triennale-appunti-steffo/docs/route-CalcoloNumerico.chunk.3b3c9.esm.js

(window.webpackJsonp=window.webpackJsonp||[]).push([[5],{"2w3n":function(l){l.exports={red:"red__2y1B_",orange:"orange__dD2kx",yellow:"yellow__OEpwl",lime:"lime__CVe41",cyan:"cyan__26ZAg",blue:"blue__LO7Xm",magenta:"magenta__1Akee",example:"example__2PzAa"}},"31Ft":function(l,n,i){"use strict";(function(l){i("4UPQ");var e=i("hosL"),o=i("mbOI"),a=i("ke5e");let t,u,r,s,c,d,p,m,f,h,g,b,_,z,v,x,q,k,L,A,O,C,S,M,w,I=l=>l;const y=String.raw;n.a=function(){return l(e.Fragment,null,l(o.r,{title:"Problema: Interpolazione"},l(o.q,{title:"Descrizione"},l("p",null,"Si vuole trovare una funzione in grado di ",l("b",null,"approssimarne")," un'altra, di cui si conoscono però solo alcuni punti."),l(a.a,null,"È utile in un sacco di casi! Ad esempio, quando si vuole scalare un'immagine."),l("p",null,"I punti sono detti ",l("b",null,"nodi")," ",l(o.h,null,y(t||(t=I`(x_i, y_i)`))),", mentre la funzione costruita su di essi è detta ",l("b",null,"interpolante")," ",l(o.h,null,y(u||(u=I`g`))),":"),l(o.p,null,y(r||(r=I`g(x_i) = y_i`))),l("p",null,"Dato un insieme di punti, esistono ",l("b",null,"infinite")," funzioni interpolanti.")),l(o.q,{title:"Interpolazione polinomiale"},l("p",null,"Il ",l("u",null,"teorema fondamentale dell'algebra")," dice che ",l("b",null,"esiste una sola interpolante ",l("i",null,"polinomiale"))," che interpola un dato insieme di punti."),l("p",null,"Con ",l(o.h,null,"n+1")," punti, l'interpolante sarà al massimo di grado ",l(o.h,null,"n"),", e viene detta ",l(o.h,null,y(s||(s=I`p_n`))),"."),l("p",null,"La sua ",l("b",null,"forma canonica")," sarà:"),l(o.p,null,y(c||(c=I`p_n(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots + a_n x^n`))))),l(o.r,{title:"Metodi di interpolazione"},l(o.q,{title:"Metodo dei coefficienti indeterminati"},l("p",null,"È possibile scrivere la forma canonica come ",l("b",null,"matrice"),":"),l(o.p,null,y(d||(d=I`A \cdot x = b`))),l("p",null,"Costruiamo la ",l("b",null,"matrice di Vandermonde"),":"),l(o.p,null,y(p||(p=I`
                    A =
                    \begin{pmatrix}
                        1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n\\\\
                        1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n\\\\
                        1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^n\\\\
                        \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\
                        1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^n
                    \end{pmatrix}
                    `))),l("p",null,"Costruiamo il ",l("b",null,"vettore delle incognite"),":"),l(o.p,null,y(m||(m=I`
                    x = 
                    \begin{pmatrix}
                        a_0\\\\
                        a_1\\\\
                        a_2\\\\
                        \vdots\\\\
                        a_n
                    \end{pmatrix}
                    `))),l("p",null,"Costruiamo il ",l("b",null,"vettore dei termini noti"),":"),l(o.p,null,y(f||(f=I`
                    b =
                    \begin{pmatrix}
                        y_0\\\\
                        y_1\\\\
                        y_2\\\\
                        \vdots\\\\
                        y_n
                    \end{pmatrix}
                    `))),l(a.a,null,"Per trovare il polinomio di interpolazione è sufficiente risolvere il problema!"),l("p",null,"È efficace perchè una volta calcolati i coefficienti essi ",l("b",null,"valgono per tutti i punti"),", ma ha come svantaggio che la matrice di Vandermonde è ",l("b",null,"spesso malcondizionata."))),l(o.q,{title:"Metodo di Lagrange"},l("p",null,"È possibile scrivere il polinomio di interpolazione ",l("b",null,"raccogliendo le ",l(o.h,null,y(h||(h=I`y`)))),":"),l(o.p,null,y(g||(g=I`p_n (x) = y_0 L_0 + y_1 L_1 + y_2 L_2 + \dots + y_n L_n`))),l("p",null,"I polinomi ",l(o.h,null,y(b||(b=I`L_k`)))," sono detti ",l("b",null,"polinomi di Lagrange"),", e hanno le seguenti proprietà:"),l("ul",null,l("li",null,"Valgono ",l(o.h,null,"1")," in corrispondenza del nodo con lo stesso indice, ",l(o.h,null,"0")," in corrispondenza dei nodi con indice diverso e ",l(o.h,null,y(_||(_=I`0 < n < 1`)))," in tutti gli altri casi.",l(o.p,null,y(z||(z=I`
                            \begin{cases}
                                L_k(x_k) = 1 \qquad (nel\ nodo)\\
                                L_k(x_j) = 0 \qquad (altri\ nodi)
                            \end{cases}
                        `)))),l("li",null,"Si compongono con questo prodotto:",l(o.p,null,y(v||(v=I`L_k = \frac{(x - x_0) \cdot \dots \cdot (x - x_{k-1}) \cdot (x - x_{k+1}) \cdot \dots \cdot (x_k - x_n)}{(x_k - x_0) \cdot \dots \cdot (x_k - x_{k-1}) \cdot (x_k - x_{k+1}) \cdot \dots \cdot (x_k - x_n)}`))))),l(a.a,null,"Non c'è il termine con ",l(o.h,null,y(x||(x=I`x_k`))),"!"),l("p",null,"Tutti insieme formano la ",l("b",null,"base di Lagrange"),"."),l(a.a,null,"Si chiama base perchè sono ",l("b",null,"linearmente indipendenti"),"!"),l("p",null,"Questo metodo permette di calcolare il valore del polinomio di interpolazione ",l("b",null,"in un singolo punto"),":"),l(a.a,null,l("p",null,"Si può risparmiare tempo di calcolo calcolando una singola volta il numeratore con ",l("i",null,"tutti")," i termini:"),l(o.p,null,y(q||(q=I`\omega_n = (x - x_0) \cdot (x - x_1) \cdot \dots \cdot (x - x_n)`))),l("p",null,"E poi dividendo per il termine che andrebbe escluso:"),l(o.p,null,y(k||(k=I`L_k(x) = \frac{ \omega_n }{ (x - x_k) \cdot \prod_{i=0, i \neq k} (x_k - x_i) }`)))),l("p",null,"Ha costo computazionale ",l(o.h,null,y(L||(L=I`O(n^2)`))),"."))),l(o.r,{title:"Resto di interpolazione"},l(o.q,{title:"Definizione"},l("p",null,"È l'",l("b",null,"errore compiuto durante l'interpolazione"),"."),l("p",null,"Se la funzione ",l(o.h,null,"f")," è interpolata da ",l(o.h,null,"p_n"),", allora esso varrà:"),l(o.p,null,y(A||(A=I`R_n(x) = f(x) - p_n(x)`))),l("p",null,"In particolare, è interessante la sua norma a infinito, ",l(o.h,null,y(O||(O=I`\| f - p_n \|_\infty`))),", che corrisponde alla distanza massima tra le due funzioni."),l("p",null,"Un teorema dice che esso è uguale a: ",l(o.u,null,"TODO: Non credo serva.")),l(o.p,null,y(C||(C=I`R_n(x) = \frac{ \omega_n(x) }{ (n + 1)! } \cdot f^{(n+1)}(\Xi)`)))),l(o.q,{title:"Stima"},l("p",null,l(o.u,null,"TODO: Tutta la dimostrazione di queste due affermazioni.")),l("p",null,"L'errore nell'interpolazione dipende principalmente da due fattori:"),l("ul",null,l("li",null,"Come sono ",l("b",null,"distribuiti sull'asse X")," i punti da interpolare"),l("li",null,"Il grado del polinomio di interpolazione"))),l(o.q,{title:"Fenomeno di Runge"},l("p",null,"Fenomeno che si verifica cercando di interpolare la funzione di Runge (",l(o.h,null,y(S||(S=I`\frac{1}{1 + 25x^2}`))),")."),l("p",null,"Scegliendo ",l("b",null,"nodi equispaziati"),", l'errore di interpolazione sarà ",l("span",{style:"font-size: x-large;"},"ENORME")," vicino ai due estremi dell'intervallo."),l(a.a,null,"Addirittura, più nodi verranno scelti, più esso sarà alto!"),l("p",null,"Si evita scegliendo i nodi in una maniera diversa.")),l(o.q,{title:"Nodi di Chebychev"},l("p",null,"La ",l("b",null,"scelta ottimale")," dei punti di interpolazione."),l("p",null,"Consiste nel partizionare una semicirconferenza, e proiettare le partizioni sul diametro."),l("p",null,"La formula usata per ottenere ",l(o.h,null,y(M||(M=I`n`)))," punti è:"),l(o.p,null,y(w||(w=I`x_i = \cos \left( \frac{ (2 \cdot i + 1) \cdot \pi }{ 2 \cdot (n+1) } \right)`))))))}}).call(this,i("hosL").h)},"4UPQ":function(){},"5aVd":function(l){l.exports={menulist:"menulist__2Cmnq"}},FEtp:function(l,n,i){"use strict";(function(l){i("h/TB");var e=i("hosL"),o=i("mbOI"),a=i("ke5e");let t,u,r,s,c,d,p,m,f,h,g,b,_,z,v,x,q,k,L,A,O,C,S,M,w,I,y,E,F,T,U,D,N,P,R,G,Q,j,H,Y,J,V,X,B,Z,K,W,$,ll,nl,il,el,ol,al,tl,ul,rl,sl,cl=l=>l;const dl=String.raw;n.a=function(){return l(e.Fragment,null,l(o.r,{title:"Problema: Ricerca degli zeri di funzione"},l(o.q,{title:"Descrizione"},l("p",null,"Si vogliono trovare i punti (",l("i",null,"zeri"),") in cui una funzione ",l("b",null,"continua")," ",l(o.h,null,"f : [a, b] \\to R")," vale ",l(o.h,null,"0"),"."),l("p",null,"Per il ",l("b",null,"teorema del valore medio"),", se ",l(o.h,null,dl(t||(t=cl`f(a) \cdot f(b) \leq 0`))),", allora esiste sicuramente un punto in cui la funzione vale 0."),l("p",null,"Denominiamo il punto in cui la funzione vale ",l(o.h,null,"0")," come ",l(o.h,null,dl(u||(u=cl`x_{(\star)}`))),".")),l(o.q,{title:"Condizionamento"},l("p",nul
                        \begin{cases}
                            L_{ii} = 1 \qquad \qquad (diagonale)\\
                            L_{ik} = -\frac{A_{ik}}{A_{kk}} \qquad (tri.\ infer.)
                        \end{cases}
                    `))),l(a.a,null,"Sono i moltiplicatori usati per rendere annullare il triangolo inferiore!"),l("p",null,"La matrice ",l(e.h,null,zl(v||(v=_l`U`)))," è così composta:"),l(e.p,null,zl(x||(x=_l`
                        \begin{cases}
                            U_{ik} = A_{ik} \quad se\ i \leq k \quad (tri.\ super.)\\
                            U_{ik} = 0 \qquad se\ i > k \quad (tri.\ infer.)
                        \end{cases}
                    `))),l("p",null,"Il sistema può essere poi risolto applicando due volte il metodo di sostituzione:"),l(e.p,null,zl(q||(q=_l`
                        \begin{cases}
                            L \cdot y = b\\
                            U \cdot x = y
                        \end{cases}
                    `))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(k||(k=_l`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^3}{3}\right)} + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`)))),l(e.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(L||(L=_l`LU`)))," con pivoting parziale")},l("p",null,"È possibile applicare la fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(A||(A=_l`LU`)))," a ",l("b",null,"qualsiasi matrice non-singolare")," permettendo lo scambio (",l("i",null,"pivoting"),") delle righe, potenzialmente ",l("b",null,"aumentando la stabilità")," dell'algoritmo."),l(a.a,null,"Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo ",l("b",null,"metodo di Gauss-Jordan"),"!"),l("p",null,"Alla formula precedente si aggiunge una ",l(o.a,{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_permutazione"},"matrice di permutazione")," che indica quali righe sono state scambiate:"),l(e.p,null,zl(O||(O=_l`P \cdot A = L \cdot U`))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(C||(C=_l`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^2}{2}\right)} + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`)))),l(e.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(S||(S=_l`LU`)))," con pivoting totale")},l("p",null,"È possibile anche permettere il ",l("i",null,"pivoting")," ",l("b",null,"sulle colonne")," per ",l("b",null,"aumentare ulteriormente la stabilità")," dell'algoritmo, a costo di maggiore costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(M||(M=_l`P \cdot A \cdot Q = L \cdot U`))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(w||(w=_l`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^3}{3}\right)} + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`))))),l(e.r,null,l(e.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(I||(I=_l`LDL^{-1}`))))},l("p",null,"È possibile ",l("b",null,"ridurre la complessità computazionale")," della fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(y||(y=_l`LU`)))," se la matrice dei coefficienti è ",l("b",null,"simmetrica"),":"),l(e.p,null,zl(E||(E=_l`A = L \cdot D \cdot L^{-1}`))),l("p",null,"In questo caso, si calcola solo la matrice L, utilizzando il ",l("b",null,"metodo di pavimentazione"),"."),l(e.p,null,zl(F||(F=_l`
                        \begin{cases}
                            d_{ii} = A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} ( d_{kk} \cdot (l_{jk})^2 )\\
                            \\
                            l_{ij} = \frac{A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot d_{kk} \cdot l_{jk}}{d_{ii}}
                        \end{cases}
                    `))),l(a.a,null,l("p",null,"La prima colonna della matrice sarà:"),l(e.p,null,zl(T||(T=_l`
                            \begin{cases}
                                d_{11} = A_{11}\\
                                \\
                                l_{i1} = \frac{A_{i1}}{d_{11}}
                            \end{cases}
                        `))),l("p",null,"La seconda colonna della matrice sarà:"),l(e.p,null,zl(U||(U=_l`
                            \begin{cases}
                                d_{22} = A_{22} - d_{11} \cdot (l_{21})^2\\
                                \\
                                l_{i2} = \frac{A_{i2} - l_{i1} \cdot d_{11} \cdot l_{21}}{d_{ii}}
                            \end{cases}
                        `)))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(D||(D=_l`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^3}{6}\right)} + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`)))),l(e.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(N||(N=_l`\mathcal{L} \mathcal{L}^{-1}`))))},l("p",null,"È possibile dare ",l("b",null,"stabilità forte")," alla fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(P||(P=_l`LDL^{-1}`)))," se la matrice dei coefficienti è ",l("b",null,"simmetrica definita positiva"),":"),l(e.p,null,zl(R||(R=_l`A = \mathcal{L} \cdot \mathcal{L}^{-1}`))),l("p",null,"Il ",l("b",null,"metodo di pavimentazione")," diventa:"),l(e.p,null,zl(G||(G=_l`
                        \begin{cases}
                            l_{ii} = \sqrt{A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1}  (l_{ik})^2 }\\
                            \\
                            l_{ij} = \frac{A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot l_{jk}}{l_{ii}}
                        \end{cases}
                    `))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(Q||(Q=_l`O\left(\frac{n^3}{3}\right) + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`))))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Trasformazione di Householder"},l("p",null,"Matrice ricavata dalla seguente formula:"),l(e.p,null,zl(j||(j=_l`U(v) = I - \frac{1}{\alpha} \cdot v \cdot v^T`))),l(e.p,null,zl(H||(H=_l`\alpha = \frac{1}{2} \| v \|_{(2)}^2`)))),l(e.q,{title:l("span",null,"Fattorizzazione ",l(e.h,null,zl(Y||(Y=_l`QR`))))},l("p",null,"Metodo che fornisce una ",l("b",null,"maggiore stabilità")," a costo di una ",l("b",null,"maggiore complessità computazionale"),"."),l("p",null,"La matrice ",l(e.h,null,zl(J||(J=_l`A`)))," viene ",l("i",null,"fattorizzata")," in due matrici, una ",l("b",null,"ortogonale")," ",l(e.h,null,zl(V||(V=_l`Q`)))," e una ",l("b",null,"triangolare superiore")," ",l(e.h,null,zl(X||(X=_l`R`))),":"),l(e.p,null,zl(B||(B=_l`A = Q \cdot R`))),l("p",null,"Le matrici si ottengono dal prodotto delle trasformazioni di Householder (",l(e.h,null,zl(Z||(Z=_l`Q`)))," sulle colonne della matrice ",l(e.h,null,zl(K||(K=_l`A`))),", trasformandola in una matrice triangolare superiore (",l(e.h,null,zl(W||(W=_l`R`))),")."),l("p",null,"Una volta fattorizzata, il sistema si può risolvere con:"),l(e.p,null,zl($||($=_l`
                        \begin{cases}
                            y = Q^T \cdot b\\
                            R \cdot x = y
                        \end{cases}
                    `))),l("p",null,"Questo metodo ha costo computazionale:"),l(e.p,null,zl(ll||(ll=_l`{\color{Yellow} O\left(\frac{2 \cdot n^3}{3}\right)} + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`))),l("p",null,l(e.u,null,"TODO: l'algoritmo con tau per ricavare la q se non è in memoria")))),l(e.r,{title:"Metodi iterativi"},l(e.q,{title:"Forma generale"},l("p",null,"Se si pone che:"),l(e.p,null,zl(nl||(nl=_l`
                        \begin{cases}
                            G = I - M^{-1} \cdot A\\
                            c = M^{-1} \cdot b
                        \end{cases}
                    `))),l("p",null,"Allora la formula generale di un sistema lineare può anche essere scritta in questo modo:"),l(e.p,null,zl(il||(il=_l`x = G \cdot x + c`))),l("p",null,"È particolarmente utile perchè ci permette di definire un ",l("b",null,"algoritmo ricorsivo")," che trovi ",l(e.h,null,zl(el||(el=_l`x`))),":"),l(e.p,null,zl(ol||(ol=_l`x_{(i+1)} = G \cdot x_{(i)} + c`))),l("p",null,l(e.h,null,zl(al||(al=_l`G`)))," è il ",l("b",null,"metodo"),", e in base ad esso cambiano stabilità e velocità di convergenza."),l("p",null,"Ponendo ",l(e.h,null,zl(tl||(tl=_l`A = M - N`))),", la formula può essere scritta anche in questo modo:"),l(e.p,null,zl(ul||(ul=_l`M \cdot x_{(i+1)} = N \cdot x_{(i)} + b`))),l("p",null,"Possiamo ottenere alcuni metodi separando ",l(e.h,null,"A")," in tre matrici:"),l("ul",null,l("li",null,"La parte diagonale ",l(e.h,null,zl(rl||(rl=_l`D`)))),l("li",null,"L'opposto del triangolo inferiore ",l(e.h,null,zl(sl||(sl=_l`E`)))),l("li",null,"L'opposto del triangolo superiore ",l(e.h,null,zl(cl||(cl=_l`F`))))),l(e.p,null,zl(dl||(dl=_l`A = D - E - F`)))),l(e.q,{title:"Convergenza di un metodo"},l("p",null,"Un metodo è convergente se e solo se:"),l(e.p,null,zl(pl||(pl=_l`\rho (M) < 1`))),l("p",null,"(dove ",l(e.h,null,zl(ml||(ml=_l`\rho`)))," è il ",l("b",null,"raggio spettrale"),", il massimo autovalore della matrice)"),l("p",null,"Perchè un metodo sia convergente, è sufficiente che:"),l(e.p,null,zl(fl||(fl=_l`\| M \| < 1`))),l("p",null,l(e.u,null,"TODO: l'algoritmo con tau per le condizioni di arresto")))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Metodo di Jacobi"},l("p",null,"Il metodo di Jacobi si ottiene ponendo:"),l(e.p,null,zl(hl||(hl=_l`
                        \begin{cases}
                            M = D\\
                            N = E + F
                        \end{cases}
                    `))),l("p",null,l("u",null,"Spostamenti simultanei"),": Permette di ottenere ogni componente di ",l(e.h,null,zl(gl||(gl=_l`x`)))," indipendentemente dagli altri: è ",l("b",null,"parallelizzabile"),"."),l("p",null,"Se la matrice è ",l("b",null,"diagonale dominante"),", allora il metodo di Jacobi ",l("b",null,"converge")," sicuramente.")),l(e.q,{title:"Metodo di Gauss-Seidel"},l("p",null,"Il metodo di Gauss-Seidel si ottiene ponendo:"),l(e.p,null,zl(bl||(bl=_l`
                        \begin{cases}
                            M = D - E\\
                            N = F
                        \end{cases}
                    `))),l("p",null,"Ha una velocità di convergenza ",l("b",null,"maggiore o uguale")," rispetto al metodo di Jacobi."),l("p",null,l("u",null,"Spostamenti successivi"),": Non è parallelizzabile, perchè ogni componente ",l("b",null,"dipende da quelle calcolate in precedenza"),"."),l("p",null,"Se la matrice è ",l("b",null,"diagonale dominante"),", allora il metodo di Gauss-Seidel ",l("b",null,"converge")," sicuramente."))))}}).call(this,i("hosL").h)},qXt2:function(l,n,i){"use strict";i.r(n),function(l){i("mbOI"),i("ke5e"),i("YNhk"),i("T2GU");var e=i("sl5E"),o=i("lijF"),a=i("FEtp"),t=i("31Ft");n.default=function(){return l("div",null,l("h1",null,"Calcolo Numerico"),l(e.a,null),l(o.a,null),l(a.a,null),l(t.a,null))}}.call(this,i("hosL").h)},sl5E:function(l,n,i){"use strict";(function(l){i("T/To");var e=i("mbOI"),o=i("YNhk"),a=i("T2GU"),t=i("ke5e"),u=i("hosL");let r,s,c,d,p,m,f,h,g,b,_,z,v,x,q,k,L,A,O,C,S,M=l=>l;const w=String.raw;n.a=function(){return l(u.Fragment,null,l(e.r,{title:"Esame"},l(e.q,{title:"Contatti"},l("ul",null,l("li",null,l(o.a,{href:"mailto:silvia.bonettini@unimore.it"},"Prof.ssa Silvia Bonettini")))),l(e.q,{title:"Orale"},l("p",null,"E' composto da:"),l("ul",null,l("li",null,"2 domande sugli argomenti teorici"),l("li",null,"1 domanda di implementazione algoritmo in MATLAB"))),l(e.q,{title:"Sessione autunnale"},l("ol",null,l("li",null,l(e.t,{to:"2020-08-31 09:00"})),l("li",null,l(e.t,{to:"2020-09-14 09:00"}))))),l(e.r,{title:"Informazioni"},l(e.q,{title:"Ripasso di Algebra Lineare"},l("p",null,"Prima di iniziare a studiare Calcolo Numerico, potrebbe essere una buona idea ripassare un pochino Algebra Lineare:"),l(a.a,null,l("li",null,l("a",{href:"/calcolonumerico/ripassodialgebralineare"},"Ripasso di Algebra Lineare")," ",l("small",null,"(per studenti sperduti di Calcolo Numerico)"))))),l(e.r,{title:"Algoritmi"},l(e.q,{title:"Algoritmi numerici"},l("p",null,"Particolari algoritmi che hanno:"),l("ul",null,l("li",null,"numeri reali in input e output"),l("li",null,"successioni delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali come passi")))),l(e.r,{title:"Errore di rappresentazione"},l(e.q,{title:"Cos'è?"},l("p",null,"Con i numeri floating point può capitare che un certo numero ",l(e.h,null,w(r||(r=M`\alpha`)))," non sia rappresentato correttamente."),l("p",null,"In tal caso, il numero si indica con ",l(e.h,null,w(s||(s=M`\alpha^*`))),"."))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Errore assoluto"},l("p",null,"È la differenza tra il numero desiderato e il numero rappresentato:"),l(e.p,null,w(c||(c=M`E_a = \left | \alpha - \alpha^* \right |`)))),l(e.q,{title:"Errore relativo"},l("p",null,"Indica quanto il numero rappresentato differisce dal numero desiderato:"),l(e.p,null,w(d||(d=M`\forall \alpha \neq 0, E_r = \frac{E_a}{\left | \alpha \right |}`))))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Troncamento"},l("p",null,"Metodo con cui gestire gli ",l("b",null,"underflow floating point"),": le cifre meno significative vengono ",l("b",null,"rimosse"),"."),l(t.a,null,l("pre",null,"1.00  →  1.0",l("br",null),"1.01  →  1.0",l("br",null),"1.10  →  1.1",l("br",null),"1.11  →  1.1"))),l(e.q,{title:"Arrotondamento"},l("p",null,"Metodo con cui gestire gli ",l("b",null,"underflow floating point"),": se la cifra più significativa di quelle che devono essere rimosse è 1, allora ",l("b",null,"aumenta di 1")," anche quella meno signficativa che viene tenuta."),l(t.a,null,l("pre",null,"1.00  →  1.0",l("br",null),"1.01  →  1.0",l("br",null),"1.10  →  1.1",l("br",null),"1.11  → 10.")))),l(e.r,null,l(e.q,{title:"Precisione di macchina"},l("p",null,"Un numero reale rappresentato in ",l("b",null,"virgola mobile")," ha un ",l("b",null,"errore relativo")," minore o uguale alla ",l("i",null,"precisione di macchina"),":"),l("p",null,l(e.h,null,w(p||(p=M`E_r \leq k \cdot \beta^{1-t}`)))),l("ul",null,l("li",null,l(e.h,null,"\\beta")," è uguale alla base utilizzata (solitamente 2)."),l("li",null,l(e.h,null,"t")," è uguale al numero di cifre della mantissa."),l("li",null,l(e.h,null,"k")," è uguale a ",l(e.h,null,"1")," se il numer
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