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Definizione assiomatica della probabilità

\mathbb{P} : \corsivo{F} \to \mathbb{R}_+

• La probabilità deve essere normalizzata: \mathbb{P}(\Omega) = 1
• La probabilità deve essere additiva: \mathbb{P}(E \cup F) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(F) se E \cap F = \empty
• La probabilità deve essere continua da sotto: \mathbb{P}(\UNION_{n=1}^{+\inf} E_n) = \lim_{N -> +\inf} \mathbb{P}(\UNION_{n=1}^N E_n), dove [cose]

Conseguenze dell'assioma

• \mathbb{P}(\empty) = \mathbb{P}(\empty \cup \empty) = \mathbb{P}(\empty) + \mathbb{P}(\empty) = 2 \mathbb{P}(\empty) = \empty

L'elemento impossibile ha probabilità 0.

• Se E \contains_or_equal F, allora \P(F \ E) = \P(F) - \P(E) \implies \P(E) \leq \P(F)

La probabilità è monotona.

• \P(not\ E) = 1 - \P(E) (proprietà della negazione)

La probabilità negata è 1 - \P(E)

• Se E_1, E_2, \dots \qquad \forall i \neq j, E_i \cap E_j = \empty, allora \P (\UNION_{n=1}^{+\inf} E_n) = \lim_{N \to +\inf} \P(\UNION_{i = 1}^{N} E_n) = \lim_{N \to +\inf} \SUM_{n=1}^N \P(E_n) = \SUM_{n=1}^+\inf \P(E_n)

Probabilità disgiunte possono essere sommate per effettuarne l'unione.