Updates from last day

0 - Generale/concatenazione di funzione.md

@@ -0,0 +1,17 @@
+[[operazione]] tra due [[funzione|funzioni]].
+$$
+\Huge
+\circ
+$$
+
+Crea una nuova [[funzione]] che passa l'input alla prima, poi passa il risultato di quella funzione come input alla seconda, e restituisce quello come risultato.
+$$
+\Large
+{\color{lime} f_{esterna}}({\color{orange} f_{interna}}(x)) 
+= 
+{\color{lime} f_{esterna}} \circ {\color{orange} f_{interna}}\ (x)
+$$
+
+
+> [!Tip]
+> È come il [[pipe]] in bash!

7 - Fondamenti di machine learning/2 - Calcolo vettoriale/derivabilità direzionale.md

@@ -10,7 +10,33 @@ $$
 \derivativeDirectionalSimple{x}{s}
 $$
 
-Una funzione ha questa proprietà rispetto a $s$ in $x_0$ quando:
+Una [[funzione]] ha questa [[proprietà]] rispetto alla [[direzione]] $s$ in $x_0$ quando:
 - $\derivativeDirectionalSimple{x}{s}$ e $\derivativeDirectionalSimple{x}{-s}$ esistono
 - $\derivativeDirectionalSimple{x}{s}$ e $\derivativeDirectionalSimple{x}{-s}$ sono finite
 - $\derivativeDirectionalSimple{x}{s}$ e $\derivativeDirectionalSimple{x}{-s}$ sono uguali
+
+## Calcolo
+
+Consideriamo la [[varietà affine reale]]:
+$$
+\varietyAffine{c} = x_0 + c \cdot s
+$$
+
+Se una [[funzione]] $f$ è [[differenziabilità|differenziabile]], allora esistono le [[derivata parziale|derivate parziali]]:
+$$
+\displaylines{
+	\forall \par{
+		{\color{cyan} direzione} 
+		\in 
+		\hsh{1 \dots \fmlInputSize}_{\mathbb{N}}
+	}
+	:
+	\exists \par{
+		\derivativePartial{x}{{\color{cyan} direzione}}
+	}
+}
+$$
+Inoltre, ==esiste la [[varietà affine reale]]==:
+$$
+\varietyAffine[X_i]{a}
+$$

7 - Fondamenti di machine learning/2 - Calcolo vettoriale/differenziabilità in un punto.md

@@ -2,12 +2,13 @@
 aliases:
   - funzione differenziabile in un punto
   - differenziabile in un punto
+  - differenziabile in
 ---
 
 [[proprietà]] di una [[funzione]].
 
-Una funzione ha questa proprietà rispetto in $x_0$ quando:
+Una [[funzione]] ha questa proprietà rispetto in $x_0$ quando:
-- per qualsiasi direzione $s$, la funzione ha [[derivabilità direzionale]].
+- per qualsiasi direzione $s$, la [[funzione]] ha [[derivabilità direzionale]].
 
 Per via delle proprietà della [[base canonica]], questo è equivalente a dire che:
-- per qualsiasi [[array|vettore]] $\basisCanonElement$ della [[base canonica]] $\basisCanon$, la funzione ha [[derivabilità direzionale]].
+- per qualsiasi [[array|vettore]] $\basisCanonElement$ della [[base canonica]] $\basisCanon$, la [[funzione]] ha [[derivabilità direzionale]].

7 - Fondamenti di machine learning/2 - Calcolo vettoriale/gradiente.md

@@ -1,7 +1,7 @@
 [[vettore colonna]].
 $$
 \Huge
-\derivativeGradient
+\derivativeGradientSimple{x}
 $$
 
 Contiene le [[derivata parziale|derivate parziali]] per tutti gli elementi della [[base canonica]].

7 - Fondamenti di machine learning/2 - Calcolo vettoriale/matrice Hessiana.md

@@ -8,7 +8,7 @@ $$
 \hessianSimple{x}
 $$
 
-I suoi elementi sono definiti come le $(riga,colonna)$-esime [[derivata parziale|derivate parziali]] della funzione $f$:
+I suoi elementi sono definiti come le $(riga,colonna)$-esime [[derivata parziale|derivate parziali]] della [[funzione]] $f$:
 $$
 \Large
 \hessianSimple{x}

7 - Fondamenti di machine learning/2 - Calcolo vettoriale/varietà affine reale.md

@@ -6,14 +6,18 @@ aliases:
 
 $$
 \Huge
-\mathscr{X}(m)
+\varietyAffine{c}
 $$
 
 I [[punto|punti]] sono determinati da una specifica [[traslazione]] di un [[punto]] iniziale per una specifica [[base matematica|base]] scalata per un numero reale.
 
 $$
-\mathscr{X}(m) = x + (m \cdot s) 
+\Large
+\varietyAffine{c} = x_0 + (c \cdot s) 
 $$
 
 > [!Nota]
 > In $\mathbb{R}^3$ è una [[retta]]. ==O in tutti i numeri reali?== ==Posso immaginare che nei complessi sia un piano...==
+
+> [!Tip]
+> ==In realtà è una [[funzione]] che restituisce un punto dell'[[insieme]]...==

7 - Fondamenti di machine learning/2 - Calcolo vettoriale/★ simboli per il calcolo vettoriale.md

@@ -3,9 +3,10 @@
 |                        $\basisCanon$ | [[base canonica]]                                                 |
 |                 $\basisCanonElement$ | $i$-esimo elemento della [[base canonica]]                        |
 |                              $\smol$ | [[infinitesimo]]                                                  |
+|                                      |                                                                   |
 | $\derivativeDirectionalSimple{x}{s}$ | [[derivata direzionale unilaterale]]                              |
 |       $\derivativeDirectional{x}{s}$ | [[derivata direzionale]] in $x_0$ per $s$                         |
 |           $\derivativePartial{x}{i}$ | $i$-esima [[derivata parziale]]                                   |
 |       $\derivativeGradientSimple{x}$ | [[gradiente]]                                                     |
 |                  $\continueField[o]$ | [[insieme]] delle [[regolarità\|funzioni regolari]] di ordine $o$ |
-|                           $\hessian$ | [[matrice Hessiana]]                                              |
+|                  $\hessianSimple{x}$ | [[matrice Hessiana]]                                              |

file-index.json

@@ -149,12 +149,12 @@
 		"sistema distribuito simmetrico": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/sistema distribuito simmetrico.md",
 		"ritardo di comunicazione unitario": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/ritardo di comunicazione unitario.md",
 		"ritardo di comunicazione limitato": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/ritardo di comunicazione limitato.md",
-		"ritardo di comunicazione illimitato": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/ritardo di comunicazione illimitato.md",
 		"risveglio singolo": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/risveglio singolo.md",
+		"ritardo di comunicazione illimitato": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/ritardo di comunicazione illimitato.md",
 		"risveglio multiplo": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/risveglio multiplo.md",
 		"risveglio ignorato": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/risveglio ignorato.md",
-		"restrizioni al modello dei sistemi distribuiti": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/restrizioni al modello dei sistemi distribuiti.md",
 		"rete di comunicazione": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/rete di comunicazione.md",
+		"restrizioni al modello dei sistemi distribuiti": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/restrizioni al modello dei sistemi distribuiti.md",
 		"restrizione di topologia": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/restrizione di topologia.md",
 		"restrizione di tempo": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/restrizione di tempo.md",
 		"restrizione di comunicazione": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/1 - Concetti di computazione distribuita/restrizione di comunicazione.md",
@@ -251,11 +251,11 @@
 		"insieme delle soluzioni": "9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/insieme delle soluzioni.md",
 		"insieme delle istanze": "9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/insieme delle istanze.md",
 		"funzione obiettivo": "9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/funzione obiettivo.md",
+		"criterio di costo uniforme": "9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/criterio di costo uniforme.md",
 		"funzione guadagno": "9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/funzione guadagno.md",
 		"funzione costo": "9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/funzione costo.md",
 		"dimensione dell'input": "9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/dimensione dell'input.md",
 		"criterio di costo": "9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/criterio di costo.md",
-		"criterio di costo uniforme": "9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/criterio di costo uniforme.md",
 		"criterio di costo logaritmico": "9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/criterio di costo logaritmico.md",
 		"costo computazionale": "9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/costo computazionale.md",
 		"classe di problemi p": "9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/classe di problemi P.md",
@@ -692,8 +692,8 @@
 		"trapdoor one-way function": "8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/4 - Crittografia asimmetrica/trapdoor one-way function.md",
 		"textbook rsa": "8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/4 - Crittografia asimmetrica/textbook RSA.md",
 		"scambio di chiave simmetrica basato sull'incapsulamento": "8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/4 - Crittografia asimmetrica/scambio di chiave simmetrica basato sull'incapsulamento.md",
-		"million message attack": "8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/4 - Crittografia asimmetrica/million message attack.md",
 		"problema rsa": "8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/4 - Crittografia asimmetrica/problema RSA.md",
+		"million message attack": "8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/4 - Crittografia asimmetrica/million message attack.md",
 		"mask generation function": "8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/4 - Crittografia asimmetrica/mask generation function.md",
 		"key encapsulation": "8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/4 - Crittografia asimmetrica/key encapsulation.md",
 		"integrated encryption scheme": "8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/4 - Crittografia asimmetrica/integrated encryption scheme.md",
@@ -1151,6 +1151,7 @@
 		"grafo aciclico": "0 - Generale/grafo aciclico.md",
 		"formula di eulero": "0 - Generale/formula di Eulero.md",
 		"distanza tra vettori": "0 - Generale/distanza tra vettori.md",
+		"concatenazione di funzione": "0 - Generale/concatenazione di funzione.md",
 		"combinazione lineare": "0 - Generale/combinazione lineare.md",
 		"codominio": "0 - Generale/codominio.md",
 		"circuito di un grafo": "0 - Generale/circuito di un grafo.md",
@@ -1177,6 +1178,7 @@
 		"0 - Generale/circuito di un grafo.md",
 		"0 - Generale/codominio.md",
 		"0 - Generale/combinazione lineare.md",
+		"0 - Generale/concatenazione di funzione.md",
 		"0 - Generale/distanza tra vettori.md",
 		"0 - Generale/dominio.md",
 		"0 - Generale/formula di Eulero.md",

preamble.sty

@@ -6,6 +6,8 @@
 \newcommand{\basisCanon} {\mathbf{\hat{e}}}
 \newcommand{\basisCanonElement}[1][i] {\basisCanon_{#1}}
 
+\newcommand{\varietyAffine}[2][X] {\mathscr{#1}\par{#2}}
+
 \newcommand{\smol} {\epsilon}
 \newcommand{\derivativeDirectionalSimple}[3][f] {{#1}'\par{#2_0; #3}}
 \newcommand{\derivativeDirectional}[3][f] {\frac{d #1 \par{#2_0; #3}}{d \smol}}
@@ -13,7 +15,7 @@
 \newcommand{\derivativePartialOutput}[4][f] {\frac{\partial #1_{#3} \par{#2_0}}{\partial x_{#4}}}
 \newcommand{\derivativeGradientSimple}[2][f] {\nabla_{#1} \par{#2_0}}
 \newcommand{\continueField}[1][1] {\mathcal{C}^{#1}}
-\newcommand{\hessianSimple}[2][f] {\mathbf{\nabla}^2_{#1} \par{#2}}
+\newcommand{\hessianSimple}[2][f] {\mathbf{\nabla}^2_{#1} \par{#2_0}}
 \newcommand{\hessianElement}[4][f] {\frac{\partial^2 #1 \par{#2}}{\partial #2_{#3}\ \cdot\ \partial #2_{#4}}}
 \newcommand{\iacobianSimple}[2][f] {\mathbf{J}_{#1} \par{#2}}
 
@@ -25,7 +27,7 @@
 \newcommand{\fmlInputs} {\mathbf{X}}
 \newcommand{\fmlIndex} {i}
 \newcommand{\fmlInput}[1][\fmlIndex] {\mathbf{x}_{#1}}
-\newcommand{\fmlInputSize} {N}
+\newcommand{\fmlInputSize} {n}
 \newcommand{\fmlInputField}[1][\fmlInputSize] {\mathbb{X}^{#1}}
 \newcommand{\fmlElementIndex} {j}
 \newcommand{\fmlInputElement}[1][\fmlIndex\fmlElementIndex] {x_{#1}}