triennale-appunti-steffo/docs/route-CalcoloNumerico.chunk.164d7.esm.js

(window.webpackJsonp=window.webpackJsonp||[]).push([[5],{"2w3n":function(l){l.exports={red:"red__2y1B_",orange:"orange__dD2kx",yellow:"yellow__OEpwl",lime:"lime__CVe41",cyan:"cyan__26ZAg",blue:"blue__LO7Xm",magenta:"magenta__1Akee",example:"example__2PzAa"}},ke5e:function(l,i,e){"use strict";(function(l){var n=e("2w3n"),o=e.n(n);i.a=function(i){return l("div",{class:o.a.example},i.children)}}).call(this,e("hosL").h)},yWBn:function(l,i,e){"use strict";e.r(i),function(l){var n=e("mbOI"),o=e("ke5e");let t,a,r,u,p,s,d,m,c,f,g,h,v,_,b,z,x,V,E,A,w,q,N,k=l=>l;const L=String.raw;i.default=function(){return l(n.k.Provider,{value:!0},l("div",null,l("h1",null,"Calcolo Numerico"),l(n.p,{title:"Informazioni"},l(n.o,{title:"Contatti"},l("ul",null,l("li",null,l("a",{href:"mailto:silvia.bonettini@unimore.it"},"Prof.ssa Silvia Bonettini")))),l(n.o,{title:"Archivio"},l("p",null,"Se sei uno ",l("b",null,"studente dell'Unimore"),", puoi accedere all'",l("b",null,l("a",{href:"https://drive.google.com/drive/folders/1gqY-QIe4UeOSHpcho0R-Nvh2IRAlTFmf"},"archivio del corso su Google Drive"),"."),"."))),l(n.p,{title:"Esame"},l(n.o,{title:"Orale"},l("p",null,"E' composto da:"),l("ul",null,l("li",null,"2 domande sugli argomenti teorici"),l("li",null,"1 domanda di implementazione algoritmo in MATLAB"))),l(n.o,{title:"Appelli"},l("ol",null,l("li",null,l(n.r,{to:"2020-06-15 09:00"})),l("li",null,l(n.r,{to:"2020-06-22 09:00"})),l("li",null,l(n.r,{to:"2020-07-06 09:00"})),l("li",null,l(n.r,{to:"2020-07-13 09:00"})),l("li",null,l(n.r,{to:"2020-07-20 09:00"})),l("li",null,l(n.r,{to:"2020-07-27 09:00"}))))),l(n.p,{title:"Algoritmi"},l(n.o,{title:"Algoritmi numerici"},l("p",null,"Algoritmi che hanno:"),l("ul",null,l("li",null,"numeri reali in input e output"),l("li",null,"successioni delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali come passi")))),l(n.p,{title:"Errore di rappresentazione"},l(n.o,{title:"Errore di rappresentazione"},l("p",null,"Con i numeri floating point può capitare che un certo numero ",l(n.i,null,L(t||(t=k`\alpha`)))," non sia rappresentato correttamente."),l("p",null,"In tal caso, il numero si indica con ",l(n.i,null,L(a||(a=k`\alpha^*`))),".")),l(n.o,{title:"Errore assoluto"},l("p",null,"È la differenza tra il numero desiderato e il numero rappresentato:"),l("p",null,l(n.i,null,L(r||(r=k`E_a = \left | \alpha - \alpha^* \right |`)))),l(o.a,null,"Vale sempre 0, tranne in caso di underflow o overflow.")),l(n.o,{title:"Errore relativo"},l("p",null,"Indica quanto il numero rappresentato differisce dal numero desiderato:"),l("p",null,l(n.i,null,L(u||(u=k`\forall \alpha \neq 0, E_r = \frac{E_a}{\left | \alpha \right |}`)))))),l(n.p,{title:"Floating point"},l(n.o,{title:"Precisione di macchina"},l("p",null,"L'errore relativo di un numero reale rappresentato in virgola mobile è minore o uguale alla ",l("i",null,"precisione di macchina"),":"),l("p",null,l(n.i,null,L(p||(p=k`E_r \leq k \cdot \beta^{1-t}`)))),l("ul",null,l("li",null,l(n.i,null,"\\beta")," è uguale alla base utilizzata (solitamente 2)."),l("li",null,l(n.i,null,"t")," è uguale al numero di cifre della mantissa."),l("li",null,l(n.i,null,"k")," è uguale a ",l(n.i,null,"1")," se il numero viene rappresentato per troncamento oppure a ",l(n.i,null,L(s||(s=k`\frac{1}{2}`)))," se viene rappresentato per arrotondamento.")))),l(n.p,{title:"Operazioni di macchina"},l(n.o,{title:"Un nuovo insieme"},l("p",null,"L'insieme ",l(n.i,null,"F")," è il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili in floating point dalla macchina che stiamo usando."),l("p",null,"Operazioni tra elementi di ",l(n.i,null,"F")," producono risultati in ",l(n.i,null,L(d||(d=k`\mathbb{R}`))),", che però decaderanno nuovamente a elementi di ",l(n.i,null,"F"),", perdendo informazioni."),l("p",null,"Il teorema della precisione di macchina si applica quindi anche ai risultati delle operazioni.")),l(n.o,{title:"Caratteristiche delle operazioni di macchina"},l("ul",null,l("li",null,"Hanno più di un elemento neutro."),l("li",null,"Un numero ha più opposti."),l("li",null,"Non sono associative."),l("li",null,"Non sono distributive."),l("li",null,"Non vale la legge di annullamento del prodotto."))),l(n.o,{title:"La funzione fl"},l("p",null,"Indica che un valore è soggetto alla precisione di macchina:"),l("p",null,l(n.i,null,L(m||(m=k`fl(x) = (x)(1 + \epsilon_x)`)))))),l(n.p,{title:"Errori nelle operazioni di macchina"},l(n.o,{title:"Errore inerente"},l("p",null,"Errore dipendente ",l("b",null,"solo dai dati"),"."),l("p",null,l(n.s,null,"TODO: qual è la formula?")),l("p",null,"È l'errore che si presenterebbe se ",l(n.i,null,L(c||(c=k`\epsilon_1 = \epsilon_2 = \dots = 0`))),".")),l(n.o,{title:"Errore algoritmico"},l("p",null,"Errore dipendente ",l("b",null,"solo dalle operazioni effettuate"),"."),l("p",null,l(n.s,null,"TODO: qual è la formula?")),l("p",null,"È l'errore che si presenterebbe se ",l(n.i,null,L(f||(f=k`\epsilon_x = \epsilon_y = \dots = 0`))),"."))),l(n.p,null,l(n.o,{title:"Problema ben condizionato"},l("p",null,"Un problema poco sensibile all'",l("b",null,"errore inerente"),"."),l(o.a,null,l(n.i,null,L(g||(g=k`y = \frac{1}{x}`)))," è mal condizionato intorno allo 0 e ben condizionato lontano dallo 0.")),l(n.o,{title:"Algoritmo stabile"},l("p",null,"Un algoritmo poco sensibile all'",l("b",null,"errore algoritmico"),"."),l(o.a,null,l("p",null,"Cerchiamo un algoritmo che risolva ",l(n.i,null,L(h||(h=k`2x = 4`))),"."),l("p",null,"Calcolare prima ",l(n.i,null,L(v||(v=k`t = fl \left( \frac{1}{4} \right)`)))," e poi ",l(n.i,null,L(_||(_=k`x^* = fl ( 2 \cdot t )`)))," porta a una perdita di precisione."),l("p",null,"Calcolare direttamente ",l(n.i,null,L(b||(b=k`x^* = fl \left( \frac{2}{4} \right)`)))," non ha alcuna perdita di precisione e rende l'algoritmo ",l("b",null,"più stabile")," del precedente.")))),l(n.p,null,l(n.o,{title:"Indice di condizionamento"},l("p",null,"È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'",l("b",null,"errore inerente"),"."),l("p",null,"Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione."),l("p",null,"Minore è l'indice di condizionamento, meglio condizionato è un problema.")),l(n.o,{title:"Indice algoritmico"},l("p",null,"È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'",l("b",null,"errore algoritmico"),"."),l("p",null,"Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione."))),l(n.p,{title:"Le cose più difficili di Algebra Lineare"},l(n.o,{title:"Matrice singolare"},l("p",null,"Matrice con determinante 0."),l("p",null,"Le matrici singolari ",l("b",null,"non sono invertibili"),"."))),l(n.p,{title:"Norme"},l(n.o,{title:"Norma vettoriale"},l("p",null,"Funzione che associa un valore positivo a ogni vettore diverso da 0, e 0 al vettore zero."),l(o.a,null,l("a",{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Norma_(matematica)#/media/File:Vector_norms.svg"},"Esempi su Wikipedia"))),l(n.o,{title:"Norma a infinito"},l("p",null,"Massimo dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore."),l("p",null,l(n.i,null,L(z||(z=k`\Vert x \Vert_\infty = max_{i = 1..n} | x_i |`))))),l(n.o,{title:"Norma a 1"},l("p",null,"Somma dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore."),l("p",null,l(n.i,null,L(x||(x=k`\Vert x \Vert_1 = \sum_{i = 1}^n | x_i |`))))),l(n.o,{title:"Norma a 2"},l("p",null,"Radice quadrata della somma dei quadrati di tutti gli elementi del vettore."),l("p",null,l(n.i,null,L(V||(V=k`\Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i = 1}^n x_i^2}`)))))),l(n.p,null,l(n.o,{title:"Norma matriciale indotta"},l("p",null,"Funzione che associa un valore positivo a ogni matrice diversa da 0, e 0 alla matrice zero."),l("p",null,"Si ricavano dalle norme vettoriali:"),l("p",null,l(n.i,null,L(E||(E=k`\Vert A \Vert = sup_{x \in \mathbb{R}, x \neq 0} \frac{\Vert A \cdot x \Vert}{\Vert x \Vert}`)))),l(o.a,null,l(n.i,null,"sup")," è l'estremo superiore di un insieme. E' molto simile al massimo: ricordi le prime lezioni di Analisi?")),l(n.o,{title:"Norma a infinito"},l("p",null,"Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni riga di una matrice."),l("p",null,l(n.i,null,L(A||(A=k`\Vert A \Vert_\infty = max_{i = 1..n} \sum_{j = 1}^n | a_{ij} |`))))),l(n.o,{title:"Norma a 1"},l("p",null,"Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni colonna di una matrice."),l("p",null,l(n.i,null,L(w||(w=k`\Vert A \Vert_1 = max_{j = 1..n} \sum_{i = 1}^n | a_{ij} |`))))),l(n.o,{title:"Norma a 2"},l("p",null,"Radice quadrata del rango del prodotto tra una matrice e la sua trasposta."),l("p",null,l(n.i,null,L(q||(q=k`\Vert A \Vert_2 = \sqrt{\rho ( A^T \times A ) }`)))))),l(n.p,null,l(n.o,{title:"Errore relativo tra vettori e matrici"},l("p",null,"Le norme sono usate per calcolare l'errore relativo tra due vettori o matrici:"),l("p",null,l(n.i,null,L(N||(N=k`\frac{\Vert x - y \Vert}{\Vert x \Vert}`)))))),l(n.p,{title:"Fattorizzazione"},l(n.o,{title:"Cos'è?"},l("p",null,"La fattorizzazione è il processo che permette di risolvere sistemi di equazioni lineari rappresentati in forma di matrice."),l("p",null,"Esistono molteplici algoritmi in grado di realizzarla: mentre tutti portano alla stessa soluzione, possono avere ",l("b",null,"velocità")," e ",l("b",null,"indici algoritmici")," diversi."),l("p",null,"Il sistema lineare da risolvere viene diviso in due parti: la ",l("i",null,"matrice dei coefficienti")," e il ",l("i",null,"vettore termine noto"),".")),l(n.o,{title:"Teorema di Rouché-Capélli"},l("p",null)))))}}.call(this,e("hosL").h)}}]);
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