mirror of
https://github.com/Steffo99/unisteffo.git
synced 2024-11-22 16:04:21 +00:00
121 lines
No EOL
4.2 KiB
TeX
121 lines
No EOL
4.2 KiB
TeX
\documentclass{article}
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|
\usepackage{mathtools}
|
|
\usepackage{amssymb}
|
|
\usepackage{centernot}
|
|
\usepackage{bm}
|
|
\usepackage{fullpage}
|
|
|
|
% Iniziate a scrivere da qua in poi
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\section{Moltiplicazioni tra matrici}
|
|
|
|
\[
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
a & b \\
|
|
c & d \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
*
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
e & f \\
|
|
g & h \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
ae + cf & be + df \\
|
|
ag + ch & bg + dh \\
|
|
\end{bmatrix}
|
|
\]
|
|
|
|
\section{Invertibilità di una matrice}
|
|
|
|
Si può verificare se una matrice \( A \) quadrata di ordine \( n \) è invertibile verificando una di queste definizioni equivalenti:
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Il determinante non è nullo: \( \det A\neq 0 \).
|
|
\item Il rango di \( A \) è \( n \).
|
|
\item La trasposta \( A^{T} \) è una matrice invertibile.
|
|
\item Tutte le righe/colonne di \( A \) sono linearmente indipendenti.
|
|
\item Tutte le righe/colonne di \( A \) formano una base di \( \mathbb{K} ^{n} \).
|
|
\item Il numero 0 non è un autovalore di \( A \).
|
|
\item \( A \) è trasformabile mediante algoritmo di Gauss-Jordan in una matrice con \( n \) pivot.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\section{Stabilire esistenza di funzione lineare}
|
|
|
|
Per controllare se esiste o no una funzione lineare è sufficiente verificare che sia valida la proprietà di linearità:\\
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Se due vettori sono linearmente indipendenti, anche i risultati della funzione devono essere linearmente indipendenti.
|
|
\end{itemize}
|
|
Può essere controllata velocemente vedendo se si verificano le seguenti condizioni:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Se due vettori di ingresso sono uno multiplo dell'altro, allora anche i vettori di uscita devono essere uno multiplo dell'altro per la stessa costante.
|
|
\item Se un vettore di ingresso è dato dalla somma di (multipli di) altri, allora anche il vettore di uscita deve essere dato dalla somma di (multipli degli) stessi.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\section{Determinazione di matrice associata}
|
|
|
|
Vogliamo trovare la matrice associata (\(A\)) di una funzione rispetto a delle nuove basi, ad esempio \(< (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)\).\\
|
|
|
|
Procediamo disponendo in verticale gli elementi delle basi, in questo modo:
|
|
\[
|
|
M =
|
|
\begin{matrix}
|
|
1 & 4 & 7 \\
|
|
2 & 5 & 8 \\
|
|
3 & 6 & 9 \\
|
|
\end{matrix}
|
|
\]
|
|
|
|
Troviamo la matrice inversa con il metodo di Gauss-Jordan:
|
|
\[
|
|
...
|
|
\]
|
|
|
|
Calcoliamo il risultato di:
|
|
\[
|
|
B = M^{-1} * A * M
|
|
\]
|
|
|
|
Il risultato \(B\) sarà la nostra nuova matrice associata.
|
|
|
|
\section{Diagonalizzabilità}
|
|
Una matrice è \textsc{diagonalizzabile} se ha \textbf{tanti autovalori quanto il suo rango}.\\
|
|
Per trovare gli autovalori trovare dove il polinomio caratteristico (determinante della matrice fatta come quella qui sotto) è uguale a 0:
|
|
\[
|
|
\begin{vmatrix}
|
|
1 - x & 2 & 3 \\
|
|
4 & 5 - x & 6 \\
|
|
7 & 8 & 9 - x \\
|
|
\end{vmatrix}
|
|
= 0
|
|
\]
|
|
|
|
\section{Stabilire se una funzione è lineare}
|
|
|
|
Se tutti i termini della funzione sono \textbf{polinomi omogenei} di primo grado (non ci sono potenze superiori a 1), allora è automaticamente \textsc{lineare}.
|
|
|
|
\section{Immagine}
|
|
|
|
Le \textsc{basi dell'immagine} di una funzione sono i \textbf{vettori linearmente indipendenti} che la generano.
|
|
|
|
\section{Iniettività e suriettività}
|
|
|
|
Una funzione lineare è \textsc{iniettiva} se \textbf{il nucleo è di dimensione 0}, ovvero se l'unico valore che fa risultare 0 alla funzione è il vettore nullo.\\
|
|
\\
|
|
Una funzione lineare è \textsc{suriettiva} se la dimensione dell'immagine è minore o uguale al rango della funzione (degli input, il rango della matrice associata): \(dim(Im(F)) = rk(M_F)\).\\
|
|
|
|
\subsection{Matrici quadrate}
|
|
|
|
Se la funzione è un \textbf{automorfismo} (campo input = campo output), allora \(iniettivita' \Leftrightarrow suriettivita'\).
|
|
|
|
\section{Somma diretta}
|
|
|
|
Un sottospazio è \textsc{somma diretta} se i due sottospazi di cui viene fatta la somma \textbf{non hanno basi in comune}, e quindi \(dim(\pmb{U} \cap \pmb{W}) = 0\).
|
|
|
|
\subsection{Trovare basi che diano una somma diretta}
|
|
|
|
Per trovare basi che diano una somma diretta, è sufficiente \textbf{trovare basi linearmente indipendenti} con quelle che già abbiamo: solitamente parti della base canonica funzionano alla perfezione.
|
|
|
|
\end{document} |