triennale-appunti-steffo/docs/route-CalcoloNumerico.chunk.ca5bf.esm.js

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appelli"},i("ol",null,i("li",null,i(u.a,{to:"2020-06-15"})),i("li",null,i(u.a,{to:"2020-06-22"})),i("li",null,i(u.a,{to:"2020-07-06"})),i("li",null,i(u.a,{to:"2020-07-13"})),i("li",null,i(u.a,{to:"2020-07-20"})),i("li",null,i(u.a,{to:"2020-07-27"}))))),i(l.a,{title:"Algoritmi"},i(a.a,{title:"Algoritmi numerici"},i("p",null,"Algoritmi che hanno:"),i("ul",null,i("li",null,"numeri reali in input e output"),i("li",null,"successioni delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali come passi")))),i(l.a,{title:"Errore di rappresentazione"},i(a.a,{title:"Errore di rappresentazione"},i("p",null,"Con i numeri floating point può capitare che un certo numero ",i(t.a,null,T(c||(c=M`\alpha`)))," non sia rappresentato correttamente."),i("p",null,"In tal caso, il numero si indica con ",i(t.a,null,T(d||(d=M`\alpha^*`))),".")),i(a.a,{title:"Errore assoluto"},i("p",null,"È la differenza tra il numero desiderato e il numero rappresentato:"),i("p",null,i(t.a,null,T(p||(p=M`E_a = \left | \alpha - \alpha^* \right |`)))),i(o.a,null,"Vale sempre 0, tranne in caso di underflow o overflow.")),i(a.a,{title:"Errore relativo"},i("p",null,"Indica quanto il numero rappresentato differisce dal numero desiderato:"),i("p",null,i(t.a,null,T(_||(_=M`\forall \alpha \neq 0, E_r = \frac{E_a}{\left | \alpha \right |}`)))))),i(l.a,{title:"Floating point"},i(a.a,{title:"Precisione di macchina"},i("p",null,"L'errore relativo di un numero reale rappresentato in virgola mobile è minore o uguale alla ",i("i",null,"precisione di macchina"),":"),i("p",null,i(t.a,null,T(m||(m=M`E_r \leq k \cdot \beta^{1-t}`)))),i("ul",null,i("li",null,i(t.a,null,"\\beta")," è uguale alla base utilizzata (solitamente 2)."),i("li",null,i(t.a,null,"t")," è uguale al numero di cifre della mantissa."),i("li",null,i(t.a,null,"k")," è uguale a ",i(t.a,null,"1")," se il numero viene rappresentato per troncamento oppure a ",i(t.a,null,T(f||(f=M`\frac{1}{2}`)))," se viene rappresentato per arrotondamento.")))),i(l.a,{title:"Operazioni di macchina"},i(a.a,{title:"Un nuovo insieme"},i("p",null,"L'insieme ",i(t.a,null,"F")," è il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili in floating point dalla macchina che stiamo usando."),i("p",null,"Operazioni tra elementi di ",i(t.a,null,"F")," producono risultati in ",i(t.a,null,T(h||(h=M`\mathbb{R}`))),", che però decaderanno nuovamente a elementi di ",i(t.a,null,"F"),", perdendo informazioni."),i("p",null,"Il teorema della precisione di macchina si applica quindi anche ai risultati delle operazioni.")),i(a.a,{title:"Caratteristiche delle operazioni di macchina"},i("ul",null,i("li",null,"Hanno più di un elemento neutro."),i("li",null,"Un numero ha più opposti."),i("li",null,"Non sono associative."),i("li",null,"Non sono distributive."),i("li",null,"Non vale la legge di annullamento del prodotto."))),i(a.a,{title:"La funzione fl"},i("p",null,"Indica che un valore è soggetto alla precisione di macchina:"),i("p",null,i(t.a,null,T(v||(v=M`fl(x) = (x)(1 + \epsilon_x)`)))))),i(l.a,{title:"Errori nelle operazioni di macchina"},i(a.a,{title:"Errore inerente"},i("p",null,"Errore dipendente ",i("b",null,"solo dai dati"),"."),i("p",null,i(r.a,null,"TODO: qual è la formula?")),i("p",null,"È l'errore che si presenterebbe se ",i(t.a,null,T(g||(g=M`\epsilon_1 = \epsilon_2 = \dots = 0`))),".")),i(a.a,{title:"Errore algoritmico"},i("p",null,"Errore dipendente ",i("b",null,"solo dalle operazioni effettuate"),"."),i("p",null,i(r.a,null,"TODO: qual è la formula?")),i("p",null,"È l'errore che si presenterebbe se ",i(t.a,null,T(b||(b=M`\epsilon_x = \epsilon_y = \dots = 0`))),"."))),i(l.a,null,i(a.a,{title:"Problema ben condizionato"},i("p",null,"Un problema poco sensibile all'",i("b",null,"errore inerente"),"."),i(o.a,null,i(t.a,null,T(x||(x=M`y = \frac{1}{x}`)))," è mal condizionato intorno allo 0 e ben condizionato lontano dallo 0.")),i(a.a,{title:"Algoritmo stabile"},i("p",null,"Un algoritmo poco sensibile all'",i("b",null,"errore algoritmico"),"."),i(o.a,null,i("p",null,"Cerchiamo un algoritmo che risolva ",i(t.a,null,T(z||(z=M`2x = 4`))),"."),i("p",null,"Calcolare prima ",i(t.a,null,T(E||(E=M`t = fl \left( \frac{1}{4} \right)`)))," e poi ",i(t.a,null,T(y||(y=M`x^* = fl ( 2 \cdot t )`)))," porta a una perdita di precisione."),i("p",null,"Calcolare direttamente ",i(t.a,null,T(V||(V=M`x^* = fl \left( \frac{2}{4} \right)`)))," non ha alcuna perdita di precisione e rende l'algoritmo ",i("b",null,"più stabile")," del precedente.")))),i(l.a,null,i(a.a,{title:"Indice di condizionamento"},i("p",null,"È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'",i("b",null,"errore inerente"),"."),i("p",null,"Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione."),i("p",null,"Minore è l'indice di condizionamento, meglio condizionato è un problema.")),i(a.a,{title:"Indice algoritmico"},i("p",null,"È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'",i("b",null,"errore algoritmico"),"."),i("p",null,"Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione."))),i(l.a,{title:"Le cose più difficili di Algebra Lineare"},i(a.a,{title:"Matrice singolare"},i("p",null,"Matrice con determinante 0."),i("p",null,"Le matrici singolari ",i("b",null,"non sono invertibili"),"."))),i(l.a,{title:"Norme"},i(a.a,{title:"Norma vettoriale"},i("p",null,"Funzione che associa un valore positivo a ogni vettore diverso da 0, e 0 al vettore zero."),i(o.a,null,i("a",{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Norma_(matematica)#/media/File:Vector_norms.svg"},"Esempi su Wikipedia"))),i(a.a,{title:"Norma a infinito"},i("p",null,"Massimo dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore."),i("p",null,i(t.a,null,T(L||(L=M`\Vert x \Vert_\infty = max_{i = 1..n} | x_i |`))))),i(a.a,{title:"Norma a 1"},i("p",null,"Somma dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore."),i("p",null,i(t.a,null,T(w||(w=M`\Vert x \Vert_1 = \sum_{i = 1}^n | x_i |`))))),i(a.a,{title:"Norma a 2"},i("p",null,"Radice quadrata della somma dei quadrati di tutti gli elementi del vettore."),i("p",null,i(t.a,null,T(A||(A=M`\Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i = 1}^n x_i^2}`)))))),i(l.a,null,i(a.a,{title:"Norma matriciale indotta"},i("p",null,"Funzione che associa un valore positivo a ogni matrice diversa da 0, e 0 alla matrice zero."),i("p",null,"Si ricavano dalle norme vettoriali:"),i("p",null,i(t.a,null,T(N||(N=M`\Vert A \Vert = sup_{x \in \mathbb{R}, x \neq 0} \frac{\Vert A \cdot x \Vert}{\Vert x \Vert}`)))),i(o.a,null,i(t.a,null,"sup")," è l'estremo superiore di un insieme. E' molto simile al massimo: ricordi le prime lezioni di Analisi?")),i(a.a,{title:"Norma a infinito"},i("p",null,"Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni riga di una matrice."),i("p",null,i(t.a,null,T(q||(q=M`\Vert A \Vert_\infty = max_{i = 1..n} \sum_{j = 1}^n | a_{ij} |`))))),i(a.a,{title:"Norma a 1"},i("p",null,"Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni colonna di una matrice."),i("p",null,i(t.a,null,T(H||(H=M`\Vert A \Vert_1 = max_{j = 1..n} \sum_{i = 1}^n | a_{ij} |`))))),i(a.a,{title:"Norma a 2"},i("p",null,"Radice quadrata del rango del prodotto tra una matrice e la sua trasposta."),i("p",null,i(t.a,null,T(O||(O=M`\Vert A \Vert_2 = \sqrt{\rho ( A^T \times A ) }`)))))),i(l.a,null,i(a.a,{title:"Errore relativo tra vettori e matrici"},i("p",null,"Le norme sono usate per calcolare l'errore relativo tra due vettori o matrici:"),i("p",null,i(t.a,null,T(k||(k=M`\frac{\Vert x - y \Vert}{\Vert x \Vert}`)))))),i(l.a,{title:"Fattorizzazione"},i(a.a,{title:"Cos'è?"},i("p",null,"La fattorizzazione è il processo che permette di risolvere sistemi di equazioni lineari rappresentati in forma di matrice."),i("p",null,"Esistono molteplici algoritmi in grado di realizzarla: mentre tutti portano alla stessa soluzione, possono avere ",i("b",null,"velocità")," e ",i("b",null,"indici algoritmici")," diversi."),i("p",null,"Il sistema lineare da risolvere viene diviso in due parti: la ",i("i",null,"matrice dei coefficienti")," e il ",i("i",null,"vettore termine noto"),".")),i(a.a,{title:"Teorema di Rouché-Capélli"},i("p",null)))))}}.call(this,n("hosL").h)}}]);
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