unimore/triennale-appunti-steffo
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Steffo 2020-08-23 19:35:40 +02:00
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50
src/routes/CalcoloNumerico/02_ZeriDiFunzione.js
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@ -43,8 +43,8 @@ export default function (props) {
</ul> </ul>
</Panel> </Panel>
</Section> </Section>
<Section> <Section title={"Metodi dicotomici"}>
<Panel title={"Metodi dicotomici"}> <Panel title={"Cosa sono?"}>
<p> <p>
Sono <b>metodi iterativi</b> in grado di ridurre sempre di più l'intervallo in cui è definita la funzione, facendolo convergere allo zero desiderato. Sono <b>metodi iterativi</b> in grado di ridurre sempre di più l'intervallo in cui è definita la funzione, facendolo convergere allo zero desiderato.
</p> </p>
@ -57,22 +57,12 @@ export default function (props) {
<p> <p>
Hanno <b>convergenza lineare</b>. Hanno <b>convergenza lineare</b>.
</p> </p>
</Panel>
<Panel title={"Metodi delle approssimazioni successive"}>
<p> <p>
Sono <b>metodi iterativi</b> che funzionano in modo molto simile ai metodi iterativi per i sistemi lineari, utilizzando una funzione <ILatex>{r`\phi`}</ILatex> come "metodo". <Todo>TODO: What?</Todo>
</p>
<PLatex>{r`x = x - \phi(x) \cdot f(x)`}</PLatex>
<p>
Che diventa:
</p>
<PLatex>{r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`}</PLatex>
<p>
Sfruttano i <b>punti fissi</b> <ILatex>{r`g(x_{(*)}) = x_{(*)}`}</ILatex> della funzione per convergere.
</p> </p>
</Panel> </Panel>
</Section> </Section>
<Section title={"Metodi dicotomici"}> <Section>
<Panel title={"Metodo di bisezione"}> <Panel title={"Metodo di bisezione"}>
<p> <p>
Calcoliamo il <b>punto medio</b> dell'intervallo <ILatex>{r`[a_{(n)}, b_{(n)}]`}</ILatex>: Calcoliamo il <b>punto medio</b> dell'intervallo <ILatex>{r`[a_{(n)}, b_{(n)}]`}</ILatex>:
@ -135,13 +125,37 @@ export default function (props) {
</Panel> </Panel>
</Section> </Section>
<Section title={"Metodo delle approssimazioni successive"}> <Section title={"Metodo delle approssimazioni successive"}>
<Panel title={"Metodi delle approssimazioni successive"}>
<p>
Sono <b>metodi iterativi</b> che funzionano in modo molto simile ai metodi iterativi per i sistemi lineari, utilizzando una funzione <ILatex>{r`\phi`}</ILatex> come "metodo".
</p>
<PLatex>{r`x = x - \phi(x) \cdot f(x)`}</PLatex>
<p>
Che diventa:
</p>
<PLatex>{r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`}</PLatex>
<p>
Sfruttano i <b>punti fissi</b> <ILatex>{r`g(x_{(*)}) = x_{(*)}`}</ILatex> della funzione per convergere.
</p>
<p>
Non si conosce il numero di iterazioni necessarie per soddisfare la tolleranza <ILatex>{r`\tau`}</ILatex>; ad ogni iterazione, si controlla se la tolleranza è soddisfatta in:
</p>
<ul>
<li>Il <i>residuo</i> del problema: <ILatex>{r`\left| f(x_{(k)}) \right| \leq \tau`}</ILatex></li>
<li>La differenza tra due iterate: <ILatex>{r`\frac{\left| x_{(k+1)} - x_{(k)} \right|}{\left| x_{(k+1)} \right|} \leq \tau`}</ILatex> </li>
</ul>
</Panel>
<Panel title={"Metodo generale"}> <Panel title={"Metodo generale"}>
<p> <p>
Se <ILatex>{r`\forall x \in [a, b], \phi(x) \neq 0`}</ILatex>, allora i <b>punti fissi</b> della funzione <ILatex>{r`g`}</ILatex> <b>coincideranno</b> con gli <b>zeri</b>. Se <ILatex>{r`\forall x \in [a, b], \phi(x) \neq 0`}</ILatex>, allora i <b>punti fissi</b> della funzione <ILatex>{r`g`}</ILatex> <b>coincideranno</b> con gli <b>zeri</b>.
</p> </p>
<PLatex>{r`g(x) = x - \phi(x) \cdot f(x)`}</PLatex> <PLatex>{r`g(x) = x - \phi(x) \cdot f(x)`}</PLatex>
<p> <p>
È possibile avvicinarsi sempre di più ai punti fissi utilizzando <Todo>TODO</Todo> Si può raggiungere iterativamente ad un punto fisso attraverso la formula:
</p>
<PLatex>{r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`}</PLatex>
<p>
Attraverso il <b>teorema della mappa contrattiva</b> si può dimostrare che il punto fisso esiste ed è unico. <Todo>TODO: Studiarlo?</Todo>
</p> </p>
</Panel> </Panel>
<Panel title={"Metodo di Newton"}> <Panel title={"Metodo di Newton"}>
@ -149,6 +163,7 @@ export default function (props) {
Sfrutta la continuità delle funzioni per ottenere una convergenza di ordine più alto. Sfrutta la continuità delle funzioni per ottenere una convergenza di ordine più alto.
</p> </p>
<PLatex>{r`\phi (x) = \frac{1}{f' (x)}`}</PLatex> <PLatex>{r`\phi (x) = \frac{1}{f' (x)}`}</PLatex>
<PLatex>{r`x_{(k+1)} = x_{(k)} - \frac{ f(x_{(k)}) }{ f'(x_{(k)}) }`}</PLatex>
<Example> <Example>
Geometricamente, corrisponde a prolungare una retta nel punto <ILatex>{r`(x, f(x))`}</ILatex> con pendenza <ILatex>{r`f'(x)`}</ILatex>, e prendendo come nuovo punto l'intersezione con l'asse X. Geometricamente, corrisponde a prolungare una retta nel punto <ILatex>{r`(x, f(x))`}</ILatex> con pendenza <ILatex>{r`f'(x)`}</ILatex>, e prendendo come nuovo punto l'intersezione con l'asse X.
</Example> </Example>
@ -157,7 +172,10 @@ export default function (props) {
</p> </p>
</Panel> </Panel>
<Panel title={"Metodo delle secanti"}> <Panel title={"Metodo delle secanti"}>
<Todo>TODO</Todo> <p>
Come il metodo di Newton, ma non ha bisogno della continuità.
</p>
<PLatex>{r`\phi (x) = \frac{}{}`}</PLatex>
</Panel> </Panel>
</Section> </Section>
</Fragment> </Fragment>