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Concludi gli zeri di funzione
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bf36d91b3e
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@ -18,14 +18,14 @@ export default function (props) {
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Per il <b>teorema del valore medio</b>, se <ILatex>{r`f(a) \cdot f(b) \leq 0`}</ILatex>, allora esiste sicuramente un punto in cui la funzione vale 0.
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</p>
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<p>
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Denominiamo il punto in cui la funzione vale <ILatex>0</ILatex> come <ILatex>{r`x_{(*)}`}</ILatex>.
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Denominiamo il punto in cui la funzione vale <ILatex>0</ILatex> come <ILatex>{r`x_{(\star)}`}</ILatex>.
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</p>
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</Panel>
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<Panel title={"Condizionamento"}>
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<p>
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Più la <b>derivata prima</b> della funzione <b>si avvicina allo 0</b>, <b>peggio</b> il problema sarà condizionato.
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</p>
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<PLatex>{r`f'(x_{(*)}) \simeq 0 \implies mal\ condizionato`}</PLatex>
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<PLatex>{r`f'(x_{(\star)}) \simeq 0 \implies mal\ condizionato`}</PLatex>
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</Panel>
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</Section>
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<Section>
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@ -33,7 +33,7 @@ export default function (props) {
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Indice <ILatex>{r`{\color{Orange} p}`}</ILatex> di quanto in fretta una successione converge alla soluzione.
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</p>
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<PLatex>{r`\lim_{i \to +\infty} \frac{ \left| x_{(i+1)} - x_{(*)} \right| }{ \left| x_{(k)} - x_{(*)} \right|^{\color{Orange} p}}`}</PLatex>
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<PLatex>{r`\lim_{i \to +\infty} \frac{ \left| x_{(i+1)} - x_{(\star)} \right| }{ \left| x_{(k)} - x_{(\star)} \right|^{\color{Orange} p}}`}</PLatex>
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<ul>
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<li><u>Convergenza lineare</u>: <ILatex>{r`p = 1`}</ILatex> e <ILatex>{r`0 < C < 1`}</ILatex></li>
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<li><u>Convergenza superlineare</u>: <ILatex>{r`p = 1`}</ILatex> e <ILatex>{r`C = 0`}</ILatex></li>
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@ -127,7 +127,7 @@ export default function (props) {
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</p>
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<PLatex>{r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`}</PLatex>
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<p>
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Sfruttano i <b>punti fissi</b> <ILatex>{r`g(x_{(*)}) = x_{(*)}`}</ILatex> della funzione <ILatex>{r`f`}</ILatex> per convergere:<br/>
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Sfruttano i <b>punti fissi</b> <ILatex>{r`g(x_{(\star)}) = x_{(\star)}`}</ILatex> della funzione <ILatex>{r`f`}</ILatex> per convergere:<br/>
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se <ILatex>{r`\phi(x)`}</ILatex> non ha zeri, allora i punti fissi <b>coincideranno</b> con gli <b>zeri</b> della funzione <ILatex>{r`f`}</ILatex>.
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</p>
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<PLatex>{r`g(x) = x - \phi(x) \cdot f(x)`}</PLatex>
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@ -135,9 +135,6 @@ export default function (props) {
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Si può raggiungere iterativamente ad un punto fisso attraverso la formula:
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</p>
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<PLatex>{r`x_{(k+1)} = g( x_{(k)} )`}</PLatex>
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<p>
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<u>Teorema della mappa contrattiva</u>: il punto fisso <b>esiste</b> ed è <b>unico</b>. <Todo>TODO: Studiarlo?</Todo>
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</p>
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<p>
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Non si conosce in anticipo il numero di iterazioni necessarie per soddisfare la tolleranza <ILatex>{r`\tau`}</ILatex>; ad ogni iterazione, si controlla se la tolleranza è soddisfatta:
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</p>
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@ -146,6 +143,52 @@ export default function (props) {
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<li>Nel <i>residuo</i> del problema: <ILatex>{r`\left| f(x_{(k)}) \right| \leq \tau`}</ILatex></li>
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</ul>
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</Panel>
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<Panel title={"Teorema della mappa contrattiva"}>
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<p>
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Se:
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</p>
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<ul>
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<li>
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Tutti i valori restituiti dalla funzione <ILatex>{r`g`}</ILatex> rientrano nel suo stesso dominio:
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<PLatex>{r`g : [a, b] \to [a, b]`}</PLatex>
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</li>
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<li>
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<p>
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La funzione <ILatex>{r`g`}</ILatex> è una contrazione, ovvero restringe l'intervallo <ILatex>{r`[a, b]`}</ILatex>:
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</p>
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<PLatex>{r`\forall (x, y) \in [a, b], | g(x) - g(y) | \leq L \cdot | x - y |`}</PLatex>
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<p>
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(dove <ILatex>{r`0 < L < 1`}</ILatex>)
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</p>
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</li>
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</ul>
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<p>
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Allora:
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</p>
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<ul>
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<li>
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<p>
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Il punto fisso esiste ed è unico:
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</p>
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<PLatex>{r`\exists! x_{(\star)}`}</PLatex>
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</li>
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<li>
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Il metodo delle approssimazioni successive converge per qualsiasi punto di partenza.
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</li>
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<li>
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<p>
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Vale la seguente disequazione di <i>maggiorazione dell'errore</i>:
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</p>
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<PLatex>{r`\left| x_{(k)} - x_{(\star)} \right| \leq \frac{ L^k }{ 1 - L } \cdot \left| x_{(1)} - x_{(0)} \right|`}</PLatex>
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</li>
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</ul>
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<p>
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Più è piccolo <ILatex>L</ILatex>, più il metodo convergerà in fretta.
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</p>
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<Example>
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<ILatex>L</ILatex> è molto simile al raggio spettrale <ILatex>{r`\rho(M)`}</ILatex> dei metodi iterativi per i sistemi lineari!
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</Example>
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</Panel>
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</Section>
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<Section>
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<Panel title={"Metodo di Newton"}>
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@ -181,6 +224,13 @@ export default function (props) {
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</p>
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</Panel>
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</Section>
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<Section>
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<Panel title={"Approssimare sistemi non-lineari"}>
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<p>
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È possibile usare questi metodi per <b>approssimare le soluzioni di sistemi non-lineari</b>.
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</p>
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</Panel>
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</Section>
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</Fragment>
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)
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}
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