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Grafo

Un grafo è una struttura dati che rappresenta elementi interconnessi tra loro.

Esistono due tipi di grafi: orientati e non orientati.

Per semplicità, consideriamo i nostri nodi numerati da 1 a n.

Proprietà

• Gli elementi sono rappresentati tramite nodi.
  • Il loro grado è dato dal numero degli archi che vi incidono.
    • Se il grafo è orientato, hanno anche un in-degree (numero di archi entranti) e un out-degree (numero di archi uscenti).
• Le connessioni tra elementi sono rappresentate tramite archi.
  • Un arco incide esattamente su due nodi.
    • Se il grafo è orientato, sono uscenti da uno dei due nodi ed entranti nell'altro.
  • Sono matematicamente meno del quadrato dei nodi.

Grafi particolari

Catena

Una catena è un grafo non orientato composto da una sequenza di nodi aventi un grado massimo di 2 tutti collegati tra loro.

Cammino

Un cammino è un grafo orientato composto da una sequenza di nodi aventi un in-degree e un out-degree massimo di 1, collegati tra loro in modo che partendo dal primo e seguendo gli archi sia possibile arrivare all'ultimo.

Cricca

Una cricca è un grafo in cui tutti i nodi sono collegati tra loro.

Se il grafo è non orientato, la cricca ha ((n-1)n)/2 archi.

Se il grafo è orientato, ha per ogni coppia un arco in entrambe le direzioni, quindi ha (n-1)n archi.

Direct Acyclic Graph

Un DAG è un grafo diretto che non contiene nessun ciclo.

Su di esso possiamo effettuare un ordinamento, detto linearizzazione, tra i nodi: otteniamo l'ordine topologico.

I primi elementi dei DAG sono detti Source (Sorgente), mentre gli ultimi sono detti Sink (Pozzo).

Albero

Un albero può essere considerato un DAG con una sorgente singola e le foglie come pozzi.

Grafo fortemente connesso

Un insieme di nodi V di un grafo diretto G si dice una componente fortemente connessa se:

1. Per ogni coppia di nodi ∀ u, v ∈ V' : ∃ un cammino u->v in G'
2. Massimale (non può diventare più grande)

Praticamente una componente fortemente connessa è un gruppo di nodi tra i quali si può viaggiare liberamente da e a qualsiasi nodo al suo interno.

Un grafo si dice fortemente connesso se l'insieme V coincide con l'insieme dei nodi del grafo G.

Se partendo da qualsiasi nodo di un grafo riesco ad arrivare a qualsiasi altro nodo, allora il grafo è fortemente connesso.

Inoltre, se creiamo un nuovo grafo, in cui ogni nodo rappresenta una componente fortemente connessa del nostro grafo iniziale, otteniamo un DAG, perchè tutti i cicli sono stati integrati nella componente.

Trasposto di un grafo

Il trasposto di un grafo diretto G è il grafo stesso con gli archi che però vanno nella direzione opposta.

Grafo pesato

Un grafo pesato è un particolare grafo che associa a ciascun arco un costo per attraversarlo.

Costi negativi

I costi possono anche essere negativi: rappresenteranno allora un guadagno ottenuto attraversando il nodo.

Minimum spanning tree

Un minimum spanning tree è il sottoinsieme degli archi di un grafo non diretto che connettono tutti i nodi con il minor costo possibile.

I MST hanno molte proprietà; sono troppe da scrivere qui, e probabilmente non ci interesseranno nemmeno.

Implementazione tramite matrice di adiacenza

Possiamo implementare un grafo creando una matrice di bool di dimensione n * n in cui le caselle collegate sono vere e le caselle non collegate sono false.

Ad esempio, possiamo implementare un grafo non orientato in questo modo (█ indica l'esistenza di un collegamento e indica la sua assenza):

	1	2	3
1	░	░	░
2	█	░	░
3	█		░

Esistono gli archi 1-2 e 1-3, ma non esiste un collegamento 2-3.

Un grafo orientato invece si può implementare così:

	1	2	3
1	░	█
2	█	░
3	█		░

Esistono gli archi 1->2, 2->1 e 3->1, ma non ci sono collegamenti 2->3, 1->3 e 3->2.

Costo computazionale

Tempo

Le matrici di adiacenza portano alla realizzazione di algoritmi molto veloci: verificare l'esistenza di un arco è in O(1)!

Abbiamo però penalità significative quando vogliamo effettuare operazioni sugli archi: ad esempio, trovare il trasposto di un grafo implementato con una matrice di adiacenza è in O(nodi²).

Memoria

E' poco efficiente in quanto a memoria: l'upper bound è in O(n^2).

Implementazione tramite liste di adiacenza

Un'alternativa alla matrice di adiacenza è quella di creare un'array di liste, le quali contengono i vicini di ciascun nodo.

Posizione	Lista
1	[2, 3]
2	[]
3	[1]

Esistono gli archi 1->2, 1->3, e 3->1, ma non esistono 2->1, 2->3 e 3->2.

Costo computazionale

Tempo

Utilizzando le liste di adiacenza, il tempo richiesto per verificare l'esistenza di un arco sale a O(max-out-degree).

E' efficace però quando il problema che vogliamo risolvere riguarda operazioni su archi: trovare la trasposta è in O(archi).

Memoria

La memoria richiesta dalle liste di adiacenza è minore di quella delle matrici: l'upper bound è in O(nodi + archi).

Visualizzazione

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