appunti-steffo/8 - Crittografia applicata/3 - Comunicazione asimmetrica/1 - Teoria dei gruppi/gruppo.md

Astrazione che rappresenta le "categorie" di numeri.

È composto da un insieme e un'operazione binaria, tali che il gruppo sia:

• chiuso: qualsiasi risultato dell'operazione è parte dell'insieme
• associativo: catene dell'operazione possono essere risolte in qualsiasi ordine
• con identità: un certo elemento dell'insieme viene "ignorato" dall'operazione
• con inverso: ogni elemento dell'insieme ne ha un'altro tale che se vengono combinati si ottiene l'identità

Esempi

Gruppo gruppo additivo dei numeri interi

\Large \mathbb{Z} = +, \left{ \dots, -1, {\color{orange} 0}, 1, \dots \right} \begin{matrix} \mathrm{identità} & 1 + {\color{orange} 0} = 1\ \mathrm{inverso} & -1 + 1 = {\color{orange} 0} \end{matrix}

Gruppo gruppo moltiplicativo gruppo ciclico arbitrario

\Large \mathbb{a} = \times, \left{ {\color{orange} 1}, 2, 3, 4 \right} \mod 5 \begin{matrix} \mathrm{identità} & 2 \times {\color{orange} 1} = 2 = 2 \mod 5\ \mathrm{inverso} & 2 \times 3 = 6 = {\color{orange} 1} \mod 5 \end{matrix}