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extracted by mini-css-extract-plugin\nmodule.exports = {\"red\":\"red__2y1B_\",\"orange\":\"orange__dD2kx\",\"yellow\":\"yellow__OEpwl\",\"lime\":\"lime__CVe41\",\"cyan\":\"cyan__26ZAg\",\"blue\":\"blue__LO7Xm\",\"magenta\":\"magenta__1Akee\",\"example\":\"example__2PzAa\"};","import style from \"./03_Interpolazione.less\";\nimport {Fragment} from \"preact\";\nimport {Section, Panel, ILatex, BLatex, PLatex, Todo} from \"bluelib\";\nimport Example from \"../../components/Example\";\n\nconst r = String.raw;\n\n\nexport default function (props) {\n    return (\n        <Fragment>\n            <Section title={\"Problema: Interpolazione\"}>\n                <Panel title={\"Descrizione\"}>\n                    <p>\n                        Si vuole trovare una funzione in grado di <b>approssimarne</b> un altra, di cui si conoscono però solo alcuni punti.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        È utile in un sacco di casi! Ad esempio, quando si vuole scalare un'immagine.\n                    </Example>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Metodi di interpolazione\"}>\n                <Panel title={\"Metodo dei coefficienti indeterminati\"}>\n                    <Todo>TODO</Todo>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Metodo di Lagrange\"}>\n                    <Todo>TODO</Todo>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Resto di interpolazione\"}>\n                <Panel title={\"Definizione\"}>\n                    <Todo>TODO</Todo>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Stima\"}>\n                    <Todo>TODO</Todo>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Fenomeno di Runge\"}>\n                    <Todo>TODO</Todo>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Nodi di Chebychev\"}>\n                    <Todo>TODO</Todo>\n                </Panel>\n            </Section>\n        </Fragment>\n    )\n}\n","// extracted by mini-css-extract-plugin\nmodule.exports = {\"menulist\":\"menulist__2Cmnq\"};","import style from \"./02_ZeriDiFunzione.less\";\nimport {Fragment} from \"preact\";\nimport {Section, Panel, ILatex, BLatex, PLatex, Todo} from \"bluelib\";\nimport Example from \"../../components/Example\";\n\nconst r = String.raw;\n\n\nexport default function (props) {\n    return (\n        <Fragment>\n            <Section title={\"Problema: Ricerca degli zeri di funzione\"}>\n                <Panel title={\"Descrizione\"}>\n                    <p>\n                        Si vogliono trovare i punti (<i>zeri</i>) in cui una funzione <b>continua</b> <ILatex>f : [a, b] \\to R</ILatex> vale <ILatex>0</ILatex>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Per il <b>teorema del valore medio</b>, se <ILatex>{r`f(a) \\cdot f(b) \\leq 0`}</ILatex>, allora esiste sicuramente un punto in cui la funzione vale 0.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Denominiamo il punto in cui la funzione vale <ILatex>0</ILatex> come <ILatex>{r`x_{(*)}`}</ILatex>.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Condizionamento\"}>\n                    <p>\n                        Più la <b>derivata prima</b> della funzione <b>si avvicina allo 0</b>, <b>peggio</b> il problema sarà condizionato.\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`f'(x_{(*)}) \\simeq 0 \\implies mal\\ condizionato`}</PLatex>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section>\n                <Panel title={\"Ordine di convergenza\"}>\n                    <p>\n                        Indice <ILatex>{r`{\\color{Orange} p}`}</ILatex> di quanto in fretta una successione converge alla soluzione.\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\\lim_{i \\to +\\infty} \\frac{ \\left| x_{(i+1)} - x_{(*)} \\right| }{ \\left| x_{(k)} - x_{(*)} \\right|^{\\color{Orange} p}}`}</PLatex>\n                    <ul>\n                        <li><u>Convergenza lineare</u>: <ILatex>{r`p = 1`}</ILatex> e <ILatex>{r`0 < C < 1`}</ILatex></li>\n                        <li><u>Convergenza superlineare</u>: <ILatex>{r`p = 1`}</ILatex> e <ILatex>{r`C = 0`}</ILatex></li>\n                        <li><u>Convergenza quadratica</u>: <ILatex>{r`p = 2`}</ILatex> e <ILatex>{r`0 < C < 1`}</ILatex></li>\n                        <li><u>Convergenza superquadratica</u>: <ILatex>{r`p = 2`}</ILatex> e <ILatex>{r`C = 0`}</ILatex></li>\n                        <li>...</li>\n                    </ul>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Metodi dicotomici\"}>\n                <Panel title={\"Cosa sono?\"}>\n                    <p>\n                        Sono <b>metodi iterativi</b> in grado di ridurre sempre di più l'intervallo in cui è definita la funzione, facendolo convergere allo zero desiderato.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Alcuni di essi sono il <i>metodo dicotomico</i> e il <i>metodo regula falsi</i>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Richiedono <b>una valutazione di funzione non-lineare</b> ad ogni iterazione.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Hanno <b>convergenza lineare</b>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        <Todo>TODO: What?</Todo>\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section>\n                <Panel title={\"Metodo di bisezione\"}>\n                    <p>\n                        Calcoliamo il <b>punto medio</b> dell'intervallo <ILatex>{r`[a_{(n)}, b_{(n)}]`}</ILatex>:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`c_{(n)} = a_{(n)} + \\frac{b_{(n)} - a_{(n)}}{2}`}</PLatex>\n                    <p>\n                        Dividiamo l'intervallo in due parti, separate da <ILatex>{r`c_{(n)}`}</ILatex>:\n                    </p>\n                    <ul>\n                        <li><ILatex>{r`[a_{(n)}, c_{(n)}]`}</ILatex> è la <b>metà</b> sinistra</li>\n                        <li><ILatex>{r`[c_{(n)}, b_{(n)}]`}</ILatex> è la <b>metà</b> destra</li>\n                    </ul>\n                    <p>\n                        Teniamo l'intervallo in cui i valori della funzione ai due estremi sono discordi, e rinominiamolo in <ILatex>{r`[a_{(n+1)}, b_{(n+1)}]`}</ILatex>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        La dimensione dell'intervallo all'iterazione <ILatex>i</ILatex> è nota:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`b_{(i)} - a_{(i)} = \\frac{b - a}{2^{i - 1}}`}</PLatex>\n                    <p>\n                        Il numero di iterazioni necessarie per soddisfare la tolleranza <ILatex>\\tau</ILatex> sarà quindi:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`i \\geq \\log_2 \\left( \\frac{b - a}{\\tau} \\right)`}</PLatex>\n                    <Example>\n                        Dividi l'intervallo <ILatex>{r`[a, b]`}</ILatex> in tante parti grandi quanto la tolleranza. L'algoritmo di bisezione ne escluderà metà ad ogni iterazione; la tolleranza sarà raggiunta quando rimarrà una parte sola!\n                    </Example>\n                    <p>\n                        Ha quindi <b>convergenza lineare</b> (<ILatex>{r`C = \\frac{1}{2}`}</ILatex>).\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Metodo regula falsi\"}>\n                    <p>\n                        Calcoliamo l'<b>intersezione</b> tra la <b>retta che congiunge i due estremi</b> <ILatex>{r`a_{(n)}, b_{(n)}`}</ILatex> e l'<b>asse X</b>:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`c_{(n)} = b_{(n)} - \\frac{f(b_{(n)})}{\\frac{f(b_{(n)}) - f(a_{(n)})}{b_{(n)} - a_{(n)}}}`}</PLatex>\n                    <p>\n                        Dividiamo l'intervallo in due parti, separate da <ILatex>{r`c_{(n)}`}</ILatex>:\n                    </p>\n                    <ul>\n                        <li><ILatex>{r`[a_{(n)}, c_{(n)}]`}</ILatex> è la parte sinistra</li>\n                        <li><ILatex>{r`[c_{(n)}, b_{(n)}]`}</ILatex> è la parte destra</li>\n                    </ul>\n                    <p>\n                        Teniamo l'intervallo in cui i valori della funzione ai due estremi sono discordi, e rinominiamolo in <ILatex>{r`[a_{(n+1)}, b_{(n+1)}]`}</ILatex>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        La dimensione dell'intervallo all'iterazione <ILatex>{r`i`}</ILatex> <b>non è nota</b>, ma:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`b_{(i)} - a_{(i)} \\leq \\frac{b - a}{2^{i - 1}}`}</PLatex>\n                    <p>\n                        Il numero di iterazioni necessarie per soddisfare la tolleranza <ILatex>\\tau</ILatex> sarà quindi:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`i \\geq \\log_2 \\left( \\frac{b - a}{\\tau} \\right)`}</PLatex>\n                    <Example>\n                        Dividi l'intervallo <ILatex>{r`[a, b]`}</ILatex> in tante parti grandi quanto la tolleranza. L'algoritmo di bisezione ne escluderà <i>almeno</i> metà ad ogni iterazione; la tolleranza sarà raggiunta quando rimarrà una parte sola!\n                    </Example>\n                    <p>\n                        Ha quindi <b>convergenza lineare</b> (<ILatex>{r`C = \\frac{1}{2}`}</ILatex>).\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Metodo delle approssimazioni successive\"}>\n                <Panel title={\"Metodi delle approssimazioni successive\"}>\n                    <p>\n                        Sono <b>metodi iterativi</b> che funzionano in modo molto simile ai metodi iterativi per i sistemi lineari, utilizzando una funzione <ILatex>{r`\\phi`}</ILatex> come \"metodo\".\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`x = x - \\phi(x) \\cdot f(x)`}</PLatex>\n                    <p>\n                        Che diventa:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`}</PLatex>\n                    <p>\n                        Sfruttano i <b>punti fissi</b> <ILatex>{r`g(x_{(*)}) = x_{(*)}`}</ILatex> della funzione per convergere.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Non si conosce il numero di iterazioni necessarie per soddisfare la tolleranza <ILatex>{r`\\tau`}</ILatex>; ad ogni iterazione, si controlla se la tolleranza è soddisfatta in:\n                    </p>\n                    <ul>\n                        <li>Il <i>residuo</i> del problema: <ILatex>{r`\\left| f(x_{(k)}) \\right| \\leq \\tau`}</ILatex></li>\n                        <li>La differenza tra due iterate: <ILatex>{r`\\frac{\\left| x_{(k+1)} - x_{(k)} \\right|}{\\left| x_{(k+1)} \\right|} \\leq \\tau`}</ILatex> </li>\n                    </ul>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Metodo generale\"}>\n                    <p>\n                        Se <ILatex>{r`\\forall x \\in [a, b], \\phi(x) \\neq 0`}</ILatex>, allora i <b>punti fissi</b> della funzione <ILatex>{r`g`}</ILatex> <b>coincideranno</b> con gli <b>zeri</b>.\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`g(x) = x - \\phi(x) \\cdot f(x)`}</PLatex>\n                    <p>\n                        Si può raggiungere iterativamente ad un punto fisso attraverso la formula:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`}</PLatex>\n                    <p>\n                        Attraverso il <b>teorema della mappa contrattiva</b> si può dimostrare che il punto fisso esiste ed è unico. <Todo>TODO: Studiarlo?</Todo>\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Metodo di Newton\"}>\n                    <p>\n                        Sfrutta la continuità delle funzioni per ottenere una convergenza di ordine più alto.\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\\phi (x) = \\frac{1}{f' (x)}`}</PLatex>\n                    <PLatex>{r`x_{(k+1)} = x_{(k)} - \\frac{ f(x_{(k)}) }{ f'(x_{(k)}) }`}</PLatex>\n                    <Example>\n                        Geometricamente, corrisponde a prolungare una retta nel punto <ILatex>{r`(x, f(x))`}</ILatex> con pendenza <ILatex>{r`f'(x)`}</ILatex>, e prendendo come nuovo punto l'intersezione con l'asse X.\n                    </Example>\n                    <p>\n                        Ha costo computazionale di <b>4 valutazioni di funzioni</b> e <b>convergenza quadratica</b>.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Metodo delle secanti\"}>\n                    <p>\n                        Come il metodo di Newton, ma non ha bisogno della continuità.\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\\phi (x) = \\frac{}{}`}</PLatex>\n                </Panel>\n            </Section>\n        </Fragment>\n    )\n}\n","import style from \"./MenuList.less\";\n\nexport default function(props) {\n    return (\n        <ul class={style.menulist}>\n            {props.children}\n        </ul>\n    )\n}","import style from \"./Example.less\";\n\nexport default function (props) {\n    return (\n        <div class={style.example}>\n            {props.children}\n        </div>\n    );\n}\n","import style from \"./01_SistemiLineari.less\"\nimport {ILatex, Panel, PLatex, Section, Todo} from \"bluelib\";\nimport Link from \"../../components/Link\";\nimport Example from \"../../components/Example\";\nimport {Fragment} from \"preact\";\n\nconst r = String.raw;\n\n\nexport default function (props) {\n    return (\n        <Fragment>\n            <Section title={\"Problema: Risoluzione di sistemi lineari\"}>\n                <Panel title={\"Descrizione\"}>\n                    <Todo>TODO</Todo>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Condizionamento\"}>\n                    <p>\n                        Il condizionamento della risoluzione di sistemi lineari è:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\\frac{{\\color{yellow} \\|A\\| \\cdot \\|A^{-1}\\|} \\cdot \\| \\Delta b \\|}{\\| b \\|}`}</PLatex>\n                    <p>\n                        In particolare, è segnato in giallo nella formula il <b>numero di condizionamento</b>:\n                    </p>\n                    <PLatex>\n                        {r`k(A) = \\| A \\| \\cdot \\| A^{-1} \\|`}\n                    </PLatex>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section>\n                <Panel title={\"Metodi diretti\"}>\n                    <p>\n                        Metodi che trovano la soluzione esatta<abbr title={\"Per quanto possibile nell'algebra di macchina.\"}>*</abbr> di un sistema lineare.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Tipicamente prevedono la <b>fattorizzazione</b> della matrice dei coefficienti in due sottomatrici più facili da risolvere.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Generalmente hanno una complessità temporale <ILatex>{r`O(n^3)`}</ILatex>.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Metodi iterativi\"}>\n                    <p>\n                        Metodi che trovano una soluzione imperfetta<abbr title={\"Che però può essere la migliore ottenibile, considerando la precisione di macchina.\"}>*</abbr> di un sistema lineare.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Tipicamente prevedono l'applicazione ripetuta di un <b>metodo</b>, in base al quale cambia la <b>velocità di convergenza</b> alla soluzione.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Generalmente hanno una complessità temporale <ILatex>{r`O(n^2)`}</ILatex>.\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Metodi diretti\"}>\n                <Panel title={\"Divisione\"}>\n                    <p>\n                        Se la matrice dei coefficienti del sistema è <b>diagonale</b>, allora è possibile trovare la soluzione <i>dividendo</i> ogni termine noto per l'unico coefficiente diverso da zero presente nella sua riga:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`x_i = \\frac{b_i}{A_{ii}}`}</PLatex>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Sostituzione\"}>\n                    <p>\n                        Se la matrice dei coefficienti del sistema è <b>triangolare</b> inferiore o superiore, allora è possibile trovare la soluzione effettuando una <i>sostituzione</i> all'avanti oppure all'indietro:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`x_i = \\frac{b_i - \\sum_{k = 1}^{i - 1} (x_k \\cdot A_{ik})}{A_{ii}}`}</PLatex>\n                    <PLatex>{r`x_i = \\frac{b_i - \\sum_{k = i - 1}^{n} (x_k \\cdot A_{ik})}{A_{ii}}`}</PLatex>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section>\n                <Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex></span>}>\n                    <p>\n                        Se la matrice dei coefficienti del sistema <b>non ha <Link href={\"https://it.wikipedia.org/wiki/Minore_(algebra_lineare)\"}>minori</Link> uguali a 0 <small>(eccetto l'ultimo)</small></b> allora è possibile <i>fattorizzarla</i> in due matrici: una <ILatex>{r`L`}</ILatex> triangolare inferiore, e una <ILatex>{r`U`}</ILatex> triangolare superiore.\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`A = L \\cdot U`}</PLatex>\n                    <Example>\n                        Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo <b>metodo di Gauss</b>.\n                    </Example>\n                    <p>\n                        La matrice <ILatex>{r`L`}</ILatex> è così composta:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\n                        \\begin{cases}\n                            L_{ii} = 1 \\qquad \\qquad (diagonale)\\\\\n                            L_{ik} = -\\frac{A_{ik}}{A_{kk}} \\qquad (tri.\\ infer.)\n                        \\end{cases}\n                    `}</PLatex>\n                    <Example>\n                        Sono i moltiplicatori usati per rendere annullare il triangolo inferiore!\n                    </Example>\n                    <p>\n                        La matrice <ILatex>{r`U`}</ILatex> è così composta:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\n                        \\begin{cases}\n                            U_{ik} = A_{ik} \\quad se\\ i \\leq k \\quad (tri.\\ super.)\\\\\n                            U_{ik} = 0 \\qquad se\\ i > k \\quad (tri.\\ infer.)\n                        \\end{cases}\n                    `}</PLatex>\n                    <p>\n                        Il sistema può essere poi risolto applicando due volte il metodo di sostituzione:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\n                        \\begin{cases}\n                            L \\cdot y = b\\\\\n                            U \\cdot x = y\n                        \\end{cases}\n                    `}</PLatex>\n                    <p>\n                        Questo metodo ha costo computazionale:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right)} + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}</PLatex>\n                </Panel>\n                <Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex> con pivoting parziale</span>}>\n                    <p>\n                        È possibile applicare la fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex> a <b>qualsiasi matrice non-singolare</b> permettendo lo scambio (<i>pivoting</i>) delle righe, potenzialmente <b>aumentando la stabilità</b> dell'algoritmo.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo <b>metodo di Gauss-Jordan</b>!\n                    </Example>\n                    <p>\n                        Alla formula precedente si aggiunge una <Link href={\"https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_permutazione\"}>matrice di permutazione</Link> che indica quali righe sono state scambiate:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`P \\cdot A = L \\cdot U`}</PLatex>\n                    <p>\n                        Questo metodo ha costo computazionale:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)} + O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}</PLatex>\n                </Panel>\n                <Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex> con pivoting totale</span>}>\n                    <p>\n                        È possibile anche permettere il <i>pivoting</i> <b>sulle colonne</b> per <b>aumentare ulteriormente la stabilità</b> dell'algoritmo, a costo di maggiore costo computazionale:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`P \\cdot A \\cdot Q = L \\cdot U`}</PLatex>\n                    <p>\n                        Questo metodo ha costo computazionale:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right)} + O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}</PLatex>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section>\n                <Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LDL^{-1}`}</ILatex></span>}>\n                    <p>\n                        È possibile <b>ridurre la complessità computazionale</b> della fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex> se la matrice dei coefficienti è <b>simmetrica</b>:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`A = L \\cdot D \\cdot L^{-1}`}</PLatex>\n                    <p>\n                        In questo caso, si calcola solo la matrice L, utilizzando il <b>metodo di pavimentazione</b>.\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\n                        \\begin{cases}\n                            d_{ii} = A_{ii} - \\sum_{k=1}^{i-1} ( d_{kk} \\cdot (l_{jk})^2 )\\\\\n                            \\\\\n                            l_{ij} = \\frac{A_{ij} - \\sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \\cdot d_{kk} \\cdot l_{jk}}{d_{ii}}\n                        \\end{cases}\n                    `}</PLatex>\n                    <Example>\n                        <p>\n                            La prima colonna della matrice sarà:\n                        </p>\n                        <PLatex>{r`\n                            \\begin{cases}\n                                d_{11} = A_{11}\\\\\n                                \\\\\n                                l_{i1} = \\frac{A_{i1}}{d_{11}}\n                            \\end{cases}\n                        `}</PLatex>\n                        <p>\n                            La seconda colonna della matrice sarà:\n                        </p>\n                        <PLatex>{r`\n                            \\begin{cases}\n                                d_{22} = A_{22} - d_{11} \\cdot (l_{21})^2\\\\\n                                \\\\\n                                l_{i2} = \\frac{A_{i2} - l_{i1} \\cdot d_{11} \\cdot l_{21}}{d_{ii}}\n                            \\end{cases}\n                        `}</PLatex>\n                    </Example>\n                    <p>\n                        Questo metodo ha costo computazionale:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{n^3}{6}\\right)} + O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}</PLatex>\n                </Panel>\n                <Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`\\mathcal{L} \\mathcal{L}^{-1}`}</ILatex></span>}>\n                    <p>\n                        È possibile dare <b>stabilità forte</b> alla fattorizzazione <ILatex>{r`LDL^{-1}`}</ILatex> se la matrice dei coefficienti è <b>simmetrica definita positiva</b>:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`A = \\mathcal{L} \\cdot \\mathcal{L}^{-1}`}</PLatex>\n                    <p>\n                        Il <b>metodo di pavimentazione</b> diventa:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\n                        \\begin{cases}\n                            l_{ii} = \\sqrt{A_{ii} - \\sum_{k=1}^{i-1}  (l_{ik})^2 }\\\\\n                            \\\\\n                            l_{ij} = \\frac{A_{ij} - \\sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \\cdot l_{jk}}{l_{ii}}\n                        \\end{cases}\n                    `}</PLatex>\n                    <p>\n                        Questo metodo ha costo computazionale:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + O\\left(\\frac{n^3}{3}\\right) + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}</PLatex>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section>\n                <Panel title={\"Trasformazione di Householder\"}>\n                    <p>\n                        Matrice ricavata dalla seguente formula:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`U(v) = I - \\frac{1}{\\alpha} \\cdot v \\cdot v^T`}</PLatex>\n                    <PLatex>{r`\\alpha = \\frac{1}{2} \\| v \\|_{(2)}^2`}</PLatex>\n                </Panel>\n                <Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`QR`}</ILatex></span>}>\n                    <p>\n                        Metodo che fornisce una <b>maggiore stabilità</b> a costo di una <b>maggiore complessità computazionale</b>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        La matrice <ILatex>{r`A`}</ILatex> viene <i>fattorizzata</i> in due matrici, una <b>ortogonale</b> <ILatex>{r`Q`}</ILatex> e una <b>triangolare superiore</b> <ILatex>{r`R`}</ILatex>:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`A = Q \\cdot R`}</PLatex>\n                    <p>\n                        Le matrici si ottengono dal prodotto delle trasformazioni di Householder (<ILatex>{r`Q`}</ILatex> sulle colonne della matrice <ILatex>{r`A`}</ILatex>, trasformandola in una matrice triangolare superiore (<ILatex>{r`R`}</ILatex>).\n                    </p>\n                    <p>\n                        Una volta fattorizzata, il sistema si può risolvere con:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\n                        \\begin{cases}\n                            y = Q^T \\cdot b\\\\\n                            R \\cdot x = y\n                        \\end{cases}\n                    `}</PLatex>\n                    <p>\n                        Questo metodo ha costo computazionale:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`{\\color{Yellow} O\\left(\\frac{2 \\cdot n^3}{3}\\right)} + 2 \\cdot O\\left(\\frac{n^2}{2}\\right)`}</PLatex>\n                    <p>\n                        <Todo>TODO: l'algoritmo con tau per ricavare la q se non è in memoria</Todo>\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Metodi iterativi\"}>\n                <Panel title={\"Forma generale\"}>\n                    <p>\n                        Se si pone che:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\n                        \\begin{cases}\n                            G = I - M^{-1} \\cdot A\\\\\n                            c = M^{-1} \\cdot b\n                        \\end{cases}\n                    `}</PLatex>\n                    <p>\n                        Allora la formula generale di un sistema lineare può anche essere scritta in questo modo:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`x = G \\cdot x + c`}</PLatex>\n                    <p>\n                        È particolarmente utile perchè ci permette di definire un <b>algoritmo ricorsivo</b> che trovi <ILatex>{r`x`}</ILatex>:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`x_{(i+1)} = G \\cdot x_{(i)} + c`}</PLatex>\n                    <p>\n                        <ILatex>{r`G`}</ILatex> è il <b>metodo</b>, e in base ad esso cambiano stabilità e velocità di convergenza.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Ponendo <ILatex>{r`A = M - N`}</ILatex>, la formula può essere scritta anche in questo modo:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`M \\cdot x_{(i+1)} = N \\cdot x_{(i)} + b`}</PLatex>\n                    <p>\n                        Possiamo ottenere alcuni metodi separando <ILatex>A</ILatex> in tre matrici:\n                    </p>\n                    <ul>\n                        <li>La parte diagonale <ILatex>{r`D`}</ILatex></li>\n                        <li>L'opposto del triangolo inferiore <ILatex>{r`E`}</ILatex></li>\n                        <li>L'opposto del triangolo superiore <ILatex>{r`F`}</ILatex></li>\n                    </ul>\n                    <PLatex>{r`A = D - E - F`}</PLatex>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Convergenza di un metodo\"}>\n                    <p>\n                        Un metodo è convergente se e solo se:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\\rho (M) < 1`}</PLatex>\n                    <p>\n                        (dove <ILatex>{r`\\rho`}</ILatex> è il <b>raggio spettrale</b>, il massimo autovalore della matrice)\n                    </p>\n                    <p>\n                        Perchè un metodo sia convergente, è sufficiente che:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\\| M \\| < 1`}</PLatex>\n                    <p>\n                        <Todo>TODO: l'algoritmo con tau per le condizioni di arresto</Todo>\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section>\n                <Panel title={\"Metodo di Jacobi\"}>\n                    <p>\n                        Il metodo di Jacobi si ottiene ponendo:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\n                        \\begin{cases}\n                            M = D\\\\\n                            N = E + F\n                        \\end{cases}\n                    `}</PLatex>\n                    <p>\n                        <u>Spostamenti simultanei</u>: Permette di ottenere ogni componente di <ILatex>{r`x`}</ILatex> indipendentemente dagli altri: è <b>parallelizzabile</b>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Se la matrice è <b>diagonale dominante</b>, allora il metodo di Jacobi <b>converge</b> sicuramente.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Metodo di Gauss-Seidel\"}>\n                    <p>\n                        Il metodo di Gauss-Seidel si ottiene ponendo:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\n                        \\begin{cases}\n                            M = D - E\\\\\n                            N = F\n                        \\end{cases}\n                    `}</PLatex>\n                    <p>\n                        Ha una velocità di convergenza <b>maggiore o uguale</b> rispetto al metodo di Jacobi.\n                    </p>\n                    <p>\n                        <u>Spostamenti successivi</u>: Non è parallelizzabile, perchè ogni componente <b>dipende da quelle calcolate in precedenza</b>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Se la matrice è <b>diagonale dominante</b>, allora il metodo di Gauss-Seidel <b>converge</b> sicuramente.\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n        </Fragment>\n    )\n}\n","import {ILatex, Panel, PLatex, Section, Timer, Todo} from \"bluelib\";\nimport Example from \"../../components/Example\";\nimport Link from \"../../components/Link\";\nimport MenuList from \"../../components/MenuList\";\nimport Intro from \"./00_Intro\";\nimport SistemiLineari from \"./01_SistemiLineari\";\nimport ZeriDiFunzione from \"./02_ZeriDiFunzione\";\nimport Interpolazione from \"./03_Interpolazione\";\n\nconst r = String.raw;\n\n\nexport default function (props) {\n    return (\n        <div>\n            <h1>Calcolo Numerico</h1>\n            <Intro/>\n            <SistemiLineari/>\n            <ZeriDiFunzione/>\n            <Interpolazione/>\n        </div>\n    )\n}\n","import style from \"./00_Intro.less\"\nimport {ILatex, Panel, PLatex, Section, Timer} from \"bluelib\";\nimport Link from \"../../components/Link\";\nimport MenuList from \"../../components/MenuList\";\nimport Example from \"../../components/Example\";\nimport {Fragment} from \"preact\";\n\nconst r = String.raw;\n\n\nexport default function (props) {\n    return (\n        <Fragment>\n            <Section title={\"Esame\"}>\n                <Panel title={\"Contatti\"}>\n                    <ul>\n                        <li><Link href={\"mailto:silvia.bonettini@unimore.it\"}>Prof.ssa Silvia Bonettini</Link></li>\n                    </ul>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Orale\"}>\n                    <p>\n                        E' composto da:\n                    </p>\n                    <ul>\n                        <li>2 domande sugli argomenti teorici</li>\n                        <li>1 domanda di implementazione algoritmo in MATLAB</li>\n                    </ul>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Sessione autunnale\"}>\n                    <ol>\n                        <li><Timer to={\"2020-08-31 09:00\"}/></li>\n                        <li><Timer to={\"2020-09-14 09:00\"}/></li>\n                    </ol>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Informazioni\"}>\n                <Panel title={\"Ripasso di Algebra Lineare\"}>\n                    <p>\n                        Prima di iniziare a studiare Calcolo Numerico, potrebbe essere una buona idea ripassare un pochino Algebra Lineare:\n                    </p>\n                    <MenuList>\n                        <li>\n                            <a href={\"/calcolonumerico/ripassodialgebralineare\"}>Ripasso di Algebra Lineare</a> <small>(per studenti sperduti di Calcolo Numerico)</small>\n                        </li>\n                    </MenuList>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Algoritmi\"}>\n                <Panel title={\"Algoritmi numerici\"}>\n                    <p>\n                        Particolari algoritmi che hanno:\n                    </p>\n                    <ul>\n                        <li>numeri reali in input e output</li>\n                        <li>successioni delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali come passi</li>\n                    </ul>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Errore di rappresentazione\"}>\n                <Panel title={\"Cos'è?\"}>\n                    <p>\n                        Con i numeri floating point può capitare che un certo numero <ILatex>{r`\\alpha`}</ILatex> non\n                        sia rappresentato correttamente.\n                    </p>\n                    <p>\n                        In tal caso, il numero si indica con <ILatex>{r`\\alpha^*`}</ILatex>.\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section>\n                <Panel title={\"Errore assoluto\"}>\n                    <p>\n                        È la differenza tra il numero desiderato e il numero rappresentato:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`E_a = \\left | \\alpha - \\alpha^* \\right |`}</PLatex>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Errore relativo\"}>\n                    <p>\n                        Indica quanto il numero rappresentato differisce dal numero desiderato:\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`\\forall \\alpha \\neq 0, E_r = \\frac{E_a}{\\left | \\alpha \\right |}`}</PLatex>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section>\n                <Panel title={\"Troncamento\"}>\n                    <p>\n                        Metodo con cui gestire gli <b>underflow floating point</b>: le cifre meno significative\n                        vengono <b>rimosse</b>.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        <pre>\n                            1.00  →  1.0<br/>\n                            1.01  →  1.0<br/>\n                            1.10  →  1.1<br/>\n                            1.11  →  1.1\n                        </pre>\n                    </Example>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Arrotondamento\"}>\n                    <p>\n                        Metodo con cui gestire gli <b>underflow floating point</b>: se la cifra più significativa di\n                        quelle che devono essere rimosse è 1, allora <b>aumenta di 1</b> anche quella meno signficativa\n                        che viene tenuta.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        <pre>\n                            1.00  →  1.0<br/>\n                            1.01  →  1.0<br/>\n                            1.10  →  1.1<br/>\n                            1.11  → 10.\n                        </pre>\n                    </Example>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section>\n                <Panel title={\"Precisione di macchina\"}>\n                    <p>\n                        Un numero reale rappresentato in <b>virgola mobile</b> ha un <b>errore relativo</b> minore o uguale alla <i>precisione\n                        di macchina</i>:\n                    </p>\n                    <p>\n                        <ILatex>{r`E_r \\leq k \\cdot \\beta^{1-t}`}</ILatex>\n                    </p>\n                    <ul>\n                        <li>\n                            <ILatex>\\beta</ILatex> è uguale alla base utilizzata (solitamente 2).\n                        </li>\n                        <li>\n                            <ILatex>t</ILatex> è uguale al numero di cifre della mantissa.\n                        </li>\n                        <li>\n                            <ILatex>k</ILatex> è uguale a <ILatex>1</ILatex> se il numero viene rappresentato per\n                            troncamento oppure a <ILatex>{r`\\frac{1}{2}`}</ILatex> se viene rappresentato per\n                            arrotondamento.\n                        </li>\n                    </ul>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"La funzione fl\"}>\n                    <p>\n                        Associa un valore reale al suo <b>corrispondente valore floating point</b>, utilizzando uno dei\n                        due metodi di gestione dell'undeflow.\n                    </p>\n                    <PLatex>{r`fl(x) = (x)(1 + \\epsilon_x)`}</PLatex>\n                    <Example>\n                        Indica che un valore è soggetto alla precisione di macchina.\n                        <PLatex>{r`fl(1.11) = 1.1`}</PLatex>\n                    </Example>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section>\n                <Panel title={\"Un nuovo insieme\"}>\n                    <p>\n                        L'insieme <ILatex>{r`\\mathbb{F}`}</ILatex> è il sottoinsieme dei numeri reali rappresentabili in\n                        floating point dalla macchina che stiamo usando.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Operazioni tra elementi di <ILatex>{r`\\mathbb{F}`}</ILatex> producono risultati\n                        in <ILatex>{r`\\mathbb{R}`}</ILatex>, che però decaderanno nuovamente a elementi\n                        di <ILatex>{r`\\mathbb{F}`}</ILatex>, perdendo informazioni.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Il teorema della precisione di macchina si applica quindi anche ai risultati delle operazioni.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Caratteristiche delle operazioni di macchina\"}>\n                    <ul>\n                        <li>Hanno <b>più elementi neutri</b>.</li>\n                        <li>Un numero ha <b>più opposti</b>.</li>\n                        <li><b>Non</b> sono associative.</li>\n                        <li><b>Non</b> sono distributive.</li>\n                        <li><b>Non</b> vale la legge di annullamento del prodotto.</li>\n                    </ul>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section title={\"Errori nelle operazioni di macchina\"}>\n                <Panel title={\"Errore inerente\"}>\n                    <p>\n                        Errore derivato da underflow sui <b>dati</b>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Si indica con <ILatex>{r`\\epsilon_{nome\\_var}`}</ILatex>.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        L'errore sulla variabile <ILatex>x</ILatex> si indica con <ILatex>{r`\\epsilon_{x}`}</ILatex>.\n                    </Example>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Errore algoritmico\"}>\n                    <p>\n                        Errore derivato da underflow durante l'<b>esecuzione dell'algoritmo</b>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Si indica con <ILatex>{r`\\epsilon_{num\\_passo}`}</ILatex>.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        L'errore al primo passo dell'algoritmo si indica con <ILatex>{r`\\epsilon_{1}`}</ILatex>.\n                    </Example>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section>\n                <Panel title={\"Condizionamento\"}>\n                    <p>\n                        Sensibilità di un problema all'<b>errore inerente</b>.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        <ILatex>{r`y = \\frac{1}{x}`}</ILatex> è mal condizionato intorno allo 0 e ben condizionato\n                        lontano dallo 0.\n                    </Example>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Stabilità\"}>\n                    <p>\n                        Sensibilità di un problema all'<b>errore algoritmico</b>.\n                    </p>\n                    <Example>\n                        <p>\n                            Cerchiamo un algoritmo che risolva <ILatex>{r`2x^* = 4`}</ILatex>.\n                        </p>\n                        <p>\n                            Calcolare prima <ILatex>{r`t = fl \\left( \\frac{1}{4} \\right)`}</ILatex> e\n                            poi <ILatex>{r`x = fl ( 2 \\cdot t )`}</ILatex> porta a una perdita di precisione.\n                        </p>\n                        <p>\n                            Calcolare direttamente <ILatex>{r`x = fl \\left( \\frac{2}{4} \\right)`}</ILatex> non ha alcuna\n                            perdita di precisione e rende l'algoritmo <b>più stabile</b> del precedente.\n                        </p>\n                    </Example>\n                </Panel>\n            </Section>\n            <Section>\n                <Panel title={\"Indice di condizionamento\"}>\n                    <p>\n                        È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'<b>errore inerente</b>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Minore è l'indice di condizionamento, meglio condizionato è un problema.\n                    </p>\n                </Panel>\n                <Panel title={\"Indice algoritmico\"}>\n                    <p>\n                        È il coefficiente di proporzionalità tra i dati e l'<b>errore algoritmico</b>.\n                    </p>\n                    <p>\n                        Essendo sempre maggiore di uno, si può dire che sia un coefficiente di amplificazione.\n                    </p>\n                </Panel>\n            </Section>\n        </Fragment>\n    )\n}\n"],"sourceRoot":""}