unimore/triennale-appunti-steffo
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79
src/routes/CalcoloNumerico/01_SistemiLineari.js
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@ -235,11 +235,86 @@ export default function (props) {
</Panel>
</Section>
<Section title={"Metodi iterativi"}>
<Panel title={"Forma generale"}>
<p>
Se si pone che:
</p>
<PLatex>{r`
\begin{cases}
G = I - M^{-1} \cdot A\\
c = M^{-1} \cdot b
\end{cases}
`}</PLatex>
<p>
Allora la formula generale di un sistema lineare può anche essere scritta in questo modo:
</p>
<PLatex>{r`x = G \cdot x + c`}</PLatex>
<p>
È particolarmente utile perchè ci permette di definire un <b>algoritmo ricorsivo</b> che trovi <ILatex>{r`x`}</ILatex>:
</p>
<PLatex>{r`x^{(i+1)} = G \cdot x^{(i)} + c`}</PLatex>
<p>
<ILatex>{r`G`}</ILatex> è il <b>metodo</b>, e in base ad esso cambiano stabilità e velocità di convergenza.
</p>
<p>
Ponendo <ILatex>{r`A = M - N`}</ILatex>, la formula può essere scritta anche in questo modo:
</p>
<PLatex>{r`M \cdot x^{(i+1)} = N \cdot x^{(i)} + b`}</PLatex>
<p>
Possiamo ottenere alcuni metodi separando <ILatex>A</ILatex> in tre matrici:
</p>
<ul>
<li>La parte diagonale <ILatex>{r`D`}</ILatex></li>
<li>L'opposto del triangolo inferiore <ILatex>{r`E`}</ILatex></li>
<li>L'opposto del triangolo superiore <ILatex>{r`F`}</ILatex></li>
</ul>
<PLatex>{r`A = D - E - F`}</PLatex>
</Panel>
<Panel title={"Convergenza di un metodo"}>
<p>
Un metodo è convergente se e solo se:
</p>
<PLatex>{r`\rho (M) < 1`}</PLatex>
<p>
(dove <ILatex>{r`\rho`}</ILatex> è il <b>raggio spettrale</b>, il massimo autovalore della matrice)
</p>
<p>
Perchè un metodo sia convergente, è sufficiente che:
</p>
<PLatex>{r`\| M \| < 1`}</PLatex>
</Panel>
</Section>
<Section>
<Panel title={"Metodo di Jacobi"}>
<Todo>TODO</Todo>
<p>
Il metodo di Jacobi si ottiene ponendo:
</p>
<PLatex>{r`
\begin{cases}
M = D\\
N = E + F
\end{cases}
`}</PLatex>
<p>
<u>Spostamenti simultanei</u>: Permette di ottenere ogni componente di <ILatex>{r`x`}</ILatex> indipendentemente dagli altri: è <b>parallelizzabile</b>.
</p>
</Panel>
<Panel title={"Metodo di Gauss-Seidel"}>
<Todo>TODO</Todo>
<p>
Il metodo di Gauss-Seidel si ottiene ponendo:
</p>
<PLatex>{r`
\begin{cases}
M = D - E\\
N = F
\end{cases}
`}</PLatex>
<p>
Ha una velocità di convergenza <b>maggiore o uguale</b> rispetto al metodo di Jacobi.
</p>
<p>
<u>Spostamenti successivi</u>: Non è parallelizzabile, perchè ogni componente <b>dipende da quelle calcolate in precedenza</b>.
</p>
</Panel>
</Section>
</Fragment>