mirror of
https://github.com/Steffo99/appunti-magistrali.git
synced 2024-11-22 10:44:17 +00:00
62 lines
2.4 KiB
Markdown
62 lines
2.4 KiB
Markdown
|
---
|
||
|
|
aliases:
|
||
|
|
- traveling salesman problem
|
||
|
|
- TSP
|
||
|
|
---
|
||
|
|
[[problema di ottimizzazione]] appartenente alla [[classe di problemi NP-difficili]].
|
||
|
|
## Enunciato
|
||
|
|
|
||
|
|
Dato un [[grafo completo]] pesato, qual è il [[ciclo hamiltoniano]] di costo minimo?
|
||
|
|
|
||
|
|
### Verifica
|
||
|
|
|
||
|
|
Dato un [[grafo completo]] pesato, e un [[ciclo hamiltoniano]], esso è quello di costo minimo?
|
||
|
|
|
||
|
|
## Dimostrazione della [[classe di problemi NP-difficili]]
|
||
|
|
|
||
|
|
Si può fare uso della [[ricerca di ciclo hamiltoniano]] per dimostrare la classe di appartenenza di questo problema.
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
\def \varGraphA {{\color{DarkSalmon} Graph_{Hamilton}}}
|
||
|
|
\def \varEdgesA {{\color{LightSalmon} Edges_{Hamilton}}}
|
||
|
|
\def \varGraphB {{\color{Orchid} Graph_{Salesman}}}
|
||
|
|
\def \varEdgesB {{\color{Thistle} Edges_{Salesman}}}
|
||
|
|
\def \varCost {{\color{MediumPurple} Cost_{Salesman}}}
|
||
|
|
\def \varNodes {{\color{SpringGreen} Nodes_{Shared}}}
|
||
|
|
|
||
|
|
\tiny\color{Gray} [Definizione\ variabili\ \TeX\ qui]
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
|
||
|
|
Partiamo dal [[grafo]] semplice della [[ricerca di ciclo hamiltoniano]], che definiamo così:
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
\varGraphA = (\varNodes, \varEdgesA)
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
|
||
|
|
Vogliamo associare ogni [[istanza]] di esso a un'[[istanza]] di problema del commesso viaggiatore, che però richiede che il grafo sia [[grafo completo|completo]] e pesato:
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
\varGraphB = (\varNodes, \varEdgesB)
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
|
||
|
|
Allora, sfruttiamo i pesi a nostro vantaggio per creare un grafo in cui gli archi di $\varGraphA$ siano sempre preferiti nella scelta del percorso:
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
\forall\ edge \in \varEdgesB : cost(edge) = \begin{cases}
|
||
|
|
\textrm{if}\ edge \in \varEdgesA & 0
|
||
|
|
\\\\
|
||
|
|
\textrm{else} & 1
|
||
|
|
\end{cases}
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
Una volta determinata la soluzione del problema del commesso viaggiatore, giungeremo a conoscenza del costo minimo del percorso che attraversa tutti i nodi:
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
travelingSalesmanProblem(\varGraphB) = \varCost
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
|
||
|
|
In base al costo minimo $\varCost$ risultante, possiamo determinare la risposta al problema di [[ricerca di ciclo hamiltoniano]].
|
||
|
|
|
||
|
|
Infatti, se una soluzione ad esso esiste, il problema del commesso viaggiatore darà $\varCost = 0$, in quanto tutti gli archi di $\varGraphA$ sono preferiti per via del loro peso minore; viceversa, se una soluzione ad esso non esiste, l'output sarà $\varCost > 0$, che significa che è necessario aggiungere il dato numero di archi ulteriori per formare un [[ciclo hamiltoniano]]:
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
\begin{cases}
|
||
|
|
\textrm{if}\ \varCost = 0 & \exists\ hamiltonianCycle(\varGraphA)
|
||
|
|
\\\\
|
||
|
|
\textrm{else} & \not\exists\ hamiltonianCycle(\varGraphA)
|
||
|
|
\end{cases}
|
||
|
|
$$
|