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Il Paradosso dei Compleanni

Un docente è in aula con n studenti.

Supponendo per semplicità che i compleanni siano distribuiti uniformemente nel corso dell'anno e che nessuno dei presenti sia nato il 29 febbraio, quanto valuteremo, in funzione di n, la probabilità che vi sia in aula uno studente con il compleanno nello stesso giorno del docente?

La probabilità che vi siano in aula due persone con il compleanno lo stesso giorno?

Quanto valgono queste probabilità per n = 50?

Quanto deve essere grande n affinchè ciascuna di queste probabilità risulti maggiore del 50%?

\Omega = \{(\omega_0, \omega_1, \dots, \omega_n | \omega_i \in {1, 2, \dots, 365}, i = 0, 1, \dots, n)\}

\corsivo{F} = \corsivo{p)(\Omega)

|\Omega| = 365^{n+1}

E = almeno\ una\ coincidenza\ con\ docente
F = almeno\ due\ compleanni\ uguali

\mathbb{P}(E) \leq \mathbb{P}(F)

\mathbb{P}(E) = 1 - \mathbb{P}(¬E) = 1 - \frac{365*364*364*\dots*364}{365^{n+1}} = 1 - \frac{364}{365}^n

\mathbb{P}(F) = 1 - \mathbb{P}(¬F) = 1 - \frac{364*363*362*361*\dots*(365-n)}{365^{n+1}} = 1 - \PRODUCT_{i=0}^n \frac{365-i}{365}