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[[algoritmo]] di [[spanning tree construction]].
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## [[comportamento]]
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> [!Summary]
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> Le [[entità]] del grafo vengono visitate sequenzialmente attraverso una [[depth-first search]].
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> In ogni momento, a solo una [[entità]] è permesso eseguire codice, e questo permesso è tracciato attraverso un [[token metaforico]].
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Il [[leader]] viene inizializzato a `LEADER`, le altre [[entità]] vengono inizializzate a `IDLE`.
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### `LEADER`
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Inizia possedendo il [[token metaforico]].
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Inizia la visita inviando il [[token metaforico|token]] al primo [[vicini di un'entità|vicino]] non visitato con il tag `Forward`, diventando `VISITED`.
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### `IDLE`
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In attesa di ricevere il [[token metaforico]].
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Quando riceve il token `Forward`:
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1. memorizza il mittente come genitore;
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2. procede con la visita inviando il [[token metaforico|token]] al primo suo [[vicini di un'entità|vicino]] non visitato con il tag `Forward`;
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3. diventa `VISITED`.
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### `VISITED`
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Ha già ricevuto il [[token metaforico]] in precedenza.
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Se lo riceve con il tag `Forward`, lo rimanda al mittente con il tag `AlreadyVisited`.
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Se lo riceve con il tag `AlreadyVisited`, invia il [[token metaforico|token]] al prossimo [[vicini di un'entità|vicino]] non visitato con il tag `Forward`.
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Se lo riceve con il tag `Backward`, aggiunge all'[[albero]] il mittente, e poi invia il [[token metaforico|token]] al prossimo [[vicini di un'entità|vicino]] non visitato con il tag `Forward`.
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Se riceve nuovamente il [[token metaforico|token]], e non ha altri vicini da visitare, restituisce il [[token metaforico|token]] al genitore, poi diventa `DONE`.
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### `DONE`
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Non fa nient'altro.
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## [[algoritmo corretto|Correttezza]]
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> [!Success]
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> Dato che:
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> 1. Tutte le [[entità]] tranne il [[leader]] inviano `Finished` una sola volta.
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> 2. Un `Forward` e un `Backward` [[arco di un grafo|collegano]] le due [[entità]] coinvolte.
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> Allora, il [[grafo]] risultante è un [[albero]] [[grafo connesso|connesso]].
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## [[costo computazionale distribuito|Costo computazionale]]
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| Costo | [[notazione O-grande]] |
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|-|-|
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| [[comunicazione]] | $O(Channels)$ |
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| [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/tempo]] | $O(Channels)$ |
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### [[comunicazione]]
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Tutti i [[canale di comunicazione|canali]] vengono visitati due volte, uno da `Token::Forward`, e uno da `Token::BackEdge` o `Token::Finished`:
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$$
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2 \cdot Channels
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$$
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In [[notazione asintotica]], è:
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\Large O(Channels)
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### [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/tempo]]
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Essendo la visita del grafo sequenziale, il tempo richiesto coincide con il costo di comunicazione:
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$$
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2 \cdot Channels
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$$
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In [[notazione asintotica]], è:
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$$
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\Large O(Channels)
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$$
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