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{\color{Yellow} 0} & {\color{Yellow} 1} & {\color{Yellow} 0}\\
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|
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\begin{pmatrix}
|
||||
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|
||||
{\color{Gray} 0} & {\color{Yellow} 4} & {\color{Gray} 0}\\
|
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|
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\end{pmatrix}
|
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|
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|
||||
{\color{Yellow} 3} & {\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0}\\
|
||||
{\color{Orange} 4} & {\color{Yellow} 4} & {\color{Gray} 0}\\
|
||||
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|
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\end{pmatrix}
|
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|
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|
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\begin{pmatrix}
|
||||
{\color{Yellow} 3} & {\color{Orange} 3} & {\color{Orange} 3}\\
|
||||
{\color{Gray} 0} & {\color{Yellow} 4} & {\color{Orange} 4}\\
|
||||
{\color{Gray} 0} & {\color{Gray} 0} & {\color{Yellow} 5}
|
||||
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|
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|
||||
`))))),l(i.q,{title:"Matrice non-singolare"},l("p",null,"Matrice con determinante diverso da 0."),l(i.p,null,z(u||(u=N`det(A) \neq 0`))),l("p",null,"Sono anche dette ",l("b",null,"matrici linearmente indipendenti")," o ",l("b",null,"matrici invertibili"),"."),l(r.a,null,l(i.p,null,z(m||(m=N`
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
{\color{Yellow} 1} & {\color{Yellow} 1} & {\color{Yellow} 2}\\
|
||||
{\color{Orange} 2} & {\color{Orange} 1} & {\color{Orange} 1}\\
|
||||
{\color{Red} 1} & {\color{Red} 2} & {\color{Red} 1}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
`))))),l(r.q,{title:"Matrice simmetrica"},l("p",null,"Matrice con un asse di simmetria lungo la diagonale."),l(r.p,null,O(d||(d=G`A = A^T`))),l(i.a,null,l(r.p,null,O(p||(p=G`
|
||||
`))))),l(i.q,{title:"Matrice simmetrica"},l("p",null,"Matrice con un asse di simmetria lungo la diagonale."),l(i.p,null,z(s||(s=N`A = A^T`))),l(r.a,null,l(i.p,null,z(d||(d=N`
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & {\color{Yellow} 2} & {\color{Orange} 4}\\
|
||||
{\color{Yellow} 2} & 3 & {\color{Red} 5}\\
|
||||
{\color{Orange} 4} & {\color{Red} 5} & 6
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
`))))),l(r.q,{title:"Matrice antisimmetrica"},l("p",null,"Matrice con un asse di simmetria lungo la diagonale; gli elementi nel triangolo superiore sono però l'opposto di quelli del triangolo inferiore."),l("p",null,"Ha sempre degli ",l(r.h,null,"0")," lungo la diagonale."),l(r.p,null,O(s||(s=G`A = -A^T`))),l(i.a,null,l(r.p,null,O(g||(g=G`
|
||||
`))))),l(i.q,{title:"Matrice antisimmetrica"},l("p",null,"Matrice con un asse di simmetria lungo la diagonale; gli elementi nel triangolo superiore sono però l'opposto di quelli del triangolo inferiore."),l("p",null,"Ha sempre degli ",l(i.h,null,"0")," lungo la diagonale."),l(i.p,null,z(p||(p=N`A = -A^T`))),l(r.a,null,l(i.p,null,z(g||(g=N`
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
{\color{Gray} 0} & {\color{Yellow} -2} & {\color{Orange} -4}\\
|
||||
{\color{Yellow} 2} & {\color{Gray} 0} & {\color{Red} -5}\\
|
||||
{\color{Orange} 4} & {\color{Red} 5} & {\color{Gray} 0}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
`))))),l(r.q,{title:"Matrice a diagonale dominante per riga/colonna"},l("p",null,"Matrice in cui i valori della diagonale sono maggiori della somma di tutti gli altri nella riga/colonna."),l(i.a,null,l(r.p,null,O(x||(x=G`
|
||||
`))))),l(i.q,{title:"Matrice a diagonale dominante per riga/colonna"},l("p",null,"Matrice in cui i valori della diagonale sono maggiori della somma di tutti gli altri nella riga/colonna."),l(r.a,null,l(i.p,null,z(x||(x=N`
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
{\color{Orange} 9} & 1 & 2\\
|
||||
1 & {\color{Orange} 8} & 1\\
|
||||
1 & 2 & {\color{Orange} 7}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
`))))),l(r.q,{title:"Matrice ortogonale"},l("p",null,"Matrice che se moltiplicata per la sua trasposta dà come risultato la ",l("b",null,"matrice identità"),"."),l(r.p,null,O(w||(w=G`A^T \cdot A = I`))),l(i.a,null,l(r.p,null,O(_||(_=G`
|
||||
`))))),l(i.q,{title:"Matrice ortogonale"},l("p",null,"Matrice che se moltiplicata per la sua trasposta dà come risultato la ",l("b",null,"matrice identità"),"."),l(i.p,null,z(v||(v=N`A^T \cdot A = I`))),l(r.a,null,l(i.p,null,z(_||(_=N`
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3}\\
|
||||
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\
|
||||
\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
`))))),l(r.q,{title:"Matrice inversa"},l("p",null,"Matrice tale che:"),l(r.p,null,O(v||(v=G`A^{-1} \cdot A = I`)))),l(r.q,{title:"Matrice sparsa"},l("p",null,"Matrice con pochissimi valori diversi da 0."),l(i.a,null,l(r.p,null,O(h||(h=G`
|
||||
`))))),l(i.q,{title:"Matrice inversa"},l("p",null,"Matrice tale che:"),l(i.p,null,z(f||(f=N`A^{-1} \cdot A = I`)))),l(i.q,{title:"Matrice sparsa"},l("p",null,"Matrice con pochissimi valori diversi da 0."),l(r.a,null,l(i.p,null,z(w||(w=N`
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\begin{pmatrix}
|
||||
{\color{Gray} 0} & 1 & {\color{Gray} 0}\\
|
||||
1 & 1 & {\color{Gray} 0}\\
|
||||
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|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
`)))))),l(r.r,{title:"Norme vettoriali"},l(r.q,{title:"Norma vettoriale"},l("p",null,"Funzione che associa un valore positivo a ogni vettore diverso da 0, e 0 al vettore zero."),l(i.a,null,l("a",{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Norma_(matematica)#/media/File:Vector_norms.svg"},"Esempi su Wikipedia"))),l(r.q,{title:"Norma a infinito"},l("p",null,"Massimo dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore."),l("p",null,l(r.h,null,O(q||(q=G`\Vert x \Vert_\infty = max_{i = 1..n} | x_i |`))))),l(r.q,{title:"Norma a 1"},l("p",null,"Somma dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore."),l("p",null,l(r.h,null,O(y||(y=G`\Vert x \Vert_1 = \sum_{i = 1}^n | x_i |`))))),l(r.q,{title:"Norma a 2"},l("p",null,"Radice quadrata della somma dei quadrati di tutti gli elementi del vettore."),l("p",null,l(r.h,null,O(f||(f=G`\Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i = 1}^n x_i^2}`)))))),l(r.r,{title:"Norme matriciali"},l(r.q,{title:"Norma matriciale indotta"},l("p",null,"Funzione che associa un valore positivo a ogni matrice diversa da 0, e 0 alla matrice zero."),l("p",null,"Si ricavano dalle norme vettoriali:"),l("p",null,l(r.h,null,O(M||(M=G`\Vert A \Vert = sup_{x \in \mathbb{R}, x \neq 0} \frac{\Vert A \cdot x \Vert}{\Vert x \Vert}`)))),l(i.a,null,l(r.h,null,"sup")," è l'estremo superiore di un insieme. E' molto simile al massimo: ricordi le prime lezioni di Analisi?")),l(r.q,{title:"Norma a infinito"},l("p",null,"Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni riga di una matrice."),l("p",null,l(r.h,null,O(Y||(Y=G`\Vert A \Vert_\infty = max_{i = 1..n} \sum_{j = 1}^n | a_{ij} |`))))),l(r.q,{title:"Norma a 1"},l("p",null,"Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni colonna di una matrice."),l("p",null,l(r.h,null,O(V||(V=G`\Vert A \Vert_1 = max_{j = 1..n} \sum_{i = 1}^n | a_{ij} |`))))),l(r.q,{title:"Norma a 2"},l("p",null,"Radice quadrata del rango del prodotto tra una matrice e la sua trasposta."),l("p",null,l(r.h,null,O(b||(b=G`\Vert A \Vert_2 = \sqrt{\rho ( A^T \times A ) }`)))))),l(r.r,{title:"Errori"},l(r.q,{title:"Errore relativo tra vettori e matrici"},l("p",null,"Le norme sono usate per calcolare l'errore relativo tra due vettori o matrici:"),l("p",null,l(r.h,null,O(A||(A=G`\frac{\Vert x - y \Vert}{\Vert x \Vert}`)))))))}}.call(this,o("hosL").h)},ke5e:function(l,e,o){"use strict";(function(l){var r=o("2w3n"),i=o.n(r);e.a=function(e){return l("div",{class:i.a.example},e.children)}}).call(this,o("hosL").h)}}]);
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`)))))),l(i.r,{title:"Norme vettoriali"},l(i.q,{title:"Norma vettoriale"},l("p",null,"Funzione che associa un valore positivo a ogni vettore diverso da 0, e 0 al vettore zero."),l(r.a,null,l("a",{href:"https://it.wikipedia.org/wiki/Norma_(matematica)#/media/File:Vector_norms.svg"},"Esempi su Wikipedia"))),l(i.q,{title:"Norma a infinito"},l("p",null,"Massimo dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore."),l("p",null,l(i.h,null,z(q||(q=N`\Vert x \Vert_\infty = max_{i = 1..n} | x_i |`))))),l(i.q,{title:"Norma a 1"},l("p",null,"Somma dei valori assoluti di tutti gli elementi del vettore."),l("p",null,l(i.h,null,z(h||(h=N`\Vert x \Vert_1 = \sum_{i = 1}^n | x_i |`))))),l(i.q,{title:"Norma a 2"},l("p",null,"Radice quadrata della somma dei quadrati di tutti gli elementi del vettore."),l("p",null,l(i.h,null,z(y||(y=N`\Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i = 1}^n x_i^2}`)))))),l(i.r,{title:"Norme matriciali"},l(i.q,{title:"Norma matriciale indotta"},l("p",null,"Funzione che associa un valore positivo a ogni matrice diversa da 0, e 0 alla matrice zero."),l("p",null,"Si ricavano dalle norme vettoriali:"),l("p",null,l(i.h,null,z(M||(M=N`\Vert A \Vert = sup_{x \in \mathbb{R}, x \neq 0} \frac{\Vert A \cdot x \Vert}{\Vert x \Vert}`)))),l(r.a,null,l(i.h,null,"sup")," è l'estremo superiore di un insieme. E' molto simile al massimo: ricordi le prime lezioni di Analisi?")),l(i.q,{title:"Norma a infinito"},l("p",null,"Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni riga di una matrice."),l("p",null,l(i.h,null,z(V||(V=N`\Vert A \Vert_\infty = max_{i = 1..n} \sum_{j = 1}^n | a_{ij} |`))))),l(i.q,{title:"Norma a 1"},l("p",null,"Massimo delle somme dei valori assoluti di tutti gli elementi di ogni colonna di una matrice."),l("p",null,l(i.h,null,z(Y||(Y=N`\Vert A \Vert_1 = max_{j = 1..n} \sum_{i = 1}^n | a_{ij} |`))))),l(i.q,{title:"Norma a 2"},l("p",null,"Radice quadrata del rango del prodotto tra una matrice e la sua trasposta."),l("p",null,l(i.h,null,z(b||(b=N`\Vert A \Vert_2 = \sqrt{\rho ( A^T \times A ) }`)))))),l(i.r,{title:"Norme tra funzioni"},l(i.q,{title:"Norma di funzione"},l("p",null,"Funzione che associa un valore reale positivo a ogni funzione.")),l(i.q,{title:"Norma a infinito"},l("p",null,"Valore massimo che assume la funzione nel suo dominio."),l(i.p,null,z(O||(O=N`\| f \|_\infty = max | f(x) |`)))),l(i.q,{title:"Norma a 1"},l(i.u,null,"TODO: Esiste?")),l(i.q,{title:"Norma a 2"},l(i.u,null,"TODO: Esiste?"))),l(i.r,{title:"Errori"},l(i.q,{title:"Errore relativo tra vettori e matrici"},l("p",null,"Le norme sono usate per calcolare l'errore relativo tra due vettori o matrici:"),l("p",null,l(i.h,null,z(A||(A=N`\frac{\Vert x - y \Vert}{\Vert x \Vert}`))))),l(i.q,{title:"Errore assoluto tra funzioni"},l("p",null,"L'errore, ovvero la ",l("b",null,"massima distanza")," tra due funzioni, si ottiene con:"),l(i.p,null,z(G||(G=N`\| f - g \|_\infty`))))))}}.call(this,o("hosL").h)},ke5e:function(l,e,o){"use strict";(function(l){var i=o("2w3n"),r=o.n(i);e.a=function(e){return l("div",{class:r.a.example},e.children)}}).call(this,o("hosL").h)}}]);
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@ -91,21 +91,106 @@ export default function (props) {
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Metodo di Lagrange"}>
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||||
<Todo>TODO</Todo>
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<p>
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È possibile scrivere il polinomio di interpolazione <b>raccogliendo le <ILatex>{r`y`}</ILatex></b>:
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</p>
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<PLatex>{r`p_n (x) = y_0 L_0 + y_1 L_1 + y_2 L_2 + \dots + y_n L_n`}</PLatex>
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<p>
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I polinomi <ILatex>{r`L_k`}</ILatex> sono detti <b>polinomi di Lagrange</b>, e hanno le seguenti proprietà:
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</p>
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<ul>
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<li>
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Valgono <ILatex>1</ILatex> in corrispondenza del nodo con lo stesso indice, <ILatex>0</ILatex> in corrispondenza dei nodi con indice diverso e <ILatex>{r`0 < n < 1`}</ILatex> in tutti gli altri casi.
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<PLatex>{r`
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\begin{cases}
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L_k(x_k) = 1 \qquad (nel\ nodo)\\
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||||
L_k(x_j) = 0 \qquad (altri\ nodi)
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||||
\end{cases}
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||||
`}</PLatex></li>
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||||
<li>
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||||
Si compongono con questo prodotto:
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<PLatex>{r`L_k = \frac{(x - x_0) \cdot \dots \cdot (x - x_{k-1}) \cdot (x - x_{k+1}) \cdot \dots \cdot (x_k - x_n)}{(x_k - x_0) \cdot \dots \cdot (x_k - x_{k-1}) \cdot (x_k - x_{k+1}) \cdot \dots \cdot (x_k - x_n)}`}</PLatex>
|
||||
</li>
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||||
</ul>
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||||
<Example>Non c'è il termine con <ILatex>{r`x_k`}</ILatex>!</Example>
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<p>
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||||
Tutti insieme formano la <b>base di Lagrange</b>.
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</p>
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||||
<Example>Si chiama base perchè sono <b>linearmente indipendenti</b>!</Example>
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<p>
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||||
Questo metodo permette di calcolare il valore del polinomio di interpolazione <b>in un singolo punto</b>:
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</p>
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<Example>
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<p>
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||||
Si può risparmiare tempo di calcolo calcolando una singola volta il numeratore con <i>tutti</i> i termini:
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</p>
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<PLatex>{r`\omega_n = (x - x_0) \cdot (x - x_1) \cdot \dots \cdot (x - x_n)`}</PLatex>
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||||
<p>
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||||
E poi dividendo per il termine che andrebbe escluso:
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</p>
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<PLatex>{r`L_k(x) = \frac{ \omega_n }{ (x - x_k) \cdot \prod_{i=0, i \neq k} (x_k - x_i) }`}</PLatex>
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||||
</Example>
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||||
<p>
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||||
Ha costo computazionale <ILatex>{r`O(n^2)`}</ILatex>.
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</p>
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</Panel>
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</Section>
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||||
<Section title={"Resto di interpolazione"}>
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||||
<Panel title={"Definizione"}>
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||||
<Todo>TODO</Todo>
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<p>
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||||
È l'<b>errore compiuto durante l'interpolazione</b>.
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</p>
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<p>
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Se la funzione <ILatex>f</ILatex> è interpolata da <ILatex>p_n</ILatex>, allora esso varrà:
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</p>
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<PLatex>{r`R_n(x) = f(x) - p_n(x)`}</PLatex>
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||||
<p>
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||||
In particolare, è interessante la sua norma a infinito, <ILatex>{r`\| f - p_n \|_\infty`}</ILatex>, che corrisponde alla distanza massima tra le due funzioni.
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||||
</p>
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<p>
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||||
Un teorema dice che esso è uguale a: <Todo>TODO: Non credo serva.</Todo>
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||||
</p>
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||||
<PLatex>{r`R_n(x) = \frac{ \omega_n(x) }{ (n + 1)! } \cdot f^{(n+1)}(\Xi)`}</PLatex>
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||||
</Panel>
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||||
<Panel title={"Stima"}>
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||||
<Todo>TODO</Todo>
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<p>
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||||
<Todo>TODO: Tutta la dimostrazione di queste due affermazioni.</Todo>
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</p>
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<p>
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||||
L'errore nell'interpolazione dipende principalmente da due fattori:
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</p>
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<ul>
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<li>Come sono <b>distribuiti sull'asse X</b> i punti da interpolare</li>
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||||
<li>Il grado del polinomio di interpolazione</li>
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||||
</ul>
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||||
</Panel>
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||||
<Panel title={"Fenomeno di Runge"}>
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||||
<Todo>TODO</Todo>
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<p>
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||||
Fenomeno che si verifica cercando di interpolare la funzione di Runge (<ILatex>{r`\frac{1}{1 + 25x^2}`}</ILatex>).
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</p>
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<p>
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||||
Scegliendo <b>nodi equispaziati</b>, l'errore di interpolazione sarà <span style={"font-size: x-large;"}>ENORME</span> vicino ai due estremi dell'intervallo.
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</p>
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<Example>
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||||
Addirittura, più nodi verranno scelti, più esso sarà alto!
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</Example>
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<p>
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||||
Si evita scegliendo i nodi in una maniera diversa.
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</p>
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</Panel>
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||||
<Panel title={"Nodi di Chebychev"}>
|
||||
<Todo>TODO</Todo>
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<p>
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||||
La <b>scelta ottimale</b> dei punti di interpolazione.
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</p>
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<p>
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Consiste nel partizionare una semicirconferenza, e proiettare le partizioni sul diametro.
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</p>
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<p>
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La formula usata per ottenere <ILatex>{r`n`}</ILatex> punti è:
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</p>
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<PLatex>{r`x_i = \cos \left( \frac{ (2 \cdot i + 1) \cdot \pi }{ 2 \cdot (n+1) } \right)`}</PLatex>
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</Panel>
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</Section>
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||||
</Fragment>
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@ -1,4 +1,4 @@
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import {ILatex, Panel, PLatex, Section} from "bluelib";
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import {ILatex, Panel, PLatex, Section, Todo} from "bluelib";
|
||||
import Example from "../components/Example";
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||||
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||||
const r = String.raw;
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||||
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|
@ -245,6 +245,25 @@ export default function (params) {
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|||
</p>
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||||
</Panel>
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||||
</Section>
|
||||
<Section title={"Norme tra funzioni"}>
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||||
<Panel title={"Norma di funzione"}>
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<p>
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||||
Funzione che associa un valore reale positivo a ogni funzione.
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||||
</p>
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</Panel>
|
||||
<Panel title={"Norma a infinito"}>
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||||
<p>
|
||||
Valore massimo che assume la funzione nel suo dominio.
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||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`\| f \|_\infty = max | f(x) |`}</PLatex>
|
||||
</Panel>
|
||||
<Panel title={"Norma a 1"}>
|
||||
<Todo>TODO: Esiste?</Todo>
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</Panel>
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||||
<Panel title={"Norma a 2"}>
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||||
<Todo>TODO: Esiste?</Todo>
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||||
</Panel>
|
||||
</Section>
|
||||
<Section title={"Errori"}>
|
||||
<Panel title={"Errore relativo tra vettori e matrici"}>
|
||||
<p>
|
||||
|
|
@ -254,6 +273,12 @@ export default function (params) {
|
|||
<ILatex>{r`\frac{\Vert x - y \Vert}{\Vert x \Vert}`}</ILatex>
|
||||
</p>
|
||||
</Panel>
|
||||
<Panel title={"Errore assoluto tra funzioni"}>
|
||||
<p>
|
||||
L'errore, ovvero la <b>massima distanza</b> tra due funzioni, si ottiene con:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`\| f - g \|_\infty`}</PLatex>
|
||||
</Panel>
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</Section>
|
||||
</div>
|
||||
)
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