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\documentclass{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{amssymb}
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% New symbols
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\let\oldsqrt\sqrt
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\def\sqrt{\mathpalette\DHLhksqrt}
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\def\DHLhksqrt#1#2{%
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\setbox0=\hbox{$#1\oldsqrt{#2\,}$}\dimen0=\ht0
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\advance\dimen0-0.2\ht0
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\setbox2=\hbox{\vrule height\ht0 depth -\dimen0}
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{\box0\lower0.4pt\box2}}
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% End new symbols
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\begin{document}
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\section{Vettori}
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Un vettore è una struttura costituita da \textbf{n scalari}, tutti nello \textbf{stesso campo numerico} \(\mathbb{K}\).\\
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Possiamo chiamare un vettore costituito da n scalari una \textbf{n-upla} ("ennupla").\\
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Ad esempio, diciamo che un vettore costituito da 3 numeri naturali è in \(\mathbb{N}^3\), e lo rappresentiamo scrivendo \(\mathbf{v} = (3, 5, 12)\).\\
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\section{Spazi vettoriali}
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Uno spazio vettoriale è una struttura costituita da \textbf{un campo numerico}, \textbf{un insieme di vettori} non vuoto e le operazioni di \textbf{somma} e \textbf{prodotto per scalare}.\\
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\\
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Si dice che un vettore \textbf{appartiene} allo spazio vettoriale se questo è presente all'interno dell'insieme dello spazio vettoriale.\\
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Tutti i vettori appartenenti allo spazio sono tutti definiti nello \textbf{stesso campo numerico}: non è possibile che un vettore appartenga ad uno spazio definito nel campo \(\mathbb{K}\) e sia esso stesso definito nel campo \(\mathbb{L}\).\\
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\\
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La somma in uno spazio vettoriale \(\mathbf{v} + \mathbf{w}\) è tra due vettori appartenenti a quest'ultimo; il prodotto per scalare \(\alpha \mathbf{v}\) invece è tra un vettore appartenente allo spazio vettoriale e uno degli scalari del campo dello spazio vettoriale.
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Le proprietà della somma e del prodotto sono le stesse che siamo abituati a vedere normalmente.\\\\
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Per l'addizione:
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\begin{itemize}
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\item Commutativa \(\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}\)
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\item Associativa (e dissociativa) \((\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \mathbf{c} = \mathbf{a} + (\mathbf{b} + \mathbf{c})\)
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\item Esistenza dell'opposto \(\mathbf{a} + (-\mathbf{a}) = \mathbf{0}\)
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\item Esistenza del neutro \(\mathbf{a} + \mathbf{0} = \mathbf{a}\)
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\end{itemize}
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Per la moltiplicazione tra vettore e scalare:
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\begin{itemize}
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\item Associativa \((\alpha \beta) \mathbf{a} = \alpha (\beta \mathbf{a})\)
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\item Esistenza dello scalare nullo \(0 \mathbf{a} = \mathbf{0}\)
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\item Esistenza dello scalare neutro \(1 \mathbf{a} = \mathbf{a}\)
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\item Distributività per vettori \(\alpha (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \alpha \mathbf{a} + \alpha \mathbf{b}\)
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\item Distributività per scalari \((\alpha + \beta) \mathbf{a} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{a}\)
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\end{itemize}
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\section{Sottospazi vettoriali}
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Un sottospazio vettoriale è una struttura che rappresenta \textbf{un sottoinsieme di spazio vettoriale}.\\
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Perchè uno spazio vettoriale \(\mathbf{W}\) sia effettivamente sottospazio di un altro spazio \(\mathbf{V}\), deve soddisfare i seguenti requisiti:
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\begin{itemize}
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\item I due spazi sono definiti nello stesso campo
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\item Tutti i vettori appartenenti a \(\mathbf{W}\) sono presenti anche in \(\mathbf{V}\)
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\item \(\mathbf{W}\) contiene tutti i possibili vettori risultanti da somma e prodotto (e quindi da combinazioni lineari) dei suoi elementi
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\end{itemize}
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\section{Sistema di generatori}
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Un sistema di generatori per uno spazio vettoriale è un insieme di vettori che tramite una loro combinazione lineare possono dare come risultato un qualsiasi elemento di uno spazio.
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[TODO]
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\section{Base di spazio vettoriale}
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Una base di uno spazio vettoriale è [TODO]
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\end{document}
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