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|
||||
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|
||||
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|
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|
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|
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|
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|||
</Panel>
|
||||
</Section>
|
||||
<Section title={"Metodi diretti"}>
|
||||
<Panel title={"Matrice diagonale"}>
|
||||
<Todo>TODO</Todo>
|
||||
<Panel title={"Divisione"}>
|
||||
<p>
|
||||
Se la matrice dei coefficienti del sistema è <b>diagonale</b>, allora è possibile trovare la soluzione <i>dividendo</i> ogni termine noto per l'unico coefficiente diverso da zero presente nella sua riga:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`x_i = \frac{b_i}{A_{ii}}`}</PLatex>
|
||||
</Panel>
|
||||
<Panel title={"Matrice triangolare"}>
|
||||
<Todo>TODO</Todo>
|
||||
<Panel title={"Sostituzione"}>
|
||||
<p>
|
||||
Se la matrice dei coefficienti del sistema è <b>triangolare</b> inferiore o superiore, allora è possibile trovare la soluzione effettuando una <i>sostituzione</i> all'avanti oppure all'indietro:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`x_i = \frac{b_i - \sum_{k = 1}^{i - 1} (x_k \cdot A_{ik})}{A_{ii}}`}</PLatex>
|
||||
<PLatex>{r`x_i = \frac{b_i - \sum_{k = i - 1}^{n} (x_k \cdot A_{ik})}{A_{ii}}`}</PLatex>
|
||||
</Panel>
|
||||
</Section>
|
||||
<Section>
|
||||
<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex></span>}>
|
||||
<Todo>TODO</Todo>
|
||||
<p>
|
||||
Se la matrice dei coefficienti del sistema <b>non ha <Link href={"https://it.wikipedia.org/wiki/Minore_(algebra_lineare)"}>minori</Link> uguali a 0 <small>(eccetto l'ultimo)</small></b> allora è possibile <i>fattorizzarla</i> in due matrici: una <ILatex>{r`L`}</ILatex> triangolare inferiore, e una <ILatex>{r`U`}</ILatex> triangolare superiore.
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`A = L \cdot U`}</PLatex>
|
||||
<Example>
|
||||
Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo <b>metodo di Gauss</b>.
|
||||
</Example>
|
||||
<p>
|
||||
La matrice <ILatex>{r`L`}</ILatex> è così composta:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`
|
||||
\begin{cases}
|
||||
L_{ii} = 1 \qquad \qquad (diagonale)\\
|
||||
L_{ik} = -\frac{A_{ik}}{A_{kk}} \qquad (tri.\ infer.)
|
||||
\end{cases}
|
||||
`}</PLatex>
|
||||
<Example>
|
||||
Sono i moltiplicatori usati per rendere annullare il triangolo inferiore!
|
||||
</Example>
|
||||
<p>
|
||||
La matrice <ILatex>{r`U`}</ILatex> è così composta:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`
|
||||
\begin{cases}
|
||||
U_{ik} = A_{ik} \quad se\ i \leq k \quad (tri.\ super.)\\
|
||||
U_{ik} = 0 \qquad se\ i > k \quad (tri.\ infer.)
|
||||
\end{cases}
|
||||
`}</PLatex>
|
||||
<p>
|
||||
Il sistema può essere poi risolto applicando due volte il metodo di sostituzione:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`
|
||||
\begin{cases}
|
||||
L \cdot y = b\\
|
||||
U \cdot x = y
|
||||
\end{cases}
|
||||
`}</PLatex>
|
||||
<p>
|
||||
Questo metodo ha costo computazionale:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^3}{3}\right)} + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`}</PLatex>
|
||||
</Panel>
|
||||
<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex> con pivoting</span>}>
|
||||
<Todo>TODO</Todo>
|
||||
<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex> con pivoting parziale</span>}>
|
||||
<p>
|
||||
È possibile applicare la fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex> a <b>qualsiasi matrice non-singolare</b> permettendo lo scambio (<i>pivoting</i>) delle righe, potenzialmente <b>aumentando la stabilità</b> dell'algoritmo.
|
||||
</p>
|
||||
<Example>
|
||||
Abbiamo fatto questo metodo in Algebra Lineare, chiamandolo <b>metodo di Gauss-Jordan</b>!
|
||||
</Example>
|
||||
<p>
|
||||
Alla formula precedente si aggiunge una <Link href={"https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_permutazione"}>matrice di permutazione</Link> che indica quali righe sono state scambiate:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`P \cdot A = L \cdot U`}</PLatex>
|
||||
<p>
|
||||
Questo metodo ha costo computazionale:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^2}{2}\right)} + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`}</PLatex>
|
||||
</Panel>
|
||||
<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LDL^{-1}`}</ILatex></span>}>
|
||||
<Todo>TODO</Todo>
|
||||
</Panel>
|
||||
<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`\mathcal{L} \mathcal{L}^{-1}`}</ILatex></span>}>
|
||||
<Todo>TODO</Todo>
|
||||
<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex> con pivoting totale</span>}>
|
||||
<p>
|
||||
È possibile anche permettere il <i>pivoting</i> <b>sulle colonne</b> per <b>aumentare ulteriormente la stabilità</b> dell'algoritmo, a costo di maggiore costo computazionale:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`P \cdot A \cdot Q = L \cdot U`}</PLatex>
|
||||
<p>
|
||||
Questo metodo ha costo computazionale:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^3}{3}\right)} + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`}</PLatex>
|
||||
</Panel>
|
||||
</Section>
|
||||
<Section>
|
||||
<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`LDL^{-1}`}</ILatex></span>}>
|
||||
<p>
|
||||
È possibile <b>ridurre la complessità computazionale</b> della fattorizzazione <ILatex>{r`LU`}</ILatex> se la matrice dei coefficienti è <b>simmetrica</b>:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`A = L \cdot D \cdot L^{-1}`}</PLatex>
|
||||
<p>
|
||||
In questo caso, si calcola solo la matrice L, utilizzando il <b>metodo di pavimentazione</b>.
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`
|
||||
\begin{cases}
|
||||
d_{ii} = A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} ( d_{kk} \cdot (l_{jk})^2 )\\
|
||||
l_{ij} = \frac{A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot d_{kk} \cdot l_{jk}}{d_ii}
|
||||
\end{cases}
|
||||
`}</PLatex>
|
||||
<Example>
|
||||
<p>
|
||||
La prima colonna della matrice sarà:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`
|
||||
\begin{cases}
|
||||
d_{11} = A_{11}
|
||||
l_{i1} = \frac{A_{i1}}{d_{11}}
|
||||
\end{cases}
|
||||
`}</PLatex>
|
||||
<p>
|
||||
La seconda colonna della matrice sarà:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`
|
||||
\begin{cases}
|
||||
d_{22} = A_{22} - d_{11} \cdot (l_{21})^2\\
|
||||
l_{i2} = \frac{A_{i2} - l_{i1} \cdot d_{11} \cdot l_{21}}{d_ii}
|
||||
\end{cases}
|
||||
`}</PLatex>
|
||||
</Example>
|
||||
<p>
|
||||
Questo metodo ha costo computazionale:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`{\color{Yellow} O\left(\frac{n^3}{6}\right)} + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`}</PLatex>
|
||||
</Panel>
|
||||
<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`\mathcal{L} \mathcal{L}^{-1}`}</ILatex></span>}>
|
||||
<p>
|
||||
È possibile dare <b>stabilità forte</b> alla fattorizzazione <ILatex>{r`LDL^{-1}`}</ILatex> se la matrice dei coefficienti è <b>simmetrica definita positiva</b>:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`A = \mathcal{L} \cdot \mathcal{L}^{-1}`}</PLatex>
|
||||
<p>
|
||||
Il <b>metodo di pavimentazione</b> diventa:
|
||||
</p>
|
||||
<PLatex>{r`
|
||||
\begin{cases}
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||||
l_{ii} = \sqrt{A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} (l_{ik})^2 }\\
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l_{ij} = \frac{A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} l_{ik} \cdot l_{jk}}{l_ii}
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\end{cases}
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`}</PLatex>
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<p>
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Questo metodo ha costo computazionale:
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</p>
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<PLatex>{r`O\left(\frac{n^3}{3}\right) + O\left(\frac{n^3}{3}\right) + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`}</PLatex>
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</Panel>
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</Section>
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<Section>
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<Panel title={"Trasformazione di Householder"}>
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<p>
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Matrice ricavata dalla seguente formula:
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</p>
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<PLatex>{r`U(v) = I - \frac{1}{\alpha} \cdot v \cdot v^T`}</PLatex>
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<PLatex>{r`\alpha = \frac{1}{2} \| v \|_{(2)}^2`}</PLatex>
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</Panel>
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<Panel title={<span>Fattorizzazione <ILatex>{r`QR`}</ILatex></span>}>
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<Todo>TODO</Todo>
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<p>
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Metodo che fornisce una <b>maggiore stabilità</b> a costo di una <b>maggiore complessità computazionale</b>.
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</p>
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<p>
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La matrice <ILatex>{r`A`}</ILatex> viene <i>fattorizzata</i> in due matrici, una <b>ortogonale</b> <ILatex>{r`Q`}</ILatex> e una <b>triangolare superiore</b> <ILatex>{r`R`}</ILatex>:
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</p>
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<PLatex>{r`A = Q \cdot R`}</PLatex>
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<p>
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Le matrici si ottengono dal prodotto delle trasformazioni di Householder (<ILatex>{r`Q`}</ILatex> sulle colonne della matrice <ILatex>{r`A`}</ILatex>, trasformandola in una matrice triangolare superiore (<ILatex>{r`R`}</ILatex>).
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</p>
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<p>
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Una volta fattorizzata, il sistema si può risolvere con:
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</p>
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<PLatex>{r`
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\begin{cases}
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y = Q^T \cdot b\\
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R \cdot x = y
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\end{cases}
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`}</PLatex>
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<p>
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Questo metodo ha costo computazionale:
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</p>
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<PLatex>{r`{\color{Yellow} O\left(\frac{2 \cdot n^3}{3}\right)} + 2 \cdot O\left(\frac{n^2}{2}\right)`}</PLatex>
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<p>
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<Todo>TODO: l'algoritmo con tau per ricavare la q se non è in memoria</Todo>
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</p>
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</Panel>
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</Section>
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<Section title={"Metodi iterativi"}>
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@ -355,7 +511,12 @@ export default function (props) {
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</Section>
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<Section title={"Problema: Interpolazione"}>
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<Panel title={"Descrizione"}>
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<Todo>TODO</Todo>
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<p>
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Si vuole trovare una funzione in grado di <b>approssimarne</b> un altra, di cui si conoscono però solo alcuni punti.
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</p>
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<Example>
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È utile in un sacco di casi! Ad esempio, quando si vuole scalare un'immagine.
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</Example>
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</Panel>
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</Section>
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<Section title={"Metodi di interpolazione"}>
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