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# Programmazione dinamica
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La _programmazione dinamica_ è una **tecnica** di programmazione che prevede l'**estensione di una soluzione ottima precedente**.
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Tutti i problemi in cui si può applicare si possono risolvere anche con la **ricorsione**, ma a differenza della ricorsione, questa tecnica riesce ad evitare di ricalcolare la soluzione per ogni chiamata ricorsiva, ottenendo quindi tempi molto migliori.
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Si può applicare solo se un problema ha una **sottostruttura ottimale**, ovvero se la soluzione ottima di un sottoproblema è inclusa nella soluzione ottima del problema.
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## Esempi
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- _Problema dello zaino_
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- ...
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> Il cammino minimo per raggiungere un nodo in un DAG è dato da `arco.costo + arco.primo_nodo.costo_cammino_minimo()`.
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>
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> ```python
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> def SPD_PD(graph, start):
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> distance = [float(inf) for node in graph.nodes]:
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> distance[start] = 0
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> # I nodi devono essere in ordine di linearizzazione
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> for node in graph.nodes:
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> distance[node] = min([(arc.cost + distance[arc.other(node)] for arc in node.connections])
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> ```
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> Ho una sequenza di interi da `a_1` a `a_n`. Voglio trovare la sottosequenza crescente più lunga.
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>
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> 5 2 3 4 7 3 6 3 1 6
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>
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> Trovo tutte le sequenze lunghe 1, e le rendo nodi di un grafo diretto.
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> Da ogni nodo, creo una connessione verso i suoi maggiori.
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> Infine, cerco i cammini massimi del grafo.
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>
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> Essi saranno la soluzione del problema.
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> Trova la lunghezza della sottosequenza più lunga che termina con `j`.
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>
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> `L[j]` = lunghezza della sottosequenza più lunga che termina in `j`
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>
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> ```python
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> L[j] = max([1 + L[node] for arc in node.connections)]
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> ```
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>
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> Esempio:
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> ```python
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> L[9] = max([1+L[8], 1+L[3], 1+L[6]])
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> ```
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