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# Notazione asintotica
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La _notazione asintotica_ è un sistema per **stimare** velocemente il costo di un algoritmo complesso.
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Ci permette di **confrontare velocemente il caso peggiore** degli algoritmi.
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In particolare, consideriamo il _rapporto tra il numero di operazioni nel caso peggiore e la dimensione dell'input_.
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## Limiti
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Possiamo dare a questa stima dei limiti, superiore e inferiore, che rappresenteranno rispettivamente un costo che non sarà **mai superato** e un costo che verrà **sempre superato**.
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Chiameremo questi limiti _upper bound_ e _lower bound_; la loro combinazione darà un _tight bound_.
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L'obiettivo sarà di _ricavare i bound più precisi possibile_ per un dato algoritmo, ovvero l'**upper bound più basso** e il **lower bound più alto**.
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### O grande
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> "O grande"
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> O di g(n)
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> "big-O"
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Per rappresentare la stima, useremo una notazione particolare, detta _O grande_, con la seguente proprietà:
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- Date due funzioni `f(n) : N -> R` e `g(n) : N -> R`, diremo che `f(n) ∈ O(g(n))` se e soltanto se `∃ c > 0, n ≥ n_0` tali che `∀ n ≥ 0, f(n) ≤ c * g(n)`
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Quando una funzione è O grande di un altra, significa che **asintoticamente, la funzione in O grande è sempre maggiore di quella che sta venendo stimata**.
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> **Ipotesi**
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> - `f(n) = 2n² + 3n + 6`
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> - `g(n) = n²`
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>
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> **Tesi**
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> - `f(n) ∈ O(n²)`.
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>
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> **Svolgimento**
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> Scrivo una disequazione, lasciando intatto il termine noto:
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> 1. `2n² + 3n + 6 ≤ 2n² + 3n² + 6`
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> 2. `n² ≤ 2n² + 3n² + n² = 6n²` per `n ≥ 3`
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>
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> Sappiamo, allora, che `2n² + 3n + 6 ≤ 6n²`.
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#### Espressioni di O grande
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Questa tabella rappresenta le espressioni di O grande più comunemente utilizzate, in ordine **dalla più forte alla più debole**.
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> Più forte significa che, per ogni riga della tabella, tutte le righe sottostanti sono contenute nell'espressione.
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>
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> Ad esempio, `O(n) ∈ O(1)`.
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| Espressione O() | Nome |
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|-----------------|------|
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| `O(1)` | Costante |
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| `O(log log n)` | loglog |
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| `O(log n)` | Logaritmica |
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| ) (per c ≥ 1) | Sublineare |
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| `O(n)` | Lineare |
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| `O(n log n)` | nlogn |
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| `O(n²)` | Quadratica |
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| `O(n³)` | Cubica |
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| `O(n^k)` (per k ≥ 1) | Polinomiale |
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| `O(a^n)` (per a ≥ 1) | Esponenziale |
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| `O(n!)` | Fattoriale |
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#### Polinomiale
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Molto spesso, noteremo che il tempo richiesto da una funzione è O grande di un polinomio di grado K, ovvero `f(n) ∈ O(n^k)`.
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Notiamo che in questi casi, possiamo semplificare l'O grande al grado massimo del polinomio.
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> Ad esempio, `O(n² + n + 1) = O(n²)`.
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##### Dimostrazione
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Per `n > 0 \and 0 ≤ i ≤ k`:
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%20n^k)
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#### Proprietà di O grande
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1. `f(n) ∈ O(g(n)) -> ∀ a > 0, a * f(n) ∈ O(g(n))`.
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2. `f(n) ∈ O(g(n)), d(n) ∈ O(h(n)) -> f(n) + d(n) ∈ O(g(n) + h(n)) -> O(max\{g(n), h(n)\})`
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3. `f(n) ∈ O(g(n)), d(n) ∈ O(h(n)) -> f(n) * d(n) ∈ O(g(n) * h(n))`
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In pratica, se una funzione è la _somma di più termini_, basta guardare l'**`O()` più grande** tra tutti i suoi termini; se invece una funzione è un _prodotto di più termini_, si possono **omettere le costanti**, e l'`O()` finale sarà dato dal **prodotto degli `O()`** dei termini.
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## Lower bound
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Possiamo anche stimare il _lower bound_, il limite inferiore: il **numero minimo di operazioni** che viene effettuato **nel caso migliore** con la **massima dimensione dell'ingresso**.
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### Ω()
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> "Omega"
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> Omega di g(n)
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> "big-Omega"
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Esiste un equivalente di O grande per il lower bound: è detto _Omega grande_, o più semplicemente _Omega_, e funziona nello stesso identico modo, solo... al contrario.
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Diremo che `f(n) ∈ Ω(g(n))` se e solo se `∃ c > 0, n_0 ≥ 0 : ∀ n ≥ n_0 f(n) ≥ c * g(n)`.
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#### Espressioni di Ω()
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Anche in questa tabella le espressioni sono **dalla più forte alla più debole**.
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| Espressione Ω() | Nome |
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|-----------------|------|
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| `Ω(n!)` | Fattoriale |
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| `Ω(a^n)` (per a ≥ 1) | Esponenziale |
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| `Ω(n^k)` (per k ≥ 1) | Polinomiale |
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| `Ω(n³)` | Cubica |
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| `Ω(n²)` | Quadratica |
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| `Ω(n log n)` | nlogn |
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| `Ω(n)` | Lineare |
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| ) (per c ≥ 1) | Sublineare |
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| `Ω(log n)` | Logaritmica |
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| `Ω(log log n)` | loglog |
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| `Ω(1)` | Costante |
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## Tight bound
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Quando **upper e lower bound coincidono**, allora otteniamo un _tight bound_.
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### θ()
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> "Theta"
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> Theta di g(n)
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> "big-Theta"
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Anche per il tight bound abbiamo una notazione equivalente a O grande e Omega grande: _Theta grande_!
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Diciamo che `f(n) ∈ θ(g(n))` se e solo se `∃ c_1, c_2 > 0, n_0 ≥ 0 : ∀ n ≥ n_0, c_1 * g(n) ≤ f(n) ≤ c_2 * g(n)`.
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Ha la particolarità che non valgono tutte le proprietà degli altri due: va usata quindi con cautela!
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## Risorse utili
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[khanacademy.org](https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/asymptotic-notation/a/big-big-theta-notation)
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