triennale-appunti-steffo/docs/route-CalcoloNumerico.chunk.360af.esm.js

(window.webpackJsonp=window.webpackJsonp||[]).push([[5],{"2w3n":function(l){l.exports={red:"red__2y1B_",orange:"orange__dD2kx",yellow:"yellow__OEpwl",lime:"lime__CVe41",cyan:"cyan__26ZAg",blue:"blue__LO7Xm",magenta:"magenta__1Akee",example:"example__2PzAa"}},"5aVd":function(l){l.exports={menulist:"menulist__2Cmnq"}},T2GU:function(l,i,e){"use strict";(function(l){var n=e("5aVd"),o=e.n(n);i.a=function(i){return l("ul",{class:o.a.menulist},i.children)}}).call(this,e("hosL").h)},ke5e:function(l,i,e){"use strict";(function(l){var n=e("2w3n"),o=e.n(n);i.a=function(i){return l("div",{class:o.a.example},i.children)}}).call(this,e("hosL").h)},yWBn:function(l,i,e){"use strict";e.r(i),function(l){var n=e("mbOI"),o=e("ke5e"),t=e("YNhk"),a=e("T2GU");let r,u,d,c,s,p,m,h,b,f,g,z,q,O,v,D,T,_,M,w,L,A,C,E,x,I,k,P,y,F,N=l=>l;const S=String.raw;i.default=function(){return l("div",null,l("h1",null,"Calcolo Numerico"),l(n.r,{title:"Esame"},l(n.q,{title:"Contatti"},l("ul",null,l("li",null,l(t.a,{href:"mailto:silvia.bonettini@unimore.it"},"Prof.ssa Silvia Bonettini")))),l(n.q,{title:"Orale"},l("p",null,"E' composto da:"),l("ul",null,l("li",null,"2 domande sugli argomenti teorici"),l("li",null,"1 domanda di implementazione algoritmo in MATLAB"))),l(n.q,{title:"Prossimi appelli"},l("ol",null,l("li",null,l(n.t,{to:"2020-08-31 09:00"})),l("li",null,l(n.t,{to:"2020-09-14 09:00"}))))),l(n.r,{title:"Informazioni"},l(n.q,{title:"Ripasso di Algebra Lineare"},l("p",null,"Prima di iniziare a studiare Calcolo Numerico, potrebbe essere una buona idea ripassare un pochino Algebra Lineare:"),l(a.a,null,l("li",null,l("a",{href:"/calcolonumerico/ripassodialgebralineare"},"Ripasso di Algebra Lineare")," ",l("small",null,"(per studenti sperduti di Calcolo Numerico)"))))),l(n.r,{title:"Algoritmi"},l(n.q,{title:"Algoritmi numerici"},l("p",null,"Particolari algoritmi che hanno:"),l("ul",null,l("li",null,"numeri reali in input e output"),l("li",null,"successioni delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali come passi")))),l(n.r,{title:"Errore di rappresentazione"},l(n.q,{title:"Cos'è?"},l("p",null,"Con i numeri floating point può capitare che un certo numero ",l(n.h,null,S(r||(r=N`\alpha`)))," non sia rappresentato correttamente."),l("p",null,"In tal caso, il numero si indica con ",l(n.h,null,S(u||(u=N`\alpha^*`))),"."))),l(n.r,null,l(n.q,{title:"Errore assoluto"},l("p",null,"È la differenza tra il numero desiderato e il numero rappresentato:"),l(n.p,null,S(d||(d=N`E_a = \left | \alpha - \alpha^* \right |`)))),l(n.q,{title:"Errore relativo"},l("p",null,"Indica quanto il numero rappresentato differisce dal numero desiderato:"),l(n.p,null,S(c||(c=N`\forall \alpha \neq 0, E_r = \frac{E_a}{\left | \alpha \right |}`))))),l(n.r,null,l(n.q,{title:"Troncamento"},l("p",null,"Metodo con cui gestire gli ",l("b",null,"underflow floating point"),": le cifre meno significative vengono ",l("b",null,"rimosse"),"."),l(o.a,null,l("pre",null,"1.00  →  1.0",l("br",null),"1.01  →  1.0",l("br",null),"1.10  →  1.1",l("br",null),"1.11  →  1.1"))),l(n.q,{title:"Arrotondamento"},l("p",null,"Metodo con cui gestire gli ",l("b",null,"underflow floating point"),": se la cifra più significativa di quelle che devono essere rimosse è 1, allora ",l("b",null,"aumenta di 1")," anche quella meno signficativa che viene tenuta."),l(o.a,null,l("pre",null,"1.00  →  1.0",l("br",null),"1.01  →  1.0",l("br",null),"1.10  →  1.1",l("br",null),"1.11  → 10.")))),l(n.r,null,l(n.q,{title:"Precisione di macchina"},l("p",null,"Un numero reale rappresentato in ",l("b",null,"virgola mobile")," ha un ",l("b",null,"errore relativo")," minore o uguale alla ",l("i",null,"precisione di macchina"),":"),l("p",null,l(n.h,null,S(s||(s=N`E_r \leq k \cdot \beta^{1-t}`)))),l("ul",null,l("li",null,l(n.h,null,"\\beta")," è uguale alla base utilizzata (solitamente 2)."),l("li",null,l(n.h,null,"t")," è uguale al numero di cifre della mantissa."),l("li",null,l(n.h,null,"k")," è uguale a ",l(n.h,null,"1")," se il numero viene rappresentato per troncamento oppure a ",l(n.h,null,S(p||(p=N`\frac{1}{2}`)))," se viene rappresentato per arrotondamento."))),l(n.q,{title:"La funzione fl"},l("p",null,"Associa un valore reale al suo ",l("b",null,"corrispondente valore floating point"),", utilizzando uno dei due metodi di gestione dell'undeflow."),l(n.p,null,S(m||(m=N`fl(x) = (x)(1 + \epsilon_x)`))),l(o.a,null,"Indica che un valore è soggetto alla precisione di macchina.",l(n.p,null,S(h||(h=N`fl(1.11) = 1.1`)))))),l(n.r,null,l(n.q,{title:"Un nuovo insieme"},l("p",null,"L'insieme ",l(n.h,null,S(b||(b=N`\mathbb{F}`)))," è il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili in floating point dalla macchina che stiamo usando."),l("p",null,"Operazioni tra elementi di ",l(n.h,null,S(f||(f=N`\mathbb{F}`)))," producono risultati in ",l(n.h,null,S(g||(g=N`\mathbb{R}`))),", che però decaderanno nuovamente a elementi di ",l(n.h,null,S(z||(z=N`\mathbb{F}`))),", perdendo informazioni."),l("p",null,"Il teorema della precisione di macchina si applica quindi anche ai risultati delle operazioni.")),l(n.q,{title:"Caratteristiche delle operazioni di macchina"},l("ul",null,l("li",null,"Hanno ",l("b",null,"più elementi neutri"),"."),l("li",null,"Un numero ha ",l("b",null,"più opposti"),"."),l("li",null,l("b",null,"Non")," sono associative."),l("li",null,l("b",null,"Non")," sono distributive."),l("li",null,l("b",null,"Non")," vale la legge di annullamento del prodotto.")))),l(n.r,{title:"Errori nelle operazioni di macchina"},l(n.q,{title:"Errore inerente"},l("p",null,"Errore derivato da underflow sui ",l("b",null,"dati"),"."),l("p",null,"Si indica con ",l(n.h,null,S(q||(q=N`\epsilon_{nome\_var}`))),"."),l(o.a,null,"L'errore sulla variabile ",l(n.h,null,"x")," si indica con ",l(n.h,null,S(O||(O=N`\epsilon_{x}`))),".")),l(n.q,{title:"Errore algoritmico"},l("p",null,"Errore derivato da underflow durante l'",l("b",null,"esecuzione dell'algoritmo"),"."),l("p",null,"Si indica con ",l(n.h,null,S(v||(v=N`\epsilon_{num\_passo}`))),"."),l(o.a,null,"L'errore al primo passo dell'algoritmo si indica con ",l(n.h,null,S(D||(D=N`\epsilon_{1}`))),"."))),l(n.r,null,l(n.q,{title:"Condizionamento"},l("p",null,"Sensibilità di un problema all'",l("b",null,"errore inerente"),"."),l(o.a,null,l(n.h,null,S(T||(T=N`y = \frac{1}{x}`)))," è mal condizionato intorno allo 0 e ben condizionato lontano dallo 0.")),l(n.q,{title:"Stabilità"},l("p",null,"Sensibilità di un problema all'",l("b",null,"errore algoritmico"),"."),l(o.a,null,l("p",null,"Cerchiamo un algoritmo che risolva ",l(n.h,null,S(_||(_=N`2x^* = 4`))),"."),l("p",null,"Calcolare prima ",l(n.h,null,S(M||(M=N`t = fl \left( \frac{1}{4} \right)`)))," e poi ",l(n.h,null,S(w||(w=N`x = fl ( 2 \cdot t )`)))," porta a una perdita di precisione."),l("p",null,"Calcolare direttamente ",l(n.h,null,S(L||(L=N`x = fl \left( \frac{2}{4} \right)`)))," non ha alcuna perdita di precisione e rende l'algoritmo ",l("b",null,"più stabile")," del precedente.")))),l(n.r,null,l(n.q,{title:"Indice di condizionamento"},l("p",null,"È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'",l("b",null,"errore inerente"),"."),l("p",null,"Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione."),l("p",null,"Minore è l'indice di condizionamento, meglio condizionato è un problema.")),l(n.q,{title:"Indice algoritmico"},l("p",null,"È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'",l("b",null,"errore algoritmico"),"."),l("p",null,"Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione."))),l(n.r,{title:"Problema: Risoluzione di sistemi lineari"},l(n.q,{title:"Descrizione"},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:"Condizionamento"},l("p",null,"Il condizionamento della risoluzione di sistemi lineari è:"),l(n.p,null,S(A||(A=N`\frac{{\color{yellow} \|A\| \cdot \|A^{-1}\|} \cdot \| \Delta b \|}{\| b \|}`))),l("p",null,"In particolare, è segnato in giallo nella formula il ",l("b",null,"numero di condizionamento"),":"),l(n.p,null,S(C||(C=N`k(A) = \| A \| \cdot \| A^{-1} \|`))))),l(n.r,null,l(n.q,{title:"Metodi diretti"},l("p",null,"Metodi che trovano la soluzione esatta",l("abbr",{title:"Per quanto possibile nell'algebra di macchina."},"*")," di un sistema lineare."),l("p",null,"Tipicamente prevedono la ",l("b",null,"fattorizzazione")," della matrice dei coefficienti in due sottomatrici più facili da risolvere."),l("p",null,"Generalmente hanno una complessità temporale ",l(n.h,null,S(E||(E=N`O(n^3)`))),".")),l(n.q,{title:"Metodi iterativi"},l("p",null,"Metodi che trovano una soluzione imperfetta",l("abbr",{title:"Che però può essere la migliore ottenibile, considerando la precisione di macchina."},"*")," di un sistema lineare."),l("p",null,"Tipicamente prevedono l'applicazione ripetuta di un ",l("b",null,"metodo"),", in base al quale cambia la ",l("b",null,"velocità di convergenza")," alla soluzione."),l("p",null,"Generalmente hanno una complessità temporale ",l(n.h,null,S(x||(x=N`O(n^2)`))),"."))),l(n.r,{title:"Metodi diretti"},l(n.q,{title:"Matrice diagonale"},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:"Matrice triangolare"},l(n.u,null,"TODO"))),l(n.r,null,l(n.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(n.h,null,S(I||(I=N`LU`))))},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(n.h,null,S(k||(k=N`LU`)))," con pivoting")},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(n.h,null,S(P||(P=N`LDL^{-1}`))))},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(n.h,null,S(y||(y=N`\mathcal{L} \mathcal{L}^{-1}`))))},l(n.u,null,"TODO"))),l(n.r,null,l(n.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(n.h,null,S(F||(F=N`QR`))))},l(n.u,null,"TODO"))),l(n.r,{title:"Metodi iterativi"},l(n.q,{title:"Metodo di Jacobi"},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:"Metodo di Gauss-Seidel"},l(n.u,null,"TODO"))),l(n.r,{title:"Problema: Ricerca degli zeri di funzione"},l(n.q,{title:"Descrizione"},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:"Condizionamento"},l(n.u,null,"TODO"))),l(n.r,null,l(n.q,{title:"Metodi dicotomici"},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:"Metodo delle approssimazioni successive"},l(n.u,null,"TODO"))),l(n.r,{title:"Metodi dicotomici"},l(n.q,{title:"Metodo di bisezione"},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:"Metodo regula falsi"},l(n.u,null,"TODO"))),l(n.r,{title:"Metodo delle approssimazioni successive"},l(n.q,{title:"Metodo generale"},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:"Metodo di Newton"},l(n.u,null,"TODO"))),l(n.r,{title:"Problema: Interpolazione"},l(n.q,{title:"Descrizione"},l(n.u,null,"TODO"))),l(n.r,{title:"Metodi di interpolazione"},l(n.q,{title:"Metodo dei coefficienti indeterminati"},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:"Metodo di Lagrange"},l(n.u,null,"TODO"))),l(n.r,{title:"Resto di interpolazione"},l(n.q,{title:"Definizione"},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:"Stima"},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:"Fenomeno di Runge"},l(n.u,null,"TODO")),l(n.q,{title:"Nodi di Chebychev"},l(n.u,null,"TODO"))))}}.call(this,e("hosL").h)}}]);
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