triennale-appunti-steffo/src/routes/ottimizzazioneLineare.js

import {Component} from 'preact'
import Split from "../components/split";
import Latex from "../components/latex";
import Panel from "../components/panel";
import Example from "../components/example";
import Todo from "../components/todo";
import Minus from "../components/minus";
import Plus from "../components/plus";

const r = String.raw;

export default class OttimizzazioneLineare extends Component {
    render() {
        return (
            <div>
                <h1>Ottimizzazione lineare intera</h1>
                <Split title={"Materiale"}>
                    <Panel title={"Videolezioni su YouTube"}>
                        <p>
                            Ho rimosso il rumore in sottofondo da tutti i video di Ricerca Operativa!
                        </p>
                        <p>
                            <b><a href={"https://www.youtube.com/playlist?list=PLh93e8qjTszffkHNn-19CqUOhHFbhBlBh"}>Guardate i video qui!</a></b>
                        </p>
                    </Panel>
                </Split>
                <Split title={"Le basi"}>
                    <Panel title={"Funzione obiettivo"}>
                        <p>
                            La funzione obiettivo è la funzione con valore noto sconosciuto:
                        </p>
                        <p>
                            <Latex>{r`z = C_1 \cdot x_1 + C_2 \cdot x_2 + C_n \cdot x_n`}</Latex>
                        </p>
                    </Panel>
                    <Panel title={"Gradiente"}>
                        <p>
                            Funzione della funzione obiettivo che indica la direzione del suo aumento più veloce.
                        </p>
                        <p>
                            <Latex>{r`\nabla f = \frac{\delta f}{\delta x_1} e_1 + \frac{\delta f}{\delta x_2} e_2 + \frac{\delta f}{\delta x_n} e_n`}</Latex>
                        </p>
                        <p>
                            <Latex>{r`e_i`}</Latex> è la direzione della coordinata i-esima.
                        </p>
                        <Example>
                            Se <Latex>{r`n = 3`}</Latex>, allora:
                            <ul>
                                <li><Latex>{r`e_1 = (1, 0, 0)`}</Latex></li>
                                <li><Latex>{r`e_2 = (0, 1, 0)`}</Latex></li>
                                <li><Latex>{r`e_3 = (0, 0, 1)`}</Latex></li>
                            </ul>
                        </Example>
                        <Example>
                            Se la funzione obiettivo è <Latex>z = 2w + 3x + 4y</Latex>, il suo gradiente è <Latex>{r`\nabla z = (2, 3, 4)`}</Latex>.
                        </Example>
                    </Panel>
                </Split>
                <Split title={"La forma standard"}>
                    <Panel title={"Condizioni"}>
                        <p>
                            Un sistema è in <i>forma standard</i> quando ha:
                        </p>
                        <ul>
                            <li>Solo equazioni</li>
                            <li>Tutte le variabili maggiori di zero</li>
                        </ul>
                    </Panel>
                    <Panel title={"Slack"}>
                        <p>
                            Possiamo trasformare una disequazione in equazione introducendo variabili <i>slack</i>:
                        </p>
                        <p>
                            <Latex>{r`3x + 2y \leq 15 \implies 3x + 2y + s_1 = 15`}</Latex>
                        </p>
                        <p>
                            In seguito, possiamo riscrivere tutte le funzioni in termini delle variabili slack.
                        </p>
                        <Example>
                            Si ottiene qualcosa come <Latex>{r`z = -2 s_1 - 3 s_2 + 40`}</Latex>.
                        </Example>
                    </Panel>
                    <Panel title={"Tableu"}>
                        <p>
                            Un modo per rappresentare sistemi in forma standard.
                        </p>
                        <p>
                            <table class={"right"}>
                                <thead>
                                    <tr>
                                        <th/>
                                        <th><Latex>x</Latex></th>
                                        <th><Latex>y</Latex></th>
                                        <th><Latex>s_1</Latex></th>
                                        <th><Latex>s_2</Latex></th>
                                    </tr>
                                </thead>
                                <tbody>
                                    <tr>
                                        <td>obj:</td>
                                        <td><Latex>80</Latex></td>
                                        <td><Latex>70</Latex></td>
                                        <td><Latex>0</Latex></td>
                                        <td><Latex>0</Latex></td>
                                    </tr>
                                    <tr>
                                        <td/>
                                        <td><Latex>3</Latex></td>
                                        <td><Latex>2</Latex></td>
                                        <td><Latex>1</Latex></td>
                                        <td><Latex>0</Latex></td>
                                    </tr>
                                    <tr>
                                        <td/>
                                        <td><Latex>2</Latex></td>
                                        <td><Latex>3</Latex></td>
                                        <td><Latex>0</Latex></td>
                                        <td><Latex>1</Latex></td>
                                    </tr>
                                </tbody>
                            </table>
                        </p>
                        <Example>
                            E' la matrice equivalente completa del sistema!
                        </Example>
                        <p>
                            Riscrivendo in termini delle variabili slack, otteniamo:
                        </p>
                        <p>
                            <table class={"right"}>
                                <thead>
                                <tr>
                                    <th/>
                                    <th><Latex>x</Latex></th>
                                    <th><Latex>y</Latex></th>
                                    <th><Latex>s_1</Latex></th>
                                    <th><Latex>s_2</Latex></th>
                                </tr>
                                </thead>
                                <tbody>
                                <tr>
                                    <td>obj:</td>
                                    <td><Latex>0</Latex></td>
                                    <td><Latex>0</Latex></td>
                                    <td><Latex>-20</Latex></td>
                                    <td><Latex>-10</Latex></td>
                                </tr>
                                <tr>
                                    <td/>
                                    <td><Latex>1</Latex></td>
                                    <td><Latex>0</Latex></td>
                                    <td><Latex>{r`-\frac{3}{5}`}</Latex></td>
                                    <td><Latex>{r`\frac{2}{5}`}</Latex></td>
                                </tr>
                                <tr>
                                    <td/>
                                    <td><Latex>0</Latex></td>
                                    <td><Latex>1</Latex></td>
                                    <td><Latex>{r`\frac{2}{5}`}</Latex></td>
                                    <td><Latex>{r`-\frac{3}{5}`}</Latex></td>
                                </tr>
                                </tbody>
                            </table>
                        </p>
                        <Example>
                            Abbiamo appena applicato Gauss-Jordan, trovando la matrice inversa.
                        </Example>
                    </Panel>
                </Split>
                <Split title={"Un po' di Algebra Lineare"}>
                    <Panel title={"Base"}>
                        <p>
                            Insieme di <Latex>n</Latex> colonne lunghe <Latex>n</Latex> linearmente indipendenti.
                        </p>
                    </Panel>
                    <Panel title={"Soluzione di base"}>
                        <p>
                            Soluzione ottenuta dalla seguente formula:
                        </p>
                        <ol>
                            <li><Latex>{r`A \cdot x = B`}</Latex></li>
                            <li><Latex>{r`B \cdot x_B + F \cdot x_F = b`}</Latex></li>
                            <li><Latex>{r`x_B = B^{-1} \cdot b - B^{-1} \cdot x_F`}</Latex></li>
                        </ol>
                        <p>
                            Dove:
                        </p>
                        <ul>
                            <li><Latex>{r`A`}</Latex> è la matrice equivalente</li>
                            <li><Latex>{r`b`}</Latex> è la colonna dei valori noti</li>
                            <li><Latex>{r`B`}</Latex> è la matrice delle colonne della base</li>
                            <li><Latex>{r`F`}</Latex> è la matrice delle colonne fuoribase</li>
                            <li><Latex>{r`x_B`}</Latex> sono le incognite relative alla base</li>
                            <li><Latex>{r`x_F`}</Latex> sono le incognite relative ai valori fuoribase</li>
                        </ul>
                    </Panel>
                </Split>
                <Split title={"Forme"}>
                    <Panel title={"Forma standard"}>
                        <ul>
                            <li><Minus>Solo equazioni</Minus></li>
                            <li><Minus>Tutte le variabili maggiori di zero</Minus></li>
                        </ul>
                    </Panel>
                    <Panel title={"Forma canonica"}>
                        <ul>
                            <li><Plus>Equazioni e disequazioni</Plus></li>
                            <li><Minus>Tutte le variabili maggiori di zero</Minus></li>
                        </ul>
                    </Panel>
                    <Panel title={"Forma generale"}>
                        <ul>
                            <li><Plus>Equazioni e disequazioni</Plus></li>
                            <li><Plus>Tutte le variabili maggiori di zero</Plus></li>
                        </ul>
                    </Panel>
                </Split>
                <Split title={"Equivalenza di forma"}>
                    <Panel title={"Da generale a canonica"}>
                        <p>
                            Sostituiamo le variabili potenzialmente negative (unconstrained) <Latex>{r`x_j`}</Latex> con due variabili <Latex>{r`x_j^+`}</Latex> e <Latex>{r`x_j^-`}</Latex>.
                        </p>
                    </Panel>
                    <Panel title={"Da canonica a standard"}>
                        <p>
                            Convertiamo le disequazioni in equazioni aggiungendo una variabile slack.
                        </p>
                    </Panel>
                    <Panel title={"Da standard a generale"}>
                        <p>
                            Convertiamo ogni equazione <Latex>{r`=`}</Latex> in due disequazioni <Latex>{r`\leq`}</Latex> e <Latex>{r`\geq`}</Latex>,
                        </p>
                    </Panel>
                </Split>
            </div>
        )
    }
}