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triennale-appunti-steffo/pages/year2/ottimizzazione/teoria.tsx

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TypeScript
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import { Heading } from '@steffo/bluelib-react'
import type { NextPage, NextPageContext } from 'next'
import { Link } from '../../../components/link'
import { Section, Box, Split, Panel, r, ILatex, BLatex, PLatex, Latex, Help, Example, Color, TablePanel, Code, Plus, Minus, Todo, Image } from "../../../components/compat-old"
import imgFJk44q0 from "../../../public/images/year2/ottimizzazione/FJk44q0.png"
import imgfzb6xz2 from "../../../public/images/year2/ottimizzazione/fzb6xz2.png"
import img1r405Mb from "../../../public/images/year2/ottimizzazione/1r405Mb.jpg"
export async function getStaticProps(_context: NextPageContext) {
return {
props: {}
}
}
const Min = ({ children = undefined, ...props }: any) => (
<Color builtin={"cyan"}>
<Help text={"In problemi in cui il primale è di minimizzazione."}>{props.children ? props.children : "min"}</Help>
</Color>
)
const Max = ({ children = undefined, ...props }: any) => (
<Color builtin={"orange"}>
<Help text={"In problemi in cui il primale è di massimizzazione."}>{props.children ? props.children : "max"}</Help>
</Color>
)
const Empty = ({ children = undefined, ...props }: any) => (
<Color builtin={"red"}>
<Help text={"Il poliedro non contiene punti."}>{props.children ? props.children : "vuoto"}</Help>
</Color>
)
const Finite = ({ children = undefined, ...props }: any) => (
<Color builtin={"lime"}>
<Help text={"I punti del poliedro sono finiti."}>{props.children ? props.children : "finito"}</Help>
</Color>
)
const Unbounded = ({ children = undefined, ...props }: any) => (
<Color builtin={"blue"}>
<Help text={"I punti del poliedro sono infiniti."}>{props.children ? props.children : "illimitato"}</Help>
</Color>
)
const ExampleBoxColor = "magenta"
const Page: NextPage = () => {
return <>
<Heading level={2}>
<Link href="/year2/ottimizzazione">
Ottimizzazione lineare intera
</Link>
</Heading>
<Split title={"Glossario"}>
<TablePanel>
<thead>
<tr>
<th><abbr title={"Vettore / matrice"}>v</abbr></th>
<th><abbr title={"Elemento singolo"}>s</abbr></th>
<th>Significato</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{x}`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`x_i`}</BLatex></td>
<td>Incognite</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{s}`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`s_i`}</BLatex></td>
<td>Variabili slack</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{c}`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`c_i`}</BLatex></td>
<td>Coefficienti della funzione obiettivo</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{A}`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`a_{ij}`}</BLatex></td>
<td>Coefficienti dei vincoli</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{b}`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`b_i`}</BLatex></td>
<td>Termini noti dei vincoli</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{y}`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`y_i`}</BLatex></td>
<td>Incognite artificiali</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{u}`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`u_i`}</BLatex></td>
<td>Coefficienti di rilassamento</td>
</tr>
<tr>
<td/>
<td><BLatex>{r`c_0`}</BLatex></td>
<td>Valore ottimo di un problema</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{x}_B`}</BLatex></td>
<td/>
<td>Incognite in base</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{c}_B`}</BLatex></td>
<td/>
<td>Coefficienti della funzione obiettivo delle variabili in base</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{B}`}</BLatex></td>
<td/>
<td>Coefficienti dei vincoli delle variabili in base</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{x}_F`}</BLatex></td>
<td/>
<td>Incognite fuori base</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{c}_F`}</BLatex></td>
<td/>
<td>Coefficienti della funzione obiettivo delle variabili fuori base</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{F}`}</BLatex></td>
<td/>
<td>Coefficienti dei vincoli delle variabili fuori base</td>
</tr>
</tbody>
</TablePanel>
<TablePanel>
<thead>
<tr>
<th>Simboli</th>
<th>Significato</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{c}^T \mathbf{x}`}</BLatex></td>
<td>Soluzione del problema</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}`}</BLatex></td>
<td>Vincoli in forma standard</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`z(\dots)`}</BLatex></td>
<td>Funzione obiettivo</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{u}^T \mathbf{b}`}</BLatex></td>
<td>Soluzione del problema duale</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\mathbf{u}^T \mathbf{A} = \mathbf{c}^T`}</BLatex></td>
<td>Vincoli del problema duale in forma standard</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\lfloor x \rfloor`}</BLatex></td>
<td>Arrotondamento per difetto di x</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\lceil x \rceil`}</BLatex></td>
<td>Arrotondamento per eccesso di x</td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`x - \lfloor x \rfloor`}</BLatex></td>
<td>Parte frazionaria di x (se non è negativo)</td>
</tr>
</tbody>
</TablePanel>
</Split>
<Split title={"Problemi di ottimizzazione lineare"}>
<Box title={"Cosa sono?"}>
<p>
Problemi che cercano di <Min>minimizzare</Min>/<Max>massimizzare</Max> il valore di una <i>funzione
obiettivo</i> le cui incognite sono sottoposte a un <b>sistema di <i>vincoli</i></b>.
</p>
<p>
Spesso sono detti anche <i>problemi di <abbr title={"Linear Programming"}>LP</abbr></i>.
</p>
</Box>
<Box title={"Funzione obiettivo"}>
<p>
La funzione da <Min>minimizzare</Min>/<Max>massimizzare</Max>.
</p>
<p>
Il vettore dei suoi coefficienti è detto <Latex>{r`\mathbf{c}`}</Latex>, mentre quello delle sue
incognite <Latex>{r`\mathbf{x}`}</Latex>.
</p>
<p>
In genere, la funzione obiettivo è scritta in forma di <b>combinazione lineare</b> tra le <b>incognite</b> e i <b>coefficienti</b>:
</p>
<p>
<Latex>{r`z(\mathbf{x}) = c_1 \cdot x_1 + c_2 \cdot x_2 + \dots + c_n \cdot x_n`}</Latex>
</p>
</Box>
<Box title={"Gradiente"}>
<p>
<b>Funzione</b> della funzione obiettivo che restituisce la direzione del suo aumento più
veloce.
</p>
<p>
<Latex>{r`\nabla (f) = \frac{d f}{d x_1} I_1 + \frac{d f}{d x_2} I_2 + \frac{d f}{d x_n} I_n`}</Latex>
</p>
<Example>
La matrice <Latex>{r`\mathbf{I}`}</Latex> è la matrice identità.
</Example>
<Example>
Se la funzione obiettivo è <Latex>z = 2w + 3x + 4y</Latex>, il suo gradiente
è <Latex>{r`\nabla z = (2, 3, 4)`}</Latex>.
</Example>
</Box>
<Box title={"Vincoli"}>
<p>
Equazioni e disequazioni a cui devono sottostare le incognite perchè esse formino una soluzione
valida.
</p>
<p>
I loro coefficienti sono contenuti nella matrice <Latex>{r`\mathbf{A}`}</Latex>, mentre i loro
termini noti nel vettore <Latex>{r`\mathbf{b}`}</Latex>.
</p>
</Box>
<Box title={"Poliedro"}>
<p>
L&apos;<b>insieme</b> che racchiunde tutte le <b>soluzioni ammissibili</b> di un problema.
</p>
<p>
Può essere <i><Finite/></i>, <i><Empty/></i> oppure <i><Unbounded/></i>.
</p>
<Example>
Si chiama così perchè se si disegna su un piano cartesiano, esso forma una figura geometrica a
più lati, ovvero un <a href={"https://it.wikipedia.org/wiki/Poliedro"}>poliedro</a>.
</Example>
</Box>
<Box title={"Valore ottimo"}>
<p>
La <b>soluzione</b> di un problema, ricavabile dal
prodotto <Latex>{r`\mathbf{c}^T \mathbf{x}`}</Latex>.
</p>
<p>
In particolare, il valore ottimo è un <b>vertice</b> del poliedro, detto <i>vertice ottimo</i>.
</p>
</Box>
</Split>
<Split title={"Forme di un problema di ottimizzazione"}>
<Box title={"Forma generale"}>
<p>
Un problema con:
</p>
<ul>
<li><Plus>Equazioni e disequazioni</Plus></li>
<li><Plus>Variabili non vincolate</Plus></li>
</ul>
<PLatex>{r`min \left\{ \mathbf{c}^T \mathbf{x} : \mathbf{A} \mathbf{x} = b,\quad \mathbf{A'} \mathbf{x} \geq \mathbf{b'} \quad x_j \geq 0,\quad j = 1 \dots n \right\}`}</PLatex>
</Box>
<Box title={"Forma canonica"}>
<p>
Un problema con:
</p>
<ul>
<li><Plus>Solo disequazioni</Plus></li>
<li><Minus>Vincoli di non-negatività sulle incognite</Minus></li>
</ul>
<PLatex>{r`min \left\{ \mathbf{c}^T \mathbf{x} : \mathbf{A} \mathbf{x} \geq b,\quad x_j \geq 0,\quad j = 1 \dots n \right\}`}</PLatex>
</Box>
<Box title={"Forma standard"}>
<p>
Un problema con:
</p>
<ul>
<li><Minus>Solo equazioni</Minus></li>
<li><Minus>Vincoli di non-negatività sulle incognite</Minus></li>
</ul>
<PLatex>{r`min \left\{ \mathbf{c}^T \mathbf{x} : \mathbf{A} \mathbf{x} = b,\quad x_j \geq 0,\quad j = 1 \dots n \right\}`}</PLatex>
</Box>
</Split>
<Split title={"Conversioni tra le forme"}>
<Box title={"Standard e generale"}>
<p>
Applica questa conversione a ogni equazione nel sistema:
</p>
<p>
<Latex block={true}>{r`
a = b \Leftrightarrow
\begin{cases}
a \leq b\\
a \geq b
\end{cases}
`}</Latex>
</p>
<Example>Serve solo nella teoria per dimostrare che le forme sono equivalenti.</Example>
</Box>
<Box title={"Canonica e standard"}>
<p>
Aggiungi una <i>variabile slack</i> <Latex>{r`s`}</Latex> <b>non-vincolata</b> a ogni
disequazione nel sistema:
</p>
<p>
<Latex block={true}>{r`
a \leq b \Leftrightarrow a + s = b
`}</Latex>
</p>
<p>
<Latex block={true}>{r`
a \geq b \Leftrightarrow a - s = b
`}</Latex>
</p>
</Box>
<Box title={"Generale e canonica"}>
<p>
Sdoppia ogni variabile non-vincolata in due variabili con vincolo di non-negatività:
</p>
<p>
<Latex block={true}>{r`
\begin{cases}
a = a^+ - a^-\\
a^+ \geq 0\\
a^- \geq 0
\end{cases}
`}</Latex>
</p>
</Box>
</Split>
<Split title={"Tableau"}>
<Box title={"Cos'è?"}>
<p>
Un modo per rappresentare sistemi in forma standard, anche noto come <b>matrice equivalente
completa</b> del sistema.
</p>
</Box>
<Box title={"Trasformazioni"}>
<p>
Un tableau è un sistema di equazioni in <b>forma matriciale completa</b>.
</p>
<p>
È possibile effettuare senza che cambi il risultato finale le seguenti trasformazioni:
</p>
<ul>
<li><b>Moltiplicare</b> un&apos;intera riga per una costante.</li>
<li><b>Sommare</b> una riga a un&apos;altra</li>
</ul>
<Example>
Suona familiare? Sì, lo abbiamo fatto anche in Algebra Lineare.
</Example>
</Box>
<Box title={"Variabili nella base"}>
<p>
Variabili che hanno <b>tutti 0 e un solo 1</b> nella loro colonna del tableau.
</p>
<p>
La loro controparte sono le <i>variabili fuori base</i>, che hanno qualsiasi altro valore.
</p>
</Box>
<Box title={"Valore attuale"}>
<p>
Il valore della funzione obiettivo che si otterrebbe se <b>tutte le variabili fuori base
valessero 0</b>.
</p>
<p>
Procedendo nella risoluzione (descritta in seguito) del tableau, questo valore aumenterà, fino a
raggiungere il valore ottimo quando la risoluzione sarà completata.
</p>
</Box>
</Split>
<Split>
<Example title={"Un esempio"}>
<p>
Il sistema:
</p>
<PLatex>{r`
\begin{cases}
1x_1\ {\color{Cyan} \leq}\ {\color{Red} 3}\\
1x_2\ {\color{Cyan} \leq}\ {\color{Red} 3}\\
2x_1 + 2x_2\ {\color{Cyan} \leq}\ {\color{Red} 7}\\
{\color{Yellow} \min}\ {\color{Green} 2000x_1 + 1000x_2}
\end{cases}
`}</PLatex>
<p>
Diventa il tableau:
</p>
<table className={"right"}>
<thead>
<tr>
<th><Latex>x_1</Latex></th>
<th><Latex>x_2</Latex></th>
<th><Latex>s_1</Latex></th>
<th><Latex>s_2</Latex></th>
<th><Latex>s_3</Latex></th>
<th><abbr title={"Termine noto"}>TN</abbr></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td><Latex>1</Latex></td>
<td><Latex>0</Latex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(0, 255, 255, 0.1)"}}><Latex>1</Latex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(0, 255, 255, 0.1)"}}><Latex>0</Latex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(0, 255, 255, 0.1)"}}><Latex>0</Latex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(255, 0, 0, 0.1)"}}><Latex>3</Latex></td>
</tr>
<tr>
<td><Latex>0</Latex></td>
<td><Latex>1</Latex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(0, 255, 255, 0.1)"}}><Latex>0</Latex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(0, 255, 255, 0.1)"}}><Latex>1</Latex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(0, 255, 255, 0.1)"}}><Latex>0</Latex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(255, 0, 0, 0.1)"}}><Latex>3</Latex></td>
</tr>
<tr>
<td><Latex>2</Latex></td>
<td><Latex>2</Latex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(0, 255, 255, 0.1)"}}><Latex>0</Latex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(0, 255, 255, 0.1)"}}><Latex>0</Latex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(0, 255, 255, 0.1)"}}><Latex>1</Latex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(255, 0, 0, 0.1)"}}><Latex>7</Latex></td>
</tr>
<tr style={{backgroundColor: "rgba(0, 255, 0, 0.1)"}}>
<td><Latex>2000</Latex></td>
<td><Latex>1000</Latex></td>
<td><Latex>0</Latex></td>
<td><Latex>0</Latex></td>
<td><Latex>0</Latex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(255, 255, 0, 0.2)"}}><Latex>0</Latex></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>
Con i seguenti elementi:
</p>
<ul>
<li>
<u style={{color: "#7dff7d"}}>Funzione obiettivo</u>
</li>
<li>
<u style={{color: "#ffff7d"}}>Valore attuale</u>
</li>
<li>
<u style={{color: "#ff7d7d"}}>Termini noti</u>
</li>
<li>
<u style={{color: "#7dffff"}}>Variabili slack</u>
</li>
</ul>
</Example>
</Split>
<Split title={"Simplex primale"}>
<Box title={"Cos'è?"}>
<p>
Un algoritmo per trovare efficientemente il <b>valore ottimo</b> e le coordinate di un <b>vertice
ottimo</b> in problemi di ottimizzazione lineare.
</p>
<Example>
Ricordi <Link href={"/year1/algebra"}>Gauss</Link>? Il Simplex è la stessa cosa,
in cui però si cerca di <Min>minimizzare</Min>/<Max>massimizzare</Max> il termine noto della funzione obiettivo.
</Example>
<Example title={"Esempio"}>
<a href={img1r405Mb.src}>Questa</a> è la soluzione passo per passo del
problema 3 del file <a href={"https://dolly.fim.unimore.it/2019/mod/resource/view.php?id=2716"}><code>Ex_LP_testo</code></a>.
</Example>
<p>
Perchè sia possibile effettuare il Simplex è necessario che l&apos;<b>origine sia nel poliedro</b>:
pertanto, <b>non</b> è possibile che un problema risolto con il Simplex sia <Empty/>.
</p>
</Box>
<Box title={"I passi"}>
<ol>
<li>Trasforma il sistema in <b>forma standard</b>.</li>
<li>Trova tante variabili <b>linearmente indipendenti</b> quante siano le righe: esse saranno
la <i>base iniziale</i>.
</li>
<li>Finchè ci sono variabili con coefficienti <Min>positivi</Min>/<Max>negativi</Max> nella
funzione obiettivo:
<ol>
<li>
<p>
<b>Scegli</b> la prima variabile fuori base con
coefficiente <Min>positivo</Min>/<Max>negativo</Max> nella funzione obiettivo: essa
è la <i>variabile entrante</i>.
</p>
<aside><u>Regola di Bland</u>: Si potrebbe scegliere qualsiasi variabile come
entrante, ma scegliendo sempre la prima ammissibile ci si assicura che
l&apos;algoritmo termini.
</aside>
</li>
<li>
<p>
<b>Scegli</b> la variabile in base con il minor rapporto
positivo:
</p>
<PLatex>{r`\frac{b_i}{A_ik}`}</PLatex>
<aside>
Se non sei riuscito a trovare nessuna variabile con un rapporto positivo,
significa che il poliedro è <Unbounded/>.
</aside>
</li>
<li>
<p>
<u>Pivot</u>: <b>trasforma</b> tutte le funzioni del sistema in modo che abbiano 0
nella colonna della variabile entrante, tranne nella riga della variabile uscente,
in cui avrà 1.
</p>
</li>
</ol>
</li>
<li>Il poliedro è <Finite/>: i <b>termini noti dei vincoli</b> sono le coordinate del suo
vertice ottimo, mentre il <b>termine noto della funzione obiettivo</b> è il valore ottimo.
</li>
</ol>
</Box>
<Box title={"Soluzioni di base degenerata"}>
<p>
Una soluzione con almeno una variabile di valore <Latex>0</Latex>, dovuta a uno o più <b>vincoli
ridondanti</b>.
</p>
<p>
Senza <b>Regola di Bland</b> e in presenza di vincoli ridondanti si rischia di trovarsi a fare
pivot infiniti.
</p>
</Box>
</Split>
<Split title={"Metodo delle due fasi"}>
<Box title={"Metodo delle due fasi"}>
<p>
Un <b>estensione del Simplex</b> per permettere la risoluzione di problemi la cui <b>origine non
è una soluzione ammissibile</b>.
</p>
<p>
Prevede l&apos;introduzione di un <i>problema ausiliario</i>, le cui incognite sono
dette <i>artificiali</i>.
</p>
<p>
Il vettore delle incognite artificiali è solitamente chiamato <Latex>{r`\mathbf{y}`}</Latex>.
</p>
</Box>
<Box title={"Procedimento"}>
<ol>
<li>Crea un nuovo tableau, <b>aggiungendo variabili artificiali</b> in modo da avere una base
ammissibile.
</li>
<li>Sostituisci la vecchia funzione obiettivo con una nuova che <b>minimizzi la somma</b> di
tutte le variabili artificiali.
</li>
<li><u>Fase 1</u>: <b>Risolvi</b> il nuovo problema con il Simplex primale.</li>
<li>Se il Simplex termina quando ci sono ancora <b>variabili artificiali nella base</b>, allora
il poliedro è <b><Empty/></b>.
</li>
<li>Una volta che le variabili artificiali sono fuori base, <b>elimina</b> le loro colonne e la
nuova funzione obiettivo.<br/></li>
<li>Riporta il tableau in forma base compiendo operazioni per <b>azzerare i
coefficienti</b> delle variabili di base nella funzione obiettivo.
</li>
<li><u>Fase 2</u>: <b>Risolvi</b> il tableau con il Simplex primale.</li>
</ol>
</Box>
</Split>
<Split title={"Rilassamento"}>
<Box title={"Cos'è?"}>
<p>
Una versione semplificata di un problema nella quale si <b>ignora la violazione</b> di uno o più
vincoli.
</p>
</Box>
<Box title={"Rilassamento di Lagrange"}>
<p>
Un rilassamento che permette di misurare <b>di quanto i vincoli vengono violati</b>.
</p>
<p>
I vincoli, moltiplicati per <b>coefficienti di rilassamento</b>, vengono inseriti nella funzione
obiettivo.
</p>
<p>
Il vettore dei coefficienti di rilassamento solitamente è indicato
con <Latex>{r`\mathbf{u}`}</Latex>.
</p>
<Example>
<p>
Il sistema:
</p>
<Latex block={true}>{r`
\begin{cases}
z = 3 x_1 + 5 x_2\\
2 x_1 + 3 x_2 \geq 12\\
- x_1 + 3 x_2 \geq 3\\
x_1 \geq 0\\
x_2 \geq 0
\end{cases}
`}</Latex>
<p>
diventa:
</p>
<Latex block={true}>{r`
\begin{cases}
z = 3 x_1 + 5 x_2 + u_1 ( 12 - 2 x_1 - 3 x_2 ) + u_2 ( 3 + x_1 - 3 x_2 )\\
x_1 \geq 0\\
x_2 \geq 0
\end{cases}
`}</Latex>
</Example>
</Box>
</Split>
<Split title={"Dualità"}>
<Box title={"Duale"}>
<p>
Il sistema che <b><Min>massimizza</Min>/<Max>minimizza</Max> i moltiplicatori di
rilassamento</b> di un problema detto <i>primale</i>.
</p>
</Box>
<Box title={"In termini matriciali"}>
<p>
Possiamo <b>trasporre</b> il tableau e sostituire le variabili <Latex>{r`x_n`}</Latex> con
variabili <Latex>{r`u_n`}</Latex> per ottenere il sistema duale!
</p>
<p>
I maggiori e minori dei vincoli diventeranno maggiori e minori delle variabili e viceversa.
</p>
</Box>
<Box title={"Feasibility del duale"}>
<ul>
<li>Se un problema ha una <b>soluzione finita</b>, allora anche il suo duale la avrà.</li>
<li>Se un problema è <b><Empty/></b>, allora il suo duale potrà
essere <Empty/> oppure <Unbounded/>.
</li>
<li>Se un problema è <b><Unbounded/></b>, allora il suo duale sarà certamente <Empty/>.</li>
</ul>
</Box>
<Box title={"Variabili e vincoli"}>
<p>
Variabili e vincoli del duale corrispondono rispettivamente a vincoli e variabili del primale.
</p>
<p>
In particolare:
</p>
<table>
<thead>
<tr>
<th><Min>Min</Min></th>
<th><Max>Max</Max></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>Vincolo <ILatex>\leq</ILatex></td>
<td>Variabile <ILatex>\leq</ILatex></td>
</tr>
<tr>
<td>Vincolo <ILatex>\geq</ILatex></td>
<td>Variabile <ILatex>\geq</ILatex></td>
</tr>
<tr>
<td>Vincolo <ILatex>=</ILatex></td>
<td>Variabile <b>libera</b></td>
</tr>
<tr>
<td>Variabile <ILatex>\leq</ILatex></td>
<td>Vincolo <ILatex>\geq</ILatex></td>
</tr>
<tr>
<td>Variabile <ILatex>\geq</ILatex></td>
<td>Vincolo <ILatex>\leq</ILatex></td>
</tr>
<tr>
<td>Variabile <b>libera</b></td>
<td>Vincolo <ILatex>=</ILatex></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</Box>
</Split>
<Split title={"Un po' di teoria"}>
<Box title={"Lemma di Farkas"}>
<p>
Una disuguaglianza lineare <Latex>{r`c_0 \leq \mathbf{c}^T \mathbf{x}`}</Latex> è verificata da
tutti i punti di un poliedro non-<Empty/> se e solo se esiste un
vettore <Latex>{r`u \in \mathfrak{R}^m`}</Latex> tale che:
</p>
<PLatex>{r`\mathbf{c}^T \geq \mathbf{u}^T \mathbf{A}`}</PLatex>
<PLatex>{r`c_0 \leq \mathbf{u}^T \mathbf{b}`}</PLatex>
</Box>
<Box title={"Dualità forte"}>
<p>
Il teorema che dimostra l&apos;equivalenza tra primale e duale.
</p>
<p>
Se uno dei due problemi è finito, la soluzione di uno coincide con la soluzione dell&apos;altro.
</p>
<p>
<Latex>{r`\mathbf{c}^T \mathbf{x} = \mathbf{u}^T \mathbf{b}`}</Latex>
</p>
<p>
<Todo>TODO: Anche qui c&apos;è una lunga dimostrazione...</Todo>
</p>
</Box>
<Box title={"Dualità debole"}>
<p>
Il teorema che dimostra che il valore della funzione obiettivo del duale (di un qualsiasi
tableau) è sempre <Min>minore o uguale</Min>/<Max>maggiore o uguale</Max> alla soluzione del
corrispettivo primale.
</p>
<p>
<Todo>TODO: Dimostrazione cortina, ma sembra complicata.</Todo>
</p>
</Box>
<Box title={"Condizioni di ottimalità"}>
<p>
Il teorema che ci permette di passare dalla soluzione del duale alla soluzione del
primale. <Todo>TODO: credo?</Todo>
</p>
<p>
Si deriva combinando le seguenti condizioni:
</p>
<ul>
<li>Ammissibilità del
primale: <Latex>{r`\mathbf{A} \mathbf{X} \geq \mathbf{b}, \quad \mathbf{x} \geq 0`}</Latex>
</li>
<li>Ammissibilità del
duale: <Latex>{r`\mathbf{u}^T \mathbf{A} \leq \mathbf{c}^T, \quad \mathbf{u} \geq 0`}</Latex>
</li>
<li>Teorema della dualità
forte: <Latex>{r`\mathbf{c}^T \mathbf{x} = \mathbf{u}^T \mathbf{b}`}</Latex> (alla soluzione
ottima)
</li>
</ul>
<p>
Ne risulta che una soluzione è ottima se e solo se:
</p>
<PLatex>{r`\left( \mathbf{c}^T - \mathbf{u}^T \mathbf{A} \right) \mathbf{x} = 0`}</PLatex>
<PLatex>{r`\mathbf{u}^T \left( \mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b} \right) = 0`}</PLatex>
</Box>
</Split>
<Split title={"Simplex duale"}>
<Box title={"Cos'è?"}>
<p>
Un&apos;estensione al Simplex primale che opera sul problema duale.
</p>
</Box>
<Box title={"Come funziona?"}>
<p>
Funziona esattamente come il Simplex primale, ma opera sul duale.
</p>
</Box>
</Split>
<Split title={"Analisi di sensibilità"}>
<Box title={"Cos'è?"}>
<p>
Un procedimento che misura di <b>quanto può variare</b> il termine noto di un
vincolo <Latex>{r`b_i`}</Latex> o il coefficiente della funzione
obiettivo <Latex>{r`c_i`}</Latex> prima che la base degeneri.
</p>
</Box>
</Split>
<Split title={"Ottimizzazione lineare intera"}>
<Box title={"Cos'è?"}>
<p>
Particolari problemi di ottimizzazione lineare in cui le <b>variabili sono vincolate ad essere
numeri interi</b>.
</p>
<PLatex>{r`
\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n
`}</PLatex>
<p>
Spesso detti anche <i>problemi di <abbr title={"Integer Linear Programming"}>ILP</abbr></i>.
</p>
</Box>
<Box title={"Rilassamento lineare"}>
<p>
Un rilassamento che rimuove il <b>vincolo di integrità</b> a un problema, trovando la sua <b>soluzione
continua</b>.
</p>
</Box>
</Split>
<Split title={"Dal rilassamento alla soluzione"}>
<Box title={"Enumerazione totale"}>
<p>
Un <b>modo</b> per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera di un problema
di ILP.
</p>
<p>
Consiste nel calcolare la soluzione di ogni singolo punto incluso nel poliedro, e selezionare
la <Min>minore</Min>/<Max>maggiore</Max>.
</p>
<p>
Trova <b>sicuramente</b> la soluzione giusta, ma il costo computazionale è
esponenziale <ILatex>O(n^k)</ILatex>!
</p>
</Box>
<Box title={"Arrotondamento"}>
<p>
Un altro <b>modo</b> per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera di un
problema di ILP.
</p>
<p>
Consiste nell&apos;<b>arrotondare tutte le variabili al loro valore intero più vicino</b>, e
calcolarne il valore ottimo.
</p>
<p>
Funziona bene per valori grandi, ma più essi si avvicinano allo 0 più l&apos;<b>errore diventa
grande</b>.
</p>
</Box>
<Box title={"Piani secanti"}>
<p>
Un altro <b>modo</b> ancora per passare dalla soluzione del rilassamento alla soluzione intera
di un problema di ILP.
</p>
<p>
Consiste nel tagliare il poliedro con nuovi vincoli (<i>piani secanti</i>) che <b>riducono le
possibili soluzioni continue</b> ma non quelle intere.
</p>
<p>
Per selezionare i vincoli, si usano i <b>tagli di Gomory</b>:
</p>
<PLatex>{r`
\sum_{j \in F} \left( \left( a_{tj} - \lfloor a_{tj} \rfloor \right) \cdot x_j \right) \geq (b_t - \lfloor b_t \rfloor)
`}</PLatex>
<p>
Per ogni valore noto frazionario si viene quindi a creare <b>una nuova variabile in base</b> e
un nuovo vincolo formato dall&apos;opposto di tutti i valori frazionari dei coefficienti fuori base.
</p>
<Example>
<p>
Il tableau:
<table>
<thead>
<tr>
<th><BLatex>{r`x_1`}</BLatex></th>
<th><BLatex>{r`x_2`}</BLatex></th>
<th><BLatex>{r`s_1`}</BLatex></th>
<th><BLatex>{r`s_2`}</BLatex></th>
<th><abbr title={"Termine noto"}>TN</abbr></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`3`}</BLatex></td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\frac{3}{2}`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`\frac{1}{2}`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`\frac{6}{5}`}</BLatex></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</p>
<p>
Diventa:
<table>
<thead>
<tr>
<th><BLatex>{r`x_1`}</BLatex></th>
<th><BLatex>{r`x_2`}</BLatex></th>
<th><BLatex>{r`s_1`}</BLatex></th>
<th><BLatex>{r`s_2`}</BLatex></th>
<th style={{backgroundColor: "rgba(255, 255, 0, 0.1)"}}><BLatex>{r`s_3`}</BLatex>
</th>
<th><abbr title={"Termine noto"}>TN</abbr></th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(255, 255, 0, 0.1)"}}><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(255, 255, 0, 0.1)"}}><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`3`}</BLatex></td>
</tr>
<tr>
<td><BLatex>{r`\frac{3}{2}`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`\frac{1}{2}`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(255, 255, 0, 0.1)"}}><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`\frac{6}{5}`}</BLatex></td>
</tr>
<tr style={{backgroundColor: "rgba(255, 255, 0, 0.1)"}}>
<td><BLatex>{r`-\frac{1}{2}`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`-\frac{1}{2}`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`0`}</BLatex></td>
<td style={{backgroundColor: "rgba(255, 255, 0, 0.2)"}}><BLatex>{r`1`}</BLatex></td>
<td><BLatex>{r`-\frac{1}{5}`}</BLatex></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</p>
</Example>
</Box>
<Box title={"Divide et impera"}>
<p>
È possibile usare la tecnica <i>divide et impera</i> per rendere più efficiente l&apos;<b>enumerazione
totale</b>.
</p>
<p>
Si divide il problema principale (trovare il valore ottimo di un problema di ILP) in più
sottoproblemi (trovare il valore ottimo di un problema di ILP con una variabile impostata a un
valore fisso).
</p>
<p>
Si crea così un <b>albero</b>.
</p>
<p>
È possibile <b>chiudere in anticipo</b> alcuni nodi dell&apos;albero se il loro miglior possibile
valore ottimo è inferiore a uno precedentemente trovato o se il loro poliedro è <Empty/>.
</p>
<p>
È possibile utilizzare diverse <b>strategie di esplorazione</b> dell&apos;albero:
</p>
<ul>
<li><b>depth-first</b>: permette di raggiungere immediatamente a una soluzione accettabile
(ma non ottimale)
</li>
<li><b>best-first</b>: permette di raggiungere più velocemente alla soluzione corretta</li>
</ul>
</Box>
<Box title={"Seca et impera"}>
<p>
È possibile combinare il metodo dei <b>tagli secanti</b> con la tecnica <b>divide et
impera</b> per raggiungere ancora più velocemente a una soluzione.
</p>
<p>
Si effettuano <b>poche iterazioni</b> del metodo dei tagli secanti, e sul risultato di quelle
iterazioni si applica il <b>divide et impera</b>.
</p>
</Box>
</Split>
<Split title={<span>Terminologia dei grafi <Todo>TODO: migliorare</Todo></span>}>
<Box title={"Grafo"}>
<p>
Insieme di <b>nodi</b> <ILatex>{r`N`}</ILatex> e <b>archi</b> <ILatex>{r`E`}</ILatex> che li
connettono.
</p>
<p>
Può essere <b>diretto</b> se gli archi hanno una direzione.
</p>
</Box>
<Box title={"Nodi adiacenti"}>
<p>
Nodi <b>connessi da un arco</b>.
</p>
</Box>
<Box title={"Arco incidente"}>
<p>
Arco <b>connesso a un dato nodo</b>.
</p>
</Box>
<Box title={"Arco entrante o uscente"}>
<p>
Un arco diretto che <b>termina</b> o <b>inizia</b> da un dato nodo.
</p>
</Box>
<Box title={"Grado"}>
<p>
<b>Conteggio</b> degli archi incidenti di un nodo.
</p>
<p>
Si può calcolare anche relativamente agli archi entranti o agli archi uscenti.
</p>
</Box>
<Box title={"Percorso"}>
<p>
Sequenza di <b>archi consecutivi</b>.
</p>
</Box>
<Box title={"Connessione"}>
<p>
Due nodi sono connessi se tra loro esiste <b>almeno un percorso</b>.
</p>
<p>
Un grafo è connesso se tutti i suoi nodi sono connessi.
</p>
</Box>
<Box title={"Cicli e circuiti"}>
<p>
Percorsi rispettivamente indiretti e diretti in cui l&apos;inizio coincide con la fine.
</p>
</Box>
<Box title={"Grafo completo"}>
<p>
Grafo in cui ogni nodo è connesso con ogni altro.
</p>
<p>
Se diretto, contiene <ILatex>{r`n \cdot (n - 1)`}</ILatex> archi; altrimenti, ne contiene la
metà.
</p>
</Box>
<Box title={"Matrice di adiacenza"}>
<blockquote>
Vedi <Link href={"/year2/algoritmi"}>Algoritmi</Link>.
</blockquote>
</Box>
<Box title={"Lista di adiacenza"}>
<blockquote>
Vedi <Link href={"/year2/algoritmi"}>Algoritmi</Link>.
</blockquote>
</Box>
<Box title={"Taglio"}>
<p>
Sottoinsieme di archi che connettono due sottoinsiemi di nodi.
</p>
<p>
Può essere anche uscente o entrante; in tal caso include solo gli archi entranti o uscenti dal
sottoinsieme.
</p>
</Box>
<Box title={"Sottografo"}>
<p>
Sottoinsieme di nodi e archi di un grafo.
</p>
<p>
Tutti gli archi di un sottografo possono connettere solo nodi all&apos;interno di esso.
</p>
</Box>
<Box title={"Albero"}>
<p>
Sottografo connesso e aciclico.
</p>
</Box>
<Box title={"Spanning tree"}>
<p>
Albero che include tutti i nodi di un grafo.
</p>
</Box>
</Split>
<Split title={"Algoritmi con i grafi"}>
<Box title={"Prim"}>
<p>
Crea uno spanning tree.
</p>
<ol>
<li>Aggiungi l&apos;arco di costo minimo all&apos;albero.</li>
<li>Finchè mancano ancora archi:
<ol>
<li>Trova tutti gli archi che aggiungerebbero un nuovo nodo all&apos;albero.</li>
<li>Seleziona l&apos;arco di costo minore.</li>
</ol>
</li>
</ol>
</Box>
<Box title={"Ordine topologico"}>
<p>
Trova l&apos;ordine topologico di un albero.
</p>
<ol>
<li>Ripeti finchè ci sono nodi nel grafo:
<ol>
<li>Assegna un numero sequenziale a un nodo senza archi entranti.</li>
<li>Elimina il nodo a cui hai assegnato il numero.</li>
<li>Elimina tutti gli archi incidenti sul nodo che hai eliminato.</li>
</ol>
</li>
</ol>
</Box>
<Box title={"Percorsi minimi in grafo diretto"}>
<p>
Trova i percorsi di costo minimo in un albero.
</p>
<ol>
<li>Trova l&apos;ordine topologico dell&apos;albero.</li>
<li>Invece che provare ogni singola combinazione di nodi, prova solo i nodi che hanno un numero
topologico maggiore di quello del nodo attuale.
</li>
</ol>
<p>
<Todo>TODO: forse spiegarlo meglio non farebbe male</Todo>
</p>
</Box>
</Split>
<Split>
<Box title={"Algoritmo di Dijkstra"}>
<blockquote>
Vedi <Link href={"/year2/algoritmi"}>Algoritmi</Link>.
</blockquote>
</Box>
<Panel title={"Algoritmo di Ford-Fulkerson"}>
<Example>
Trova il volume massimo di acqua che è possibile fare scorrere attraverso tubature con una data
capacità.
</Example>
<p>
Costruisci il grafo residuo e vedi se c&apos;è un percorso che va dalla sorgente alla destinazione.
</p>
<p>
<Image src={imgFJk44q0} alt="Un esempio di grafo diretto con uso corrente e capacità." title="Un esempio di grafo diretto con uso corrente e capacità."/>
</p>
<p>
<Image src={imgfzb6xz2} alt="Il grafo residuo dell'esempio precedente: visto che c'è un percorso che connette la sorgente al pozzo, è possibile aumentare il flusso attraverso gli archi di quel percorso." title="Il grafo residuo dell'esempio precedente: visto che c'è un percorso che connette la sorgente al pozzo, è possibile aumentare il flusso attraverso gli archi di quel percorso."/>
</p>
</Panel>
</Split>
<Section>
<Panel title={"Parametri"}>
<p>
Valori che sono calcolati <b>al momento della compilazione</b> del programma:
</p>
<Code>
param nomeparametro;
</Code>
<p>
Si possono assegnare valori ai parametri nel codice con:
</p>
<Code>
nomeparametro := 123 + 234;
</Code>
</Panel>
<Panel title={"Set"}>
<p>
Insiemi di parametri:
</p>
<Code>
set NOMESET;
</Code>
<p>
Si possono definire i contenuti dei set con:
</p>
<Code>{r`
set DA_UNO_A_DIECI := 1 .. 10;
set DA_UNO_A_PARAMETRO := 1 .. parametro;
`}</Code>
<p>
Si possono effettuare operazioni su set con:
</p>
<Code>{r`
set UNIONE := SET_A union SET_B;
set INTERSEZIONE := SET_A inter SET_B;
`}</Code>
</Panel>
<Panel title={"Variabili"}>
<p>
Valori che sono <b>calcolati al momento dell&apos;esecuzione</b> del programma:
</p>
<Code>
var nomevariabile;
</Code>
</Panel>
</Section>
<Section>
<Panel title={"Requisiti"}>
<p>
È possibile richiedere che un parametro o una variabile soddisfino certi <i>requisiti</i>.
</p>
<p>
Si può richiedere che <b>siano <ILatex>{r`\geq`}</ILatex> o <ILatex>{r`\leq`}</ILatex> di un certo valore</b>:
</p>
<Code>{r`
param positivo, > 0;
var non_positiva, <= 0;
`}</Code>
<p>
Si può richiedere che <b>appartengano a un dato set</b>:
</p>
<Code>{r`
param intero_positivo, integer, > 0;
var zero_oppure_uno, binary;
`}</Code>
</Panel>
<Panel title={"Indici"}>
<p>
È possibile creare anche un &quot;array&quot; di parametri o variabili:
</p>
<Code>{r`
param dieci_parametri{1..10};
var quadrato{1..10, 1..10};
var cubo{1..10, 1..10, 1..10};
`}</Code>
<p>
Si possono usare anche set:
</p>
<Code>{r`
param dieci_parametri{DA_UNO_A_DIECI};
`}</Code>
</Panel>
</Section>
<Section>
<Panel title={"Funzione obiettivo"}>
<p>
La funzione obiettivo <b>può comparire solo una volta</b> nel programma.
</p>
<p>
Si definisce con:
</p>
<Code>{r`
minimize valore_ottimo_min: espressione;
maximize valore_ottimo_max: espressione;
`}</Code>
</Panel>
<Panel title={"Vincoli"}>
<p>
I vincoli a cui sono soggette le variabili si definiscono con:
</p>
<Code>{r`
nome_vincolo_1: espressione <= 1;
nome_vincolo_2: espressione >= parametro;
`}</Code>
<p>
I vincoli possono essere indicizzati:
</p>
<Code language={"gmpl"}>{r`
// La diagonale del quadrato deve essere minore di 1
v_3{i in DA_UNO_A_DIECI}: quadrato[i, i] <= 1;
// Tutti i valori del quadrato devono essere minori o uguali a 1
v_4{i in DA_UNO_A_DIECI, j in DA_UNO_A_DIECI}: quadrato[i, j] <= 1;
`}</Code>
<p>
Esistono anche operatori aggregati:
</p>
<Code language={"gmpl"}>{r`
// La somma degli elementi della diagonale deve essere maggiore o uguale a 0
v_5: sum{i in DA_UNO_A_DIECI} quadrato[i, i] >= 0;
// Il prodotto degli elementi della diagonale deve essere maggiore o uguale a 0
v_6: prod{i in DA_UNO_A_DIECI} quadrato[i, i] >= 0;
`}</Code>
<p>
Si possono anche aggiungere requisiti agli indici:
</p>
<Code>{r`
v_7: sum{i in DA_UNO_A_DIECI, i <= 5} quadrato[i, i] >= 0;
v_8: prod{i in SET, i not in ALTRO_SET} quadrato[i, i] >= 0;
`}</Code>
</Panel>
</Section>
<Section>
<Panel title={"Termine del programma"}>
<p>
Perchè il programma calcoli i valori di tutte le variabili, è necessaria l&apos;istruzione:
</p>
<Code>{r`
solve;
`}</Code>
<p>
Per stampare i valori calcolati, è possibile usare:
</p>
<Code>{r`
printf "%d \n", nomevar;
`}</Code>
<p>
Eventualmente, anche in un ciclo for:
</p>
<Code>{r`
for{i in DA_UNO_A_DIECI} {
printf "%d: %d \n", i, x[i];
}
`}</Code>
</Panel>
<Panel title={"Compilare ed eseguire"}>
<p>
Per compilare ed eseguire il programma, è sufficiente eseguire:
</p>
<Code language={"bash"}>
glpsol --math nomefile.mod
</Code>
<p>
È possibile specificare i dati in un file separato da quello del modello; in tal caso, si dovrà eseguire:
</p>
<Code language={"bash"}>
glpsol --math -m modello.mod -d dati.mod
</Code>
<p>
Per salvare i risultati su file e visualizzarli a schermo:
</p>
<Code language={"bash"}>
glpsol --math nomefile.mod | tee risultati.txt
</Code>
</Panel>
</Section>
</>
}
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