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40fc19c9d0
commit
81346949f0
GPG key ID:
5ADA3868646C3FC0
21 changed files with 1060 additions and 1171 deletions
35
.obsidian/plugins/obsidian-file-color/data.json
vendored
35
.obsidian/plugins/obsidian-file-color/data.json
vendored
|
|
@ -18,6 +18,11 @@
|
|||
{
|
||||
"id": "e_YcdvxbhfDN77-giOday",
|
||||
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|
||||
"value": "#a881ff"
|
||||
},
|
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{
|
||||
"id": "Hxvedg7o3eD0ANkvmPHJJ",
|
||||
"name": "Tip",
|
||||
"value": "#53dfdd"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
|
|
@ -462,18 +467,10 @@
|
|||
"path": "7 - Introduction to quantum information processing/6 - Teoremi/★ teoremi.canvas",
|
||||
"color": "7j7Pqog0VHMVVAfazMNlb"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"path": "7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state.md",
|
||||
"color": "fc3lLaITDn62PYbzBhqxl"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"path": "7 - Introduction to quantum information processing/0 - Materiale di studio/04 - IntroQIP4.pdf",
|
||||
"color": "fc3lLaITDn62PYbzBhqxl"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"path": "7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state, old.md",
|
||||
"color": "fc3lLaITDn62PYbzBhqxl"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"path": "1 - Algebra lineare/★ algebra lineare.md",
|
||||
"color": "7j7Pqog0VHMVVAfazMNlb"
|
||||
|
|
@ -630,16 +627,28 @@
|
|||
"path": "7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/Z-axis rotation gate.md",
|
||||
"color": "e_YcdvxbhfDN77-giOday"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"path": "7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/circuito quantistico.md",
|
||||
"color": "fc3lLaITDn62PYbzBhqxl"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"path": "7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/Pauli Y gate.md",
|
||||
"color": "fc3lLaITDn62PYbzBhqxl"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"path": "7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/universal gate.md",
|
||||
"path": "7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/universal controlled gate.md",
|
||||
"color": "e_YcdvxbhfDN77-giOday"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"path": "7 - Introduction to quantum information processing/2 - Gates/visualizzare l'applicazione di un gate.md",
|
||||
"color": "Hxvedg7o3eD0ANkvmPHJJ"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"path": "7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/proiezione.md",
|
||||
"color": "fc3lLaITDn62PYbzBhqxl"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"path": "7 - Introduction to quantum information processing/1 - Concetti base/proiezione inversa.md",
|
||||
"color": "fc3lLaITDn62PYbzBhqxl"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"path": "7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/costruire un Hardy state.md",
|
||||
"color": "fc3lLaITDn62PYbzBhqxl"
|
||||
}
|
||||
]
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -24,6 +24,8 @@ $$
|
|||
\bra{10}_4 \cdot \ket{11}_4 = \braket{10|11}_4
|
||||
$$
|
||||
|
||||
> [!Hint] Typesetting
|
||||
> [!Note] Typesetting
|
||||
> In $\TeX$, puoi rappresentare un braket con `\braket{SINISTRA|DESTRA}`.
|
||||
|
||||
> [!Tip]
|
||||
> $\braket{10|\psi}$ può essere letto come "prendi il valore dello stato $\ket{10}$ di $\ket{\psi}$"!
|
||||
|
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|||
|
|
@ -1,3 +1,10 @@
|
|||
---
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||||
aliases:
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||||
- prodotto di Kronecker
|
||||
- prodotto matriciale diretto
|
||||
---
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||||
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||||
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||||
[[Operazione]] tra due [[matrice|matrici]] che risulta in una matrice più grande:
|
||||
$$
|
||||
\Huge \otimes
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,15 +1,38 @@
|
|||
[[Operazione]] che restitusce il coefficiente dello stato $\ket{1}$ di un dato [[qbit]].
|
||||
[[Operazione]] che restitusce il coefficiente dello stato $\ket{0}$ di un dato [[qbit]].
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{\dot{n}}_0
|
||||
\mathbf{\dot{n}}_x = 1 - \ket{x}\bra{x}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
==È giusto?==
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{\dot{n}}_0
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 & 0 \\
|
||||
0 & 1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
=
|
||||
1 -
|
||||
\ket{0}
|
||||
\bra{0}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
==È giusto?==
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{\dot{n}}_1
|
||||
=
|
||||
\ket{1}
|
||||
\bra{1}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,14 +1,38 @@
|
|||
[[Operazione]] che restitusce il coefficiente dello stato $\ket{0}$ di un dato [[qbit]].
|
||||
[[Operazione]] che restitusce il coefficiente dello stato $\ket{1}$ di un dato [[qbit]].
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{n}_x = \ket{x}\bra{x}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
==È giusto?==
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{n}_0
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 0 \\
|
||||
0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
=
|
||||
\ket{0}
|
||||
\bra{0}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
==È giusto?==
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{n}_1
|
||||
=
|
||||
\ket{1}
|
||||
\bra{1}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & 1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
|
|
|||
Binary file not shown.
|
Before Width: | Height: | Size: 6 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 3.4 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 3.3 KiB |
|
|
@ -1,23 +1,21 @@
|
|||
Combinazione di più [[gate quantistico|gate quantistici]].
|
||||
|
||||
In notazione matematica, vengono eseguiti da destra verso sinistra:
|
||||
In notazione matematica, i [[gate quantistico|gate]] vengono eseguiti da destra verso sinistra:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{4\ 3\ 2\ 1} \ket{\psi} = (\ \mathbf{4} (\ \mathbf{3} (\ \mathbf {2} (\ \mathbf{1} \ket{\psi}\ )\ )\ )\ )
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Nei diagrammi di circuito, vengono eseguiti da sinistra verso destra:
|
||||
Nei diagrammi di circuito, vengono eseguiti da sinistra verso destra.
|
||||
|
||||
![[circuito quantistico a caso.png]]
|
||||
## Combinazione di [[gate quantistico|gate]]
|
||||
|
||||
## Combinazione di gate
|
||||
|
||||
Più gate si possono combinare in serie, o in parallelo.[^1]
|
||||
Più [[gate quantistico|gate]] si possono combinare in serie, o in parallelo.[^1]
|
||||
|
||||
### Serie: [[prodotto matriciale]]
|
||||
|
||||
I gate vengono applicati consecutivamente uno all'altro:
|
||||
I [[gate quantistico|gate]] vengono applicati consecutivamente uno all'altro:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\displaylines{
|
||||
|
|
@ -53,9 +51,42 @@ $$
|
|||
}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
![[circuito quantistico in serie.png]]
|
||||
### Parallelo: [[prodotto tensoriale]]
|
||||
|
||||
==TODO==
|
||||
I [[gate quantistico|gate]] vengono richiusi in una [[scatola nera]] come se fossero uno solo:
|
||||
$$
|
||||
\displaylines{
|
||||
\mathbf{Y} \otimes \mathbf{Z}
|
||||
=\\\\
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 & -i\\
|
||||
i & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\otimes
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 0\\
|
||||
0 & -1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
=\\\\
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 \cdot 1 & -i \cdot 1 & 0 \cdot 0 & -i \cdot 0 \\
|
||||
i \cdot 1 & 0 \cdot 1 & i \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\
|
||||
0 \cdot 0 & -i \cdot 0 & 0 \cdot -1 & -i \cdot -1 \\
|
||||
i \cdot 0 & 0 \cdot 0 & i \cdot -1 & 0 \cdot -1
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
=\\\\
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 & -i & 0 & 0 \\
|
||||
i & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 & i \\
|
||||
0 & 0 & -i & 0
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
![[circuito quantistico in parallelo.png]]
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
[^1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_logic_gate#Circuit_composition
|
||||
|
|
@ -4,7 +4,7 @@ aliases:
|
|||
- quantum controlled NOT gate
|
||||
- Feynman gate
|
||||
---
|
||||
[[gate quantistico complesso]], un [[Pauli X gate]] che opera condizionalmente su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]]:
|
||||
[[gate quantistico complesso]], un [[Pauli X gate]] che opera [[controlled gate|condizionalmente]] su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]]:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Huge
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,33 +0,0 @@
|
|||
Un [[gate quantistico]] che permette di effettuare una rotazione su asse arbitrario.
|
||||
|
||||
Usando la [[formula di Eulero]], esso corrisponde a:
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {{\color{coral} a}}
|
||||
\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
|
||||
\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
|
||||
\def \varI {{\color{hotpink} i}}
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
|
||||
\cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
|
||||
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
|
||||
e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) &
|
||||
e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Espanso, sarebbe:
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {{\color{coral} a}}
|
||||
\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
|
||||
\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
|
||||
\def \varI {{\color{hotpink} i}}
|
||||
\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
|
||||
\cos \frac{\varX}{2} &
|
||||
- (\cos \varZ + \varI \sin \varZ) \cdot \sin \frac{\varX}{2} \\
|
||||
(\cos \varY + \varI \sin \varY) \cdot \sin \frac{\varX}{2} &
|
||||
(cos (\varY + \varZ) + \varI \sin (\varY + \varZ)) \cdot \cos \frac{\varX}{2}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
> [!Note]
|
||||
> Il parametro $\varX$ modifica il valore del [[qbit]], mentre i parametri $\varY$ e $\varZ$ ne modificano la fase!
|
||||
|
|
@ -7,16 +7,6 @@ aliases:
|
|||
> [!Note]
|
||||
> Deve essere unitaria perchè così lo [[qbit|stato]] del [[qbit]] a cui viene applicata rimane [[vettore normalizzato|normalizzato]].
|
||||
|
||||
## Visualizzazioni
|
||||
## Reversibilità
|
||||
|
||||
### [[circuito quantistico]]
|
||||
|
||||
Un gate quantistico è rappresentato in un circuito quantistico come un quadrato con scritto dentro il nome del gate, da cui entra l'input a sinistra ed esce l'output a destra.
|
||||
|
||||
### Nella [[sfera di Bloch]]
|
||||
|
||||
Un qubit a cui viene applicato un gate ruota il proprio vettore nella [[sfera di Bloch]] attorno a un determinato asse dipendente dal gate.
|
||||
|
||||
## Particolarità
|
||||
|
||||
Essendo una [[matrice unitaria]], è sempre reversibile applicandolo nuovamente.
|
||||
Essendo una [[matrice unitaria]], per ogni gate esiste sempre un gate inverso che annulla l'operazione effettuata.
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -0,0 +1,27 @@
|
|||
[[gate quantistico]] che effettua una rotazione arbitraria [[controlled gate|in modo controllato]].
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {{\color{coral} a}}
|
||||
\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
|
||||
\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
|
||||
\def \varI {{\color{hotpink} i}}
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{U}_{0 \to 1}(\varX, \varY, \varZ)
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) & e^{\varI \varY + \varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
|
||||
0 & 0 & \cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
|
||||
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Effetto
|
||||
|
||||
Ruota lo stato del [[qbit]] a cui è applicato di $\varX$ sull'[[asse X in quantum computing|asse X]], $\varY$ sull'[[asse Y]], e $\varZ$ sull'[[asse Z]].
|
||||
|
||||
## Visualizzazioni
|
||||
|
||||
### In un [[circuito quantistico]]
|
||||
|
||||
Un [[universal gate]] connesso con una linea verticale a un puntino nero su un altro [[qbit]].
|
||||
|
|
@ -1,20 +1,39 @@
|
|||
[[gate quantistico universale]] che opera condizionalmente su un [[qbit]] in base allo stato di un altro [[qbit]], in modo simile a un [[controlled Pauli X gate]]:
|
||||
[[gate quantistico]] che effettua una rotazione arbitraria.
|
||||
|
||||
Usando la [[formula di Eulero]], esso corrisponde a:
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {{\color{coral} a}}
|
||||
\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
|
||||
\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
|
||||
\def \varI {{\color{hotpink} i}}
|
||||
\Huge
|
||||
\mathbf{U}_{0 \to 1}(\varX, \varY, \varZ)
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
1 & 0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) & e^{\varI \varY + \varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
|
||||
0 & 0 & \cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
|
||||
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
|
||||
\cos \left( \frac{\varX}{2} \right) &
|
||||
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) \\
|
||||
e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right) &
|
||||
e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
==Deutsch gate?==
|
||||
Espanso, sarebbe:
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {{\color{coral} a}}
|
||||
\def \varY {{\color{cornflowerblue} b}}
|
||||
\def \varZ {{\color{yellowgreen} c}}
|
||||
\def \varI {{\color{hotpink} i}}
|
||||
\mathbf{U}(\varX, \varY, \varZ) = \begin{bmatrix}
|
||||
\cos \frac{\varX}{2} &
|
||||
- (\cos \varZ + \varI \sin \varZ) \cdot \sin \frac{\varX}{2} \\
|
||||
(\cos \varY + \varI \sin \varY) \cdot \sin \frac{\varX}{2} &
|
||||
(cos (\varY + \varZ) + \varI \sin (\varY + \varZ)) \cdot \cos \frac{\varX}{2}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
## Effetto
|
||||
|
||||
Ruota lo stato del [[qbit]] a cui è applicato di $\varX$ sull'[[asse X in quantum computing|asse X]], $\varY$ sull'[[asse Y]], e $\varZ$ sull'[[asse Z]].
|
||||
|
||||
## Visualizzazioni
|
||||
|
||||
### In un [[circuito quantistico]]
|
||||
|
||||
Un [[universal gate]] connesso con una linea verticale a un puntino nero su un altro [[qbit]].
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -0,0 +1,28 @@
|
|||
È possibile visualizzare la [[combinazione lineare]] derivante dall'applicazione di un gate come una mappa da input ad output di ciascuno [[stato]].
|
||||
|
||||
Dato questo [[Pauli Z gate]]:
|
||||
$$
|
||||
\Large
|
||||
\mathbf{Z} = \begin{bmatrix}
|
||||
& {\color{Gray} In_{\ket{0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{1}}} \\
|
||||
{\color{Gray} Out_\ket{0}} & {\color{tomato} 1} & {\color{gold} 0} \\
|
||||
{\color{Gray} Out_\ket{1}} & {\color{darkorange} 0} & {\color{yellow} -1} \\
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Possiamo vedere la prima colonna come "in cosa verrà trasmutato" lo stato $\ket{0}$, e la seconda colonna come "in cosa verrà trasmutato" lo stato $\ket{1}$.
|
||||
|
||||
Con questo gate, lo stato $\ket{0}$ diventerà:
|
||||
$$
|
||||
\Large
|
||||
{\color{tomato} 1 \cdot \ket{0}} + {\color{darkorange} 0 \cdot \ket{1}}
|
||||
$$
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||||
E invece, lo stato $\ket{1}$ diventerà:
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$$
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\Large
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{\color{gold} 0 \cdot \ket{0}} + {\color{yellow} -1 \cdot \ket{1}}
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$$
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> [!Note]
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> Sì, è una cosa triviale se uno sa come funzionano le combinazioni lineari, ma in qualche modo formulandola in questo modo il mio cervello l'ha capita meglio.
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@ -10,13 +10,16 @@
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@ -30,12 +33,15 @@
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]
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}
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@ -1,15 +1,19 @@
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Particolare [[qbit|stato]] di due [[qbit]] composto nel seguente modo:
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$$
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\Huge
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\Large
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\displaylines{
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\ket{\Phi}
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=
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||||
=\\\\
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||||
\frac{1}{\sqrt{3}}\ \par{\ 2 \cdot \ket{00} - 1 \cdot \mathbf{H_1} \mathbf{H_0} \ket{11}\ }
|
||||
=\\\\
|
||||
\frac{
|
||||
3 \cdot \ket{00} +
|
||||
1 \cdot \ket{01} +
|
||||
1 \cdot \ket{10} -
|
||||
1 \cdot \ket{11}
|
||||
}{\sqrt{12}}
|
||||
}
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||||
$$
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||||
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||||
Se ad entrambi i qbit viene applicato un [[Hadamard gate]], gli stati $\ket{01}$ e $\ket{10}$ cessano di essere possibili, dando origine al fenomeno della [[spooky action at a distance]].
|
||||
Se ad entrambi i [[qbit]] viene applicato un [[Hadamard gate]], gli stati $\ket{01}$ e $\ket{10}$ cessano di essere possibili, dando origine al fenomeno della [[spooky action at a distance]].
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||||
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@ -1,565 +0,0 @@
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Dobbiamo determinare i parametri dei gate da utilizzare per costruire il seguente stato:
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$$
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\ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{12}}\ (\ 3 \ket{00} + 1 \ket{01} + 1 \ket{10} - 1 \ket{11}\ )
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$$
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### Costruzione del gate $\mathbf{U_A}$ da applicare al qbit 0
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Vogliamo usare un gate $\mathbf{U_0}(\theta, \phi, \lambda)$ per configurare il bit più a destra dello stato, assumendo che lo stato iniziale sia $\ket{00}$.
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Raccogliamo il qbit più a destra:
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$$
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\ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{12}} \ (\ {\color{orange} (3\ket{0} + 1 \ket{1})}\ {\color{red} \ket{0}} + {\color{lime} (1\ket{0} - 1 \ket{1})}\ {\color{green} \ket{1}}\ )
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$$
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Ignorando il valore del qbit di sinistra, abbiamo che:
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$$
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\frac{1}{\sqrt{12}} \ \left(\ {\color{orange} \sqrt{3^2 + 1^2}}\ {\color{red} \ket{\_0}} + {\color{lime} \sqrt{1^2 + (-1)^2}}\ {\color{green} \ket{\_1}}\ \right) =
|
||||
|
||||
\frac{1}{\sqrt{12}} \ \left(\ {\color{orange} \sqrt{10}}\ {\color{red} \ket{\_0}} + {\color{lime} \sqrt{2}} {\color{green}\ \ket{\_1}}\ \right)
|
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$$
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Ricordando che il gate $\mathbf{U}(\theta, \phi, \lambda)$ è composto così:
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$$
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\mathbf{U}(\theta, \phi, \lambda) = \left[ \begin{matrix}
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{\color{Gray} Out} & {\color{Gray} In_{\ket{\_0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{\_1}}} \\\ \\
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||||
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||||
{\color{Red} \ket{\_0}} & \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) & {\color{LightGray} - e^{i\lambda} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right)}
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||||
|
||||
\\\ \\
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||||
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||||
{\color{Green} \ket{\_1}} & e^{i \phi} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) & {\color{LightGray} e^{i(\phi + \lambda)} \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)}
|
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||||
\end{matrix} \right]
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$$
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E che vogliamo ottenere il seguente gate:
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$$
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\mathbf{U_A} (\theta, \phi, \lambda) \ket{\_0} = \frac{1}{\sqrt{12}} \ \left(\ {\color{orange} \sqrt{10}}\ {\color{red} \ket{\_0}} + {\color{lime} \sqrt{2}} {\color{green}\ \ket{\_1}}\ \right)
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$$
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Possiamo portare a destra tutti i termini che non sono il gate, ottenendo:
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$$
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\mathbf{U_A} (\theta, \phi, \lambda) = \frac{1}{\sqrt{12}}
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$$
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Abbiamo che:
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$$
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\mathbf{U_A} (\theta, \phi, \lambda) = \frac{1}{\sqrt{12}} \left[ \begin{matrix}
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||||
{\color{Gray} Out} & {\color{Gray} In_{\ket{\_0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{\_1}}} \\\ \\
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||||
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||||
{\color{Red} \ket{\_0}} & {\color{Orange} \sqrt{10}} & {\color{LightGray} ?}
|
||||
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||||
\\\ \\
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||||
{\color{Green} \ket{\_1}} &{\color{Lime} \sqrt{2}} & {\color{LightGray} ?}
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\end{matrix} \right]
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$$
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<aside>
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📘 Non ci interessa lo stato $\ket{\_1}$, perchè lo stato iniziale a cui applichiamo il gate $\mathbf{U_A}$ è sempre $\ket{00}$.
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</aside>
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Mettiamo a sistema i valori che ci servono:
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$$
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\begin{cases}
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{\color{Red} \ket{\_0}}: & \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} \sqrt{10}}}{\sqrt{12}}\\\ \\
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||||
|
||||
{\color{Green} \ket{\_1}}: & e^{i \phi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Lime} \sqrt{2}}}{\sqrt{12}}\\
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||||
\end{cases}
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$$
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Impostando le due dimensioni non-vincolate $\phi$ e $\lambda$ a $0$, abbiamo che:
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$$
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\begin{cases}
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||||
\cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} \sqrt{10}}}{\sqrt{12}}\\
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||||
e^i \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Lime} \sqrt{2}}}{\sqrt{12}}\\\phi = 0\\
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\lambda = 0\\
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||||
\end{cases}
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$$
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Ci basta risolvere una delle due equazioni per trovare $\theta$, quindi decidiamo di risolvere quella sopra:
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$$
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\begin{cases}
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\theta = 2 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{{\color{Orange} \sqrt{10}}}{\sqrt{12}}\right) \approx 0.841\\
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||||
\phi = 0\\
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||||
\lambda = 0\\
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\end{cases}
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$$
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Per ottenere il bit di destra dello stato $\ket{\Psi}$ dobbiamo usare il gate $\mathbf{U_0}(0.841,\ 0,\ 0)$, che chiameremo $\mathbf{U_A}$!
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### Costruzione del gate $\mathbf{U_B}$ da applicare al qbit 1
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Ora dobbiamo configurare il qbit di sinistra, entangleandolo correttamente con il bit di destra.
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<aside>
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📘 Potremmo usare due gate $\mathbf{U}$ controllati, uno che si attiva quando $\mathbf{n_0}$, e uno che si attiva quando $\mathbf{\dot{n}_0}$.
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Visto però che i gate $\mathbf{U}$ controllati sono più costosi di quelli normali, possiamo usare un trucchetto per usare un solo $\mathbf{U}$ controllato e un $\mathbf{U}$ normale.
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Utilizziamo il gate $\mathbf{U}$ normale per configurare “globalmente” il qbit 1 per lo stato $\ket{\_0}$, e poi utilizziamo il gate $\mathbf{U}$ controllato per annullare le modifiche che esso ha apportato e per applicare una configurazione diversa per lo stato $\ket{\_1}$.
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</aside>
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Lo stato $\ket{\_0}$ che avevamo raccolto prima era composto da:
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$$
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\frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{Orange} 3}\ {\color{Red} \ket{0\_}} + {\color{lime} 1}\ {\color{Green} \ket{1\_}})
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$$
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Allora, possiamo costruire il gate $\mathbf{U_B}$ usando un gate $\mathbf{U_1}(\theta, \phi, \lambda)$ tale che:
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$$
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||||
\mathbf{U_B} \ket{0\_} = \frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{Orange} 3}\ {\color{Red} \ket{0\_}} + {\color{lime} 1}\ {\color{Green} \ket{1\_}})
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$$
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Usiamo lo stesso processo che abbiamo usato prima (saltando alcuni passaggi):
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$$
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\begin{cases}
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{\color{Red} \ket{0\_}}: & \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} 3}}{\sqrt{10}}\\\ \\
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||||
{\color{Green} \ket{1\_}}: & e^{i \phi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{lime} 1}}{\sqrt{10}}\\
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||||
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||||
\end{cases}
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$$
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Semplificandoci ancora la vita:
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$$
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\begin{cases}
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||||
\cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{Orange} 3}}{\sqrt{10}}\\
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||||
e^{i \phi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{{\color{lime} 1}}{\sqrt{10}}\\
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||||
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||||
\phi = 0\\
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||||
\lambda = 0\\
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||||
\end{cases}
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$$
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||||
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E risolvendo ancora solo l’equazione sopra, abbiamo che:
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$$
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\begin{cases}
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||||
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||||
\theta = 2 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{{\color{orange} 3}}{\sqrt{10}}\right) \approx 0.643\\\phi = 0\\
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||||
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||||
\lambda = 0\\
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||||
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||||
\end{cases}
|
||||
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||||
$$
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||||
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||||
|
||||
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||||
Per ottenere il bit di sinistra dello stato $\ket{\Psi}$ quando il bit di destra è impostato a zero dobbiamo usare il gate $\mathbf{U_1}(0.643,\ 0,\ 0)$, che chiameremo $\mathbf{U_B}$!
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### Costruzione del gate controllato $\mathbf{U_{C}}$
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Infine, dobbiamo costruire il gate che configura il bit di sinistra dello stato $\ket{\_1}$.
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Esso deve costruire il seguente stato:
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$$
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||||
\frac{1}{\sqrt{2}}\ ({\color{DodgerBlue} 1} \ket{0\_} \ {\color{Turquoise} -\ 1}\ \ket{1\_})
|
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$$
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Inoltre, esso deve annullare le modifiche apportate da $\mathbf{U_B}$, ovvero:
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$$
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\frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{OrangeRed} 3} \ket{0\_} + {\color{Goldenrod} 1} \ket{1\_})
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$$
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Usiamo un gate $\mathbf{U_{01}}(\theta, \phi, \lambda)$, che chiamiamo $\mathbf{U_C}$.
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Dobbiamo trovare i suoi parametri, in modo tale che:
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$$
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\mathbf{U_C}(\theta, \phi, \lambda) \otimes \frac{1}{\sqrt{10}}\ ({\color{OrangeRed} 3} \ket{0\_} + {\color{Goldenrod} 1} \ket{1\_}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\ ({\color{DodgerBlue} 1} \ket{0\_} \ {\color{Turquoise} -\ 1}\ \ket{1\_})
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$$
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Abbiamo quindi che:
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$$
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\mathbf{U_C} (\theta, \phi, \lambda)\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \left[ \begin{matrix}
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{\color{Gray} Out} & {\color{Gray} In_{\ket{\_0}}} & {\color{Gray} In_{\ket{\_1}}} \\\ \\
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||||
{\color{Gray} \ket{\_0}} & {\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1} & {\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}
|
||||
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\\\ \\
|
||||
|
||||
{\color{Gray} \ket{\_1}} &{\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1} & {\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}
|
||||
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\end{matrix} \right] = 1
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$$
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E allora, che: [qual è il passaggio matematico qui?]
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$$
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\begin{cases}
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\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & ({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \cos \frac{\theta}{2} & - &({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1})\ e^{i\lambda} \sin \frac{\theta}{2} & = 1\\
|
||||
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||||
\\
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||||
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||||
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & \left({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1} \right) e^{i \phi} \sin \frac{\theta}{2} & + & ({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1})\ e^{i\phi + i\lambda} \cos \frac{\theta}{2} & = 1
|
||||
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||||
\end{cases}
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$$
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Semplificandoci ancora una volta la vita:
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$$
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\begin{cases}
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||||
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & ({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \cos \frac{\theta}{2} & - &({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \sin \frac{\theta}{2} & = 1\\
|
||||
|
||||
\\
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||||
|
||||
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} & ({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}) \sin \frac{\theta}{2} & + & ({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}) \cos \frac{\theta}{2} & = 1\\
|
||||
|
||||
\\
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||||
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||||
\phi = 0\\
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||||
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||||
\\
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||||
\lambda = 0
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||||
\end{cases}
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$$
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E allora:
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$$
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\begin{cases}
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||||
({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \cos \frac{\theta}{2} & - &({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{DodgerBlue} 1}) \sin \frac{\theta}{2} & = &\left({\color{OrangeRed} 3}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1} \right) \sin \frac{\theta}{2} & + & ({\color{Goldenrod} 1}\ \cdot\ {\color{Turquoise} -1}) \cos \frac{\theta}{2}\\
|
||||
|
||||
\\
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||||
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||||
\phi = 0\\
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||||
\\
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||||
\lambda = 0
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\end{cases}
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$$
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Che risulta in:
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$$
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\begin{cases}
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4 \cos \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} = 0\\
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||||
\phi = 0\\
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||||
\lambda = 0
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\end{cases}
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$$
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Quindi:
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$$
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\begin{cases}
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\theta \approx -2.214\\
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\phi = 0\\
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\lambda = 0
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\end{cases}
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$$
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Per ottenere il bit di sinistra dello stato $\ket{\Psi}$ quando il bit di destra è impostato a uno dobbiamo usare il gate $\mathbf{U_{01}}(-1.571,\ 0,\ 0)$, che chiameremo $\mathbf{U_C}$!
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### Risultato
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<aside>
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📘 Utilizzando lo stesso procedimento possiamo costruire qualsiasi stato arbitrario costante a $n$ qbit!
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Richiederebbe però $\sum_{i=1}^n n$ gates $\mathbf{U}$, e degli $\mathbf{U}$ gates con doppio controllo, amichevolmente chiamati $\mathbf{U}$-Toffoli dalla chat…
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</aside>
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---
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1. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti:
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$$
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\frac{\sqrt{\kzero^2 + \ktwo^2}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}
|
||||
$$
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||||
$$
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||||
\frac{\sqrt{\kone^2 + \kthree^2}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}
|
||||
$$
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||||
4. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il secondo qbit $\mathbf{U}_\noteB (\theta, \phi, \lambda)$:
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||||
$$
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||||
\large
|
||||
\displaylines{
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\\\\\updownarrow\\\\
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\phi &=& 2 \arccos \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\theta &=& 0 \\
|
||||
\lambda &=& 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
5. Determinare la somma dei quadrati dei coefficienti quando il bit $\noteB$ è $\ket{0}$:
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||||
$$
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||||
\large
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\ket{0}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{3}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\ket{1}_\noteA \otimes \ket{0}_\noteB & : & \frac{1}{\sqrt{12}}
|
||||
\end{matrix}
|
||||
$$
|
||||
6. Determinare i parametri del [[gate quantistico universale]] per il primo qbit $\mathbf{U}_\noteA$:
|
||||
$$
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||||
\large
|
||||
\displaylines{
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\cos \frac{\phi}{2} &=& \frac{3}{\sqrt{12}} \\
|
||||
e^{i \theta} \sin \frac{\phi}{2} &=& \frac{1}{\sqrt{12}} \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\\\\\updownarrow\\\\
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\phi &=& 2 \arccos \frac{3}{\sqrt{10}} \\
|
||||
\theta &=& 0 \\
|
||||
\lambda &=& 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
==TODO: Non lo so, mi sono perso.==
|
||||
|
|
@ -1,5 +1,5 @@
|
|||
Si vuole creare un [[Hardy state]] su due [[qbit]] nello stato neutro applicandovi tre [[gate quantistico universale|gate quantistici universali]]:
|
||||
$$
|
||||
|
||||
\def \ufirst {{\color{mediumpurple} \mathbf{U_A}}}
|
||||
\def \usecond {{\color{mediumorchid} \mathbf{U_B}}}
|
||||
\def \uthird {{\color{violet} \mathbf{U_C}}}
|
||||
|
|
@ -12,6 +12,23 @@ $$
|
|||
\def \notea {{\color{orangered} \Leftarrow}}
|
||||
\def \noteb {{\color{dodgerblue} \Rightarrow}}
|
||||
|
||||
\Tiny
|
||||
\color{grey}
|
||||
\text{don't mind me, just defining}\ \TeX\ \text{variables}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Obiettivo
|
||||
|
||||
Si vuole:
|
||||
- creare un [[Hardy state]] $\ket{\Psi}$
|
||||
- su due [[qbit]] $\notea$ e $\noteb$
|
||||
- allo [[qbit|stato]] neutro $\ket{0}$
|
||||
- usando tre gate $\ufirst$, $\usecond$, e $\uthird$
|
||||
- $\ufirst$: configura $\noteb$
|
||||
- $\usecond$: configura $\notea$
|
||||
- $\uthird$: se $\ket{1}_\noteb$, annulla $\usecond$ e configura $\notea$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\large
|
||||
\uthird
|
||||
\usecond
|
||||
|
|
@ -41,28 +58,21 @@ $$
|
|||
}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
> [!Note]
|
||||
> I [[universal gate|gate controllati]] costano di più dei [[gate quantistico universale|gate normali]], quindi per minimizzare il costo del [[circuito quantistico]] si:
|
||||
> 1. $\ufirst$: utilizza un gate normale per configurare lo stato di $\noteb$
|
||||
> 2. $\usecond$: utilizza un gate normale per configurare lo stato di $\notea$ quando $\ket{0}_\noteb$
|
||||
> 3. $\uthird$: utilizza un gate controllato per annullare le modifiche del passo precedente e inoltre configurare lo stato di $\notea$ quando $\ket{1}_\noteb$.
|
||||
|
||||
## Costruzione di $\ufirst$
|
||||
|
||||
Ricordiamo che è possibile invertire il [[prodotto tensoriale]] per separare i [[qbit]]:
|
||||
$$
|
||||
|
||||
\displaylines{
|
||||
\ket{00} = \ket{0}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb \\
|
||||
\ket{01} = \ket{0}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb \\
|
||||
\ket{10} = \ket{1}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb \\
|
||||
\ket{11} = \ket{1}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb
|
||||
}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Vogliamo costruire il gate $\ufirst$ da applicare solamente al [[qbit]] $\noteb$.
|
||||
|
||||
|
||||
> [!Tip]
|
||||
> Ricordiamo che è possibile invertire il [[prodotto tensoriale]] per separare i [[qbit]]:
|
||||
> $$
|
||||
>
|
||||
> \displaylines{
|
||||
> \ket{00} = \ket{0}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb \\
|
||||
> \ket{01} = \ket{0}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb \\
|
||||
> \ket{10} = \ket{1}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb \\
|
||||
> \ket{11} = \ket{1}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb
|
||||
> }
|
||||
> $$
|
||||
|
||||
Possiamo separare i [[qbit]] dell'[[Hardy state]] in:
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -70,13 +80,13 @@ $$
|
|||
\cdot
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\kzero & \cdot & (\ket{0}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb) \\
|
||||
\kzero & \cdot & \par{\ket{0}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb} \\
|
||||
& + \\
|
||||
\kone & \cdot & (\ket{0}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb) \\
|
||||
\kone & \cdot & \par{\ket{0}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb} \\
|
||||
& + \\
|
||||
\ktwo & \cdot & (\ket{1}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb) \\
|
||||
\ktwo & \cdot & \par{\ket{1}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb} \\
|
||||
& + \\
|
||||
\kthree & \cdot & (\ket{1}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb)
|
||||
\kthree & \cdot & \par{\ket{1}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb}
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\right\}
|
||||
$$
|
||||
|
|
@ -94,7 +104,9 @@ $$
|
|||
\right\}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Decidiamo di ignorare temporaneamente il [[qbit]] $\notea$; determiniamo le [[ampiezza|ampiezze]] del gate alla [[stato base di un qbit|base]] di $\noteb$:
|
||||
Possiamo permetterci di ignorare temporaneamente il [[qbit]] $\notea$, visto che siamo allo stato neutro e vogliamo applicare questo gate solo a $\noteb$.
|
||||
|
||||
Determiniamo le [[ampiezza|ampiezze]] del gate alla [[stato base di un qbit|base]] di $\noteb$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{1}{\sqrt{12}}
|
||||
|
|
@ -118,7 +130,20 @@ $$
|
|||
\right\}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ricordando che lo stato iniziale del sistema è sempre $\ket{0}_\noteb$, e che il [[gate quantistico universale]] è definito come:
|
||||
> [!Tip]
|
||||
> Ricordiamo che l'[[universal gate]] è definito come:
|
||||
> $$
|
||||
> \mathbf{U}(a, b, c) =
|
||||
> \begin{bmatrix}
|
||||
> \cos \frac{a}{2} &
|
||||
> - (\cos c + i \sin c) \cdot \sin \frac{a}{2} \\
|
||||
> (\cos b + i \sin b) \cdot \sin \frac{a}{2} &
|
||||
> (cos (b + c) + i \sin (b + c)) \cdot \cos \frac{a}{2}
|
||||
> \end{bmatrix}
|
||||
> $$
|
||||
>
|
||||
|
||||
Otteniamo allora questa equazione, con $a$, $b$, e $c$ come incognite:
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {a}
|
||||
\def \varY {b}
|
||||
|
|
@ -126,6 +151,7 @@ $$
|
|||
\def \varI {i}
|
||||
|
||||
\ufirst
|
||||
\ket{0}_\noteb
|
||||
\quad = \quad
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
|
||||
|
|
@ -133,70 +159,107 @@ $$
|
|||
{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
|
||||
e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\ket{0}_\noteb
|
||||
\quad = \quad
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}} &
|
||||
\ *\ \\
|
||||
{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}} &
|
||||
\ *\
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}} \\
|
||||
{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Possiamo mettere a sistema i seguenti vincoli per determinare il valore di $\varX$ e $\varY$:
|
||||
|
||||
Mettendo a sistema, notiamo che abbiamo due equazioni che potrebbero risultare in qualsiasi cosa:
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
|
||||
\\
|
||||
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
& = &
|
||||
*
|
||||
\\
|
||||
{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
|
||||
\\
|
||||
e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
& = &
|
||||
*
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
|
||||
\\
|
||||
{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
|
||||
\\
|
||||
{- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
*
|
||||
\\
|
||||
{e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
*
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Abbiamo dunque due variabili libere; per semplificare i calcoli, decidiamo di fissare $\varY$ e $\varZ$ a $0$:
|
||||
==Non è sintassi matematica formale. Qual è quella giusta?==
|
||||
|
||||
Per tenere i calcoli semplici, decidiamo che il risultato delle due equazioni sia $0$:
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
|
||||
\\
|
||||
{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
|
||||
\\
|
||||
{- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
{e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Usiamo le due equazioni con $0$ come risultato per determinare il valore di $\varY$ e $\varZ$:
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
|
||||
\\
|
||||
{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
|
||||
\\
|
||||
\varY
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
\varZ
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Sostituiamo:
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
|
||||
\\
|
||||
\varZ
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
{\color{palegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
{\color{palegreen} e^{0} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
|
||||
\\
|
||||
\varY
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
\varZ
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Risolvendo il sistema:
|
||||
Ancora:
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}}}
|
||||
\\
|
||||
\varZ
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
{\color{palegreen} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{palegreen} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}}}
|
||||
|
|
@ -204,27 +267,30 @@ $$
|
|||
\varY
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
E poi:
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \varX}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{mediumaquamarine} 2 \cdot \arccos \left( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} \right) }
|
||||
\\
|
||||
\varZ
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
Scegliamo di risolvere la prima equazione per ottenere $\varX$:
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \varX}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{mediumaquamarine} 2 \cdot \arccos \par{ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{12}} } }
|
||||
\\
|
||||
\varY
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
\varZ
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Visto che si vuole riprodurre l'[[Hardy state]] in un simulatore che necessita di [[numero razionale|numeri razionali]], determiniamo un'approssimazione del valore di $\varX$:
|
||||
|
||||
Approssimando:
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
{\color{mediumaquamarine} \varX}
|
||||
|
|
@ -241,11 +307,48 @@ $$
|
|||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Quindi, abbiamo che:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Large
|
||||
\ufirst \approx \mathbf{U}({\color{mediumaquamarine} 0.841 }, 0.000, 0.000)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Costruzione di $\usecond$
|
||||
|
||||
Vogliamo costruire il [[gate quantistico universale]] $\usecond$ da applicare al [[qbit]] $\notea$.
|
||||
Vogliamo costruire il gate $\usecond$ da applicare solamente al [[qbit]] $\notea$.
|
||||
|
||||
Ripetiamo lo stesso procedimento di prima, ma ignorando $\ket{1}_{\noteb}$, visto che ci interessa configurare il qbit per $\ket{0}_\noteb$:
|
||||
Ripetiamo la stessa procedura che abbiamo usato per $\ufirst$, ma per l'altro [[qbit]].
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{1}{\sqrt{12}}
|
||||
\cdot
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\kzero & \cdot & \par{\ket{0}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb} \\
|
||||
& + \\
|
||||
\kone & \cdot & \par{\ket{0}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb} \\
|
||||
& + \\
|
||||
\ktwo & \cdot & \par{\ket{1}_\notea \otimes \ket{0}_\noteb} \\
|
||||
& + \\
|
||||
\kthree & \cdot & \par{\ket{1}_\notea \otimes \ket{1}_\noteb}
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\right\}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Raccogliamo gli [[qbit|stati del qbit]] $\notea$, ottenendo:
|
||||
$$
|
||||
\frac{1}{\sqrt{12}}
|
||||
\cdot
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
(& \kzero \cdot \ket{0}_\noteb & + & \kone \cdot \ket{1}_\noteb &) & \otimes & \ket{0}_\notea \\
|
||||
&&&&& + \\
|
||||
(& \ktwo \cdot \ket{0}_\noteb & + & \kthree \cdot \ket{1}_\noteb &) & \otimes & \ket{1}_\notea
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\right\}
|
||||
$$
|
||||
Vogliamo che $\usecond$ costruisca lo stato giusto di $\notea$ specificamente per $\ket{0}_\noteb$, quindi prendiamo in considerazione solo quei coefficienti, e rinormalizziamo:
|
||||
$$
|
||||
\frac{1}{\sqrt{\kzero^2 + \ktwo^2}}
|
||||
\cdot
|
||||
|
|
@ -256,7 +359,11 @@ $$
|
|||
\ktwo & \otimes & \ket{1}_\notea
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\right\}
|
||||
\quad = \quad
|
||||
$$
|
||||
==C'è un passaggio matematico formale anche qui che non conosco.==
|
||||
|
||||
Cioè:
|
||||
$$
|
||||
\frac{1}{\sqrt{10}}
|
||||
\cdot
|
||||
\left\{
|
||||
|
|
@ -268,8 +375,7 @@ $$
|
|||
\right\}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
La sua [[matrice]] sarà quindi:
|
||||
|
||||
Arriviamo quindi all'equazione:
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {a}
|
||||
\def \varY {b}
|
||||
|
|
@ -277,6 +383,7 @@ $$
|
|||
\def \varI {i}
|
||||
|
||||
\usecond
|
||||
\ket{0}_\notea
|
||||
\quad = \quad
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
{\color{darkgreen} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
|
||||
|
|
@ -284,12 +391,11 @@ $$
|
|||
{\color{limegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} &
|
||||
e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\ket{0}_\notea
|
||||
\quad = \quad
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
{\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}} &
|
||||
\ *\ \\
|
||||
{\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}} &
|
||||
\ *\
|
||||
{\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}} \\
|
||||
{\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
|
|
@ -300,14 +406,14 @@ $$
|
|||
& = &
|
||||
{\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}}
|
||||
\\
|
||||
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
& = &
|
||||
*
|
||||
\\
|
||||
{\color{limegreen} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
& = &
|
||||
{\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}}
|
||||
\\
|
||||
- e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
& = &
|
||||
*
|
||||
\\
|
||||
e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
& = &
|
||||
*
|
||||
|
|
@ -320,11 +426,11 @@ $$
|
|||
& = &
|
||||
{\color{darkgreen} 2 \cdot \arccos \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right) }
|
||||
\\
|
||||
\varZ
|
||||
\varY
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\\
|
||||
\varY
|
||||
\varZ
|
||||
& = &
|
||||
0
|
||||
\end{cases}
|
||||
|
|
@ -334,7 +440,7 @@ $$
|
|||
\begin{cases}
|
||||
{\color{darkgreen} \varX}
|
||||
& \approx &
|
||||
{\color{darkgreen} 0.643 }
|
||||
{\color{darkgreen} 0.644 }
|
||||
\\
|
||||
\varZ
|
||||
& = &
|
||||
|
|
@ -345,88 +451,53 @@ $$
|
|||
0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
\Large
|
||||
\usecond \approx \mathbf{U}({\color{darkgreen} 0.644 }, 0.000, 0.000)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Costruzione di $\uthird$
|
||||
|
||||
Infine, vogliamo costruire il [[universal gate]] $\uthird$ da applicare al [[qbit]] $\notea$.
|
||||
Infine, vogliamo costruire l'[[universal controlled gate]] $\uthird$ da applicare al [[qbit]] $\notea$.
|
||||
|
||||
Ci troviamo nello stato configurato dal gate $\usecond$ per $\ket{0}_\noteb$:
|
||||
$$
|
||||
\frac{1}{\sqrt{10}}
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\kzero & \otimes & \ket{0}_\notea \\
|
||||
& + \\
|
||||
\ktwo & \otimes & \ket{1}_\notea
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\right\}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Vogliamo usare il gate $\uthird$ per configurare lo stato per $\ket{1}_\noteb$ al valore seguente:
|
||||
Stavolta, non partiamo da $\ket{0}$, ma dallo stato configurato dal gate $\usecond$ per $\ket{0}_\noteb$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{1}{\sqrt{\kone^2 + \kthree^2}}
|
||||
\cdot
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\kone & \otimes & \ket{0}_\notea \\
|
||||
& + \\
|
||||
\kthree & \otimes & \ket{1}_\notea
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\right\}
|
||||
\quad = \quad
|
||||
\frac{1}{\sqrt{2}}
|
||||
\cdot
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\kone & \otimes & \ket{0}_\notea \\
|
||||
& + \\
|
||||
\kthree & \otimes & \ket{1}_\notea
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\right\}
|
||||
$$
|
||||
Abbiamo dunque che:
|
||||
$$
|
||||
\uthird
|
||||
\otimes
|
||||
\frac{1}{\sqrt{10}}
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\kzero & \otimes & \ket{0}_\notea \\
|
||||
& + \\
|
||||
\ktwo & \otimes & \ket{1}_\notea
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\right\}
|
||||
\quad = \quad
|
||||
\frac{1}{\sqrt{2}}
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
\kone & \otimes & \ket{0}_\notea \\
|
||||
& + \\
|
||||
\kthree & \otimes & \ket{1}_\notea
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\right\}
|
||||
$$
|
||||
In forma matriciale:
|
||||
$$
|
||||
\uthird
|
||||
\otimes
|
||||
\frac{1}{\sqrt{10}}
|
||||
\def \varX {a}
|
||||
\def \varY {b}
|
||||
\def \varZ {c}
|
||||
\def \varI {i}
|
||||
|
||||
\uthird
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\kzero \\
|
||||
\ktwo
|
||||
{\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}} \\
|
||||
{\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\quad = \quad
|
||||
\frac{1}{\sqrt{2}}
|
||||
\quad = \quad
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\kone \\
|
||||
\kthree
|
||||
{\color{forestgreen} \frac{1}{\sqrt{2}}} \\
|
||||
{\color{lightgreen} \frac{-1}{\sqrt{2}}}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Portando tutto a destra, sfruttando l'[[operatore aggiunto]]:
|
||||
$$
|
||||
\uthird
|
||||
\quad = \quad
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
{\color{forestgreen} \frac{1}{\sqrt{2}}} \\
|
||||
{\color{lightgreen} \frac{-1}{\sqrt{2}}}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
{\color{darkgreen} \frac{3}{\sqrt{10}}} \\
|
||||
{\color{limegreen} \frac{1}{\sqrt{10}}}
|
||||
\end{bmatrix}^\dagger
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ovvero:
|
||||
$$
|
||||
\uthird
|
||||
\quad = \quad
|
||||
\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\kone \\
|
||||
|
|
@ -437,6 +508,8 @@ $$
|
|||
\ktwo
|
||||
\end{bmatrix}^\dagger
|
||||
$$
|
||||
|
||||
|
||||
Che diventa:
|
||||
$$
|
||||
\uthird
|
||||
|
|
@ -451,6 +524,9 @@ $$
|
|||
\ktwo
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
==Credo che quel $\sqrt{5}$ sia sbagliato...
|
||||
|
||||
Risolvendo il [[prodotto matriciale]]:
|
||||
$$
|
||||
\uthird
|
||||
|
|
@ -472,6 +548,7 @@ $$
|
|||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Sostituiamo $\uthird$:
|
||||
$$
|
||||
\def \varX {a}
|
||||
\def \varY {b}
|
||||
|
|
@ -485,10 +562,168 @@ $$
|
|||
{\color{aquamarine} e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\quad = \quad
|
||||
\sqrt{5}
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
{\color{teal} 3} & {\color{aqua} 1} \\
|
||||
{\color{turquoise} -3} & {\color{aquamarine} -1}
|
||||
{\color{teal} 3 \cdot \sqrt{5}} & {\color{aqua} \sqrt{5}} \\
|
||||
{\color{turquoise} -3 \cdot \sqrt{5}} & {\color{aquamarine} - \sqrt{5}}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
$$
|
||||
==BOH??==
|
||||
|
||||
Mettiamo a sistema:
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
{\color{teal} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{teal} 3 \cdot \sqrt{5}}
|
||||
\\\\
|
||||
{\color{aqua} - e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{aqua} \sqrt{5}}
|
||||
\\\\
|
||||
{\color{turquoise} e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{turquoise} -3 \cdot \sqrt{5}}
|
||||
\\\\
|
||||
{\color{aquamarine} e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & {\color{aquamarine} -\sqrt{5}}
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Abbiamo tre incognite e quattro equazioni.
|
||||
Rendiamo prima tutto uguale a $1$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
{\color{teal} \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
|
||||
\\\\
|
||||
{\color{aqua} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
|
||||
\\\\
|
||||
{\color{turquoise} - \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varY} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
|
||||
\\\\
|
||||
{\color{aquamarine} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Poi, possiamo prendere a due a due le equazioni che ci sono più comode per determinare ciascuna incognita:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
{\color{aqua} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} = {\color{aquamarine} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
I $-\frac{1}{\sqrt{5}}$ si semplificano:
|
||||
$$
|
||||
{\color{aqua} e^{\varI \varZ} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} = {\color{aquamarine} e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
$$
|
||||
L'esponente $e^{\varI \varY + \varI \varZ}$ si separa:
|
||||
$$
|
||||
{\color{aqua} e^{\varI \varZ} \cdot \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} = {\color{aquamarine} e^{\varI \varY} \cdot e^{\varI \varZ} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$e^{\varI \varZ}$ si semplifica:
|
||||
$$
|
||||
{\color{aqua} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} = {\color{aquamarine} e^{\varI \varY} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Tornando al sistema, possiamo sbarazzarci dell'ultimo $\sin \par{\frac{\varX}{2}}$ rimasto:
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
{\color{teal} \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
|
||||
\\\\
|
||||
{\color{aqua} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & e^{\varI \varY} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
|
||||
\\\\
|
||||
{\color{turquoise} - \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varY + \varI \varY} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
|
||||
\\\\
|
||||
{\color{aquamarine} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varY + \varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Nuova equazione:
|
||||
$$
|
||||
{\color{teal} \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} =
|
||||
{\color{turquoise} - \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varY + \varI \varY} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)}
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$$
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Semplificando:
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$$
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{\color{teal} 1} = {\color{turquoise} - e^{2 \varI \varY}}
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$$
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E quindi:
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$$
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{\color{teal} \varY} = {\color{turquoise} \frac{ \ln ( - 1 ) }{2 \varI}}
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$$
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Cioè:
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$$
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{\color{teal} \varY} = {\color{turquoise} \frac{ \pi \varI }{2 \varI}}
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$$
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Ovvero:
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$$
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{\color{teal} \varY} = {\color{turquoise} \frac{\pi}{2}}
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$$
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Che nel sistema diventa:
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$$
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\begin{cases}
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{\color{teal} \varY} & = & \frac{\pi}{2}
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\\\\
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{\color{aqua} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & \varI \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
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\\\\
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{\color{turquoise} \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
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||||
\\\\
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{\color{aquamarine} - \frac{\varI}{\sqrt{5}} \cdot e^{\varI \varZ} \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & 1
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\end{cases}
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$$
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Possiamo ora scoprire il valore di $\varX$:
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$$
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{\color{turquoise} \frac{1}{3 \sqrt{5}} \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)} = 1
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$$
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Cioè:
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$$
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{\color{turquoise} \varX} = 2 \cdot \arccos \par{ 3 \sqrt{5} }
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$$
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Che nel sistema diventa:
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$$
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\begin{cases}
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{\color{teal} \varY} & = & \frac{\pi}{2}
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\\\\
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||||
{\color{aqua} \sin \left( \frac{\varX}{2} \right)} & = & \varI \cdot \cos \left( \frac{\varX}{2} \right)
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\\\\
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||||
{\color{turquoise} \varX} & = & 2 \cdot \arccos \par{ 3 \sqrt{5} }
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\\\\
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{\color{aquamarine} - 3 \varI \cdot e^{\varI \varZ}} & = & 1
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\end{cases}
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$$
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Concludendo:
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$$
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{\color{aquamarine} e^{\varI \varZ}} = - \frac{1}{3 \varI}
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$$
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Che diventa:
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$$
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{\color{aquamarine} \varZ} = \frac{\ln \par{ -\frac{1}{3 \varI} }}{\varI}
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$$
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Ovvero:
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$$
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{\color{aquamarine} \varZ} = - \frac{\pi \ln(3)}{2}
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$$
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Ottenendo, dunque:
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$$
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\begin{cases}
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{\color{turquoise} \varX} & = & 2 \cdot \arccos \par{ 3 \sqrt{5} }
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\\\\
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{\color{teal} \varY} & = & \frac{\pi}{2}
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\\\\
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{\color{aquamarine} \varZ} & = & - \frac{\pi \ln(3)}{2}
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\end{cases}
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$$
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Che, approssimando, diventa:
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$$
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\begin{cases}
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{\color{turquoise} \varX} & \approx & 5.182 \varI
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\\\\
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{\color{teal} \varY} & \approx & 1.571
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\\\\
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{\color{aquamarine} \varZ} & \approx & - 1.726
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\end{cases}
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$$
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==I?????????????????????????????????????????????==
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@ -0,0 +1,80 @@
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Assumiamo che i due qbit dello stato di Hardy siano controllati da due [[agente|agenti]] diversi, *Zero* e *One*.
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*Zero* e *One* si trovano lontani uno dall’altro, e non hanno modo di comunicare o di interagire sul qbit dell’altro.
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Pur trovandosi lontani, possono trasmettere istantaneamente informazioni all’altra parte operando sul loro qbit.
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Infatti, si possono verificare i seguenti casi:
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### Nessuna interazione
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*Zero* non interagisce con il suo qbit.
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*One* non interagisce con il quo qbit.
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Se entrambi misurano il proprio qbit, **entrambi possono trovare $\ket{1}$** sul loro qbit.
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$$
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\displaylines{
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\ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 2 \ket{00} - 1\ {\color{red} \mathbf{H_1} \mathbf{H_0}} \ket{11}\ )\\
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\ \\
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\ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{12}}\ (\ 3 \ket{00} + 1 \ket{01} + 1 \ket{10} - 1 \ket{11}\ )
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}
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$$
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È possibile ottenere tutti gli stati.
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### Entrambi interagiscono
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*Zero* applica un $\mathbf{H_0}$ al suo qbit.
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*One* applica un $\mathbf{H_1}$ al suo qbit.
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Se entrambi misurano il proprio qbit, solo uno dei due può trovare $\ket{1}$.
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$$
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\displaylines {
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{\color{green} \mathbf{H_1} \mathbf{H_0}} \ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 2\ {\color{green} \mathbf{H_1} \mathbf{H_0}}\ket{00} - 1 \ket{11}\ ) =
|
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\\\ \\
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||||
{\color{green} \mathbf{H_1} \mathbf{H_0}} \ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 1 \ket{00} + 1 \ket{01} + 1 \ket{10} {\color{lightgray} +\ 0 \ket{11}} \ )
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}
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$$
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In qualche modo, è diventato impossibile ottenere $\ket{11}$, nonostante non sia avvenuta comunicazione tra *Zero* e *One*.
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### *Zero* interagisce
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*Zero* applica un $\mathbf{H_0}$ al suo qbit.
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*One* non interagisce con il suo qbit.
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Se entrambi misurano il loro qbit, *One* può trovare $\ket{1}$ solo se anche *Zero* ha trovato lo stesso.
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$$
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\displaylines{
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||||
{\color{green} \mathbf{H_0}} \ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 2\ {\color{green} \mathbf{H_0}} \ket{00} - 1\ {\color{red} \mathbf{H_1}} \ket{11}\ )\\
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\ \\
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||||
{\color{green} \mathbf{H_1}} \ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 2 \ket{00} + 1 \ket{01}{\color{lightgray} +\ 0 \ket{10}}\ + 1 \ket{11} \ )
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}
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$$
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In qualche modo, è diventato impossibile ottenere $\ket{10}$, nonostante non sia avvenuta comunicazione tra *Zero* e *One*.
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### *One* interagisce
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*Zero* non interagisce con il suo qbit.
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*One* applica un $\mathbf{H_1}$ al suo qbit.
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Se entrambi misurano il loro qbit, *Zero* può trovare $\ket{1}$ solo se anche *One* ha trovato lo stesso.
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$$
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\displaylines{
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||||
{\color{green} \mathbf{H_1}} \ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 2\ {\color{green} \mathbf{H_1}} \ket{00} - 1\ {\color{red} \mathbf{H_0}} \ket{11}\ )\\
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\ \\
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{\color{green} \mathbf{H_1}} \ket{\Phi}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ (\ 2 \ket{00} {\color{lightgray} +\ 0 \ket{01}}\ + 1 \ket{10} + 1 \ket{11} \ )
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}
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$$
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In qualche modo, è diventato impossibile ottenere $\ket{01}$, nonostante non sia avvenuta comunicazione tra *Zero* e *One*.
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