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto\n dell'asse X.\n </Example>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Binomiale negativa\"}>\n <Panel title={\"Distribuzione binomiale negativa\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria che conta il numero di prove in uno schema di Bernoulli\n necessarie perchè si verifichi l'<Latex>n</Latex>-esimo successo.\n </p>\n <p>\n Il suo simbolo è <Latex>{r`\\overline{Bin}(n, p)`}</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Densità della binomiale negativa\"}>\n <p>\n La binomiale negativa ha come densità:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`f_X (k) : \\{ n .. +\\infty \\} \\in \\mathbb{N} = \\binom{k - 1}{n - 1} \\cdot p^n \\cdot q^{k - n} `}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Momenti della binomiale negativa\"}>\n <p>\n <p>\n La <b>funzione generatrice dei momenti</b> della binomiale negativa è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`m_X (t) : \\{ t < ln(\\frac{1}{q}) \\} = \\left( \\frac{p \\cdot e^t}{1 - q \\cdot e^t} \\right) ^n`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>media</b> della binomiale negativa è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = \\frac{n}{p}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>varianza</b> della binomiale negativa è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(X) = \\frac{n \\cdot q}{p^2}`}</Latex>\n </p>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Geometrica traslata\"}>\n <Panel title={\"Distribuzione geometrica traslata\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria che conta il numero <Latex>k</Latex> di insuccessi consecutivi\n in uno schema di Bernoulli:\n </p>\n <p>\n Il suo simbolo rimane <Latex>{r`Geo(p)`}</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Densità della geometrica tralsata\"}>\n <p>\n La geometrica traslata ha come densità:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`f_X (k) : \\mathbb{N} = p \\cdot q^k `}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Momenti della geometrica traslata\"}>\n <p>\n La <b>funzione generatrice dei momenti</b> della geometrica traslata è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`m_X (t) : \\left\\{ t < ln \\left( \\frac{1}{q} \\right) \\right\\} = \\frac{p}{1 - q \\cdot e^t}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>media</b> della geometrica traslata è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = \\frac{q}{p}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>varianza</b> della geometrica è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(X) = \\frac{q}{p^2}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Assenza di memoria della geometrica traslata\"}>\n <p>\n La geometrica traslata non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà\n dell'assenza di memoria:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P([X = i + j | X > i ]) = P([X = j])`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto\n dell'asse X.\n </Example>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Binomiale negativa traslata\"}>\n <Panel title={\"Distribuzione binomiale negativa traslata\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria che conta il numero di insuccessi in uno schema di Bernoulli\n prima che si verifichi l'<Latex>n</Latex>-esimo successo.\n </p>\n <p>\n Il suo simbolo rimane <Latex>{r`\\overline{Bin}(n, p)`}</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Densità della binomiale negativa traslata\"}>\n <p>\n La binomiale negativa traslata ha come densità:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`f_X (k) : \\mathbb{N} = \\binom{k + n - 1}{n - 1} \\cdot p^n \\cdot q^k `}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Momenti della binomiale negativa traslata\"}>\n <p>\n <p>\n La <b>funzione generatrice dei momenti</b> della binomiale negativa traslata è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`m_X (t) : \\left\\{ t < ln \\left( \\frac{1}{q} \\right) \\right\\} = \\left( \\frac{p \\cdot e^t}{1 - q \\cdot e^t} \\right) ^n`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>media</b> della binomiale negativa traslata è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = \\frac{n \\cdot q}{p}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>varianza</b> della binomiale negativa traslata è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(X) = \\frac{n \\cdot q}{p^2}`}</Latex>\n </p>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Ipergeometrica\"}>\n <Panel title={\"Distribuzione ipergeometrica\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria che, sapendo il numero di successi <Latex>K</Latex> e di\n insuccessi <Latex>N-K</Latex>, conta quanti successi si otterrebbero se se ne\n estraessero <Latex>n</Latex> in blocco.\n </p>\n <p>\n Il suo simbolo è <Latex>Ipe(N, K, n)</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Densità della ipergeometrica\"}>\n <p>\n La ipergeometrica ha come densità:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`f_X (k) : \\{0..n\\} \\in \\mathbb{N} = \\frac{\\binom{K}{k} \\cdot \\binom{N - K}{n - k}}{\\binom{N}{n}}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Momenti della ipergeometrica\"}>\n <p>\n <p>\n La <b>funzione generatrice dei momenti</b> della ipergeometrica è trascurabile.\n </p>\n <p>\n La <b>media</b> della ipergeometrica è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = n \\cdot \\frac{K}{N}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>varianza</b> della ipergeometrica è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(X) = n \\cdot \\frac{K}{N} \\cdot \\frac{N - K}{N} \\cdot \\frac{N - n}{N - 1}`}</Latex>\n </p>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Poissoniana\"}>\n <Panel title={\"Distribuzione poissoniana\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria che soddisfa tutte le seguenti caratteristiche:\n </p>\n <ul>\n <li>Binomiale: <Latex>{r`X \\sim Bin(n, p)`}</Latex></li>\n <li>Il numero di prove tende a infinito: <Latex>{r`n \\to +\\infty`}</Latex></li>\n <li>La probabilità di successo tende a 0: <Latex>{r`p \\to 0`}</Latex></li>\n <li>La media è finita: <Latex>{r`E(X) = n \\cdot p \\to \\mu \\neq 0`}</Latex></li>\n </ul>\n <p>\n Il suo simbolo è <Latex>{r`Poi(\\mu)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Densità della poissoniana\"}>\n <p>\n La poissoniana ha come densità:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`f_X (k) : \\mathbb{N} = \\frac{e^{-\\mu} \\cdot \\mu^k}{k!}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Momenti della poissoniana\"}>\n <p>\n <p>\n La <b>funzione generatrice dei momenti</b> della poissoniana è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`m_X (t) = e^{\\mu \\cdot (e^t - 1)}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>media</b> della poissoniana è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = \\mu`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>varianza</b> della poissoniana è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(X) = \\mu`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Gli altri momenti della poissoniana sono:\n </p>\n <ol start={2}>\n <li><Latex>{r`E(X^2) = \\mu^2 + \\mu`}</Latex></li>\n </ol>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Un altro schema\"}>\n <Panel title={\"Schema di Poisson\"}>\n <p>\n Una successione di <b>arrivi</b> avvenuti in un certo arco temporale che:\n </p>\n <ul>\n <li>non sono sovrapposti.</li>\n <li>hanno intensità <Latex>{r`\\lambda`}</Latex> costante.</li>\n <li>avvengono indipendentemente gli uni dagli altri.</li>\n </ul>\n </Panel>\n <Panel title={\"Processo di Poisson\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria <Latex>N_t</Latex> che conta il numero di arrivi di uno schema\n di Poisson di intensità <Latex>{r`\\lambda`}</Latex> in un intervallo di tempo di\n durata <Latex>t</Latex>.\n </p>\n <p>\n E' una distribuzione poissoniana\n con <Latex>{r`\\mu = t \\cdot \\lambda`}</Latex>: <Latex>{r`Poi(t \\cdot \\lambda)`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n E' paragonabile a una bernoulliana: ogni successo corrisponde a un arrivo, mentre il\n tempo è il numero di prove effettuate (ma nel continuo).\n </Example>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Esponenziale\"}>\n <Panel title={\"Distribuzione esponenziale\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima del primo arrivo di un\n processo di Poisson di intensità <Latex>{r`\\lambda`}</Latex>.\n </p>\n <p>\n Il suo simbolo è <Latex>{r`Esp(\\lambda)`}</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Densità dell'esponenziale\"}>\n <p>\n L'esponenziale ha come <b>densità</b>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\n f_X (x) = \\begin{cases}\n 0 \\qquad \\qquad x < 0\\\\\n \\lambda \\cdot e^{-\\lambda \\cdot x} \\quad x > 0\n \\end{cases}`\n }</Latex>\n </p>\n <p>\n L'esponenziale ha come <b>funzione di ripartizione</b>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\n F_X (t) = \\begin{cases}\n 0 \\qquad \\qquad t < 0\\\\\n 1 - e^{-\\lambda \\cdot t} \\quad t \\geq 0\n \\end{cases}`\n }</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Momenti dell'esponenziale\"}>\n <p>\n La <b>funzione generatrice dei momenti</b> dell'esponenziale è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`m_X (t) : \\{ t | t < \\lambda \\} \\in \\mathbb{R} = \\frac{\\lambda}{\\lambda - t}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>media</b> dell'esponenziale è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = \\frac{1}{\\lambda}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>varianza</b> dell'esponenziale è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(X) = \\frac{1}{\\lambda^2}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Assenza di memoria della esponenziale\"}>\n <p>\n L'esponenziale non tiene conto degli eventi avvenuti in passato: ha la proprietà\n dell'assenza di memoria:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P([X > s + t | X > s]) = P([X > t])`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n Ovvero, riscalando opportunamente l'asse Y posso prendere come 0 qualsiasi punto\n dell'asse X.\n </Example>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Legge gamma\"}>\n <Panel title={\"Distribuzione gamma\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria che conta il tempo diwidehattesa prima dell'<Latex>n</Latex>-esimo\n arrivo di un processo di Poisson di intensità <Latex>{r`\\lambda`}</Latex>.\n </p>\n <p>\n Il suo simbolo è <Latex>{r`\\Gamma(n, \\lambda)`}</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Densità della legge gamma\"}>\n <p>\n La legge gamma ha come densità:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\n f_X (x) = \\begin{cases}\n 0 \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad x < 0\\\\\n \\frac{1}{(n-1)!} \\cdot \\lambda^n \\cdot x^{n-1} \\cdot e^{-\\lambda \\cdot x} \\quad k > 0\n \\end{cases}`\n }</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Momenti della legge gamma\"}>\n <p>\n <p>\n La <b>funzione generatrice dei momenti</b> della legge gamma è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`m_X (t) : ( t < \\lambda ) \\in \\mathbb{R} = \\left( \\frac{\\lambda}{\\lambda - t} \\right) ^\\alpha`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>media</b> della legge gamma è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = \\frac{\\alpha}{\\lambda}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>varianza</b> della legge gamma è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(X) = \\frac{\\alpha}{\\lambda^2}`}</Latex>\n </p>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Uniforme\"}>\n <Panel title={\"Distribuzione uniforme\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria che può assumere qualsiasi valore in un\n intervallo <Latex>{r`[a, b]`}</Latex> in modo equiprobabile.\n </p>\n <p>\n Il suo simbolo è <Latex>{r`Uni(a, b)`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Su di essa vale la seguente proprietà:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P(X \\in (c, d)) = \\frac{d - c}{b - a}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Densità della distribuzione uniforme\"}>\n <p>\n La distribuzione uniforme ha come <b>densità</b>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\n f_X (x) = \\begin{cases}\n \\frac{1}{b - a} \\qquad a \\leq x \\leq b\\\\\n 0 \\qquad \\quad altrimenti \n \\end{cases}\n `}</Latex>\n </p>\n <p>\n La distribuzione uniforme ha come <b>funzione di ripartizione</b>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\n f_X (x) = \\begin{cases}\n 0 \\qquad \\quad x < a \n \\frac{1}{b - a} \\qquad a \\leq x \\leq b\\\\\n 1 \\qquad \\quad x > b\n \\end{cases}`\n }</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Momenti della distribuzione uniforme\"}>\n <p>\n <p>\n La <b>funzione generatrice dei momenti</b> della distribuzione uniforme è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`m_X (t) = \\frac{e^{b \\cdot t} - e^{a \\cdot t}}{(b - a) \\cdot t}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>media</b> della distribuzione uniforme è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = \\frac{a + b}{2}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>varianza</b> della distribuzione uniforme è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(X) = \\frac{(b - a)^2}{12}`}</Latex>\n </p>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Normale o Gaussiana\"}>\n <Panel title={\"Distribuzione normale\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria con una specifica distribuzione.\n </p>\n <p>\n Il suo simbolo è <Latex>{r`Nor(\\mu, \\sigma^2)`}</Latex>.\n </p>\n <Example>\n <Latex>\\mu</Latex> e <Latex>\\sigma^2</Latex> sono rispettivamente la media e la varianza\n della distribuzione!\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Densità della distribuzione normale\"}>\n <p>\n La distribuzione normale ha come densità:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`f_X (x) = \\frac{e^{-\\frac{(x - \\mu)^2}{2 \\sigma^2}}}{\\sqrt{2 \\pi \\cdot \\sigma^2}}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Momenti della distribuzione normale\"}>\n <p>\n <p>\n La <b>funzione generatrice dei momenti</b> della distribuzione normale è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`m_X (t) = e^{\\mu \\cdot t + \\frac{\\sigma^2 \\cdot t^2}{2}}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>media</b> della distribuzione normale è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X) = \\mu`}</Latex>\n </p>\n <p>\n La <b>varianza</b> della distribuzione normale è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(X) = \\sigma^2`}</Latex>\n </p>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section>\n <Panel title={\"Trasformazione della normale\"}>\n <p>\n Qualsiasi normale può essere trasformata in qualsiasi altra normale:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`X \\sim Nor(m, v^2) \\implies \\alpha X + \\beta \\sim Nor(\\alpha m + \\beta, (\\alpha v)^2)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Normale standard\"}>\n <p>\n La distribuzione normale standard <Latex>Z</Latex> è:\n </p>\n <p>\n <Latex>Z \\sim Nor(0, 1)</Latex>\n </p>\n <p>\n La sua funzione di ripartizione è detta <Latex>{r`\\phi(z)`}</Latex> e vale:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`F_Z(z) = \\phi(z) = \\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} \\int_{-\\infty}^{z} e^{-\\frac{x^2}{2}} dx`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Quantili normali\"}>\n <p>\n Da un quantile <Latex>{r`z_\\alpha`}</Latex> della normale standard è possibile risalire\n allo stesso quantile di qualsiasi altra normale:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`x_\\alpha = \\mu + z_\\alpha \\cdot \\sqrt{\\sigma^2}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section>\n <Panel title={\"Gamma e normale\"}>\n <p>\n La distribuzione normale ha una particolare relazione con la distribuzione Gamma:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Z^2 \\sim \\chi^2 (v = 1)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"La funzione Chi\"}>\n <blockquote>\n \"chi-quadro a un grado di libertà\"\n </blockquote>\n <p>\n Esiste una distribuzione Gamma particolare:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\Gamma \\left( \\frac{1}{2}, \\frac{1}{2} \\right) = \\chi^2 (v = 1)`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Più chi-quadro possono essere sommate per aumentare i loro gradi di libertà:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\chi^2 (n) + \\chi^2 (m) = \\chi^2 (n + m)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"T di Student\"}>\n <p>\n Un'altra funzione particolare è la funzione T di Student:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`T(v) = \\frac{Nor(0, 1)}{\\sqrt{\\frac{\\chi^2(v)}{v}}}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Approssimazioni notevoli\"}>\n <Panel title={\"Ipergeometrica e binomiale\"}>\n <p>\n La binomiale è come una ipergeometrica ma con ripetizioni, quindi per valori molto\n grandi di <Latex>N</Latex> rispetto a <Latex>n</Latex>, si può dire che:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Ipe(N, K, n) \\approx Bin(n, \\frac{K}{N})`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Binomiale e poissoniana\"}>\n <p>\n La binomiale non è altro che una poissoniana a tempo discreto, quindi,\n se <Latex>n</Latex> è grande e <Latex>n \\cdot p</Latex> è nell'ordine di grandezza delle\n unità, allora:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Bin(n, p) \\approx Poi(n \\cdot p)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Binomiale e normale\"}>\n <p>\n Per il Teorema di De Moivre-Laplace, se una binomiale ha una <Latex>n</Latex> grande\n e <Latex>p</Latex> non vicina a 0 o 1, si può approssimare con:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Bin(n, p) \\approx Nor(n \\cdot p, n \\cdot p \\cdot q)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Correzione di Yates\"}>\n <p>\n Passando da una variabile discreta <Latex>X</Latex> a una continua <Latex>Y</Latex>, per\n ogni valore discreto <Latex>k</Latex> la probabilità viene \"spalmata\" su tutto\n l'intervallo <Latex>{r`(k - \\frac{1}{2}, k + \\frac{1}{2})`}</Latex>:\n </p>\n <ul>\n <li><Latex>{r`P(X < k) \\simeq P(Y \\leq k - \\frac{1}{2})`}</Latex></li>\n <li><Latex>{r`P(X \\leq k) \\simeq P(Y \\leq k + \\frac{1}{2})`}</Latex></li>\n <li><Latex>{r`P(X \\geq k) \\simeq P(Y \\geq k - \\frac{1}{2})`}</Latex></li>\n <li><Latex>{r`P(X > k) \\simeq P(Y \\geq k + \\frac{1}{2})`}</Latex></li>\n </ul>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Vettori aleatori\"}>\n <Panel title={\"Vettore aleatorio\"}>\n <p>\n Un vettore <b>composto da variabili aleatorie</b>.\n </p>\n <p>\n Il suo simbolo generalmente\n è <Latex>{r`\\boldsymbol{X}`}</Latex> oppure <Latex>{r`X, Y`}</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Funzioni di ripartizione\"}>\n <p>\n I vettori aleatori hanno più funzioni di ripartizione che si differenziano in base al\n numero di parametri.\n </p>\n <p>\n Se il numero di parametri coincide con la dimensione del vettore aleatorio, allora la\n funzione sarà una <i>funzione di ripartizione congiunta</i>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`F_{X, Y} (x, y) = P(X \\leq x, Y \\leq y)`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Se il numero di parametri è minore della dimensione del vettore aleatorio, allora la\n funzione sarà una <i>funzione di ripartizione marginale</i>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`F_X (x) = P(X \\leq x) = \\lim_{y \\to +\\infty} F_{X, Y} (x, y)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Densità discreta\"}>\n <p>\n I vettori aleatori <b>discreti</b> hanno più densità che si differenziano in base al\n numero di parametri.\n </p>\n <p>\n Se il numero di parametri coincide con la dimensione del vettore aleatorio, allora la\n funzione sarà una <i>densità congiunta</i>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`p_{X, Y} (x, y) = P(X = x, Y = y)`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Se il numero di parametri è minore della dimensione del vettore aleatorio, allora la\n funzione sarà una <i>densità marginale</i>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`p_X (x) = \\sum_j p_{X, Y} (x_i, y_j)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Più variabili aleatorie\"}>\n <Panel title={\"Indipendenza delle variabili aleatorie\"}>\n <p>\n Più variabili aleatorie sono indipendenti se, per qualsiasi scelta di\n intervalli <Latex>A_i</Latex>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P(X_1 \\in A_1, \\dots, X_n \\in A_n) = P(X_1 \\in A_1) \\times \\dots \\times P(X_n \\in A_n)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Media dei vettori aleatori\"}>\n <p>\n E' possibile calcolare la media di qualsiasi funzione <Latex>g(X, Y)</Latex> avente\n elementi del vettore come variabili:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(g(X, Y)) = \\sum_{i, j} g(x_i, y_i) \\cdot p_{X, Y} (x_i, y_i)`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n Solitamente si calcola la media di <Latex>x \\cdot y</Latex>.\n </Example>\n <p>\n Le medie di più variabili aleatorie si possono sommare:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(X + Y) = E(X) + E(Y)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section>\n <Panel title={\"Covarianza\"}>\n <p>\n Un <b>operatore</b> che misura la correlazione di due variabili aleatorie.\n </p>\n <p>\n Si calcola con il valore atteso dei prodotti delle distanze dalla media:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Cov(X, Y) = E((X - E(X) \\cdot (Y - E(Y)) = E(XY) - E(X) \\cdot E(Y)`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Ha diverse proprietà:\n </p>\n <ul>\n <li>Il suo <b>valore nullo</b> è 0: <Latex>{r`Cov(X, \\alpha) = 0`}</Latex></li>\n <li>E' <b>commutativa</b>: <Latex>{r`Cov(X, Y) = Cov(Y, X)`}</Latex></li>\n <li>E' <b>semplificabile</b>: <Latex>{r`Cov(X, X) = Var(X)`}</Latex></li>\n <li>E' <b>lineare</b>: <Latex>{r`Cov(\\alpha X, \\beta Y) = \\alpha \\cdot \\beta \\cdot Cov(X, Y)`}</Latex>\n </li>\n <li>E' <b>distributiva</b>: <Latex>{r`Cov(X + Y, V + W) = Cov(X, Y) + Cov(X, W) + Cov(Y, V) + Cov(Y, W)`}</Latex>\n </li>\n </ul>\n </Panel>\n <Panel title={\"Variabili incorrelate\"}>\n <p>\n Due variabili sono <i>variabili incorrelate</i> se:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Cov(X, Y) = 0`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Variabili indipendenti sono sempre incorrelate.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Matrice di covarianza\"}>\n <p>\n Una matrice <Latex>{r`\\boldsymbol{C_X}`}</Latex> che contiene la covarianza tra tutte le\n variabili di un vettore aleatorio <Latex>{r`\\boldsymbol{X}`}</Latex>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\n \\boldsymbol{C_X} = \n \\begin{bmatrix}\n Var(X_1) & Cov(X_1, X_2) & Cov(X_1, X_3)\\\\\n Cov(X_2, X_1) & Var(X_2) & Cov(X_2, X_3)\\\\\n Cov(X_3, X_1) & Cov(X_3, X_2) & Var(X_3)\n \\end{bmatrix}\n `}</Latex>\n </p>\n <p>\n E' sempre simmetrica e semidefinita positiva (tutti gli autovalori sono <Latex>\\geq\n 0</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Coefficiente di correlazione\"}>\n <p>\n Un valore che misura come due variabili aleatorie sono correlate:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\rho_{X, Y} = \\frac{Cov(X, Y)}{\\sqrt{Var(X)} \\cdot \\sqrt{Var(Y)}}`}</Latex>\n </p>\n <p>\n E' sempre compreso tra -1 e 1:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`-1 \\leq \\rho_{X, Y} \\leq 1`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Vale esattamente -1 o 1 solo se esiste un legame lineare tra le due variaibli:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Y = a X + b \\Longleftrightarrow | \\rho_{X, Y} | = 1`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Varianza di variabili aleatorie sommate\"}>\n <p>\n La varianza di due variabili aleatorie sommate è:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 \\cdot Cov(X, Y)`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n Si dimostra applicando le proprietà della covarianza!\n </Example>\n <p>\n Se più variabili\n aleatorie <Latex>X_i</Latex> sono <b>indipendenti</b> (<Latex>{r`Cov(X, Y) = 0`}</Latex>),\n allora:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var \\left( \\sum_i X_i \\right) = \\sum_i Var(X_i)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Campioni\"}>\n <Panel title={\"Campione casuale\"}>\n <p>\n Una <b>n-pla</b> di variabili aleatorie con la stessa distribuzione della variabile\n aleatoria <Latex>X</Latex> (\"popolazione\") ma <b>indipendenti</b> tra loro.\n </p>\n <Example>\n Le variabili aleatorie sono come un lazy-load in programmazione; quando ci sarà bisogno\n del loro valore numerico, esse si <b>realizzeranno</b> nel loro valore.\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Momento campionario\"}>\n <p>\n Il valore dato dalla media aritmetica degli <Latex>n</Latex> elementi del campione\n elevati alla potenza <Latex>k</Latex>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`M^{(k)}_n = \\frac{1}{n} \\cdot \\sum_{i = 1}^n X_i^k `}</Latex>\n </p>\n <p>\n Il momento campionario di primo ordine è la <i>media campionaria</i>\n <Latex>{r`\\overline{X}_n`}</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Varianza campionaria\"}>\n <p>\n La media aritmetica dello scarto quadratico medio degli elementi del campione.\n </p>\n <p>\n Se è noto il valore medio <Latex>{r`m = E(X)`}</Latex> di X:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`S_0^2 = \\frac{1}{n} \\cdot \\sum_{i = 1}^n (X_i - m)^2 = M_n^(2) - 2 \\cdot m \\cdot \\overline{X}_n + m^2`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Altrimenti:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`S_n^2 = \\frac{1}{n - 1} \\cdot \\sum_{i = 1}^n (X_i - \\overline{X}_n)^2 = \\frac{1}{n - 1} \\cdot ( n \\cdot M_2^{(2)} - n \\cdot \\overline{X}_n^2)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Media-ception\"}>\n <Panel title={\"Media campionaria\"}>\n <p>\n Se calcoliamo la media della media campionaria, risulterà vero che:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(\\overline{X}_n) = E(X)`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n Quindi, è possibile usare i campioni per trovare la media di una variabile aleatoria!\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Varianza campionaria\"}>\n <p>\n Se calcoliamo la varianza della media campionaria, risulterà vero che:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Var(\\overline{X}_n) = \\frac{Var(X)}{n}`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Correzione campionaria\"}>\n <p>\n Se calcoliamo la media della varianza campionaria, risulterà vero che:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(S_0^2) = E(S_n^2) = Var(X)`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n Quindi, possiamo stimare l'errore della media calcolata tramite campioni!\n </Example>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Campionamento di una distribuzione normale\"}>\n <Panel title={\"Campionamento di una distribuzione normale\"}>\n <p>\n Se la popolazione <Latex>X</Latex> ha una distribuzione normale\n (<Latex>{r`X \\sim Nor(\\mu, \\sigma^2)`}</Latex>)...\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Distribuzione della media campionaria\"}>\n <p>\n ...allora sappiamo anche la distribuzione della media campionaria!\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\overline{X}_n \\sim Nor \\left( \\mu, \\frac{\\sigma^2}{n} \\right)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Distribuzione della varianza campionaria\"}>\n <p>\n ...e anche della varianza campionaria!\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`S_0^2 \\sim \\frac{\\sigma^2}{n} \\cdot \\chi^2 (n)`}</Latex>\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`S_n^2 \\sim \\frac{\\sigma^2}{n - 1} \\cdot \\chi^2 (n-1)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Indipendenza\"}>\n <p>\n ...e che media campionaria e varianza campionaria sono indipendenti tra loro!\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Quando i campioni hanno dimensioni infinite\"}>\n <Panel title={\"Convergenza in distribuzione\"}>\n <p>\n Se la successione di variabili aleatorie <Latex>X_n</Latex> all'infinito ha la <b>stessa\n funzione di ripartizione</b> della popolazione <Latex>X</Latex>, allora essa <i>converge\n in distribuzione</i>.\n </p>\n <p>\n <Latex>{`\\\\lim_{n \\\\to +\\\\infty} F_{X_n} (x) = F_X (x) \\\\implies X_n \\\\xrightarrow{d} X`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Convergenza in probabilità\"}>\n <p>\n Se la successione di variabili aleatorie <Latex>X_n</Latex> all'infinito ha la <b>stessa\n probabilità</b> della popolazione <Latex>X</Latex>, allora essa <i>converge in\n probabilità</i>.\n </p>\n <p>\n <Latex>{`\\\\forall \\\\epsilon > 0, \\\\lim_{n \\\\to +\\\\infty} P( | X_n - X | < \\\\epsilon) = 1 \\\\implies X_n \\\\xrightarrow{p} X`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Convergenza quasi certa\"}>\n <p>\n Se la successione di variabili aleatorie <Latex>X_n</Latex> all'infinito ha la <b>stessa\n probabilità a </b> della popolazione <Latex>X</Latex>, allora essa <i>converge quasi\n certamente</i>.\n </p>\n <p>\n <Latex>{`\\\\forall \\\\epsilon > 0, P \\left( \\\\lim_{n \\\\to +\\\\infty} | X_n - X | < \\\\epsilon) \\right) = 1 \\\\implies X_n \\\\xrightarrow{qc} X`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Convergenza in media quadratica\"}>\n <p>\n Se la successione di variabili aleatorie <Latex>X_n</Latex> all'infinito ha la <b>media\n del quadrato della distanza</b> tra la successione e la popolazione <Latex>X</Latex> <b>uguale\n a 0</b>, allora essa <i>converge in media quadratica</i>.\n </p>\n <p>\n <Latex>{`\\\\lim_{n \\\\to +\\\\infty} E( | X_n - X |^2 = 0 \\\\implies X_n \\\\xrightarrow{mq} X`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Gerarchia delle convergenze\"}>\n <p>\n <Latex>{`\n \\\\begin{matrix}\n X_n \\\\xrightarrow{mq} X\\\\\\\\\n X_n \\\\xrightarrow{qc} X\n \\\\end{matrix} \\\\implies X_n \\\\xrightarrow{p} X \\\\implies X_n \\\\xrightarrow{d} X`\n }</Latex>\n </p>\n <p>\n In più:\n </p>\n <p>\n <Latex>{`X_n \\\\xrightarrow{p} x \\\\Longleftrightarrow X_n \\\\xrightarrow{d} x`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"I grandi numeri\"}>\n <Panel title={\"Legge debole dei grandi numeri\"}>\n <p>\n La successione delle medie campionarie <Latex>{r`\\overline{X}_n`}</Latex> <b>converge in\n probabilità</b> alla media della popolazione <Latex>{r`E(X)`}</Latex>, se essa esiste.\n </p>\n <p>\n <Latex>{`\\\\overline{X}_n \\\\xrightarrow{p} X`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Ovvero:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\forall \\epsilon > 0, \\lim_{n \\to +\\infty} P( | \\overline{X}_n - E(X) | < \\epsilon) = 1`}</Latex>\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P( | \\overline{X}_n - E(X) | < \\epsilon) \\to 1`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Legge forte dei grandi numeri\"}>\n <p>\n La successione delle medie campionarie <Latex>{r`\\overline{X}_n`}</Latex> <b>converge\n quasi certamente</b> alla media della popolazione <Latex>{r`E(X)`}</Latex>, se essa\n esiste.\n </p>\n <p>\n <Latex>{`\\\\overline{X}_n \\\\xrightarrow{qc} X`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Ovvero:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\forall \\epsilon > 0, P \\left( \\lim_{n \\to +\\infty} | \\overline{X}_n - E(X) | < \\epsilon \\right) = 1`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n Dimostra che l'interpretazione frequentista della probabilità è valida!\n </Example>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Al limite\"}>\n <Panel title={\"Teorema centrale del limite\"}>\n <p>\n La successione delle medie campionarie <Latex>{r`\\overline{X}_n`}</Latex> <b>converge in\n distribuzione</b> a <Latex>{r`Nor(0, 1) = \\Phi()`}</Latex>.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\overline{X}_n \\approx Nor \\left(E(X), \\frac{Var(X)}{n} \\right)`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Ovvero:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\forall x \\in \\mathbb{R}, \\lim_{n \\to +\\infty} P \\left( \\frac{\\overline{X}_n - E(X)}{\\sqrt{\\frac{Var(X)}{n}}} \\leq x \\right) = \\Phi(x)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Altre approsimazioni\"}>\n <Panel title={\"Binomiale e normale\"}>\n <p>\n E' una somma di <b>bernoulliane</b>, e quindi si approssima a una normale:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Bin(n, p) \\approx Nor(n \\cdot p, n \\cdot p \\cdot q)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Binomiale negativa e normale\"}>\n <p>\n E' una somma di <b>geometriche</b>, e quindi si approssima a una normale:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\overline{Bin} (n, p) \\approx Nor \\left( \\frac{n}{p}, \\frac{n \\cdot (1 - p)}{p^2} \\right)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Poissoniana e normale\"}>\n <p>\n E' una somma di altre <b>poissoniane</b>, e quindi si approssima a una normale:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Poi(\\lambda) \\approx Nor(\\lambda, \\lambda)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Gamma e normale\"}>\n <p>\n E' una somma di <b>esponenziali</b>, e quindi si approssima a una normale:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\Gamma (\\alpha, \\lambda) \\approx Nor \\left( \\frac{\\alpha}{\\lambda}, \\frac{\\alpha}{\\lambda^2} \\right)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"In generale\"}>\n <p>\n Se <Latex>n</Latex> è grande, allora:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`Y = \\sum_{i=1}^{n} X_i`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Actually statistica\"}>\n <Panel title={\"Parametri sconosciuti\"}>\n <p>\n Per indicare parametri sconosciuti di una legge si usa <Latex>\\theta</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Statistica\"}>\n <p>\n Una variabile aleatoria funzione di un campione:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`T(\\boldsymbol{X})`}</Latex>\n </p>\n <Example>\n Ad esempio, sono statistiche media e varianza campionaria, così come il campione\n stesso <Latex>{r`T(\\boldsymbol{X}) = \\boldsymbol{X}`}</Latex>.\n </Example>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Stimatori\"}>\n <Panel title={\"Stimatore\"}>\n <p>\n Una statistica <Latex>T_n</Latex> ottenuta da <Latex>n</Latex> osservazioni, che stimi i\n parametri di una legge e sia indipendente da essi.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Corretto\"}>\n <p>\n Uno stimatore è <i>corretto</i> se il suo valore atteso coincide con quello dei\n parametri che stima:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`E(T_n) = \\theta`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Asintoticamente corretto\"}>\n <p>\n Uno stimatore è <i>asintoticamente corretto</i> se, per infinite osservazioni, il suo\n valore atteso coincide con quello dei parametri che stima:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\lim_{n \\to +\\infty} E(T_n) = \\theta`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Consistente in media quadratica\"}>\n <p>\n Uno stimatore è <i>consistente in media quadratica</i> se:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\lim_{n \\to +\\infty} E((T_n - \\theta)^2) = 0`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Consistente in probabilità\"}>\n <p>\n Uno stimatore è <i>consistente in probabilità</i> se:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\forall \\epsilon > 0, \\lim_{n \\to +\\infty} P( |T_n - \\theta| < \\epsilon) = 1`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Asintoticamente normale\"}>\n <p>\n Uno stimatore è <i>asintoticamente normale</i> se:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\lim_{n \\to +\\infty} \\frac{T_n - E(T_n)}{\\sqrt{Var(T_n)}} \\sim Nor(0, 1)`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Metodo dei momenti\"}>\n <Panel title={\"Metodo dei momenti\"}>\n <p>\n Si può usare il <i>metodo dei momenti</i> per ottenere uno stimatore di una\n popolazione <Latex>X</Latex>.\n </p>\n <p>\n Lo stimatore di <Latex>{r`\\theta`}</Latex> così ottenuto sarà indicato aggiungendo un\n cappellino e\n una <Latex>M</Latex> a <Latex>\\theta</Latex>: <Latex>{r`\\widehat{\\theta}_M`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Visto che:\n </p>\n <ul>\n <li><Latex>{r`\\theta = g(E(X))`}</Latex></li>\n <li><Latex>{r`\\widehat{E(X)} = \\overline{X}_n`}</Latex></li>\n </ul>\n <p>\n Allora:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\widehat{\\theta}_M = g( \\overline{X}_n )`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Se <Latex>{r`\\theta`}</Latex> non è esprimibile in termini di <Latex>{r`E(X)`}</Latex>,\n si possono usare i momenti\n successivi <Latex>{r`M_n^2`}</Latex>, <Latex>{r`M_n^3`}</Latex>, <Latex>{r`M_n^3`}</Latex>...\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Metodo della massima verosomiglianza\"}>\n <Panel title={\"Metodo della massima verosomiglianza\"}>\n <p>\n Si può usare il <i>metodo della massima verosomiglianza</i> per ottenere uno stimatore\n di una popolazione <Latex>X</Latex>.\n </p>\n <p>\n Lo stimatore di <Latex>{r`\\theta`}</Latex> così ottenuto sarà indicato aggiungendo un\n cappellino e\n una <Latex>L</Latex> a <Latex>\\theta</Latex>: <Latex>{r`\\widehat{\\theta}_L`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Consiste nel trovare il massimo assoluto <Latex>{r`\\widehat{\\theta}_L`}</Latex> della la\n funzione di verosomiglianza <Latex>{r`L`}</Latex>:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`L(x_1, ..., x_n; \\theta) = \\prod_{i=1}^n f_X(x_i; \\theta)`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Gli stimatori di massima verosomiglianza sono <b>asintoticamente corretti</b>, <b>consistenti\n in probabilità</b> e <b>asintoticamente normali</b>.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Proprietà degli stimatori di massima verosomiglianza\"}>\n <p>\n Gli stimatori di massima verosomiglianza godono delle seguenti proprietà:\n </p>\n <ul>\n <li>Sono <b>asintoticamente corretti</b>.</li>\n <li>Sono <b>consistenti in probabilità</b>.</li>\n <li>Sono <b>asintoticamente normali</b>.</li>\n <li>Sono <b>invarianti</b>: <Latex>{r`\\widehat{g(\\theta)}_L = g(\\widehat{\\theta}_L)`}</Latex>\n </li>\n </ul>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Nuove stime notevoli\"}>\n <Panel title={\"Stima di una bernoulliana\"}>\n <p>\n Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\widehat{p}_M = \\widehat{p}_L = \\overline{X}_n`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Stima di una poissoniana\"}>\n <p>\n Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\widehat{\\mu}_M = \\widehat{\\mu}_L = \\overline{X}_n`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Stima di una esponenziale\"}>\n <p>\n Per il metodo dei momenti oppure per il metodo della massima verosomiglianza:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\widehat{\\lambda}_M = \\widehat{\\lambda}_L = \\frac{1}{\\overline{X}_n}`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Stima di una normale\"}>\n <p>\n Per il metodo della massima verosomiglianza:\n </p>\n <ul>\n <li><Latex>{r`\\widehat{\\mu}_L = \\overline{X}_n`}</Latex></li>\n <br/>\n <li><Latex>{r`\\widehat{\\sigma^2}_L = \\frac{\\sum (X_i - \\overline{X}_n)^2 }{n}`}</Latex>\n </li>\n </ul>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Intervalli di confidenza\"}>\n <Panel title={\"Confidenza\"}>\n <blockquote>\n \"intervallo di confidenza al 95%\"\n </blockquote>\n <p>\n L'intervallo di valori di <Latex>\\theta</Latex> all'interno del quale siamo \"più o meno\n sicuri\" si trovi il valore effettivo:\n </p>\n <p>\n L'intervallo di confidenza a N della stima <Latex>{r`\\widehat{W}`}</Latex> è\n l'intervallo <Latex>]a, b[</Latex> tale che:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`P( a < W < b ) = N`}</Latex>\n </p>\n <p>\n Può anche essere <b>unilatero</b> nel caso limiti la stima in una sola direzione,\n positiva o negativa.\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Confidenza nella media di una normale\"}>\n <Panel title={\"Varianza nota\"}>\n <p>\n Se conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli\n intervalli di confidenza all'<Latex>\\alpha</Latex>% con queste formule:\n </p>\n <ul>\n <li>Intervalli\n bilateri: <Latex>{r`\\mu \\in \\left[ \\overline{x}_n - z_{1 - \\frac{\\alpha}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{\\sigma^2}{n}}, \\overline{x}_n + z_{1 - \\frac{\\alpha}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{\\sigma^2}{n}} \\right]`}</Latex>\n </li>\n <li>Intervallo unilatero da\n sinistra: <Latex>{r`\\mu \\in \\left( -\\infty, \\overline{x}_n + z_{1 - \\frac{\\alpha}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{\\sigma^2}{n}} \\right]`}</Latex>\n </li>\n <li>Intervallo unilatero da\n destra: <Latex>{r`\\mu \\in \\left[ \\overline{x}_n - z_{1 - \\frac{\\alpha}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{\\sigma^2}{n}}, +\\infty \\right)`}</Latex>\n </li>\n </ul>\n </Panel>\n <Panel title={\"Varianza incognita\"}>\n <p>\n Se non conosciamo la varianza di una normale, allora possiamo ricavare velocemente gli\n intervalli di confidenza all'<Latex>\\alpha</Latex>% con queste formule:\n </p>\n <ul>\n <li>Intervalli\n bilateri: <Latex>{r`\\mu \\in \\left[ \\overline{x}_n - t_{1 - \\frac{\\alpha}{2}; n-1} \\cdot \\sqrt{\\frac{s_n^2}{n}}, \\overline{x}_n + t_{1 - \\frac{\\alpha}{2}; n-1} \\cdot \\sqrt{\\frac{s_n^2}{n}} \\right]`}</Latex>\n </li>\n <li>Intervallo unilatero da\n sinistra: <Latex>{r`\\mu \\in \\left( -\\infty, \\overline{x}_n + t_{1 - \\frac{\\alpha}{2}; n-1} \\cdot \\sqrt{\\frac{s_n^2}{n}} \\right]`}</Latex>\n </li>\n <li>Intervallo unilatero da\n destra: <Latex>{r`\\mu \\in \\left[ \\overline{x}_n - t_{1 - \\frac{\\alpha}{2}; n-1} \\cdot \\sqrt{\\frac{s_n^2}{n}}, +\\infty \\right)`}</Latex>\n </li>\n </ul>\n <p>\n <Latex>{r`t_{\\alpha, v}`}</Latex> è un quantile della distribuzione di Student di\n parametro <Latex>v</Latex>.\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Confidenza per la proporzione di una bernoulliana\"}>\n <Panel title={\"Terzo metodo corretto\"}>\n <p>\n L'intervallo di confidenza per la proprorzione di una bernoulliana qualsiasi si ottiene\n da questa formula:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`p \\in \\left[ \\overline{p} - z_{1 - \\frac{\\alpha}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{\\overline{p} \\cdot (1 - \\overline{p})}{n+4}}, \\overline{p} + z_{1 - \\frac{\\alpha}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{\\overline{p} \\cdot (1 - \\overline{p})}{n+4}} \\right]`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n <Section title={\"Confidenza per la media di qualsiasi popolazione\"}>\n <Panel title={\"Approssimando con la normale\"}>\n <p>\n L'intervallo di confidenza per la media di una qualsiasi popolazione si ottiene da\n questa formula:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`m \\in \\left[ \\overline{x}_n - z_{1 - \\frac{\\alpha}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{s^2_n}{n}}, \\overline{x}_n + z_{1 - \\frac{\\alpha}{2}} \\cdot \\sqrt{\\frac{s^2_n}{n}} \\right]`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n </Section>\n </div>\n </LatexDefaultDisplay.Provider>\n </LatexDefaultInline.Provider>\n 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