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Algoritmo di Prim

L'Algoritmo di Prim è un altro algoritmo greedy che trova il minimum spanning tree di un grafo.

Funzionamento

Creo una coda con priorità in cui inserisco tutti gli archi visibili dal mio albero, in cui la chiave è il costo dell'arco.

Per trovare l'arco con costo più piccolo posso estrarre un arco dalla coda: la priorità ci garantisce che esso è l'arco meno costoso.

Aggiungo allora un nuovo nodo all'albero, e con esso, aggiungo alla coda tutti gli archi che scoprono un nuovo nodo.

Costo computazionale

Categoria	Upper bound
Tempo	O(archi + nodi log nodi)

Pseudocodice

import math

def minimum_spanning_tree_prim(graph, cost_array, start_node):
    # E' un Array di bool: se l'indice corrispondente al nodo è uguale a true, vuol dire che il (nodo è contenuto nell'albero.
    contains = [False for _ in range(len(graph))]
    # Contiene il precedente di ogni nodo 
    prev = [None for _ in range(len(graph))]
    # Contiene il costo per arrivare a quel nodo
    cost = [math.inf for _ in range(len(graph))]
    # Creo la priority queue
    pq = PriorityQueue(graph.arcs, key=lambda arc: arc.cost)
    # Parto dal nodo `start_index`
    # Il costo dell'origine è 0.
    cost[start_node.index] = 0
    contains[start_node.index] = True
    
    while not pq.is_empty():
        new_node = pq.pop()
        contains[new_node.index] = True
        for arc in new_node.connections:
            other_node = arc.other(new_node)
            if not contains[other_node.index] and cost[other_node.index] > arc.cost:
                cost[other_node.index] = arc.cost
                prev[other_node.index] = new_node
                pq.decrease_priority_for(other_node, arc.cost)
    # L'array di prev rappresenta un albero.
    return prev
```_