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[[algoritmo]] di [[leader election]] su [[anello]].
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## [[comportamento]]
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> [!Summary]
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> Ogni [[entità]] riceve identificatori dalla [[entità precedente in un anello|precedente]], tenendo traccia dell'identificatore minimo ricevuto, e inoltra alla [[entità successiva in un anello|successiva]] qualsiasi cambiamento al proprio minimo.
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> Quando un'[[entità]] avrà ricevuto il suo stesso identificatore dalla [[entità precedente in un anello|precedente]], essa diventerà leader, e manderà un [[broadcast problem|broadcast]] di terminazione a tutte le altre.
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## [[algoritmo corretto|Correttezza]]
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> [!Success]
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> È certo che l'identificatore minimo di tutto il [[sistema distribuito]] attraverserà tutte le [[entità]] in esso, fino a tornare al futuro [[leader]].
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> Avendo l'[[anello]] un numero finito di [[nodo di un grafo|nodi]] al suo interno, eventualmente sarà trovato un [[leader]], che a quel punto farà terminare l'esecuzione con il [[broadcast problem|broadcast]].
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## [[costo computazionale distribuito|Costo computazionale]]
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| Costo | [[notazione O-grande]] | [[notazione Ω-grande]] |
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| [[comunicazione]] | $O(Entities^2)$ | $\Omega(Entities)$ |
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| [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/tempo]] | $O(Entities)$ | ... |
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### [[comunicazione]]
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#### Caso peggiore
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Il caso peggiore è quello in cui le [[entità]] sono [[iniziatori multipli|tutte iniziatrici]] e in ordine crescente di [[identificatore]].
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Nel caso peggiore, il [[ritardo di comunicazione unitario|ritardo di comunicazione sarà unitario]], quindi avremo che:
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1. il massimo sarà propagato per $1$ messaggio
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2. il secondo massimo sarà propagato per $2$ messaggi
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3. $\dots$
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4. il minimo sarà propagato per $Entities$ messaggi
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Totalizzando:
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$$
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\color{LightCoral} \sum_{Identifier=1}^{Entities} Identifier
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Ovvero:
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$$
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\color{LightCoral}
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\frac
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{Entities \cdot (Entities + 1)}
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{2}
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$$
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In aggiunta, sarà necessaria anche un [[broadcast problem|broadcast]] di terminazione, che richiederà:
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\color{SkyBlue} Entities
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$$
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Per un totale di:
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$$
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{
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\color{LightCoral}
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\frac
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{Entities \cdot (Entities + 1)}
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{2}
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}
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+
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{
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\color{SkyBlue} Entities
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}
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$$
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[[notazione asintotica|Asintoticamente]]:
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\Large O \left( Entities^2 \right)
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#### Caso migliore
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Il caso migliore è quello in cui le [[entità]] sono [[risveglio multiplo|tutte iniziatrici]] e in ordine decrescente di [[identificatore]].
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Avremo che:
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1. il minimo sarà propagato per $Entities$ messaggi
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2. tutti gli altri per $1$ messaggio
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Totalizzando:
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$$
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\color{LightCoral}
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Entities
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+
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\sum_{Identifier=2}^{Entities} 1
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$$
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Ovvero:
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$$
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\color{LightCoral} Entities + (Entities - 1)
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$$
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In aggiunta, sarà necessaria anche un [[broadcast problem|broadcast]] di terminazione, che richiederà:
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$$
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\color{SkyBlue} Entities
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$$
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Per un totale di:
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{
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\color{LightCoral} Entities + (Entities - 1)
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}
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+
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{
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\color{SkyBlue} Entities
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}
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$$
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Ovvero:
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$$
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3 \cdot Entities - 1
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[[notazione asintotica|Asintoticamente]]:
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\Large \Omega \left( Entities \right)
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### [[9 - Algoritmi distribuiti/1 - Problemi algoritmici/tempo]]
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#### Caso peggiore
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Il caso peggiore è quello in cui l'[[entità]] [[iniziatore singolo|iniziatrice è unica]] e alla massima distanza possibile dal futuro [[leader]].
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Essa dovrà svegliare il leader, richiedendo:
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\color{LightCoral} Entities-1
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$$
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E poi l'identificatore del leader dovrà viaggiare per tutto l'anello, richiedendo:
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$$
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\color{SkyBlue} Entities
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$$
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Per un totale di:
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$$
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{\color{LightCoral} Entities-1}
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+
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{\color{SkyBlue} Entities}
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$$
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Cioè:
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2 \cdot Entities - 1
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$$
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[[notazione asintotica|Asintoticamente]]:
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\Large O( Entities )
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$$
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