1
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"path": "7 - Fondamenti di machine learning/2 - Calcolo vettoriale/★ mappa concettuale.canvas",
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204
.obsidian/plugins/obsidian-latex/main.js vendored Normal file

File diff suppressed because one or more lines are too long

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@ -0,0 +1,10 @@
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"description": "Adds support for a MathJax preamble and enables additional MathJax extensions for specific domains (chemistry, proofs).",
"author": "Xavier Denis & Ng Wei En",
"authorUrl": "https://github.com/wei2912/obsidian-latex",
"isDesktopOnly": false
}

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@ -1,5 +1,6 @@
--- ---
aliases: aliases:
- vettore - vettore
- vettori
--- ---
[[Lista]] di elementi **omogenei**. [[Lista]] di elementi **omogenei**.

View file

@ -0,0 +1,15 @@
Particolare [[base vettoriale]].
$$
\Huge
\basesCanon
$$
In uno [[spazio matematico]] [[array|vettoriale]] di [[numero reale|reali]], corrisponde a:
$$
\Large
\displaylines{
\basisCanon{1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\\
\basisCanon{2} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\\
\basisCanon{3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
}
$$

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@ -0,0 +1,3 @@
[[insieme]] di particolari [[array|vettori]].
Permette di [[generare]] qualsiasi altro possibile [[array|vettore]] presente all'interno di uno [[spazio matematico]].

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@ -0,0 +1,9 @@
[[espressione matematica]] per uno [[spazio matematico]] composta solamente da [[somma in uno spazio|somme]] tra [[elemento di uno spazio|elementi]] [[prodotto di uno spazio|moltiplicati]] per [[costante|costanti]].
$$
(\varYa \cdot \varXa)
+
(\varYb \cdot \varXb)
+
(\varYc \cdot \varXc)
$$

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@ -1 +0,0 @@
L'[[insieme]]

View file

@ -0,0 +1,8 @@
[[operazione]] tra due [[array|vettori]].
$$
\Huge
| \mathbf{y} - \mathbf{x} |
$$
> [!Note]
> Corrisponde alla [[lunghezza]] del segmento che unisce $\mathbf{y}$ a $\mathbf{x}$.

View file

@ -3,7 +3,12 @@ aliases:
- trasformazione identità - trasformazione identità
--- ---
Particolare [[matrice quadrata]] avente [[elemento neutro|elementi neutri]] della [[moltiplicazione]] sulla [[diagonale principale]], ed [[elemento nullo|elementi nulli]] della [[moltiplicazione]] altrove. Particolare [[matrice quadrata]].
$$
\Huge \mathbf{I}
$$
Ha [[elemento neutro|elementi neutri]] della [[moltiplicazione]] sulla [[diagonale principale]], ed [[elemento nullo|elementi nulli]] della [[moltiplicazione]] altrove.
$$ $$
\Large \Large

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@ -0,0 +1,6 @@
[[matrice]] [[matrice quadrata|quadrata]] uguale alla sua [[trasposta]].
$$
\Huge
\mathbf{M} = \mathbf{M}'
$$

View file

@ -0,0 +1,38 @@
---
aliases:
- distanza dall'origine
- norma vettoriale
---
[[proprietà]] di un [[vettore]].
$$
\Huge
| \mathbf{\varX} |
$$
Definita come:
$$
\def \varX {{\color{Red} \mathbf{x}}}
\def \varXa {{\color{Crimson} x_1}}
\def \varXb {{\color{IndianRed} x_2}}
\def \varXc {{\color{Salmon} x_3}}
\def \varXn {{\color{LightSalmon} x_n}}
\Large
| \mathbf{\varX} |
=
\left|
\sqrt{
\varXa^2 + \varXb^2 + \varXc^2 \dots \varXn^2
}
\right|
$$
> [!Note]
> Corrisponde alla [[lunghezza]] del [[segmento]] con inizio all'[[origine]] e fine alla posizione del vettore.
## Proprietà in $\mathbb{R}^n$
- $| \mathbf{x} | \geq 0$
- $| y | \cdot | \mathbf{x} | = | y \cdot \mathbf{x} |$
- $|\mathbf{x} + \mathbf{y}| \geq |\mathbf{x}| + |\mathbf{y}|$ ([[disuguaglianza triangolare]])

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@ -0,0 +1,28 @@
[[operazione]] di [[prodotto]] effettuata tra uno [[scalare]] e un [[array|vettore]].
$$
\Huge \cdot
$$
Consiste nel moltiplicare tutti i componenti del [[array|vettore]] per lo scalare:
$$
\Large
\def \varX {{\color{Red} \mathbf{x}}}
\def \varY {{\color{Cyan} y}}
\def \varXa {{\color{Crimson} x_1}}
\def \varXb {{\color{IndianRed} x_2}}
\def \varXc {{\color{Salmon} x_3}}
\def \varXn {{\color{LightSalmon} x_n}}
\varY \cdot \varX
=
\begin{bmatrix}
\varY \cdot \varXa &
\varY \cdot \varXb &
\varY \cdot \varXc &
\dots &
\varY \cdot \varXn
\end{bmatrix}
$$
> [!Note]
> Corrisponde a concatenare i due vettori, e prendere il punto risultante.

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@ -0,0 +1,45 @@
[[operazione]] tra [[array|vettori]].
$$
\Huge
\braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}}
\qquad
\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}
$$
Consiste nel [[prodotto|moltiplicare]] i componenti uno ad uno tra loro, e poi [[somma|sommare]] tutti i risultati:
$$
\Large
\def \varW {{\color{Yellow} w}}
\def \varX {{\color{Red} \mathbf{x}}}
\def \varY {{\color{MediumBlue} \mathbf{y}}}
\def \varZ {{\color{Lime} \mathbf{z}}}
\def \varXa {{\color{Crimson} x_1}}
\def \varXb {{\color{IndianRed} x_2}}
\def \varXc {{\color{Salmon} x_3}}
\def \varXn {{\color{LightSalmon} x_n}}
\def \varYa {{\color{RoyalBlue} y_1}}
\def \varYb {{\color{DeepSkyBlue} y_2}}
\def \varYc {{\color{LightSkyBlue} y_3}}
\def \varYn {{\color{PaleTurquoise} y_n}}
\braket{\varX, \varY}
=
(\varXa \cdot \varYa) +
(\varXb \cdot \varYb) +
(\varXc \cdot \varYc) +
\dots +
(\varXn \cdot \varYn)
$$
## Proprietà in $\mathbb{R}^n$
- $\braket{\varX, \varY} = \braket{\varY, \varX}$ ([[proprietà commutativa]])
- $\braket{\varX, (\varY + \varZ)} = \braket{\varX, \varY} + \braket{\varX, \varZ}$ ([[proprietà distributiva]])
- $\varW \cdot \braket{\varX, \varY} = \braket{(\varW \cdot \varX), \varY} = \braket{\varX, (\varW \cdot \varY)}$
- $| \varX | + | \varY | \geq | \braket{\varX, \varY} |$ ([[disuguaglianza di Cauchy-Schwarz]])
- $\braket{\varX, \varX} = | \varX |^2$
## Proprietà in $\mathbb{R}^2$
- $\braket{\varX, \varY} = |\varX| \cdot |\varY| \cdot \cos(angolo\ tra\ \varX\ e\ \varY)$

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@ -0,0 +1,24 @@
---
aliases:
- cross product
- vector product
---
[[Operazione]] di [[prodotto]] tra [[array|vettori]] in $\mathbb{R}^3$.
$$
\Huge
\times
$$
Consiste nel creare un nuovo vettore [[vettori ortogonali|ortogonale]] ai due dal [[modulo vettoriale]] che è il prodotto dei [[modulo vettoriale|moduli]] degli altri due, e verso determinato dalla [[regola della mano destra]].
$$
\def \varX {{\color{Red} \mathbf{x}}}
\def \varY {{\color{MediumBlue} \mathbf{y}}}
$$
## Proprietà
- $\varX \times \varY = - \varY \times \varX$ ([[proprietà anti-commutativa]])
- $|\varX \times \varY| = |\varX| \cdot |\varY| \cdot |\sin(angolo\ tra\ \varX\ e\ \varY)|$
> [!Tip]
> A differenza del [[prodotto scalare tra vettori]] in $\mathbb{R}^2$, che usa il [[coseno]] per quest'ultima proprietà, il prodotto vettoriale usa il [[seno]]!

View file

@ -1,21 +1,31 @@
[[operazione]] di [[somma]] effettuata tra due [[array|vettori]]. [[operazione]] di [[somma]] effettuata tra due [[array|vettori]].
$$
\Huge +
$$
Consiste nel sommare i componenti uno ad uno tra loro: Consiste nel sommare i componenti uno ad uno tra loro:
$$ $$
\def \varX {{\color{Red} \mathbf{x}}} \def \varX {{\color{Red} \mathbf{x}}}
\def \varY {{\color{Cyan} \mathbf{y}}} \def \varY {{\color{MediumBlue} \mathbf{y}}}
\def \varXa {{\color{Crimson} x_1}} \def \varXa {{\color{Crimson} x_1}}
\def \varXb {{\color{IndianRed} x_2}} \def \varXb {{\color{IndianRed} x_2}}
\def \varXc {{\color{Salmon} x_3}} \def \varXc {{\color{Salmon} x_3}}
\def \varXn {{\color{LightSalmon} x_n}}
\def \varYa {{\color{RoyalBlue} y_1}} \def \varYa {{\color{RoyalBlue} y_1}}
\def \varYb {{\color{DeepSkyBlue} y_2}} \def \varYb {{\color{DeepSkyBlue} y_2}}
\def \varYc {{\color{LightSkyBlue} y_3}} \def \varYc {{\color{LightSkyBlue} y_3}}
\def \varYn {{\color{PaleTurquoise} y_n}}
\varX + \varY \varX + \varY
= =
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
\varXa + \varYa\\ \varXa + \varYa &
\varXb + \varYb\\ \varXb + \varYb &
\varXc + \varYc \varXc + \varYc &
\dots &
\varXn + \varYn
\end{bmatrix} \end{bmatrix}
$$ $$
> [!Note]
> Corrisponde a concatenare i due vettori, e prendere il punto risultante.

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@ -0,0 +1,4 @@
[[spazio matematico]] definito con:
- un [[campo matematico vettoriale]] $\mathbb{X}^n$
- la [[somma tra vettori]] $+$
- il [[prodotto scalare tra scalare e vettore]] $\cdot$

View file

@ -0,0 +1,4 @@
[[elemento neutro]] di uno [[spazio vettoriale]].
$$
\Huge \mathbf{0}
$$

View file

@ -0,0 +1,8 @@
---
aliases:
- ortogonale
- ortogonali
---
Due [[array|vettori]] sono ortogonali quando il loro [[prodotto scalare tra vettori]] è $0$.

View file

@ -0,0 +1,11 @@
[[funzione]] che associa un [[array|vettore]] in [[input]] a un singolo [[output]].
$$
\Huge
\fmlClassifier
$$
Appartiene allo [[spazio delle ipotesi]]:
$$
\Large
\fmlClassifier \in \fmlHypothesisSpace
$$

View file

@ -2,13 +2,19 @@
aliases: aliases:
- data set - data set
--- ---
[[insieme]] di [[coppie]] [[input]]-[[output]] per un [[modello di supervised learning]]. [[insieme]] di [[coppie]] [[input]]-[[output]] per un [[modello di supervised learning]].
$$ $$
\Huge D \Huge
\fmlDataset
$$ $$
Appartengono al seguente [[campo matematico]]:
$$
\Large
\fmlDataset \in \par{\fmlInputField, \fmlOutputField}^{\fmlDatasetSize}
$$
in base al loro utilizzo si dividono in: in base al loro utilizzo si dividono in:
- [[training set]] - [[training set]]
- [[validation set]] - [[validation set]]

View file

@ -3,23 +3,25 @@ aliases:
- modello - modello
--- ---
[[modello matematico]]. [[modello matematico]].
$$
\Huge
\fmlModel
$$
[[funzione]] che [[problema di minimizzazione|minimizza]] la [[perdita]] in un [[problema di supervised learning]]: [[funzione]] che [[problema di minimizzazione|minimizza]] la [[perdita]] in un [[problema di supervised learning]]:
$$ $$
\Large \Large
f^* \fmlModel
= =
\min_{f \in \mathcal{H}} \min_{\fmlClassifier \in \fmlHypothesisSpace}
\ \
\sum_{(\mathbf{X},\ y) \in D} \sum_{(\fmlInput,\ \fmlOutput) \in D}
\left(\ \par{
V(y, f(\mathbf{X})) V(\fmlOutput, \fmlClassifier(\fmlInput)))
+ +
\lambda \fmlComplexity
\left\lVert \cdot
f \abs{f}^2
\right\rVert }
^2
\ \right)
$$ $$

View file

@ -1 +1,5 @@
Errore che si verifica quando un [[modello di supervised learning]] non [[generalizzazione|generalizza]] sufficientemente ed invece segue troppo il [[training set]]. Errore che si verifica quando un [[modello di supervised learning]] non [[generalizzazione|generalizza]] sufficientemente ed invece segue troppo il [[training set]].
$$
\Huge
\mathrm{troppa}\ \fmlComplexity
$$

View file

@ -2,20 +2,15 @@
aliases: aliases:
- loss - loss
--- ---
[[funzione]] in un [[problema di supervised learning]] che misura quanto si allontana il [[modello di supervised learning|modello]] dal risultato desiderato. [[funzione]] in un [[problema di supervised learning]].
$$
\Huge
\fmlLoss
$$
Misura quanto si allontana il [[classificatore]] dal risultato desiderato.
$$ $$
\Large \Large
\sum_{(\mathbf{X},\ y) \in D} \fmlLoss(\fmlOutput, \fmlClassifier(\fmlInput))
\left(\
V(y, f(\mathbf{X}))
+
\lambda
\left\lVert
f
\right\rVert
^2
\ \right)
$$ $$
Considera sia l'[[errore]] che il modello commette generalizzando, sia la sua [[complessità del modello|complessità]], e bilancia tra le due cose attraverso il [[parametro]] $\lambda$.

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@ -2,5 +2,5 @@
$$ $$
\Huge \Huge
\mathbb{Y} = \{ -1, 1 \} \fmlOutputField = \hsh{ -1, 1 }
$$ $$

View file

@ -2,5 +2,5 @@
$$ $$
\Huge \Huge
\mathbb{Y} = \{ 1, 2, \dots, N \} \fmlOutputField = \hsh{ 1, 2, \dots, N }
$$ $$

View file

@ -2,5 +2,5 @@
$$ $$
\Huge \Huge
\mathbb{Y} \subseteq \mathbb{R} \fmlOutputField \subseteq \mathbb{R}
$$ $$

View file

@ -1,7 +1,33 @@
[[problema di minimizzazione]]. [[problema di minimizzazione]].
Si vuole determinare un [[modello di supervised learning]] che minimizzi una certa [[perdita]]. Si vuole determinare un [[classificatore]] che minimizzi una [[perdita|funzione perdita]] e una [[complessità]].
$$
\Large
\fmlModel
=
\min_{\fmlClassifier \in \fmlHypothesisSpace}
\par{
\sum_{i=1}^N
\fmlLoss(\fmlOutput, \fmlClassifier(\fmlInput))
+
\par{
\fmlComplexityCoefficient
\cdot
\fmlComplexity(\fmlClassifier)
}
}
$$
Per scegliere il modello, vengono usati [[campione|campioni]] di coppie [[input]]-[[output]] conosciute, detti [[data set per supervised learning|data set]]. Per scegliere il modello, vengono usati [[campione|campioni]] di coppie [[input]]-[[output]] conosciute, detti [[data set per supervised learning|data set]].
$$
\Large
\fmlDataset \in (\fmlInputField, \fmlOutputField)^{\fmlDatasetSize}
$$
Il [[campo matematico]] di tutti i modelli possibili è detto [[spazio delle ipotesi]]. Il [[campo matematico]] di tutti i modelli possibili è detto [[spazio delle ipotesi]].
$$
\Large
f \in \fmlHypothesisSpace
$$

View file

@ -4,5 +4,5 @@ Le funzioni aventi come [[0 - Generale/dominio|dominio]] $\mathbb{X}^n$ e come [
$$ $$
\Huge \Huge
\mathcal{H} = f : \mathbb{X}^n \to \mathbb{Y} \mathcal{H} = \mathbb{X}^n \to \mathbb{Y}
$$ $$

View file

@ -4,3 +4,7 @@ aliases:
--- ---
[[data set per supervised learning]] usato per [[benchmarking]] in un [[problema di supervised learning]]. [[data set per supervised learning]] usato per [[benchmarking]] in un [[problema di supervised learning]].
$$
\Huge
\fmlDatasetTest
$$

View file

@ -1 +1,11 @@
---
aliases:
- train set
---
[[Insieme]] delle [[coppie]] [[input]]-[[output]] usate come [[campione]] di [[apprendimento]] in un [[problema di supervised learning]]. [[Insieme]] delle [[coppie]] [[input]]-[[output]] usate come [[campione]] di [[apprendimento]] in un [[problema di supervised learning]].
$$
\Huge
\fmlDatasetTrain
$$

View file

@ -1 +1,10 @@
---
aliases:
- validate set
---
[[Insieme]] delle [[coppie]] [[input]]-[[output]] usate come [[campione]] di [[validazione]] in un [[problema di supervised learning]]. [[Insieme]] delle [[coppie]] [[input]]-[[output]] usate come [[campione]] di [[validazione]] in un [[problema di supervised learning]].
$$
\Huge
\fmlDatasetValidate
$$

View file

@ -1,18 +1,22 @@
| Simbolo | Significato | | Simbolo | Significato |
| -------------- | ---------------------------------------------------------- | | --------------------------: | ---------------------------------------------------------------- |
| $D$ | [[data set per supervised learning]] | | $\fmlDataset$ | [[data set per supervised learning]] |
| $\mathbf{x}$ | [[array]] di [[array\|vettori]] degli [[input]] di $D$ | | $\fmlDatasetSize$ | [[cardinalità]] di $\fmlDataset$ |
| $N$ | [[cardinalità di un insieme\|cardinalità]] di $\mathbf{X}$ | | $\fmlInputs$ | [[array]] di [[array\|vettori]] degli [[input]] di $\fmlDataset$ |
| $\mathbf{x}_i$ | $i$-esimo [[array]] di $\mathbf{x}$ | | $\fmlIndex$ | [[indice]] da $1$ a $\ |
| $i$ | [[indice]] di $\mathbf{x}$ da $1$ a $N$ | | $\fmlInput$ | $\fmlIndex$-esimo [[array]] di $\fmlInputs$ |
| $\mathbb{X}^N$ | [[campo matematico]] di $\mathbf{x}_i$ | | $\fmlInputSize$ | [[cardinalità di un insieme\|cardinalità]] di $\fmlInput$ |
| $x_{ij}$ | $j$-esimo [[scalare]] di $\mathbf{x}_i$ | | $\fmlInputField$ | [[campo matematico]] di $\fmlInput$ |
| $j$ | [[indice]] di $\mathbf{x}_i$ | | $\fmlElementIndex$ | [[indice]] di $\fmlInput$ |
| $\mathbb{X}$ | [[campo matematico]] di $x_{ij}$ | | $\fmlInputElement$ | $\fmlElementIndex$-esimo [[scalare]] di $\fmlInput$ |
| $y$ | [[scalare]] di [[output]] di $D$ | | $\fmlInputElementField$ | [[campo matematico]] di $\fmlInputElement$ |
| $\mathbb{Y}$ | [[campo matematico]] di $y$ | | $\fmlOutputs$ | [[array]] degli [[output]] di $\fmlDataset$ |
| $f$ | [[classificatore]] | | $\fmlOutput$ | $\fmlIndex$-esimo [[scalare]] di $\fmlOutputs$ |
| $\mathcal{H}$ | [[spazio delle ipotesi]] | | $\fmlOutputField$ | [[campo matematico]] di $\fmlOutput$ |
| $\lambda$ | [[parametro]] che configura la [[complessità del modello]] | | $\fmlClassifier$ | [[classificatore]] |
| $f^*$ | [[modello di supervised learning]] | | $\fmlModel$ | [[modello di supervised learning]] |
| $\fmlHypothesisSpace$ | [[spazio delle ipotesi]] |
| $\fmlComplexity$ | [[complessità]] |
| $\fmlComplexityCoefficient$ | [[coefficiente di complessità]] |
| $\fmlLoss$ | [[perdita]] |

View file

@ -0,0 +1,16 @@
---
aliases:
- derivata direzionale
- avente derivata direzionale
- ha derivata direzionale
---
[[proprietà]] di una [[funzione]].
$$
\Huge
\derivativeDirectionalSimple{x}{s}
$$
Una funzione ha questa proprietà rispetto a $s$ in $x_0$ quando:
- $\derivativeDirectionalSimple{x}{s}$ e $\derivativeDirectionalSimple{x}{-s}$ esistono
- $\derivativeDirectionalSimple{x}{s}$ e $\derivativeDirectionalSimple{x}{-s}$ sono finite
- $\derivativeDirectionalSimple{x}{s}$ e $\derivativeDirectionalSimple{x}{-s}$ sono uguali

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@ -0,0 +1,33 @@
Concetto di [[derivata]] applicato ai [[array|vettori]].
$$
\Huge
\derivativeDirectionalSimple[f]{x}{s}
$$
È implicato che sia sempre la derivata positiva:
$$
\Large
\Huge
\derivativeDirectionalSimple[\color{lime} f]{{\color{cyan} x}}{{\color{orange} s}}
=
\lim_{\smol \to 0^+}
\frac{
{\color{lime} f}({\color{cyan} x} + \smol \cdot {\color{orange} s}) - {\color{lime} f}({\color{cyan} x})
}{
\smol
}
$$
La derivata negativa è invece definita come:
$$
\Large
-\derivativeDirectionalSimple[\color{lime} f]{{\color{cyan} x}}{{\color{orange} -s}}
=
\lim_{\smol \to 0^-}
\frac{
{\color{lime} f}({\color{cyan} x} + \smol \cdot {\color{orange} s}) - {\color{lime} f}({\color{cyan} x})
}{
\smol
}
$$
==Perchè così tante negazioni? La s non va negata?==

View file

@ -0,0 +1,13 @@
Particolare [[derivabilità direzionale|derivata direzionale]].
$$
\Huge
\derivativePartial{x}{\fmlElementIndex}
$$
È determinata rispetto a uno specifico [[array|vettore]] della [[base canonica]]:
$$
\Large
\derivativePartial{x}{\color{cyan} \fmlElementIndex}
=
\derivativeDirectional{x}{\basisCanonElement[\color{cyan} \fmlElementIndex]}
$$

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@ -0,0 +1,13 @@
---
aliases:
- funzione differenziabile in un punto
- differenziabile in un punto
---
[[proprietà]] di una [[funzione]].
Una funzione ha questa proprietà rispetto in $x_0$ quando:
- per qualsiasi direzione $s$, la funzione ha [[derivabilità direzionale]].
Per via delle proprietà della [[base canonica]], questo è equivalente a dire che:
- per qualsiasi [[array|vettore]] $\basisCanonElement$ della [[base canonica]] $\basisCanon$, la funzione ha [[derivabilità direzionale]].

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@ -0,0 +1,15 @@
---
aliases:
- funzione differenziabile
- differenziabile
---
[[proprietà]] di una [[funzione]], che generalizza la [[differenziabilità in un punto]].
Una funzione ha questa proprietà quando:
- per qualsiasi direzione $s$ o punto $x$, la funzione ha [[derivabilità direzionale]].
Per via delle proprietà della [[base canonica]], questo è equivalente a dire che:
- per qualsiasi [[array|vettore]] $\basisCanonElement$ della [[base canonica]] $\basisCanon$ o punto $x$, la funzione ha [[derivabilità direzionale]].
Per via della definizione del [[gradiente]], questo è equivalente a dire che:
- per qualsiasi punto $x$, esiste un [[gradiente]].

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@ -0,0 +1,20 @@
[[vettore colonna]].
$$
\Huge
\derivativeGradient
$$
Contiene le [[derivata parziale|derivate parziali]] per tutti gli elementi della [[base canonica]].
$$
\Large
\derivativeGradientSimple{x}
=
\begin{bmatrix}
\derivativePartial{x}{1}\\
\derivativePartial{x}{2}\\
\derivativePartial{x}{3}\\
\vdots\\
\derivativePartial{x}{\fmlInputSize}\\
\end{bmatrix}
$$

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@ -0,0 +1,34 @@
---
aliases:
- Hessiana
---
Particolare [[matrice]] [[matrice quadrata|quadrata]] e [[matrice simmetrica|simmetrica]] definita relativa a una [[funzione]] dalla [[regolarità]] di almeno secondo ordine e una [[variabile]], di ordine uguale a quello della [[base canonica]] del [[0 - Generale/dominio|dominio]] della [[funzione]].
$$
\Huge
\hessianSimple{x}
$$
I suoi elementi sono definiti come le $(riga,colonna)$-esime [[derivata parziale|derivate parziali]] della funzione $f$:
$$
\Large
\hessianSimple{x}
=
\begin{bmatrix}
\hessianElement{x}{1}{1} &
\hessianElement{x}{1}{2} &
\dots &
\hessianElement{x}{1}{N} \\
\hessianElement{x}{2}{1} &
\hessianElement{x}{2}{2} &
\dots &
\hessianElement{x}{2}{N} \\
\vdots &
\vdots &
\ddots &
\vdots \\
\hessianElement{x}{N}{1} &
\hessianElement{x}{N}{2} &
\dots &
\hessianElement{x}{N}{N} \\
\end{bmatrix}
$$

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@ -0,0 +1,43 @@
---
aliases:
- iacobiana
---
Particolare [[matrice]] definita relativa a una [[funzione]] i cui [[output]] sono [[array|vettori]].
$$
\Huge
\iacobianSimple{x}
$$
==Controllare che sia giusto.== I suoi elementi sono definiti come le $colonna$-esime [[derivata parziale|derivate parziali]] della funzione $f$ rispetto all'elemento $riga$-esimo in output:
$$
\Large
\iacobianSimple{x}
=
\begin{bmatrix}
\derivativePartialOutput{x}{1}{1} &
\derivativePartialOutput{x}{1}{2} &
\dots &
\derivativePartialOutput{x}{1}{n} \\
\derivativePartialOutput{x}{2}{1} &
\derivativePartialOutput{x}{2}{2} &
\dots &
\derivativePartialOutput{x}{2}{n} \\
\vdots &
\vdots &
\ddots &
\vdots \\
\derivativePartialOutput{x}{M}{1} &
\derivativePartialOutput{x}{M}{2} &
\dots &
\derivativePartialOutput{x}{M}{n} \\
\end{bmatrix}
$$
In particolare, abbiamo che:
$$
\Large
\iacobianSimple{x}
=
\derivativeGradientSimple{x}'
$$

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@ -0,0 +1,37 @@
---
aliases:
- differenziabilità con continuità
- differenziabile con continuità
- funzione regolare
- regolare
---
[[proprietà]] di una [[funzione]], che generalizza la [[differenziabilità]].
$$
\Huge
f \in \continueField
$$
Una funzione ha questa proprietà quando:
- per ogni punto $x$, tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] sono [[funzione continua|continue]]
## Regolarità di ordine superiore
Se anche la [[derivata parziale]] della funzione è una [[regolarità|regolare]], allora:
$$
\Large
\displaylines{
f' \in \continueField \\
f \in \continueField[2]
}
$$
Generalizzando ulteriormente:
$$
\Large
\displaylines{
f^{(n)} \in \continueField \\
f \in \continueField[n]
}
$$

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@ -0,0 +1,19 @@
---
aliases:
- affine variety
---
[[Insieme]] di [[punto|punti]] in $\mathbb{R}^n$.
$$
\Huge
\mathscr{X}(m)
$$
I [[punto|punti]] sono determinati da una specifica [[traslazione]] di un [[punto]] iniziale per una specifica [[base matematica|base]] scalata per un numero reale.
$$
\mathscr{X}(m) = x + (m \cdot s)
$$
> [!Nota]
> In $\mathbb{R}^3$ è una [[retta]]. ==O in tutti i numeri reali?== ==Posso immaginare che nei complessi sia un piano...==

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@ -0,0 +1,11 @@
| Simbolo | Significato |
| -----------------------------------: | ----------------------------------------------------------------- |
| $\basisCanon$ | [[base canonica]] |
| $\basisCanonElement$ | $i$-esimo elemento della [[base canonica]] |
| $\smol$ | [[infinitesimo]] |
| $\derivativeDirectionalSimple{x}{s}$ | [[derivata direzionale unilaterale]] |
| $\derivativeDirectional{x}{s}$ | [[derivata direzionale]] in $x_0$ per $s$ |
| $\derivativePartial{x}{i}$ | $i$-esima [[derivata parziale]] |
| $\derivativeGradientSimple{x}$ | [[gradiente]] |
| $\continueField[o]$ | [[insieme]] delle [[regolarità\|funzioni regolari]] di ordine $o$ |
| $\hessian$ | [[matrice Hessiana]] |

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@ -0,0 +1,23 @@
{
"nodes":[
{"id":"ebcbe217d83e0e9f","type":"file","file":"7 - Fondamenti di machine learning/2 - Calcolo vettoriale/varietà affine reale.md","x":-480,"y":-480,"width":400,"height":400},
{"id":"fdb6fa9ce7c20562","type":"file","file":"7 - Fondamenti di machine learning/2 - Calcolo vettoriale/derivata direzionale unilaterale.md","x":-640,"y":80,"width":720,"height":400},
{"id":"521f5249b09e89c0","type":"file","file":"7 - Fondamenti di machine learning/2 - Calcolo vettoriale/derivabilità direzionale.md","x":-640,"y":640,"width":720,"height":400},
{"id":"f48d08c563e4ddd8","type":"file","file":"7 - Fondamenti di machine learning/2 - Calcolo vettoriale/derivata parziale.md","x":-640,"y":1200,"width":720,"height":400},
{"id":"1adbd5228bf71c44","type":"file","file":"7 - Fondamenti di machine learning/2 - Calcolo vettoriale/differenziabilità in un punto.md","x":-640,"y":1760,"width":720,"height":400},
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{"id":"cc7adce67dbf5e26","type":"file","file":"7 - Fondamenti di machine learning/2 - Calcolo vettoriale/regolarità.md","x":-640,"y":2880,"width":720,"height":400},
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],
"edges":[
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]
}

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@ -1,4 +1,4 @@
[[bra]] e [[ket]] possono essere combinati per rappresentare efficientemente il [[prodotto scalare]] tra un [[vettore riga]] e un [[vettore colonna]]: [[bra]] e [[ket]] possono essere combinati per rappresentare efficientemente il [[prodotto scalare matriciale tra vettori]] tra un [[vettore riga]] e un [[vettore colonna]]:
$$ $$
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
0 & 1 0 & 1
@ -26,3 +26,4 @@ $$
> [!Hint] Typesetting > [!Hint] Typesetting
> In $\TeX$, puoi rappresentare un braket con `\braket{SINISTRA|DESTRA}`. > In $\TeX$, puoi rappresentare un braket con `\braket{SINISTRA|DESTRA}`.

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@ -11,4 +11,4 @@ aliases:
Significa che essi sono tutti [[vettore normalizzato|normalizzati]] e [[perpendicolarità|perpendicolari]] tra loro. Significa che essi sono tutti [[vettore normalizzato|normalizzati]] e [[perpendicolarità|perpendicolari]] tra loro.
> [!Note] > [!Note]
> Essendo perpendicolari, il loro [[prodotto scalare]] sarà sempre $0$! > Essendo perpendicolari, il loro [[prodotto scalare matriciale tra vettori]] sarà sempre $0$!

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@ -14,7 +14,7 @@
{"id":"b6a2c04971369697","type":"file","file":"0 - Generale/operatore aggiunto.md","x":1580,"y":880,"width":400,"height":400}, {"id":"b6a2c04971369697","type":"file","file":"0 - Generale/operatore aggiunto.md","x":1580,"y":880,"width":400,"height":400},
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@ -47,26 +47,26 @@
"niente guasti di trasmissione di omissione": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/niente guasti di trasmissione di omissione.md", "niente guasti di trasmissione di omissione": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/niente guasti di trasmissione di omissione.md",
"niente guasti di trasmissione di corruzione": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/niente guasti di trasmissione di corruzione.md", "niente guasti di trasmissione di corruzione": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/niente guasti di trasmissione di corruzione.md",
"niente guasti di trasmissione di aggiunta": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/niente guasti di trasmissione di aggiunta.md", "niente guasti di trasmissione di aggiunta": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/niente guasti di trasmissione di aggiunta.md",
"niente guasti di esecuzione di omissione": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/niente guasti di esecuzione di omissione.md",
"niente guasti di esecuzione": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/niente guasti di esecuzione.md", "niente guasti di esecuzione": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/niente guasti di esecuzione.md",
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"niente guasti di esecuzione di crash": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/niente guasti di esecuzione di crash.md", "niente guasti di esecuzione di crash": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/niente guasti di esecuzione di crash.md",
"niente guasti di esecuzione bizantini": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/niente guasti di esecuzione bizantini.md", "niente guasti di esecuzione bizantini": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/niente guasti di esecuzione bizantini.md",
"leader election edge-fault-tolerant su grafo completo": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/leader election edge-fault-tolerant su grafo completo.md", "leader election edge-fault-tolerant su grafo completo": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/leader election edge-fault-tolerant su grafo completo.md",
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"consenso sincrono deterministico": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/consenso sincrono deterministico.md", "consenso sincrono deterministico": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/consenso sincrono deterministico.md",
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@ -75,30 +75,30 @@
"consenso asincrono deterministico": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/consenso asincrono deterministico.md", "consenso asincrono deterministico": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/consenso asincrono deterministico.md",
"consenso asincrono deterministico bizantino": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/consenso asincrono deterministico bizantino.md", "consenso asincrono deterministico bizantino": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/consenso asincrono deterministico bizantino.md",
"broadcast affidabile su grafo completo": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/broadcast affidabile su grafo completo.md", "broadcast affidabile su grafo completo": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/broadcast affidabile su grafo completo.md",
"algoritmo senza nome las vegas di consenso asincrono non-deterministico bizantino": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/algoritmo senza nome Las Vegas di consenso asincrono non-deterministico bizantino.md",
"algoritmo senza nome monte carlo di consenso asincrono non-deterministico bizantino": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/algoritmo senza nome Monte Carlo di consenso asincrono non-deterministico bizantino.md", "algoritmo senza nome monte carlo di consenso asincrono non-deterministico bizantino": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/algoritmo senza nome Monte Carlo di consenso asincrono non-deterministico bizantino.md",
"algoritmo senza nome las vegas di consenso asincrono non-deterministico bizantino": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/algoritmo senza nome Las Vegas di consenso asincrono non-deterministico bizantino.md",
"affidabilità totale": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/affidabilità totale.md", "affidabilità totale": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/affidabilità totale.md",
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"affidabilità parziale": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/affidabilità parziale.md", "affidabilità parziale": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/affidabilità parziale.md",
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"tellzero byz": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/TellZero Byz.md", "tellzero byz": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/TellZero Byz.md",
"tellall crash": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/7 - Algoritmi affidabili/TellAll Crash.md",
"★ algoritmi di routing.canvas": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/6 - Algoritmi di routing/★ algoritmi di routing.canvas", "★ algoritmi di routing.canvas": "9 - Algoritmi distribuiti/3 - Computazione distribuita/6 - Algoritmi di routing/★ algoritmi di routing.canvas",
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"logaritmo discreto su curva ellittica": "8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/3 - Scambio di chiave/logaritmo discreto su curva ellittica.md", "logaritmo discreto su curva ellittica": "8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/3 - Scambio di chiave/logaritmo discreto su curva ellittica.md",
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"congettura diffie-hellman computazionale": "8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/3 - Scambio di chiave/congettura Diffie-Hellman computazionale.md",
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"operation framework deterministico per crittografia simmetrica a blocchi con initialization vector": "8 - Crittografia applicata/2 - Comunicazione simmetrica/7 - Implementazioni particolari/2 - Operation framework/operation framework deterministico per crittografia simmetrica a blocchi con initialization vector.md", "operation framework deterministico per crittografia simmetrica a blocchi con initialization vector": "8 - Crittografia applicata/2 - Comunicazione simmetrica/7 - Implementazioni particolari/2 - Operation framework/operation framework deterministico per crittografia simmetrica a blocchi con initialization vector.md",
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"reflection attack": "8 - Crittografia applicata/2 - Comunicazione simmetrica/5 - Autenticazione/reflection attack.md", "reflection attack": "8 - Crittografia applicata/2 - Comunicazione simmetrica/5 - Autenticazione/reflection attack.md",
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"message authentication code system": "8 - Crittografia applicata/2 - Comunicazione simmetrica/5 - Autenticazione/message authentication code system.md", "message authentication code system": "8 - Crittografia applicata/2 - Comunicazione simmetrica/5 - Autenticazione/message authentication code system.md",
"freshness": "8 - Crittografia applicata/2 - Comunicazione simmetrica/5 - Autenticazione/freshness.md",
"autenticazione": "8 - Crittografia applicata/2 - Comunicazione simmetrica/5 - Autenticazione/autenticazione.md", "autenticazione": "8 - Crittografia applicata/2 - Comunicazione simmetrica/5 - Autenticazione/autenticazione.md",
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"cmac": "8 - Crittografia applicata/2 - Comunicazione simmetrica/5 - Autenticazione/CMAC.md", "cmac": "8 - Crittografia applicata/2 - Comunicazione simmetrica/5 - Autenticazione/CMAC.md",
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preamble.sty Normal file
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