unimore/triennale-appunti-steffo
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Descrivi meglio l'interpolazione.

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Steffo 2020-08-24 17:07:03 +02:00
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src/routes/CalcoloNumerico/03_Interpolazione.js
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@ -12,16 +12,83 @@ export default function (props) {
<Section title={"Problema: Interpolazione"}>
<Panel title={"Descrizione"}>
<p>
Si vuole trovare una funzione in grado di <b>approssimarne</b> un altra, di cui si conoscono però solo alcuni punti.
Si vuole trovare una funzione in grado di <b>approssimarne</b> un'altra, di cui si conoscono però solo alcuni punti.
</p>
<Example>
È utile in un sacco di casi! Ad esempio, quando si vuole scalare un'immagine.
</Example>
<p>
I punti sono detti <b>nodi</b> <ILatex>{r`(x_i, y_i)`}</ILatex>, mentre la funzione costruita su di essi è detta <b>interpolante</b> <ILatex>{r`g`}</ILatex>:
</p>
<PLatex>{r`g(x_i) = y_i`}</PLatex>
<p>
Dato un insieme di punti, esistono <b>infinite</b> funzioni interpolanti.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Interpolazione polinomiale"}>
<p>
Il <u>teorema fondamentale dell'algebra</u> dice che <b>esiste una sola interpolante <i>polinomiale</i></b> che interpola un dato insieme di punti.
</p>
<p>
Con <ILatex>n+1</ILatex> punti, l'interpolante sarà al massimo di grado <ILatex>n</ILatex>, e viene detta <ILatex>{r`p_n`}</ILatex>.
</p>
<p>
La sua <b>forma canonica</b> sarà:
</p>
<PLatex>{r`p_n(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots + a_n x^n`}</PLatex>
</Panel>
</Section>
<Section title={"Metodi di interpolazione"}>
<Panel title={"Metodo dei coefficienti indeterminati"}>
<Todo>TODO</Todo>
<p>
È possibile scrivere la forma canonica come <b>matrice</b>:
</p>
<PLatex>{r`A \cdot x = b`}</PLatex>
<p>
Costruiamo la <b>matrice di Vandermonde</b>:
</p>
<PLatex>{r`
A =
\begin{pmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n\\\\
1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n\\\\
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^n\\\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\
1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^n
\end{pmatrix}
`}</PLatex>
<p>
Costruiamo il <b>vettore delle incognite</b>:
</p>
<PLatex>{r`
x =
\begin{pmatrix}
a_0\\\\
a_1\\\\
a_2\\\\
\vdots\\\\
a_n
\end{pmatrix}
`}</PLatex>
<p>
Costruiamo il <b>vettore dei termini noti</b>:
</p>
<PLatex>{r`
b =
\begin{pmatrix}
y_0\\\\
y_1\\\\
y_2\\\\
\vdots\\\\
y_n
\end{pmatrix}
`}</PLatex>
<Example>
Per trovare il polinomio di interpolazione è sufficiente risolvere il problema!
</Example>
<p>
È efficace perchè una volta calcolati i coefficienti essi <b>valgono per tutti i punti</b>, ma ha come svantaggio che la matrice di Vandermonde è <b>spesso malcondizionata.</b>
</p>
</Panel>
<Panel title={"Metodo di Lagrange"}>
<Todo>TODO</Todo>