appunti-steffo/7 - Introduction to quantum information processing/5 - Cose strane/no-cloning theorem.md

Teorema che dimostra come sia impossibile copiare lo qbit a un altro qbit attraverso gate quantistico.

Dimostrazione (per assurdo)

\def \varA {{\color{coral} \ket{\psi}}} \def \varB {{\color{skyblue} \ket{\phi}}} \def \varC {{\color{yellowgreen} \left( a \cdot \ket{\psi} + b \cdot \ket{\phi} \right) }} Se fosse possibile, allora sarebbe possibile:

\mathbf{U}_f \left( \varA \otimes \ket{0} \right) = \varA \otimes \varA

E anche: \mathbf{U}_f \left( \varB \otimes \ket{0} \right) = \varB \otimes \varB

Creando una superposizione generica, e usando proprietà distributiva data dalla linearità per risolverla: \displaylines{ \mathbf{U}_f \left( \left( a \cdot \varA + b \cdot \varB \right) \otimes \ket{0} \right) =\ a \cdot \mathbf{U}_f \left( \varA \otimes \ket{0} \right) + b \cdot \mathbf{U}_f \left( \varB \otimes \ket{0} \right) =\ a \cdot \left( \varA \otimes \varA \right) + b \cdot \left( \varB \otimes \varB \right) }

Ma al tempo stesso, risolvendola direttamente: \displaylines{ \mathbf{U}_f \left( \varC \otimes \ket{0} \right) =\ \varC \otimes \varC =\ a^2 \cdot ( \varA \otimes \varA ) + b^2 \cdot ( \varB \otimes \varB ) + ab \cdot ( \varA \otimes \varB ) + ab \cdot ( \varB \otimes \varA ) }

I risultati possono essere uguali solo se:
\small a \cdot \left( \varA \otimes \varA \right) + b \cdot \left( \varB \otimes \varB \right)

a^2 \cdot ( \varA \otimes \varA ) + b^2 \cdot ( \varB \otimes \varB ) + ab \cdot ( \varA \otimes \varB ) + ab \cdot ( \varB \otimes \varA ) Ovvero, quando: \begin{cases} a &=& a^2 \ b &=& b^2 \end{cases} Cioè: \begin{cases} a \cdot b = 0 \\ a = 0 \ b = 1 \end{cases} \quad \bigcup \quad \begin{cases} a \cdot b = 0 \\ a = 1 \ b = 0 \end{cases} Il gate \mathbf{U}_f esiste quindi solo per gli stati ortogonale.

Note

Per gli stati \ket{0} e \ket{1}, il gate \mathbf{U}_f è il controlled Pauli X gate \mathbf{X}_n!