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[[algoritmo di approssimazione]] per il [[problema del commesso viaggiatore]].
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Per questo problema, il [[fattore di approsimazione]] $\alpha$ può essere costante solo se [[P=NP]].
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> L'algoritmo di approssimazione a fattore costante è riducibile alla [[ricerca di ciclo hamiltoniano]].
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## Sfruttando la [[proprietà triangolare per il costo degli archi]]
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### Algoritmo
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#### $Tree$
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Si può trovare il [[albero di copertura minimo]] di $Graph$ in tempo [[polinomiale]].
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#### $2 \cdot Tree$
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Si [[raddoppiamento di arco|raddoppiano]] gli archi di $Tree$.
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#### $Euler$
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Si trova il [[ciclo euleriano]] per $2 \cdot Tree$.
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#### $Hamilton$
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Si trova il [[ciclo hamiltoniano]] per $Tree$, usando *shortcut*:
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- Si selezionano i nodi di $Euler$ mantenendoli nello stesso ordine, ma scartando quelli che vi appaiono due volte, e poi connettendo l'ultimo al primo.
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$Hamilton$ è la soluzione approssimata, con [[fattore di approsimazione]] $2$.
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### Dimostrazione
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#### $cost(Hamilton) \leq cost(Euler)$
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Per la [[proprietà triangolare per il costo degli archi]].
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#### $cost(Euler) = 2 \cdot cost(Tree)$
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Per via del [[raddoppiamento di arco|raddoppiamento di archi]].
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#### $2 \cdot cost(Tree) \leq 2 \cdot cost(Optimal)$
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Togliendo un arco qualsiasi, $Optimal$ diventa un [[albero di copertura]].
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$Tree$ è un altro [[albero di copertura]], ma [[albero di copertura minimo|minimo]].
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### [[Tightness]]
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#TODO was busy fixing the rest of the notes
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## Algoritmo di Christofides
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#### $Tree$
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Si può trovare il [[albero di copertura minimo]] di $Graph$ in tempo [[polinomiale]].
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#### $Perfect$
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Si trova il [[minimum perfect matching]] dei nodi di [[grado di un nodo|grado]] dispari di $Tree$.
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#### $Merged$
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Si uniscono gli archi di $Perfect$ a $Tree$.
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#### $Euler$
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Si trova il [[ciclo euleriano]] per $Merged$.
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#### $Hamilton$
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Si trova il [[ciclo hamiltoniano]] per $Tree$, usando *shortcut*:
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- Si selezionano i nodi di $Euler$ mantenendoli nello stesso ordine, ma scartando quelli che vi appaiono due volte, e poi connettendo l'ultimo al primo.
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$Hamilton$ è la soluzione approssimata, con [[fattore di approsimazione]] $2$.
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