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# Problemi algoritmici
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Un _problema algoritmico_ è un problema matematico che si vuole provare a risolvere con un algoritmo.
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> Dati 10 numeri, voglio sapere se sono in ordine crescente oppure no.
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## Caterigorizzazione
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I problemi algoritmici si dividono in tre categorie: problemi _trattabili_, problemi _intrattabili_ e problemi _irrisolvibili_.
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### Problema trattabile
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Perchè un problema algoritmico sia _trattabile_, deve avere **almeno un algoritmo con upper bound polinomiale**.
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> Questo significa che il tempo impiegato da un computer per risolvere il problema rimane ragionevole, e che quindi può essere utilizzato in maniera efficiente.
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La trattabilità è un campo ancora parecchio aperto: esistono anche tanti problemi di cui non si è ancora dimostrata la trattabilità o intrattabilità.
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> La [fattorizzazione](https://it.wikipedia.org/wiki/Fattorizzazione) è uno di questi problemi: l'assenza di una dimostrazione è ciò che la rende uno dei pilastri della sicurezza informatica moderna.
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### Problema intrattabile
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Se **un problema non ha nessun algoritmo con upper bound polinomiale**, allora si dice che è **intrattabile**.
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### Problema irrisolvibile
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Se **non esistono algoritmi per risolvere un problema**, allora questo si dice **irrisolvibile**.
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> [Dato un algoritmo con certi input, riusciamo a capire con un algoritmo se la sua esecuzione termina o no?](https://en.wikipedia.org/wiki/Halting_problem)
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### Upper e lower bound di problemi
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Si può anche trovare un _upper bound_ e un _lower bound_ per un problema, ma bisogna generalizzare di più.
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L'**upper bound di un problema** è il minimo upper bound di tutti gli algoritmi che lo risolvono; deve esistere almeno un algoritmo che lo risolva che abbia lo stesso _upper bound_. E' praticamente il tempo migliore per risolvere il problema dato.
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Il **lower bound di un problema** è il minimo lower bound di tutti gli algoritmi che lo risolvono; non deve esistere nemmeno un algoritmo che abbia un lower bound migliore. E' il numero assolutamente minimo di operazioni richieste, non si può fare meglio di così.
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In particolare, abbiamo che l'_upper bound di un algoritmo_ -> l'_upper bound del suo problema_,
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e il _lower bound di un problema_ -> il _lower bound di un suo algoritmo_.
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Generalmente, il _lower bound di un problema_ è una rappresentazione abbastanza accurata della sua difficoltà.
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