triennale-appunti-steffo/docs/route-CalcoloNumerico.chunk.48969.esm.js

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MATLAB"))),e(o.a,{title:"Appelli"},e("ol",null,e("li",null,e(u.a,{to:"2020-06-15"})),e("li",null,e(u.a,{to:"2020-06-22"})),e("li",null,e(u.a,{to:"2020-07-06"})),e("li",null,e(u.a,{to:"2020-07-13"})),e("li",null,e(u.a,{to:"2020-07-20"})),e("li",null,e(u.a,{to:"2020-07-27"}))))),e(l.a,{title:"Algoritmi"},e(o.a,{title:"Algoritmi numerici"},e("p",null,"Algoritmi che hanno:"),e("ul",null,e("li",null,"numeri reali in input e output"),e("li",null,"successioni delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali come passi")))),e(l.a,{title:"Errore di rappresentazione"},e(o.a,{title:"Errore di rappresentazione"},e("p",null,"Con i numeri floating point può capitare che un certo numero ",e(t.b,null,M(c||(c=I`\alpha`)))," non sia rappresentato correttamente."),e("p",null,"In tal caso, il numero si indica con ",e(t.b,null,M(_||(_=I`\alpha^*`))),".")),e(o.a,{title:"Errore assoluto"},e("p",null,"È la differenza tra il numero desiderato e il numero rappresentato:"),e("p",null,e(t.b,null,M(d||(d=I`E_a = \left | \alpha - \alpha^* \right |`)))),e(a.a,null,"Vale sempre 0, tranne in caso di underflow o overflow.")),e(o.a,{title:"Errore relativo"},e("p",null,"Indica quanto il numero rappresentato differisce dal numero desiderato:"),e("p",null,e(t.b,null,M(p||(p=I`\forall \alpha \neq 0, E_r = \frac{E_a}{\left | \alpha \right |}`)))))),e(l.a,{title:"Floating point"},e(o.a,{title:"Precisione di macchina"},e("p",null,"L'errore relativo di un numero reale rappresentato in virgola mobile è minore o uguale alla ",e("i",null,"precisione di macchina"),":"),e("p",null,e(t.b,null,M(m||(m=I`E_r \leq k \cdot \beta^{1-t}`)))),e("ul",null,e("li",null,e(t.b,null,"\\beta")," è uguale alla base utilizzata (solitamente 2)."),e("li",null,e(t.b,null,"t")," è uguale al numero di cifre della mantissa."),e("li",null,e(t.b,null,"k")," è uguale a ",e(t.b,null,"1")," se il numero viene rappresentato per troncamento oppure a ",e(t.b,null,M(f||(f=I`\frac{1}{2}`)))," se viene rappresentato per arrotondamento.")))),e(l.a,{title:"Operazioni di macchina"},e(o.a,{title:"Un nuovo insieme"},e("p",null,"L'insieme ",e(t.b,null,"F")," è il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili in floating point dalla macchina che stiamo usando."),e("p",null,"Operazioni tra elementi di ",e(t.b,null,"F")," producono risultati in ",e(t.b,null,M(h||(h=I`\mathbb{R}`))),", che però decaderanno nuovamente a elementi di ",e(t.b,null,"F"),", perdendo informazioni."),e("p",null,"Il teorema della precisione di macchina si applica quindi anche ai risultati delle operazioni.")),e(o.a,{title:"Caratteristiche delle operazioni di macchina"},e("ul",null,e("li",null,"Hanno più di un elemento neutro."),e("li",null,"Un numero ha più opposti."),e("li",null,"Non sono associative."),e("li",null,"Non sono distributive."),e("li",null,"Non vale la legge di annullamento del prodotto."))),e(o.a,{title:"La funzione fl"},e("p",null,"Indica che un valore è soggetto alla precisione di macchina:"),e("p",null,e(t.b,null,M(b||(b=I`fl(x) = (x)(1 + \epsilon_x)`)))))),e(l.a,{title:"Errori nelle operazioni di macchina"},e(o.a,{title:"Errore inerente"},e("p",null,"Errore dipendente ",e("b",null,"solo dai dati"),"."),e("p",null,e(r.a,null,"TODO: qual è la formula?")),e("p",null,"È l'errore che si presenterebbe se ",e(t.b,null,M(v||(v=I`\epsilon_1 = \epsilon_2 = \dots = 0`))),".")),e(o.a,{title:"Errore algoritmico"},e("p",null,"Errore dipendente ",e("b",null,"solo dalle operazioni effettuate"),"."),e("p",null,e(r.a,null,"TODO: qual è la formula?")),e("p",null,"È l'errore che si presenterebbe se ",e(t.b,null,M(g||(g=I`\epsilon_x = \epsilon_y = \dots = 0`))),"."))),e(l.a,null,e(o.a,{title:"Problema ben condizionato"},e("p",null,"Un problema poco sensibile all'",e("b",null,"errore inerente"),"."),e(a.a,null,e(t.b,null,M(x||(x=I`y = \frac{1}{x}`)))," è mal condizionato intorno allo 0 e ben condizionato lontano dallo 0.")),e(o.a,{title:"Algoritmo stabile"},e("p",null,"Un algoritmo poco sensibile all'",e("b",null,"errore algoritmico"),"."),e(a.a,null,e("p",null,"Cerchiamo un algoritmo che risolva ",e(t.b,null,M(y||(y=I`2x = 4`))),"."),e("p",null,"Calcolare prima ",e(t.b,null,M(z||(z=I`t = fl \left( \frac{1}{4} \right)`)))," e poi ",e(t.b,null,M(w||(w=I`x^* = fl ( 2 \cdot t )`)))," porta a una perdita di precisione."),e("p",null,"Calcolare direttamente ",e(t.b,null,M(E||(E=I`x^* = fl \left( \frac{2}{4} \right)`)))," non ha alcuna perdita di precisione e rende l'algoritmo ",e("b",null,"più stabile")," del precedente.")))),e(l.a,null,e(o.a,{title:"Indice di condizionamento"},e("p",null,"È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'",e("b",null,"errore inerente"),"."),e("p",null,"Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione."),e("p",null,"Minore è l'indice di condizionamento, meglio condizionato è un problema.")),e(o.a,{title:"Indice algoritmico"},e("p",null,"È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'",e("b",null,"errore algoritmico"),"."),e("p",null,"Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione."))),e(l.a,{title:"Le cose più difficili di Algebra Lineare"},e(o.a,{title:"Matrice singolare"},e("p",null,"Matrice con determinante 0."),e("p",null,"Le matrici singolari ",e("b",null,"non sono invertibili"),"."))),e(l.a,{title:"Norme"},e(o.a,{title:"Norma vettoriale"},e("p",null,"Funzione che associa un valore positivo a ogni vettore diverso da 0, e 0 al vettore zero."),e(a.a,null,e("a",{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Norma_(matematica)#/media/File:Vector_norms.svg"},"Esempi su Wikipedia"))),e(o.a,{title:"Norma a infinito"},e("p",null,"Massimo dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore."),e("p",null,e(t.b,null,M(A||(A=I`\Vert x \Vert_\infty = max_{i = 1..n} | x_i |`))))),e(o.a,{title:"Norma a 1"},e("p",null,"Somma dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore."),e("p",null,e(t.b,null,M(V||(V=I`\Vert x \Vert_1 = \sum_{i = 1}^n | x_i |`))))),e(o.a,{title:"Norma a 2"},e("p",null,"Radice quadrata della somma dei quadrati di tutti gli elementi del vettore."),e("p",null,e(t.b,null,M(L||(L=I`\Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i = 1}^n x_i^2}`)))))),e(l.a,null,e(o.a,{title:"Norma matriciale indotta"},e("p",null,"Funzione che associa un valore positivo a ogni matrice diversa da 0, e 0 alla matrice zero."),e("p",null,"Si ricavano dalle norme vettoriali:"),e("p",null,e(t.b,null,M(N||(N=I`\Vert A \Vert = sup_{x \in \mathbb{R}, x \neq 0} \frac{\Vert A \cdot x \Vert}{\Vert x \Vert}`)))),e(a.a,null,e(t.b,null,"sup")," è l'estremo superiore di un insieme. E' molto simile al massimo: ricordi le prime lezioni di Analisi?")),e(o.a,{title:"Norma a infinito"},e("p",null,"Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni riga di una matrice."),e("p",null,e(t.b,null,M(q||(q=I`\Vert A \Vert_\infty = max_{i = 1..n} \sum_{j = 1}^n | a_{ij} |`))))),e(o.a,{title:"Norma a 1"},e("p",null,"Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni colonna di una matrice."),e("p",null,e(t.b,null,M(O||(O=I`\Vert A \Vert_1 = max_{j = 1..n} \sum_{i = 1}^n | a_{ij} |`))))),e(o.a,{title:"Norma a 2"},e("p",null,"Radice quadrata del rango del prodotto tra una matrice e la sua trasposta."),e("p",null,e(t.b,null,M(H||(H=I`\Vert A \Vert_2 = \sqrt{\rho ( A^T \times A ) }`)))))),e(l.a,null,e(o.a,{title:"Errore relativo tra vettori e matrici"},e("p",null,"Le norme sono usate per calcolare l'errore relativo tra due vettori o matrici:"),e("p",null,e(t.b,null,M(C||(C=I`\frac{\Vert x - y \Vert}{\Vert x \Vert}`)))))),e(l.a,{title:"Fattorizzazione"},e(o.a,{title:"Cos'è?"},e("p",null,"La fattorizzazione è il processo che permette di risolvere sistemi di equazioni lineari rappresentati in forma di matrice."),e("p",null,"Esistono molteplici algoritmi in grado di realizzarla: mentre tutti portano alla stessa soluzione, possono avere ",e("b",null,"velocità")," e ",e("b",null,"indici algoritmici")," diversi."),e("p",null,"Il sistema lineare da risolvere viene diviso in due parti: la ",e("i",null,"matrice dei coefficienti")," e il ",e("i",null,"vettore termine noto"),".")),e(o.a,{title:"Teorema di Rouché-Capélli"},e("p",null)))))}}.call(this,i("hosL").h)}}]);
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