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{Component} from 'preact'\nimport Split from \"../components/old/split\";\nimport Latex from \"../components/Latex\";\nimport Panel from \"../components/old/panel\";\nimport Example from \"../components/example\";\nimport Todo from \"../components/old/todo\";\nimport Minus from \"../components/old/minus\";\nimport Plus from \"../components/old/plus\";\nimport Code from \"../components/old/code\";\nimport Timer from \"../components/old/timer\";\nimport Image from \"../components/Image\";\nimport Unfeasible from \"../components/OttimizzazioneLineare/Unfeasible\";\nimport Unbounded from \"../components/OttimizzazioneLineare/Unbounded\";\nimport Min from \"../components/OttimizzazioneLineare/Min\";\nimport Max from \"../components/OttimizzazioneLineare/Max\";\n\nconst r = String.raw;\n\nexport default class OttimizzazioneLineare extends Component {\n render() {\n return (\n <div>\n <h1>Ottimizzazione lineare intera</h1>\n <Split title={\"Unimore\"}>\n <Panel title={\"Videolezioni su YouTube\"}>\n <p>\n Ho rimosso il rumore in sottofondo da tutti i video di Ricerca Operativa!\n </p>\n <p>\n <b><a href={\"https://www.youtube.com/playlist?list=PLh93e8qjTszffkHNn-19CqUOhHFbhBlBh\"}>Guardate i video qui!</a></b>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Prossimi appelli\"}>\n <ol>\n <li><Timer to={\"2020-06-08\"}/></li>\n <li><Timer to={\"2020-06-25\"}/></li>\n <li><Timer to={\"2020-07-14\"}/></li>\n </ol>\n </Panel>\n </Split>\n <Split title={\"Le basi\"}>\n <Panel title={\"Funzione obiettivo\"}>\n <p>\n La funzione obiettivo è la funzione con valore noto sconosciuto:\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`z = C_1 \\cdot x_1 + C_2 \\cdot x_2 + C_n \\cdot x_n`}</Latex>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Gradiente\"}>\n <p>\n Funzione della funzione obiettivo che indica la direzione del suo aumento più veloce.\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`\\nabla f = \\frac{\\delta f}{\\delta x_1} e_1 + \\frac{\\delta f}{\\delta x_2} e_2 + \\frac{\\delta f}{\\delta x_n} e_n`}</Latex>\n </p>\n <p>\n <Latex>{r`e_i`}</Latex> è la direzione della coordinata i-esima.\n </p>\n <Example>\n Se <Latex>{r`n = 3`}</Latex>, allora:\n <ul>\n <li><Latex>{r`e_1 = (1, 0, 0)`}</Latex></li>\n <li><Latex>{r`e_2 = (0, 1, 0)`}</Latex></li>\n <li><Latex>{r`e_3 = (0, 0, 1)`}</Latex></li>\n </ul>\n </Example>\n <Example>\n Se la funzione obiettivo è <Latex>z = 2w + 3x + 4y</Latex>, il suo gradiente è <Latex>{r`\\nabla z = (2, 3, 4)`}</Latex>.\n </Example>\n </Panel>\n </Split>\n <Split title={\"Forme di un sistema\"}>\n <Panel title={\"Forma standard\"}>\n <ul>\n <li><Minus>Solo equazioni</Minus></li>\n <li><Minus>Tutte le variabili maggiori di zero</Minus></li>\n </ul>\n </Panel>\n <Panel title={\"Forma canonica\"}>\n <ul>\n <li><Plus>Equazioni e disequazioni</Plus></li>\n <li><Minus>Tutte le variabili maggiori di zero</Minus></li>\n </ul>\n </Panel>\n <Panel title={\"Forma generale\"}>\n <ul>\n <li><Plus>Equazioni e disequazioni</Plus></li>\n <li><Plus>Variabili con qualsiasi valore</Plus></li>\n </ul>\n </Panel>\n </Split>\n <Split title={\"Equivalenza di forma\"}>\n <Panel title={\"Da standard a generale\"}>\n <p>\n Convertiamo ogni equazione <Latex>{r`=`}</Latex> in due disequazioni <Latex>{r`\\leq`}</Latex> e <Latex>{r`\\geq`}</Latex>,\n </p>\n <Example>Why would you ever do that?!</Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Da canonica a standard\"}>\n <p>\n Convertiamo le disequazioni in equazioni aggiungendo una variabile slack.\n </p>\n <Example>\n <Latex>{r`a \\leq 3`}</Latex> diventa <Latex>{r`a + s_1 = 3`}</Latex>.\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Da generale a canonica\"}>\n <p>\n Sostituiamo le variabili potenzialmente negative (unconstrained) <Latex>{r`x_j`}</Latex> con due variabili <Latex>{r`x_j^+`}</Latex> e <Latex>{r`x_j^-`}</Latex>.\n </p>\n <Example>\n <Latex>{r`a \\in \\mathbb{Z}`}</Latex> diventa <Latex>{r`a^+ \\in \\mathbb{N}`}</Latex> e <Latex>{r`-a^- \\in \\mathbb{N}`}</Latex>.\n </Example>\n </Panel>\n </Split>\n <Split title={\"La forma standard\"}>\n <Panel title={\"Funzione obiettivo\"}>\n <p>\n La funzione da minimizzare/massimizzare, tipicamente indicata con una <Latex>{r`z`}</Latex> al termine noto.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Vincoli\"}>\n <p>\n Le funzioni del sistema che non sono quella obiettivo.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Tableu\"}>\n <p>\n Un modo per rappresentare sistemi in forma standard, anche noto come <b>matrice equivalente completa</b> del sistema.\n </p>\n <Example>\n Il sistema:<br/><br/>\n <Latex>{r`\n \\begin{cases}\n 2000A + 1000B = z\\\\\n 1A \\leq 3\\\\\n 1B \\leq 3\\\\\n 2A + 2B \\leq 7\n \\end{cases}\n `}</Latex><br/><br/>\n Diventa in forma di tableau:<br/><br/>\n <table class={\"right\"}>\n <thead>\n <tr>\n <th><abbr title={\"Termine noto\"}>TN</abbr></th>\n <th><Latex>x_1</Latex></th>\n <th><Latex>x_2</Latex></th>\n <th><Latex>s_1</Latex></th>\n <th><Latex>s_2</Latex></th>\n </tr>\n </thead>\n <tbody>\n <tr>\n <td><Latex>z</Latex></td>\n <td><Latex>2000</Latex></td>\n <td><Latex>1000</Latex></td>\n <td><Latex>0</Latex></td>\n <td><Latex>0</Latex></td>\n </tr>\n <tr>\n <td><Latex>3</Latex></td>\n <td><Latex>1</Latex></td>\n <td><Latex>0</Latex></td>\n <td><Latex>1</Latex></td>\n <td><Latex>0</Latex></td>\n </tr>\n <tr>\n <td><Latex>3</Latex></td>\n <td><Latex>0</Latex></td>\n <td><Latex>1</Latex></td>\n <td><Latex>0</Latex></td>\n <td><Latex>1</Latex></td>\n </tr>\n <tr>\n <td><Latex>7</Latex></td>\n <td><Latex>2</Latex></td>\n <td><Latex>2</Latex></td>\n <td><Latex>0</Latex></td>\n <td><Latex>0</Latex></td>\n </tr>\n </tbody>\n </table>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Variabili di base\"}>\n <p>\n Variabili che hanno tutti 0 e un 1 nella loro colonna del tableu.\n </p>\n <p>\n La loro controparte sono le <i>variabili fuori base</i>.\n </p>\n <p>\n Un sistema lineare è risolto quando tutte le variabili originali (<Latex>x_n</Latex>) sono nella base.\n </p>\n </Panel>\n </Split>\n <Split title={\"Simplex\"}>\n <Panel title={\"Cos'è?\"}>\n <p>\n Un algoritmo per <Min>minimizzare</Min>/<Max>massimizzare</Max> efficientemente variabili di sistemi lineari, derivato da Gauss-Jordan.\n </p>\n <Example>\n E' spiegato in modo semplice <a href={\"https://web.archive.org/web/20200523052252/https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplex.pdf\"}>qui</a>, e ci sono dei codici sorgenti di esempio <a href={\"https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplexcodes/\"}>qui</a>.\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"I passi\"}>\n <ol>\n <li>Trasforma il sistema in <b>forma standard</b>.</li>\n <li>Trova tante variabili <b>linearmente indipendenti</b> quante siano le righe: esse saranno la <i>base iniziale</i>.</li>\n <li>Finchè ci sono variabili con coefficienti <Min>positivi</Min>/<Max>negativi</Max> nella funzione obiettivo:\n <ol>\n <li>\n <b>Scegli</b> la prima variabile con coefficiente <Min>positivo</Min>/<Max>negativo</Max> nella funzione obiettivo: essa è la <i>variabile entrante</i>.\n <Example>Si potrebbe scegliere qualsiasi variabile, ma scegliendo sempre la prima possibile (<i>Regola di Bland</i>) ci si assicura che l'algoritmo termini.</Example>\n </li>\n <li>Trova la variabile di base (detta <i>variabile uscente</i>) tramite il rapporto <Latex>{r`\\frac{termine\\ noto}{coeff.\\ variabile\\ entrante}`}</Latex>: scegli la variabile con il <b>rapporto minore</b>, assicurandoti che esso sia <b>positivo</b>. Se tutti i rapporti sono negativi, allora il problema è <b><Unbounded/></b>.</li>\n <li><b>Riscrivi</b> tutte le funzioni del sistema in termini della variabile entrante.</li>\n </ol>\n </li>\n <li>I <b>termini noti dei vincoli</b> sono le coordinate del risultato, mentre il <b>termine noto della funzione obiettivo</b> è il valore <Min>minimizzato</Min>/<Max>massimizzato</Max>.</li>\n </ol>\n </Panel>\n <Panel title={\"Sotto forma di tableau\"}>\n <p>\n Se il problema è rappresentato in forma di tableau, allora esso è risolvibile applicando l'algoritmo di Gauss-Jordan, in aggiunta tenendo conto delle regole per la selezione delle variabili entranti e uscenti.\n </p>\n </Panel>\n </Split>\n <Split>\n <Panel title={\"Soluzioni di base degenerata\"}>\n <p>\n Una soluzione con almeno una variabile di valore <Latex>0</Latex>, dovuta a uno o più <b>vincoli ridondanti</b>.\n </p>\n <p>\n Senza <b>Regola di Bland</b> e in presenza di vincoli ridondanti si rischia di trovarsi a fare pivot infiniti.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Esempio\"}>\n <Example>\n Ho risolto il problema 3 del file <a href={\"https://dolly.fim.unimore.it/2019/mod/resource/view.php?id=2716\"}><code>Ex_LP_testo</code></a> con il Simplex:\n <p>\n <Image src={\"https://i.imgur.com/1r405Mb.jpg\"}/>\n </p>\n </Example>\n </Panel>\n </Split>\n <Split title={\"Metodo delle due fasi\"}>\n <Panel title={\"Metodo delle due fasi\"}>\n <p>\n Un estensione del Simplex per permettere la risoluzione di problemi la cui origine non è una soluzione ammissibile.\n </p>\n <p>\n Prevede l'introduzione di un <i>problema ausiliario</i>, le cui variabili sono dette <i>artificiali</i> e sono solitamente rappresentate come <Latex>{r`y_n`}</Latex>.\n </p>\n <Example>\n E' spiegato in modo semplice <a href={\"https://web.archive.org/web/20200523052252/https://www.cs.cmu.edu/~15451-f17/handouts/simplex.pdf\"}>qui</a>.\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Procedimento\"}>\n <ol>\n <li>Crea un nuovo tableau, <b>aggiungendo variabili artificiali</b> in modo da avere una base ammissibile.</li>\n <li>Sostituisci la vecchia funzione obiettivo con una nuova che <b>minimizzi la somma</b> di tutte le variabili artificiali.</li>\n <li><u>Fase 1</u>: <b>Risolvi</b> il nuovo problema con il metodo Simplex.</li>\n <li>Se il Simplex termina con ancora <b>variabili artificiali nella base</b>, allora il problema è <b><Unfeasible/></b>.</li>\n <li>Una volta che le variabili artificiali sono fuori base, <b>elimina</b> le loro colonne e la nuova funzione obiettivo.<br/></li>\n <li>Riporta il tableau in forma base compiendo operazioni per <b>azzerare i coefficienti</b> delle variabili di base nella funzione obiettivo.</li>\n <li><u>Fase 2</u>: <b>Risolvi</b> il tableau con il metodo Simplex.</li>\n </ol>\n </Panel>\n </Split>\n <Split title={\"Dualità\"}>\n <Panel title={\"Rilassamento\"}>\n <p>\n Una versione semplificata di un problema nella quale si <b>ignorano</b> uno o più vincoli.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Rilassamento di Lagrange\"}>\n <p>\n Un rilassamento che permette di misurare <b>di quanto i vincoli vengono violati</b>.\n </p>\n <p>\n I vincoli vengono aggiunti alla funzione obiettivo assieme a un moltiplicatore, solitamente rappresentato con <Latex>{r`u_n`}</Latex>.\n </p>\n <Example>\n <p>\n Il sistema:\n </p>\n <Latex inline={false}>{r`\n \\begin{cases}\n z = 3 x_1 + 5 x_2\\\\\n 2 x_1 + 3 x_2 \\geq 12\\\\\n - x_1 + 3 x_2 \\geq 3\\\\\n x_1 \\geq 0\\\\\n x_2 \\geq 0\n \\end{cases}\n `}</Latex>\n <p>\n diventa:\n </p>\n <Latex inline={false}>{r`\n \\begin{cases}\n z_{LR} = 3 x_1 + 5 x_2 + u_1 ( 12 - 2 x_1 - 3 x_2 ) + u_2 ( 3 + x_1 - 3 x_2 )\\\\\n x_1 \\geq 0\\\\\n x_2 \\geq 0\n \\end{cases}\n `}</Latex>\n </Example>\n </Panel>\n <Panel title={\"Duale\"}>\n <p>\n Il sistema che <b><Min>massimizza</Min>/<Max>minimizza</Max> i moltiplicatori di rilassamento</b> di un qualsiasi sistema, detto <i>primale</i>.\n </p>\n <p>\n Si dimostra che la sua soluzione (se esiste) è <b>uguale</b> alla soluzione del problema primale.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"In termini matriciali\"}>\n <p>\n Possiamo <b>trasporre</b> il tableau e sostituire le variabili <Latex>{r`x_n`}</Latex> con variabili <Latex>{r`u_n`}</Latex> per ottenere il sistema duale!\n </p>\n <p>\n I maggiori e minori dei vincoli diventeranno maggiori e minori delle variabili e viceversa.\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Feasibility del duale\"}>\n <ul>\n <li>Se un problema ha una <b>soluzione finita</b>, allora anche il suo duale la avrà.</li>\n <li>Se un problema è <b><Unfeasible/></b>, allora il suo duale potrà essere <Unfeasible/> oppure <Unbounded/>.</li>\n <li>Se un problema è <b><Unbounded/></b>, allora il suo duale sarà certamente <Unfeasible/>.</li>\n </ul>\n </Panel>\n </Split>\n <Split>\n <Panel title={\"Lemma di Farkas\"}>\n <p>\n <Todo>TODO: una complicata dimostrazione per dire varie cose. Probabilmente si riesce a saltare se non si dà l'orale...</Todo>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Dualità forte\"}>\n <p>\n Il teorema che dimostra l'equivalenza tra primale e duale.\n </p>\n <p>\n <Todo>TODO: Anche qui c'è una lunga dimostrazione...</Todo>\n </p>\n </Panel>\n <Panel title={\"Dualità debole\"}>\n <p>\n Il teorema che dimostra che il valore della funzione obiettivo del duale (di un qualsiasi tableau) è sempre <Min>minore o uguale</Min>/<Max>maggiore o uguale</Max> alla soluzione del corrispettivo primale.\n </p>\n <p>\n <Todo>TODO: Dimostrazione cortina, ma sembra complicata.</Todo>\n </p>\n </Panel>\n </Split>\n </div>\n )\n }\n}\n","// extracted by mini-css-extract-plugin\nmodule.exports = {\"todo\":\"todo__1UVRh\"};","// extracted by mini-css-extract-plugin\nmodule.exports = {\"unbounded\":\"unbounded__25UN8\",\"unfeasible\":\"unfeasible__2MuIF\",\"min\":\"min__3lPpn\",\"max\":\"max__1hxKl\"};","// extracted by mini-css-extract-plugin\nmodule.exports = {\"plus\":\"plus__2u13i\"};","import style from \"./Styles.less\";\r\n\r\nexport default function (props) {\r\n return (\r\n <span class={style.unfeasible}>{props.children ? 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