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   ]

7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/braket.md

@@ -24,6 +24,8 @@ $$
 \bra{10}_4 \cdot \ket{11}_4 = \braket{10|11}_4
 $$
 
-> [!Hint] Typesetting
+> [!Note] Typesetting
 > In $\TeX$, puoi rappresentare un braket con `\braket{SINISTRA|DESTRA}`.
 
+> [!Tip]
+> $\braket{10|\psi}$ può essere letto come "prendi il valore dello stato $\ket{10}$ di $\ket{\psi}$"!

7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/prodotto tensoriale.md

@@ -1,3 +1,10 @@
+---
+aliases:
+  - prodotto di Kronecker
+  - prodotto matriciale diretto
+---
+
+
 [[Operazione]] tra due [[matrice|matrici]] che risulta in una matrice più grande:
 $$
 \Huge \otimes

7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/proiezione inversa.md

@@ -1,15 +1,38 @@
-[[Operazione]] che restitusce il coefficiente dello stato $\ket{1}$ di un dato [[qbit]].
+[[Operazione]] che restitusce il coefficiente dello stato $\ket{0}$ di un dato [[qbit]].
 
 $$
 \Huge
-\mathbf{\dot{n}}_0
+\mathbf{\dot{n}}_x = 1 - \ket{x}\bra{x}
+$$
+
+==È giusto?==
+$$
+\Huge
+\mathbf{\dot{n}}_0 
 = 
-\begin{bmatrix}
-0 & 0 \\
-0 & 1
-\end{bmatrix}
-=
-1 -
 \ket{0}
 \bra{0}
+=
+\begin{bmatrix}
+	1 & 0 & 0 & 0 \\
+	0 & 0 & 0 & 0 \\
+	0 & 0 & 0 & 0 \\
+	0 & 0 & 0 & 0
+\end{bmatrix}
+$$
+
+==È giusto?==
+$$
+\Huge
+\mathbf{\dot{n}}_1
+= 
+\ket{1}
+\bra{1}
+=
+\begin{bmatrix}
+	0 & 0 & 0 & 0 \\
+	0 & 0 & 0 & 0 \\
+	0 & 0 & 1 & 0 \\
+	0 & 0 & 0 & 0
+\end{bmatrix}
 $$

7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/proiezione.md

@@ -1,14 +1,38 @@
-[[Operazione]] che restitusce il coefficiente dello stato $\ket{0}$ di un dato [[qbit]].
+[[Operazione]] che restitusce il coefficiente dello stato $\ket{1}$ di un dato [[qbit]].
 
+$$
+\Huge
+\mathbf{n}_x = \ket{x}\bra{x}
+$$
+
+==È giusto?==
 $$
 \Huge
 \mathbf{n}_0 
 = 
-\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
-0 & 0
-\end{bmatrix}
-=
 \ket{0}
 \bra{0}
+=
+\begin{bmatrix}
+	0 & 0 & 0 & 0 \\
+	0 & 1 & 0 & 0 \\
+	0 & 0 & 0 & 0 \\
+	0 & 0 & 0 & 0
+\end{bmatrix}
+$$
+
+==È giusto?==
+$$
+\Huge
+\mathbf{n}_1
+= 
+\ket{1}
+\bra{1}
+=
+\begin{bmatrix}
+	0 & 0 & 0 & 0 \\
+	0 & 0 & 0 & 0 \\
+	0 & 0 & 0 & 0 \\
+	0 & 0 & 0 & 1
+\end{bmatrix}
 $$

7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/circuito quantistico.md

@@ -1,23 +1,21 @@
 Combinazione di più [[gate quantistico|gate quantistici]].
 
-In notazione matematica, vengono eseguiti da destra verso sinistra:
+In notazione matematica, i [[gate quantistico|gate]] vengono eseguiti da destra verso sinistra:
 
 $$
 \Huge
 \mathbf{4\ 3\ 2\ 1} \ket{\psi} = (\ \mathbf{4} (\ \mathbf{3} (\ \mathbf {2} (\ \mathbf{1} \ket{\psi}\ )\ )\ )\ )
 $$
 
-Nei diagrammi di circuito, vengono eseguiti da sinistra verso destra:
+Nei diagrammi di circuito, vengono eseguiti da sinistra verso destra.
 
-![[circuito quantistico a caso.png]]
+## Combinazione di [[gate quantistico|gate]]
 
-## Combinazione di gate
+Più [[gate quantistico|gate]] si possono combinare in serie, o in parallelo.[^1]
-
-Più gate si possono combinare in serie, o in parallelo.[^1]
 
 ### Serie: [[prodotto matriciale]]
 
-I gate vengono applicati consecutivamente uno all'altro:
+I [[gate quantistico|gate]] vengono applicati consecutivamente uno all'altro:
 
 $$
 \displaylines{
@@ -53,9 +51,42 @@ $$
 }
 $$
 
+![[circuito quantistico in serie.png]]
 ### Parallelo: [[prodotto tensoriale]]
 
-==TODO==
+I [[gate quantistico|gate]] vengono richiusi in una [[scatola nera]] come se fossero uno solo:
+$$
+\displaylines{
+	\mathbf{Y} \otimes \mathbf{Z}
+	=\\\\
+	\begin{bmatrix}
+		0 & -i\\
+		i & 0
+	\end{bmatrix}
+	\otimes
+	\begin{bmatrix}
+		1 & 0\\
+		0 & -1
+	\end{bmatrix}
+	=\\\\
+	\begin{bmatrix}
+		0 \cdot 1 & -i \cdot 1 & 0 \cdot 0 & -i \cdot 0 \\
+		i \cdot 1 & 0 \cdot 1 & i \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\
+		0 \cdot 0 & -i \cdot 0 & 0 \cdot -1 & -i \cdot -1 \\
+		i \cdot 0 & 0 \cdot 0 & i \cdot -1 & 0 \cdot -1
+	\end{bmatrix}
+	=\\\\
+	\begin{bmatrix}
+		0 & -i & 0 & 0 \\
+		i & 0 & 0 & 0 \\
+		0 & 0 & 0 & i \\
+		0 & 0 & -i & 0
+	\end{bmatrix}
+}
+$$
+
+![[circuito quantistico in parallelo.png]]
+
 
 
 [^1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_logic_gate#Circuit_composition

7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/controlled Pauli X gate.md

@@ -4,7 +4,7 @@ aliases:
   - quantum controlled NOT gate
   - Feynman gate
 ---
-[[gate quantistico complesso]], un [[Pauli X gate]] che opera condizionalmente su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]]:
+[[gate quantistico complesso]], un [[Pauli X gate]] che opera [[controlled gate|condizionalmente]] su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]]:
 
 $$
 \Huge

7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/gate quantistico universale.md

@@ -1,33 +0,0 @@
-Un [[gate quantistico]] che permette di effettuare una rotazione su asse arbitrario.
-
-Usando la [[formula di Eulero]], esso corrisponde a:
-$$
-\def \varX {{\color{coral} a}}
-\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
-\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
-\def \varI {{\color{hotpink} i}}
-\Huge
-\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
-	\cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
-	- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
-	e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) &
-	e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
-\end{bmatrix}
-$$
-
-Espanso, sarebbe:
-$$
-\def \varX {{\color{coral} a}}
-\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
-\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
-\def \varI {{\color{hotpink} i}}
-\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
-	\cos \frac{\varX}{2} &
-	- (\cos \varZ + \varI \sin \varZ) \cdot \sin \frac{\varX}{2} \\
-	(\cos \varY + \varI \sin \varY) \cdot \sin \frac{\varX}{2} &
-	(cos (\varY + \varZ) + \varI \sin (\varY + \varZ)) \cdot \cos \frac{\varX}{2}
-\end{bmatrix}
-$$
-
-> [!Note]
-> Il parametro $\varX$ modifica il valore del [[qbit]], mentre i parametri $\varY$ e $\varZ$ ne modificano la fase!

7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/gate quantistico.md

@@ -7,16 +7,6 @@ aliases:
 > [!Note]
 > Deve essere unitaria perchè così lo [[qbit|stato]] del [[qbit]] a cui viene applicata rimane [[vettore normalizzato|normalizzato]].
 
-## Visualizzazioni
+## Reversibilità
 
-### [[circuito quantistico]]
+Essendo una [[matrice unitaria]], per ogni gate esiste sempre un gate inverso che annulla l'operazione effettuata.
-
-Un gate quantistico è rappresentato in un circuito quantistico come un quadrato con scritto dentro il nome del gate, da cui entra l'input a sinistra ed esce l'output a destra.
-
-### Nella [[sfera di Bloch]]
-
-Un qubit a cui viene applicato un gate ruota il proprio vettore nella [[sfera di Bloch]] attorno a un determinato asse dipendente dal gate.
-
-## Particolarità
-
-Essendo una [[matrice unitaria]], è sempre reversibile applicandolo nuovamente.

7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/universal controlled gate.md

@@ -0,0 +1,27 @@
+[[gate quantistico]] che effettua una rotazione arbitraria [[controlled gate|in modo controllato]].
+$$
+\def \varX {{\color{coral} a}}
+\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
+\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
+\def \varI {{\color{hotpink} i}}
+\Huge
+\mathbf{U}_{0 \to 1}(\varX, \varY, \varZ)
+=
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 1 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) & e^{\varI \varY + \varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
+0 & 0 & \cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
+	- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
+\end{bmatrix}
+$$
+
+## Effetto
+
+Ruota lo stato del [[qbit]] a cui è applicato di $\varX$ sull'[[asse X in quantum computing|asse X]], $\varY$ sull'[[asse Y]], e $\varZ$ sull'[[asse Z]].
+
+## Visualizzazioni
+
+### In un [[circuito quantistico]]
+
+Un [[universal gate]] connesso con una linea verticale a un puntino nero su un altro [[qbit]].

7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/universal gate.md

@@ -1,20 +1,39 @@
-[[gate quantistico universale]] che opera condizionalmente su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]], in modo simile a un [[controlled Pauli X gate]]:
+[[gate quantistico]] che effettua una rotazione arbitraria.
 
+Usando la [[formula di Eulero]], esso corrisponde a:
 $$
 \def \varX {{\color{coral} a}}
 \def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
 \def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
 \def \varI {{\color{hotpink} i}}
 \Huge
-\mathbf{U}_{0 \to 1}(\varX, \varY, \varZ)
+\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
-=
+	\cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
-\begin{bmatrix}
+	- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
+	e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) &
-0 & 1 & 0 & 0 \\
+	e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
-0 & 0 & e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) & e^{\varI \varY + \varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
-0 & 0 & \cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
-	- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
 \end{bmatrix}
 $$
 
-==Deutsch gate?==
+Espanso, sarebbe:
+$$
+\def \varX {{\color{coral} a}}
+\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
+\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
+\def \varI {{\color{hotpink} i}}
+\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
+	\cos \frac{\varX}{2} &
+	- (\cos \varZ + \varI \sin \varZ) \cdot \sin \frac{\varX}{2} \\
+	(\cos \varY + \varI \sin \varY) \cdot \sin \frac{\varX}{2} &
+	(cos (\varY + \varZ) + \varI \sin (\varY + \varZ)) \cdot \cos \frac{\varX}{2}
+\end{bmatrix}
+$$
+## Effetto
+
+Ruota lo stato del [[qbit]] a cui è applicato di $\varX$ sull'[[asse X in quantum computing|asse X]], $\varY$ sull'[[asse Y]], e $\varZ$ sull'[[asse Z]].
+
+## Visualizzazioni
+
+### In un [[circuito quantistico]]
+
+Un [[universal gate]] connesso con una linea verticale a un puntino nero su un altro [[qbit]].

7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/visualizzare l'applicazione di un gate.md

@@ -0,0 +1,28 @@
+È possibile visualizzare la [[combinazione lineare]] derivante dall'applicazione di un gate come una mappa da input ad output di ciascuno [[stato]].
+
+Dato questo [[Pauli Z gate]]:
+$$
+\Large
+\mathbf{Z} = \begin{bmatrix}
+  & {\color{Gray} In_{\ket{0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{1}}} \\
+  {\color{Gray} Out_\ket{0}} & {\color{tomato} 1} & {\color{gold} 0} \\
+  {\color{Gray} Out_\ket{1}} & {\color{darkorange} 0} & {\color{yellow} -1} \\
+\end{bmatrix}
+$$
+
+Possiamo vedere la prima colonna come "in cosa verrà trasmutato" lo stato $\ket{0}$, e la seconda colonna come "in cosa verrà trasmutato" lo stato $\ket{1}$.
+
+Con questo gate, lo stato $\ket{0}$ diventerà:
+$$
+\Large
+{\color{tomato} 1 \cdot \ket{0}} + {\color{darkorange} 0 \cdot \ket{1}}
+$$
+E invece, lo stato $\ket{1}$ diventerà:
+$$
+\Large
+{\color{gold} 0 \cdot \ket{0}} + {\color{yellow} -1 \cdot \ket{1}}
+$$
+
+
+> [!Note]
+> Sì, è una cosa triviale se uno sa come funzionano le combinazioni lineari, ma in qualche modo formulandola in questo modo il mio cervello l'ha capita meglio.

7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/★ gates.canvas

@@ -10,13 +10,16 @@
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 	]
 }

7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/Hardy state.md

@@ -1,15 +1,19 @@
 Particolare [[qbit|stato]] di due [[qbit]] composto nel seguente modo:
 
 $$
-\Huge
+\Large
+\displaylines{
 \ket{\Phi}
-=
+=\\\\
+\frac{1}{\sqrt{3}}\ \par{\ 2 \cdot \ket{00} - 1 \cdot \mathbf{H_1} \mathbf{H_0} \ket{11}\ }
+=\\\\
 \frac{
 	3 \cdot \ket{00} +
 	1 \cdot \ket{01} +
 	1 \cdot \ket{10} -
 	1 \cdot \ket{11}
 }{\sqrt{12}}
+}
 $$
 
-Se ad entrambi i qbit viene applicato un [[Hadamard gate]], gli stati $\ket{01}$ e $\ket{10}$ cessano di essere possibili, dando origine al fenomeno della [[spooky action at a distance]].
+Se ad entrambi i [[qbit]] viene applicato un [[Hadamard gate]], gli stati $\ket{01}$ e $\ket{10}$ cessano di essere possibili, dando origine al fenomeno della [[spooky action at a distance]].

7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state, old.md

@@ -1,565 +0,0 @@
-  
-
-Dobbiamo determinare i parametri dei gate da utilizzare per costruire il seguente stato:
-
-  
-
-$$
-
-\ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{12}}\ (\ 3 \ket{00} + 1 \ket{01} + 1 \ket{10} - 1 \ket{11}\ )
-
-$$
-
-  
-
-### Costruzione del gate $\mathbf{U_A}$ da applicare al qbit 0
-
-  
-
-Vogliamo usare un gate $\mathbf{U_0}(\theta, \phi, \lambda)$ per configurare il bit più a destra dello stato, assumendo che lo stato iniziale sia $\ket{00}$.
-
-  
-
-Raccogliamo il qbit più a destra:
-
-  
-
-$$
-
-\ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{12}} \ (\ {\color{orange} (3\ket{0} + 1 \ket{1})}\ {\color{red} \ket{0}} + {\color{lime} (1\ket{0} - 1 \ket{1})}\ {\color{green} \ket{1}}\ )
-
-$$
-
-  
-
-Ignorando il valore del qbit di sinistra, abbiamo che:
-
-  
-
-$$
-
-\frac{1}{\sqrt{12}} \ \left(\ {\color{orange} \sqrt{3^2 + 1^2}}\ {\color{red} \ket{\_0}} + {\color{lime} \sqrt{1^2 + (-1)^2}}\ {\color{green} \ket{\_1}}\ \right) =
-
-\frac{1}{\sqrt{12}} \ \left(\ {\color{orange} \sqrt{10}}\ {\color{red} \ket{\_0}} + {\color{lime} \sqrt{2}} {\color{green}\ \ket{\_1}}\ \right)
-
-$$
-
-  
-
-Ricordando che il gate $\mathbf{U}(\theta, \phi, \lambda)$ è composto così:
-
-  
-
-$$
-
-\mathbf{U}(\theta, \phi, \lambda) = \left[ \begin{matrix}
-
-{\color{Gray} Out} & {\color{Gray} In_{\ket{\_0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{\_1}}} \\\ \\
-
-{\color{Red} \ket{\_0}} & \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) & {\color{LightGray} - e^{i\lambda} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right)}
-
-\\\ \\
-
-{\color{Green} \ket{\_1}} & e^{i \phi} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) & {\color{LightGray} e^{i(\phi + \lambda)} \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)}
-
-\end{matrix} \right]
-
-$$
-
-  
-
-E che vogliamo ottenere il seguente gate:
-
-  
-
-$$
-
-\mathbf{U_A} (\theta, \phi, \lambda) \ket{\_0} = \frac{1}{\sqrt{12}} \ \left(\ {\color{orange} \sqrt{10}}\ {\color{red} \ket{\_0}} + {\color{lime} \sqrt{2}} {\color{green}\ \ket{\_1}}\ \right)
-
-$$
-
-  
-
-Possiamo portare a destra tutti i termini che non sono il gate, ottenendo:
-
-  
-
-$$
-
-\mathbf{U_A} (\theta, \phi, \lambda) = \frac{1}{\sqrt{12}}
-
-$$
-
-  
-
-Abbiamo che:
-
-  
-
-$$
-
-\mathbf{U_A} (\theta, \phi, \lambda) = \frac{1}{\sqrt{12}} \left[ \begin{matrix}
-
-{\color{Gray} Out} & {\color{Gray} In_{\ket{\_0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{\_1}}} \\\ \\
-
-{\color{Red} \ket{\_0}} & {\color{Orange} \sqrt{10}} & {\color{LightGray} ?}
-
-\\\ \\
-
-{\color{Green} \ket{\_1}} &{\color{Lime} \sqrt{2}} & {\color{LightGray} ?}
-
-\end{matrix} \right]
-
-$$
-
-  
-
-<aside>
-
-📘 Non ci interessa lo stato $\ket{\_1}$, perchè lo stato iniziale a cui applichiamo il gate $\mathbf{U_A}$ è sempre $\ket{00}$.
-
-  
-
-</aside>
-
-  
-
-Mettiamo a sistema i valori che ci servono:
-
-  
-
-$$
-
-\begin{cases}
-
-{\color{Red} \ket{\_0}}: & \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} \sqrt{10}}}{\sqrt{12}}\\\ \\
-
-{\color{Green} \ket{\_1}}: & e^{i \phi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Lime} \sqrt{2}}}{\sqrt{12}}\\
-
-\end{cases}
-
-$$
-
-  
-
-Impostando le due dimensioni non-vincolate $\phi$ e $\lambda$ a $0$, abbiamo che:
-
-  
-
-$$
-
-\begin{cases}
-
-\cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} \sqrt{10}}}{\sqrt{12}}\\
-
-e^i \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Lime} \sqrt{2}}}{\sqrt{12}}\\\phi = 0\\
-
-\lambda = 0\\
-
-\end{cases}
-
-$$
-
-  
-
-Ci basta risolvere una delle due equazioni per trovare $\theta$, quindi decidiamo di risolvere quella sopra:
-
-  
-
-$$
-
-\begin{cases}
-
-\theta = 2 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{{\color{Orange} \sqrt{10}}}{\sqrt{12}}\right) \approx 0.841\\
-
-\phi = 0\\
-
-\lambda = 0\\
-
-\end{cases}
-
-$$
-
-  
-
-Per ottenere il bit di destra dello stato $\ket{\Psi}$ dobbiamo usare il gate $\mathbf{U_0}(0.841,\ 0,\ 0)$, che chiameremo $\mathbf{U_A}$!
-
-  
-
-### Costruzione del gate $\mathbf{U_B}$ da applicare al qbit 1
-
-  
-
-Ora dobbiamo configurare il qbit di sinistra, entangleandolo correttamente con il bit di destra.
-
-  
-
-<aside>
-
-📘 Potremmo usare due gate $\mathbf{U}$ controllati, uno che si attiva quando $\mathbf{n_0}$, e uno che si attiva quando $\mathbf{\dot{n}_0}$.
-
-  
-
-Visto però che i gate $\mathbf{U}$ controllati sono più costosi di quelli normali, possiamo usare un trucchetto per usare un solo $\mathbf{U}$ controllato e un $\mathbf{U}$ normale.
-
-  
-
-Utilizziamo il gate $\mathbf{U}$ normale per configurare “globalmente” il qbit 1 per lo stato $\ket{\_0}$, e poi utilizziamo il gate $\mathbf{U}$ controllato per annullare le modifiche che esso ha apportato e per applicare una configurazione diversa per lo stato $\ket{\_1}$.
-
-  
-
-</aside>
-
-  
-
-Lo stato $\ket{\_0}$ che avevamo raccolto prima era composto da:
-
-  
-
-$$
-
-\frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{Orange} 3}\ {\color{Red} \ket{0\_}} + {\color{lime} 1}\ {\color{Green} \ket{1\_}})
-
-$$
-
-  
-
-Allora, possiamo costruire il gate $\mathbf{U_B}$ usando un gate $\mathbf{U_1}(\theta, \phi, \lambda)$ tale che:
-
-  
-
-$$
-
-\mathbf{U_B} \ket{0\_} = \frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{Orange} 3}\ {\color{Red} \ket{0\_}} + {\color{lime} 1}\ {\color{Green} \ket{1\_}})
-
-$$
-
-  
-
-Usiamo lo stesso processo che abbiamo usato prima (saltando alcuni passaggi):
-
-  
-
-$$
-
-\begin{cases}
-
-{\color{Red} \ket{0\_}}: & \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} 3}}{\sqrt{10}}\\\ \\
-
-{\color{Green} \ket{1\_}}: & e^{i \phi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{lime} 1}}{\sqrt{10}}\\
-
-\end{cases}
-
-$$
-
-  
-
-Semplificandoci ancora la vita:
-
-  
-
-$$
-
-\begin{cases}
-
-\cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} 3}}{\sqrt{10}}\\
-
-e^{i \phi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{lime} 1}}{\sqrt{10}}\\
-
-\phi = 0\\
-
-\lambda = 0\\
-
-\end{cases}
-
-$$
-
-  
-
-E risolvendo ancora solo l’equazione sopra, abbiamo che:
-
-  
-
-$$
-
-\begin{cases}
-
-\theta = 2 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{{\color{orange} 3}}{\sqrt{10}}\right) \approx 0.643\\\phi = 0\\
-
-\lambda = 0\\
-
-\end{cases}
-
-$$
-
-  
-
-Per ottenere il bit di sinistra dello stato $\ket{\Psi}$ quando il bit di destra è impostato a zero dobbiamo usare il gate $\mathbf{U_1}(0.643,\ 0,\ 0)$, che chiameremo $\mathbf{U_B}$!
-
-  
-
-### Costruzione del gate controllato $\mathbf{U_{C}}$
-
-  
-
-Infine, dobbiamo costruire il gate che configura il bit di sinistra dello stato $\ket{\_1}$.
-
-  
-
-Esso deve costruire il seguente stato:
-
-  
-
-$$
-
-\frac{1}{\sqrt{2}}\ ({\color{DodgerBlue} 1} \ket{0\_} \ {\color{Turquoise} -\ 1}\ \ket{1\_})
-
-$$
-
-  
-
-Inoltre, esso deve annullare le modifiche apportate da $\mathbf{U_B}$, ovvero:
-
-  
-
-$$
-
-\frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{OrangeRed} 3} \ket{0\_} + {\color{Goldenrod} 1} \ket{1\_})
-
-$$
-
-  
-
-Usiamo un gate $\mathbf{U_{01}}(\theta, \phi, \lambda)$, che chiamiamo $\mathbf{U_C}$.
-
-  
-
-Dobbiamo trovare i suoi parametri, in modo tale che:
-
-  
-
-$$
-
-\mathbf{U_C}(\theta, \phi, \lambda) \otimes \frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{OrangeRed} 3} \ket{0\_} + {\color{Goldenrod} 1} \ket{1\_}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\ ({\color{DodgerBlue} 1} \ket{0\_} \ {\color{Turquoise} -\ 1}\ \ket{1\_})
-
-$$
-
-  
-
-Abbiamo quindi che:
-
-  
-
-$$
-
-\mathbf{U_C} (\theta, \phi, \lambda)\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \left[ \begin{matrix}
-
-{\color{Gray} Out} & {\color{Gray} In_{\ket{\_0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{\_1}}} \\\ \\
-
-{\color{Gray} \ket{\_0}} & {\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1} & {\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}
-
-\\\ \\
-
-{\color{Gray} \ket{\_1}} &{\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1} & {\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}
-
-\end{matrix} \right] = 1
-
-$$
-
-  
-
-E allora, che: [qual è il passaggio matematico qui?]
-
-  
-
-$$
-
-\begin{cases}
-
-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & ({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \cos \frac{\theta}{2} & - &({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1})\ e^{i\lambda} \sin \frac{\theta}{2} & = 1\\
-
-\\
-
-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & \left({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1} \right) e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2} & + & ({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1})\ e^{i\phi + i\lambda} \cos \frac{\theta}{2} & = 1
-
-\end{cases}
-
-$$
-
-  
-
-Semplificandoci ancora una volta la vita:
-
-  
-
-$$
-
-\begin{cases}
-
-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & ({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \cos \frac{\theta}{2} & - &({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \sin \frac{\theta}{2} & = 1\\
-
-\\
-
-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & ({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}) \sin \frac{\theta}{2} & + & ({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}) \cos \frac{\theta}{2} & = 1\\
-
-\\
-
-\phi = 0\\
-
-\\
-
-\lambda = 0
-
-\end{cases}
-
-$$
-
-  
-
-E allora:
-
-  
-
-$$
-
-\begin{cases}
-
-({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \cos \frac{\theta}{2} & - &({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \sin \frac{\theta}{2} & = &\left({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1} \right) \sin \frac{\theta}{2} & + & ({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}) \cos \frac{\theta}{2}\\
-
-\\
-
-\phi = 0\\
-
-\\
-
-\lambda = 0
-
-\end{cases}
-
-$$
-
-  
-
-Che risulta in:
-
-  
-
-$$
-
-\begin{cases}
-
-4 \cos \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} = 0\\
-
-\phi = 0\\
-
-\lambda = 0
-
-\end{cases}
-
-$$
-
-  
-
-Quindi:
-
-  
-
-$$
-
-\begin{cases}
-
-\theta \approx -2.214\\
-
-\phi = 0\\
-
-\lambda = 0
-
-\end{cases}
-
-$$
-
-  
-
-Per ottenere il bit di sinistra dello stato $\ket{\Psi}$ quando il bit di destra è impostato a uno dobbiamo usare il gate $\mathbf{U_{01}}(-1.571,\ 0,\ 0)$, che chiameremo $\mathbf{U_C}$!
-
-  
-
-### Risultato
-
-  
-
-![Untitled](Glossario%206f22ab79f2da4bd4a0fcd670c58cde62/Untitled.png)
-
-  
-
-<aside>
-
-📘 Utilizzando lo stesso procedimento possiamo costruire qualsiasi stato arbitrario costante a $n$ qbit!
-
-  
-
-Richiederebbe però $\sum_{i=1}^n n$ gates $\mathbf{U}$, e degli $\mathbf{U}$ gates con doppio controllo, amichevolmente chiamati $\mathbf{U}$-Toffoli dalla chat…
-
-  
-
-![Untitled](Glossario%206f22ab79f2da4bd4a0fcd670c58cde62/Untitled%201.png)
-
-  
-
-</aside>
-
-
----
-
-
-
-1. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti:
-   $$
-   \frac{\sqrt{\kzero^2 + \ktwo^2}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}
-   $$
-   $$
-   \frac{\sqrt{\kone^2 + \kthree^2}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}
-   $$
-4. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il secondo qbit $\mathbf{U}_\noteB (\theta, \phi, \lambda)$:
-   $$
-   \large
-   \displaylines{
-	   \begin{cases}
-		\cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
-		e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \\
-	   \end{cases}
-	   \\\\\updownarrow\\\\
-	   \begin{cases}
-		\phi &=& 2 \arccos \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
-		\theta &=& 0 \\
-		\lambda &=& 0
-	   \end{cases}
-   }
-   $$
-5. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti quando il bit $\noteB$ è $\ket{0}$:
-
-   $$
-   \large
-   \begin{matrix}
-	   \ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{3}{\sqrt{12}} \\
-	   \ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{1}{\sqrt{12}}
-   \end{matrix}
-   $$
-6. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il primo qbit $\mathbf{U}_\noteA$:
-   $$
-	\large
-	\displaylines{
-	   \begin{cases}
-		  \cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{3}{\sqrt{12}} \\
-		  e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{1}{\sqrt{12}} \\
-	   \end{cases}
-	   \\\\\updownarrow\\\\
-	   \begin{cases}
-		  \phi &=& 2 \arccos \frac{3}{\sqrt{10}} \\
-		  \theta &=& 0 \\
-		  \lambda &=& 0
-	   \end{cases}
-	}
-   $$
-
-==TODO: Non lo so, mi sono perso.==

7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state.md

@@ -1,5 +1,5 @@
-Si vuole creare un [[Hardy state]] su due [[qbit]] nello stato neutro applicandovi tre [[gate quantistico universale|gate quantistici universali]]:
 $$
+
 \def \ufirst {{\color{mediumpurple} \mathbf{U_A}}}
 \def \usecond {{\color{mediumorchid} \mathbf{U_B}}}
 \def \uthird {{\color{violet} \mathbf{U_C}}}
@@ -12,6 +12,23 @@ $$
 \def \notea {{\color{orangered} \Leftarrow}}
 \def \noteb {{\color{dodgerblue} \Rightarrow}}
 
+\Tiny
+\color{grey}
+\text{don't mind me, just defining}\ \TeX\ \text{variables}
+$$
+
+## Obiettivo
+
+Si vuole:
+- creare un [[Hardy state]] $\ket{\Psi}$ 
+- su due [[qbit]] $\notea$ e $\noteb$
+	- allo [[qbit|stato]] neutro $\ket{0}$
+- usando tre gate $\ufirst$, $\usecond$, e $\uthird$
+	- $\ufirst$: configura $\noteb$
+	- $\usecond$: configura $\notea$
+	- $\uthird$: se $\ket{1}_\noteb$, annulla $\usecond$ e configura $\notea$
+
+$$
 \large
 \uthird
 \usecond
@@ -41,28 +58,21 @@ $$
 }
 $$
 
-> [!Note]
-> I [[universal gate|gate controllati]] costano di più dei [[gate quantistico universale|gate normali]], quindi per minimizzare il costo del [[circuito quantistico]] si:
-> 1. $\ufirst$: utilizza un gate normale per configurare lo stato di $\noteb$
-> 2. $\usecond$: utilizza un gate normale per configurare lo stato di $\notea$ quando $\ket{0}_\noteb$
-> 3. $\uthird$: utilizza un gate controllato per annullare le modifiche del passo precedente e inoltre configurare lo stato di $\notea$ quando $\ket{1}_\noteb$.
-
 ## Costruzione di $\ufirst$
 
-Ricordiamo che è possibile invertire il [[prodotto tensoriale]] per separare i [[qbit]]:
-$$
-   
-\displaylines{
-	\ket{00} = \ket{0}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb \\
-	\ket{01} = \ket{0}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb \\
-	\ket{10} = \ket{1}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb \\
-	\ket{11} = \ket{1}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb
-}
-$$
-
 Vogliamo costruire il gate $\ufirst$ da applicare solamente al [[qbit]] $\noteb$.
 
-
+> [!Tip]
+> Ricordiamo che è possibile invertire il [[prodotto tensoriale]] per separare i [[qbit]]:
+> $$
+>    
+> \displaylines{
+> 	\ket{00} = \ket{0}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb \\
+> 	\ket{01} = \ket{0}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb \\
+> 	\ket{10} = \ket{1}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb \\
+> 	\ket{11} = \ket{1}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb
+> }
+> $$
 
 Possiamo separare i [[qbit]] dell'[[Hardy state]] in:   
 $$
@@ -70,13 +80,13 @@ $$
 	\cdot 
 	\left\{
 		\begin{matrix}
-			\kzero & \cdot & (\ket{0}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb) \\
+			\kzero & \cdot & \par{\ket{0}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb} \\
 			& + \\
-			\kone & \cdot & (\ket{0}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb) \\
+			\kone & \cdot & \par{\ket{0}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb} \\
 			& + \\
-			\ktwo & \cdot & (\ket{1}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb) \\
+			\ktwo & \cdot & \par{\ket{1}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb} \\
 			& + \\
-			\kthree & \cdot & (\ket{1}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb)
+			\kthree & \cdot & \par{\ket{1}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb}
 		\end{matrix}
 	\right\}
 $$
@@ -94,7 +104,9 @@ $$
 \right\}
 $$
 
-Decidiamo di ignorare temporaneamente il [[qbit]] $\notea$; determiniamo le [[ampiezza|ampiezze]] del gate alla [[stato base di un qbit|base]] di $\noteb$:
+Possiamo permetterci di ignorare temporaneamente il [[qbit]] $\notea$, visto che siamo allo stato neutro e vogliamo applicare questo gate solo a $\noteb$.
+
+Determiniamo le [[ampiezza|ampiezze]] del gate alla [[stato base di un qbit|base]] di $\noteb$:
 
 $$
 \frac{1}{\sqrt{12}}
@@ -118,7 +130,20 @@ $$
 \right\}
 $$
 
-Ricordando che lo stato iniziale del sistema è sempre $\ket{0}_\noteb$, e che il [[gate quantistico universale]] è definito come:
+> [!Tip]
+> Ricordiamo che l'[[universal gate]] è definito come:
+> $$
+> \mathbf{U}(a, b, c) = 
+> \begin{bmatrix}
+> 	\cos \frac{a}{2} &
+> 	- (\cos c + i \sin c) \cdot \sin \frac{a}{2} \\
+> 	(\cos b + i \sin b) \cdot \sin \frac{a}{2} &
+> 	(cos (b + c) + i \sin (b + c)) \cdot \cos \frac{a}{2}
+> \end{bmatrix}
+> $$
+> 
+
+Otteniamo allora questa equazione, con $a$, $b$, e $c$ come incognite:
 $$
 \def \varX {a}
 \def \varY {b}
@@ -126,6 +151,7 @@ $$
 \def \varI {i}
 
 \ufirst 
+\ket{0}_\noteb
 \quad = \quad 
 \begin{bmatrix}
 	{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
@@ -133,70 +159,107 @@ $$
 	{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
 	e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
 \end{bmatrix}
+\ket{0}_\noteb
 \quad = \quad
 \begin{bmatrix}
-	{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}} &
+	{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}} \\
-	\ *\ \\
+	{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
-	{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}} &
-	\ *\ 
 \end{bmatrix}
 $$
 
-Possiamo mettere a sistema i seguenti vincoli per determinare il valore di $\varX$ e $\varY$:
+Mettendo a sistema, notiamo che abbiamo due equazioni che potrebbero risultare in qualsiasi cosa:
-
 $$
 \begin{cases}
-{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
+	{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
-& = &
+	& = &
-{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
+	{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
-\\
+	\\
-- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
+	{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
-& = &
+	& = &
-*
+	{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
-\\
+	\\
-{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
+	{- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
-& = &
+	& = &
-{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
+	*
-\\
+	\\
-e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
+	{e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
-& = &
+	& = &
-*
+	*
 \end{cases}
 $$
 
-Abbiamo dunque due variabili libere; per semplificare i calcoli, decidiamo di fissare $\varY$ e $\varZ$ a $0$:
+==Non è sintassi matematica formale. Qual è quella giusta?==
 
+Per tenere i calcoli semplici, decidiamo che il risultato delle due equazioni sia $0$:
+$$
+\begin{cases}
+	{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
+	& = &
+	{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
+	\\
+	{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
+	& = &
+	{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
+	\\
+	{- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
+	& = &
+	0
+	\\
+	{e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
+	& = &
+	0
+\end{cases}
+$$
+
+Usiamo le due equazioni con $0$ come risultato per determinare il valore di $\varY$ e $\varZ$:
+$$
+\begin{cases}
+	{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
+	& = &
+	{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
+	\\
+	{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
+	& = &
+	{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}} 
+	\\
+	\varY
+	& = &
+	0
+	\\
+	\varZ
+	& = &
+	0
+\end{cases}
+$$
+
+Sostituiamo:
 $$
 \begin{cases}
 {\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
 & = &
 {\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
 \\
-\varZ
+{\color{palegreen} e^{0} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
-& = &
-0
-\\
-{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
 & = &
 {\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
 \\
 \varY
 & = &
 0
+\\
+\varZ
+& = &
+0
 \end{cases}
 $$
 
-Risolvendo il sistema:
+Ancora:
 $$
 \begin{cases}
 {\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
 & = &
 {\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
 \\
-\varZ
-& = &
-0
-\\
 {\color{palegreen} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
 & = &
 {\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
@@ -204,27 +267,30 @@ $$
 \varY
 & = &
 0
-\end{cases}
-$$
-E poi:
-$$
-\begin{cases}
-{\color{mediumaquamarine} \varX}
-& = &
-{\color{mediumaquamarine} 2 \cdot \arccos \left( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \right) }
 \\
 \varZ
 & = &
 0
+\end{cases}
+$$
+Scegliamo di risolvere la prima equazione per ottenere $\varX$:
+$$
+\begin{cases}
+{\color{mediumaquamarine} \varX}
+& = &
+{\color{mediumaquamarine} 2 \cdot \arccos \par{ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} } }
 \\
 \varY
 & = &
 0
+\\
+\varZ
+& = &
+0
 \end{cases}
 $$
 
-Visto che si vuole riprodurre l'[[Hardy state]] in un simulatore che necessita di [[numero razionale|numeri razionali]], determiniamo un'approssimazione del valore di $\varX$:
+Approssimando:
-
 $$
 \begin{cases}
 {\color{mediumaquamarine} \varX}
@@ -241,11 +307,48 @@ $$
 \end{cases}
 $$
 
+Quindi, abbiamo che:
+
+$$
+\Large
+\ufirst \approx \mathbf{U}({\color{mediumaquamarine} 0.841 }, 0.000, 0.000)
+$$
+
 ## Costruzione di $\usecond$
 
-Vogliamo costruire il [[gate quantistico universale]] $\usecond$ da applicare al [[qbit]] $\notea$.
+Vogliamo costruire il gate $\usecond$ da applicare solamente al [[qbit]] $\notea$.
 
-Ripetiamo lo stesso procedimento di prima, ma ignorando $\ket{1}_{\noteb}$, visto che ci interessa configurare il qbit per $\ket{0}_\noteb$:
+Ripetiamo la stessa procedura che abbiamo usato per $\ufirst$, ma per l'altro [[qbit]].
+
+$$
+	\frac{1}{\sqrt{12}} 
+	\cdot 
+	\left\{
+		\begin{matrix}
+			\kzero & \cdot & \par{\ket{0}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb} \\
+			& + \\
+			\kone & \cdot & \par{\ket{0}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb} \\
+			& + \\
+			\ktwo & \cdot & \par{\ket{1}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb} \\
+			& + \\
+			\kthree & \cdot & \par{\ket{1}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb}
+		\end{matrix}
+	\right\}
+$$
+
+Raccogliamo gli [[qbit|stati del qbit]] $\notea$, ottenendo:
+$$
+\frac{1}{\sqrt{12}}
+\cdot
+\left\{
+	\begin{matrix}
+	(& \kzero \cdot \ket{0}_\noteb & + & \kone \cdot \ket{1}_\noteb &) & \otimes & \ket{0}_\notea \\
+	&&&&& + \\
+	(& \ktwo \cdot \ket{0}_\noteb & + & \kthree \cdot \ket{1}_\noteb &) & \otimes & \ket{1}_\notea
+	\end{matrix}
+\right\}
+$$
+Vogliamo che $\usecond$ costruisca lo stato giusto di $\notea$ specificamente per $\ket{0}_\noteb$, quindi prendiamo in considerazione solo quei coefficienti, e rinormalizziamo:
 $$
 \frac{1}{\sqrt{\kzero^2 + \ktwo^2}}
 \cdot
@@ -256,7 +359,11 @@ $$
 		\ktwo & \otimes & \ket{1}_\notea
 	\end{matrix}
 \right\}
-\quad = \quad
+$$
+==C'è un passaggio matematico formale anche qui che non conosco.==
+
+Cioè:
+$$
 \frac{1}{\sqrt{10}}
 \cdot
 \left\{
@@ -268,8 +375,7 @@ $$
 \right\}
 $$
 
-La sua [[matrice]] sarà quindi:
+Arriviamo quindi all'equazione:
-
 $$
 \def \varX {a}
 \def \varY {b}
@@ -277,6 +383,7 @@ $$
 \def \varI {i}
 
 \usecond 
+\ket{0}_\notea
 \quad = \quad 
 \begin{bmatrix}
 	{\color{darkgreen} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
@@ -284,12 +391,11 @@ $$
 	{\color{limegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
 	e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
 \end{bmatrix}
+\ket{0}_\notea
 \quad = \quad
 \begin{bmatrix}
-	{\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}} &
+	{\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}} \\
-	\ *\ \\
+	{\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}}
-	{\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}} &
-	\ *\ 
 \end{bmatrix}
 $$
 
@@ -300,14 +406,14 @@ $$
 & = &
 {\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}}
 \\
-- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
-& = &
-*
-\\
 {\color{limegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
 & = &
 {\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}}
 \\
+- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
+& = &
+*
+\\
 e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
 & = &
 *
@@ -320,11 +426,11 @@ $$
 & = &
 {\color{darkgreen} 2 \cdot \arccos \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right) }
 \\
-\varZ
+\varY
 & = &
 0
 \\
-\varY
+\varZ
 & = &
 0
 \end{cases}
@@ -334,7 +440,7 @@ $$
 \begin{cases}
 {\color{darkgreen} \varX}
 & \approx &
-{\color{darkgreen} 0.643 }
+{\color{darkgreen} 0.644 }
 \\
 \varZ
 & = &
@@ -345,88 +451,53 @@ $$
 0
 \end{cases}
 $$
+$$
+\Large
+\usecond \approx \mathbf{U}({\color{darkgreen} 0.644 }, 0.000, 0.000)
+$$
 
 ## Costruzione di $\uthird$
 
-Infine, vogliamo costruire il [[universal gate]] $\uthird$ da applicare al [[qbit]] $\notea$.
+Infine, vogliamo costruire l'[[universal controlled gate]] $\uthird$ da applicare al [[qbit]] $\notea$.
 
-Ci troviamo nello stato configurato dal gate $\usecond$ per $\ket{0}_\noteb$:
+Stavolta, non partiamo da $\ket{0}$, ma dallo stato configurato dal gate $\usecond$ per $\ket{0}_\noteb$:
-$$
-\frac{1}{\sqrt{10}} 
-\left\{
-	\begin{matrix}
-		\kzero & \otimes & \ket{0}_\notea \\
-		& + \\
-		\ktwo & \otimes & \ket{1}_\notea
-	\end{matrix}
-\right\}
-$$
-
-Vogliamo usare il gate $\uthird$ per configurare lo stato per $\ket{1}_\noteb$ al valore seguente:
 
 $$
-\frac{1}{\sqrt{\kone^2 + \kthree^2}}
+\def \varX {a}
-\cdot
+\def \varY {b}
-\left\{
+\def \varZ {c}
-	\begin{matrix}
+\def \varI {i}
-		\kone & \otimes & \ket{0}_\notea \\
+
-		& + \\
+\uthird
-		\kthree & \otimes & \ket{1}_\notea
-	\end{matrix}
-\right\}
-\quad = \quad
-\frac{1}{\sqrt{2}}
-\cdot
-\left\{
-	\begin{matrix}
-		\kone & \otimes & \ket{0}_\notea \\
-		& + \\
-		\kthree & \otimes & \ket{1}_\notea
-	\end{matrix}
-\right\}
-$$
-Abbiamo dunque che:
-$$
-\uthird 
-\otimes 
-\frac{1}{\sqrt{10}} 
-\left\{
-	\begin{matrix}
-		\kzero & \otimes & \ket{0}_\notea \\
-		& + \\
-		\ktwo & \otimes & \ket{1}_\notea
-	\end{matrix}
-\right\}
-\quad = \quad
-\frac{1}{\sqrt{2}}
-\left\{
-	\begin{matrix}
-		\kone & \otimes & \ket{0}_\notea \\
-		& + \\
-		\kthree & \otimes & \ket{1}_\notea
-	\end{matrix}
-\right\}
-$$
-In forma matriciale:
-$$
-\uthird 
-\otimes 
-\frac{1}{\sqrt{10}} 
 \begin{bmatrix}
-	\kzero \\
+	{\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}} \\
-	\ktwo
+	{\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}}
 \end{bmatrix}
-\quad = \quad
+\quad = \quad 
-\frac{1}{\sqrt{2}}
 \begin{bmatrix}
-	\kone \\
+	{\color{forestgreen} \frac{1}{\sqrt{2}}} \\
-	\kthree
+	{\color{lightgreen} \frac{-1}{\sqrt{2}}}
 \end{bmatrix}
 $$
+
 Portando tutto a destra, sfruttando l'[[operatore aggiunto]]:
 $$
 \uthird
 \quad = \quad
+\begin{bmatrix}
+	{\color{forestgreen} \frac{1}{\sqrt{2}}} \\
+	{\color{lightgreen} \frac{-1}{\sqrt{2}}}
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+	{\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}} \\
+	{\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}}
+\end{bmatrix}^\dagger
+$$
+
+Ovvero:
+$$
+\uthird
+\quad = \quad
 \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}
 \begin{bmatrix}
 	\kone \\
@@ -437,6 +508,8 @@ $$
 	\ktwo
 \end{bmatrix}^\dagger
 $$
+
+
 Che diventa:
 $$
 \uthird
@@ -451,6 +524,9 @@ $$
 	\ktwo
 \end{bmatrix}
 $$
+
+==Credo che quel $\sqrt{5}$ sia sbagliato...
+
 Risolvendo il [[prodotto matriciale]]:
 $$
 \uthird
@@ -472,6 +548,7 @@ $$
 \end{bmatrix}
 $$
 
+Sostituiamo $\uthird$:
 $$
 \def \varX {a}
 \def \varY {b}
@@ -485,10 +562,168 @@ $$
 	{\color{aquamarine} e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
 \end{bmatrix}
 \quad = \quad
-\sqrt{5}
 \begin{bmatrix}
-	{\color{teal} 3} & {\color{aqua} 1} \\
+	{\color{teal} 3 \cdot \sqrt{5}} & {\color{aqua} \sqrt{5}} \\
-	{\color{turquoise} -3} & {\color{aquamarine} -1}
+	{\color{turquoise} -3 \cdot \sqrt{5}} & {\color{aquamarine} - \sqrt{5}}
 \end{bmatrix}
 $$
-==BOH??==
+
+Mettiamo a sistema:
+$$
+\begin{cases}
+	{\color{teal} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{teal} 3 \cdot \sqrt{5}}
+	\\\\
+	{\color{aqua} - e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{aqua} \sqrt{5}}
+	\\\\
+	{\color{turquoise} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{turquoise} -3 \cdot \sqrt{5}}
+	\\\\
+	{\color{aquamarine} e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{aquamarine} -\sqrt{5}}
+\end{cases}
+$$
+
+Abbiamo tre incognite e quattro equazioni.  
+Rendiamo prima tutto uguale a $1$:
+
+$$
+\begin{cases}
+	{\color{teal} \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
+	\\\\
+	{\color{aqua} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
+	\\\\
+	{\color{turquoise} - \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
+	\\\\
+	{\color{aquamarine} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
+\end{cases}
+$$
+
+Poi, possiamo prendere a due a due le equazioni che ci sono più comode per determinare ciascuna incognita:
+
+$$
+{\color{aqua} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} = {\color{aquamarine} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
+$$
+
+I $-\frac{1}{\sqrt{5}}$ si semplificano:
+$$
+{\color{aqua} e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} = {\color{aquamarine} e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
+$$
+L'esponente $e^{\varI \varY + \varI \varZ}$ si separa:
+$$
+{\color{aqua} e^{\varI \varZ} \cdot \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} = {\color{aquamarine} e^{\varI \varY} \cdot e^{\varI \varZ} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
+$$
+
+$e^{\varI \varZ}$ si semplifica:
+$$
+{\color{aqua} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} = {\color{aquamarine} e^{\varI \varY} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
+$$
+
+Tornando al sistema, possiamo sbarazzarci dell'ultimo $\sin \par{\frac{\varX}{2}}$ rimasto:
+$$
+\begin{cases}
+	{\color{teal} \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
+	\\\\
+	{\color{aqua} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & e^{\varI \varY} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
+	\\\\
+	{\color{turquoise} - \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varY + \varI \varY} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
+	\\\\
+	{\color{aquamarine} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
+\end{cases}
+$$
+
+Nuova equazione:
+$$
+{\color{teal} \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} = 
+{\color{turquoise} - \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varY + \varI \varY} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
+$$
+
+Semplificando:
+$$
+{\color{teal} 1}  = {\color{turquoise} - e^{2 \varI \varY}}
+$$
+
+E quindi:
+$$
+{\color{teal} \varY} = {\color{turquoise} \frac{ \ln ( - 1 ) }{2 \varI}}
+$$
+
+Cioè:
+$$
+{\color{teal} \varY} = {\color{turquoise} \frac{ \pi \varI }{2 \varI}}
+$$
+
+Ovvero:
+$$
+{\color{teal} \varY} = {\color{turquoise} \frac{\pi}{2}}
+$$
+
+Che nel sistema diventa:
+$$
+\begin{cases}
+	{\color{teal} \varY} & = & \frac{\pi}{2}
+	\\\\
+	{\color{aqua} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & \varI \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
+	\\\\
+	{\color{turquoise} \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
+	\\\\
+	{\color{aquamarine} - \frac{\varI}{\sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
+\end{cases}
+$$
+
+Possiamo ora scoprire il valore di $\varX$:
+$$
+{\color{turquoise} \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} = 1
+$$
+Cioè:
+$$
+{\color{turquoise} \varX} = 2 \cdot \arccos \par{ 3 \sqrt{5} }
+$$
+Che nel sistema diventa:
+$$
+\begin{cases}
+	{\color{teal} \varY} & = & \frac{\pi}{2}
+	\\\\
+	{\color{aqua} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & \varI \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
+	\\\\
+	{\color{turquoise} \varX} & = & 2 \cdot \arccos \par{ 3 \sqrt{5} }
+	\\\\
+	{\color{aquamarine} - 3 \varI \cdot e^{\varI \varZ}} & = & 1
+\end{cases}
+$$
+
+Concludendo:
+$$
+{\color{aquamarine} e^{\varI \varZ}} = - \frac{1}{3 \varI}
+$$
+
+Che diventa:
+$$
+{\color{aquamarine} \varZ} = \frac{\ln \par{ -\frac{1}{3 \varI} }}{\varI}
+$$
+
+Ovvero:
+$$
+{\color{aquamarine} \varZ} = - \frac{\pi \ln(3)}{2}
+$$
+
+Ottenendo, dunque:
+$$
+\begin{cases}
+	{\color{turquoise} \varX} & = & 2 \cdot \arccos \par{ 3 \sqrt{5} }
+	\\\\
+	{\color{teal} \varY} & = & \frac{\pi}{2}
+	\\\\
+	{\color{aquamarine} \varZ} & = & - \frac{\pi \ln(3)}{2}
+\end{cases}
+$$
+
+Che, approssimando, diventa:
+$$
+\begin{cases}
+	{\color{turquoise} \varX} & \approx & 5.182 \varI
+	\\\\
+	{\color{teal} \varY} & \approx & 1.571
+	\\\\
+	{\color{aquamarine} \varZ} & \approx & - 1.726
+\end{cases}
+$$
+
+==I?????????????????????????????????????????????==

7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/paradosso di Hardy.md

@@ -0,0 +1,80 @@
+Assumiamo che i due qbit dello stato di Hardy siano controllati da due [[agente|agenti]] diversi, *Zero* e *One*.
+
+*Zero* e *One* si trovano lontani uno dall’altro, e non hanno modo di comunicare o di interagire sul qbit dell’altro.
+
+Pur trovandosi lontani, possono trasmettere istantaneamente informazioni all’altra parte operando sul loro qbit.
+
+Infatti, si possono verificare i seguenti casi:
+
+### Nessuna interazione
+
+*Zero* non interagisce con il suo qbit.
+
+*One* non interagisce con il quo qbit.
+
+Se entrambi misurano il proprio qbit, **entrambi possono trovare $\ket{1}$** sul loro qbit.
+
+$$
+\displaylines{
+	\ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 2 \ket{00} - 1\ {\color{red} \mathbf{H_1} \mathbf{H_0}} \ket{11}\ )\\
+	\ \\
+	\ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{12}}\  (\ 3 \ket{00} + 1 \ket{01} + 1 \ket{10} - 1 \ket{11}\ )
+}
+$$
+
+È possibile ottenere tutti gli stati.
+
+### Entrambi interagiscono
+
+*Zero* applica un $\mathbf{H_0}$ al suo qbit.
+
+*One* applica un $\mathbf{H_1}$ al suo qbit.
+
+Se entrambi misurano il proprio qbit, solo uno dei due può trovare $\ket{1}$.
+
+$$
+\displaylines {
+	{\color{green} \mathbf{H_1} \mathbf{H_0}} \ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 2\ {\color{green} \mathbf{H_1} \mathbf{H_0}}\ket{00} - 1 \ket{11}\ ) =
+	\\\ \\
+	{\color{green} \mathbf{H_1} \mathbf{H_0}} \ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 1 \ket{00} + 1 \ket{01} + 1 \ket{10} {\color{lightgray} +\ 0 \ket{11}} \ )
+}
+$$
+
+In qualche modo, è diventato impossibile ottenere $\ket{11}$, nonostante non sia avvenuta comunicazione tra *Zero* e *One*.
+
+### *Zero* interagisce
+
+*Zero* applica un $\mathbf{H_0}$ al suo qbit.
+
+*One* non interagisce con il suo qbit.
+
+Se entrambi misurano il loro qbit, *One* può trovare $\ket{1}$ solo se anche *Zero* ha trovato lo stesso.
+
+$$
+\displaylines{
+	{\color{green} \mathbf{H_0}} \ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 2\ {\color{green} \mathbf{H_0}} \ket{00} - 1\ {\color{red} \mathbf{H_1}} \ket{11}\ )\\
+	\ \\
+	{\color{green} \mathbf{H_1}} \ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 2 \ket{00} + 1 \ket{01}{\color{lightgray} +\ 0 \ket{10}}\  + 1 \ket{11} \ )
+}
+$$
+
+In qualche modo, è diventato impossibile ottenere $\ket{10}$, nonostante non sia avvenuta comunicazione tra *Zero* e *One*.
+
+
+### *One* interagisce
+
+*Zero* non interagisce con il suo qbit.
+
+*One* applica un $\mathbf{H_1}$ al suo qbit.
+
+Se entrambi misurano il loro qbit, *Zero* può trovare $\ket{1}$ solo se anche *One* ha trovato lo stesso.
+
+$$
+\displaylines{
+	{\color{green} \mathbf{H_1}} \ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 2\ {\color{green} \mathbf{H_1}} \ket{00} - 1\ {\color{red} \mathbf{H_0}} \ket{11}\ )\\
+	\ \\
+	{\color{green} \mathbf{H_1}} \ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 2 \ket{00} {\color{lightgray} +\ 0 \ket{01}}\ + 1 \ket{10} + 1 \ket{11} \ )
+}
+$$
+
+In qualche modo, è diventato impossibile ottenere $\ket{01}$, nonostante non sia avvenuta comunicazione tra *Zero* e *One*.