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[[algoritmo]] di [[spanning tree construction]] che migliora il [[traversal protocol]].
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## [[Comportamento]]
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> [!Summary]
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> Le [[entità]] del grafo vengono visitate sequenzialmente attraverso una [[depth-first search]].
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> In ogni momento, a solo una [[entità]] è permesso ***visitarne altre***, e questo permesso è tracciato attraverso un [[token metaforico]].
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### `LEADER`
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Inizia possedendo il [[token metaforico]].
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***Parte notificando tutti i suoi [[vicini di un'entità|vicini]] di possedere il token con il tag `Own`.***
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Poi, inizia la visita inviando il [[token metaforico|token]] al primo [[vicini di un'entità|vicino]] non visitato con il tag `Forward`, diventando `VISITED`.
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### `IDLE`
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In attesa di ricevere il [[token metaforico]], ***e in ascolto per notifiche `Own`***.
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***Quando riceve una notifica `Own`***:
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1. ***esclude il mittente dai [[vicini di un'entità|vicini]] da visitare.***
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Quando riceve il token `Forward`:
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1. memorizza il mittente come genitore;
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2. notifica tutti i [[vicini di un'entità|vicini]] con il tag `Own`;
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3. procede con la visita inviando il [[token metaforico|token]] al primo suo [[vicini di un'entità|vicino]] non visitato con il tag `Forward`;
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4. diventa `VISITED`.
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### `VISITED`
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Ha già ricevuto il [[token metaforico]] in precedenza.
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> [!Note]
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> ***È impossibile che riceva `Forward` o `AlreadyVisited` per via del meccanismo di `Own`.***
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Se lo riceve con il tag `Backward`, aggiunge all'[[albero]] il mittente, e poi invia il [[token metaforico|token]] al prossimo [[vicini di un'entità|vicino]] non visitato con il tag `Forward`.
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Se riceve nuovamente il [[token metaforico|token]], e non ha altri vicini da visitare, restituisce il [[token metaforico|token]] al genitore, poi diventa `DONE`.
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### `DONE`
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Non fa nient'altro.
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## [[algoritmo corretto|Correttezza]]
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> [!Success]
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> Dato che:
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> 1. Tutte le [[entità]] tranne il [[leader]] inviano `Finished` una sola volta.
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> 2. Un `Forward` e un `Backward` [[arco di un grafo|collegano]] le due [[entità]] coinvolte.
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> Allora, il [[grafo]] risultante è un [[albero]] [[grafo connesso|connesso]].
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## [[costo computazionale distribuito|Costo computazionale]]
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| Costo | [[notazione O-grande]] |
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|-|-|
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| [[comunicazione]] | $O(Channels)$ |
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| [[tempo]] | $O(Channels)$ |
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### [[Comunicazione]]
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Tutti i [[canale di comunicazione|canali]] vengono visitati due volte, uno da `Visited::Sender`, e uno da `Visited::Receiver`:
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$$
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\color{LightCoral} 2 \cdot Channels
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$$
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In più, tutti i nodi tranne il [[leader]] invieranno almeno una volta `Token::Forward` e `Token::Finished`.
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$$
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\color{SpringGreen} 2 \cdot (Entities - 1)
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$$
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Dunque, il numero di messaggi inviati sarà:
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$$
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{\color{LightCoral} 2 \cdot Channels}
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+
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{\color{SpringGreen} 2 \cdot (Entities - 1)}
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$$
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Essendo il grafo connesso, $(Entities - 1)$ è obbligatoriamente minore di $Channels$, quindi possiamo riscrivere la riga precedente come:
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$$
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{\color{LightCoral} 2 \cdot Channels}
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|
+
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{\color{SpringGreen} 2 \cdot Channels}
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=
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4 \cdot Channels
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$$
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In [[notazione asintotica]], è:
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$$
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\Large O(Channels)
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$$
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> [!Note]
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> Coincide ***asintoticamente*** con il [[notazione Ω-grande|lower bound]] della [[spanning tree construction]].
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### [[Tempo]]
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L'invio di `Visited::Sender` e `Visited::Receiver` corrisponde al tempo di attraversamento di un [[albero]]:
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$$
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\color{SkyBlue} 2 \cdot (Entities - 1)
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$$
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In più, tutte le [[entità]] devono inviare sequenzialmente `Token::Forward` e `Token::Finished`:
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$$
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\color{Lavender} 2 \cdot Entities
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$$
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Dunque, il tempo necessario sarà:
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$$
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{\color{SkyBlue} 2 \cdot (Entities - 1)}
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|
+
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{\color{Lavender} 2 \cdot Entities}
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=
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|
4 \cdot Entities - 2
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$$
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In [[notazione asintotica]], è:
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$$
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\Large O(Entities)
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$$
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> [!Note]
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> ***Coincide asintoticamente*** con il [[notazione Ω-grande|lower bound]] della [[spanning tree construction]].
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